2025年湘教版高一數(shù)學(xué)上冊月考試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年湘教版高一數(shù)學(xué)上冊月考試卷633考試試卷考試范圍：全部知識點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共7題，共14分)1、若圓的圓心到直線的距離為則的值為（）A.或B.或C.或D.或2、函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.3、已知某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動員每場比賽得分的莖葉圖(如圖所示)，則()A.甲籃球運(yùn)動員比賽得分更穩(wěn)定，中位數(shù)為26B.甲籃球運(yùn)動員比賽得分更穩(wěn)定，中位數(shù)為27C.乙籃球運(yùn)動員比賽得分更穩(wěn)定，中位數(shù)為31D.乙籃球運(yùn)動員比賽得分更穩(wěn)定，中位數(shù)為364、【題文】點(diǎn)P為ΔABC所在平面外一點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足為O，若PA=PB=PC，則點(diǎn)O是ΔABC的（）A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心5、【題文】設(shè)則A.B.C.D.6、【題文】若直線被圓截得的弦長為4，則的最大值是（）A.B.C.2D.47、在下列命題中；正確的個(gè)數(shù)是（）

①若||=||，=

②若=則∥

③||=||；

④若∥∥則∥．A.1B.2C.3D.4評卷人得分二、填空題(共7題，共14分)8、將樣本容量為100的數(shù)據(jù)分為[2，6）、[6，10）、[10，14）、[14，18）、[18，22]五個(gè)小組，得到頻率分布直方圖如圖所示，則樣本數(shù)據(jù)落在[2，10）的頻率a=____．

9、集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0}有且僅有兩個(gè)子集，則a=_________。10、【題文】已知函數(shù)則滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍為____．11、【題文】直線的傾斜角為_____________________12、【題文】一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個(gè)圓，那么這個(gè)幾何體的表面積為____.13、【題文】若則____．14、已知扇形的周長是6，中心角是1弧度，則該扇形的面積為____．評卷人得分三、解答題(共8題，共16分)15、(14分)已知函數(shù)(∈R).（1）畫出當(dāng)=2時(shí)的函數(shù)的圖象；（2）若函數(shù)在R上具有單調(diào)性，求的取值范圍.16、對于函數(shù)

（1）探究函數(shù)f（x）的單調(diào)性；并給予證明；

（2）是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？

（3）求函數(shù)f（x）的值域．

17、如圖，四棱錐中，∥側(cè)面為等邊三角形.（1）證明：（2）求AB與平面SBC所成角的正弦值。18、【題文】（本題滿分16分）某市居民自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水量不超過4噸時(shí)，按每噸1.8元收費(fèi)；當(dāng)每戶每月用水量超過4噸時(shí)，其中4噸按每噸為1.8元收費(fèi)，超過4噸的部分按每噸3.00元收費(fèi)。設(shè)每戶每月用水量為噸，應(yīng)交水費(fèi)元。

（Ⅰ）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系；

（Ⅱ）某用戶1月份用水量為5噸；則1月份應(yīng)交水費(fèi)多少元？

（Ⅲ）若甲、乙兩用戶1月用水量之比為共交水費(fèi)26.4元，分別求出甲、乙兩用戶該月的用水量和水費(fèi)。19、【題文】如圖所示；在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E；F分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA＝AD.

求證：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.20、已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+b關(guān)于x=1對稱；且其圖象經(jīng)過原點(diǎn)．

（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)在x∈（0，3]的值域．21、畫出正弦函數(shù)y=sinx，（x∈R）的簡圖，并根據(jù)圖象寫出-≤y≤時(shí)x的集合．22、已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1；5）；B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中點(diǎn)．

（1）求AB邊所在的直線方程；

（2）求中線AM的長．評卷人得分四、計(jì)算題(共2題，共16分)23、某校一間宿舍里住有若干位學(xué)生，其中一人擔(dān)任舍長．元旦時(shí)，該宿舍里的每位學(xué)生互贈一張賀卡，并且每人又贈給宿舍樓的每位管理員一張賀卡，每位宿舍管理員也回贈舍長一張賀卡，這樣共用去了51張賀卡．問這間宿舍里住有多少位學(xué)生．24、已知關(guān)于x的方程k2x2+（2k-1）x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．

（1）求k的取值范圍；

（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．評卷人得分五、證明題(共4題，共20分)25、已知D是銳角△ABC外接圓劣弧的中點(diǎn)；弦AD與邊BC相交于點(diǎn)E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．26、如圖，設(shè)△ABC是直角三角形，點(diǎn)D在斜邊BC上，BD=4DC．已知圓過點(diǎn)C且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點(diǎn)G．求證：AD⊥BF．27、已知ABCD四點(diǎn)共圓，AB與DC相交于點(diǎn)E，AD與BC交于F，∠E的平分線EX與∠F的平分線FX交于X，M、N分別是AC與BD的中點(diǎn)，求證：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．28、如圖；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E為AD的中點(diǎn)，DF⊥BE，垂足為F，CF交AD于點(diǎn)G．

求證：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．評卷人得分六、綜合題(共2題，共6分)29、如圖；Rt△ABC的兩條直角邊AC=3，BC=4，點(diǎn)P是邊BC上的一動點(diǎn)（P不與B重合），以P為圓心作⊙P與BA相切于點(diǎn)M．設(shè)CP=x，⊙P的半徑為y．

（1）求證：△BPM∽△BAC；

（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；并確定當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，⊙P與AC所在直線相離；

（3）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動時(shí)；是否存在這樣的⊙P，使得它與△ABC的外接圓相內(nèi)切？若存在，求出x；y的值；若不存在，請說明理由．

30、取一張矩形的紙進(jìn)行折疊；具體操作過程如下：

第一步：先把矩形ABCD對折；折痕為MN，如圖（1）所示；

第二步：再把B點(diǎn)疊在折痕線MN上；折痕為AE，點(diǎn)B在MN上的對應(yīng)點(diǎn)為B′，得Rt△AB′E，如圖（2）所示；

第三步：沿EB′線折疊得折痕EF；如圖（3）所示；利用展開圖（4）所示．

探究：

（1）△AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論．

（2）對于任一矩形；按照上述方法是否都能折出這種三角形？請說明理由．

（3）如圖（5）；將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A落在DC邊上的點(diǎn)A′處，x軸垂直平分DA，直線EF的表達(dá)式為y=kx-k（k＜0）

①問：EF與拋物線y=有幾個(gè)公共點(diǎn)？

②當(dāng)EF與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)A′（x，y），求的值．參考答案一、選擇題(共7題，共14分)1、C【分析】【解析】試題分析：圓的圓心為根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得或考點(diǎn)：圓的一般方程及點(diǎn)到直線的距離【解析】【答案】C2、D【分析】試題分析：由故選D.考點(diǎn)：本題考查函數(shù)定義域的求法?！窘馕觥俊敬鸢浮緿3、D【分析】由于乙籃球運(yùn)動員比賽得分比較集中在31—39之間，所以乙籃球運(yùn)動員比賽得分更穩(wěn)定,按從小到大的順序排列可知中位數(shù)為36【解析】【答案】D4、B【分析】【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)P為ΔABC所在平面外一點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足為O，若PA=PB=PC，則點(diǎn)O是ΔABC的外心，選B【解析】【答案】B5、A【分析】【解析】由條件知：集合A實(shí)數(shù)集，是上的實(shí)數(shù)；集合B是由點(diǎn)構(gòu)成的集合，表示函數(shù)圖像上的點(diǎn)；所以。

故選A【解析】【答案】A6、A【分析】【解析】

由已知，圓心半徑為由直線被圓截得的弦長為4，可知圓心必在直線上，則即所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號.【解析】【答案】A7、B【分析】解：對于①，||=||時(shí)，與的方向不一定相同，∴=不一定成立；命題錯(cuò)誤；

對于②，當(dāng)=時(shí)，∥命題正確；

對于③，向量與是相反向量，∴||=||；命題正確；

對于④，當(dāng)∥∥時(shí)，若=則與的方向不能確定，∴∥不一定成立；命題錯(cuò)誤．

綜上；正確的命題是②③．

故選：B．

根據(jù)向量相等的概念可以判斷①②是否正確；

根據(jù)相反向量可以判斷③是否正確；

根據(jù)向量平行的概念判斷④是否正確．

本題考查了平面向量的基本概念的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．【解析】【答案】B二、填空題(共7題，共14分)8、略

【分析】

由題意；樣本數(shù)據(jù)落在[2，10）的頻率a=（0.03+0.08）×4=0.44

故答案為：0.44

【解析】【答案】樣本數(shù)據(jù)落在[2；10）的頻率a=（0.03+0.08）×4，可得結(jié)論．

9、略

【分析】由題意可得集合A為單元素集（1）當(dāng)a=1時(shí)A={x|-2x+1=0}={}，此時(shí)集合A的兩個(gè)子集是{}，?（2）當(dāng)a≠1時(shí)則△=9+8（a-1）=0解得a=此時(shí)集合A的兩個(gè)子集是{1}，?，故實(shí)數(shù)a的值為1或【解析】【答案】1或10、略

【分析】【解析】

試題分析：或解得或所以

考點(diǎn)：1.分段函數(shù)；2.指對函數(shù)解不等式.【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

試題分析：根據(jù)題意,由于直線的斜率為y=x-1,即可知斜率為1，借助于特殊角的正切值為1可知，其傾斜角為故答案為

考點(diǎn)：直線的斜率與傾斜角。

點(diǎn)評：本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

試題分析：由該幾何體的三視圖可知，該幾何體為底面直徑為1cm，高為1cm的圓柱，故其表面積為

考點(diǎn)：本題考查了三視圖的運(yùn)用。

點(diǎn)評：由三視圖還原空間幾何體以及掌握空間幾何體的體積和表面積公式是解決此類問題的關(guān)鍵【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

試題分析：令

考點(diǎn)：函數(shù)的概念.【解析】【答案】214、2【分析】【解答】解：∵扇形圓心角是1弧度，∴弧長l=r；

故扇形周長C=l+2r=3r=6；

∴r=l=2

扇形面積S==

故答案為：2

【分析】根據(jù)扇形的周長和扇形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．三、解答題(共8題，共16分)15、略

【分析】試題分析：（1）依題意函數(shù)解析式含絕對值，去掉絕對值化簡解析式得從而即可畫出這個(gè)分段函數(shù)的圖像.（2）依題意化簡解析式得分段函數(shù)討論當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時(shí)的條件；當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時(shí)的條件，從而得到的取值范圍是試題解析:【解析】

（1）當(dāng)時(shí)圖象如圖所示（2）由已知可得①當(dāng)函數(shù)在R上單調(diào)遞增時(shí)，由可得②當(dāng)函數(shù)在R上單調(diào)遞減時(shí)，由可得綜上可知，的取值范圍是考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性及圖像和性質(zhì).【解析】【答案】（1）圖象見解析；（2）16、略

【分析】

（1）函數(shù)f（x）在R上單調(diào)增．

證明：求導(dǎo)函數(shù)可得：

∵x∈R，∴

∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)增．

（2）【解析】

若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；則f（-x）=-f（x）

∴

∴2a=1

∴

∴當(dāng)時(shí)；函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；

（3）【解析】

∵2x＞0

∴2x+1＞1

∴

∴

∴

∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋╝-1；a）

【解析】【答案】（1）利用導(dǎo)數(shù)大于0；可得函數(shù)f（x）在R上單調(diào)增；

（2）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；則f（-x）=-f（x），從而可建立方程，由此可得存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；

（3）先確定進(jìn)而可求函數(shù)f（x）的值域．

17、略

【分析】試題分析：（1）SD與兩條相交直線AB、SE都垂直，利用線面垂直的判定定理，所以（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理，作垂足為F，則作垂足為G，所以AB與平面SBC所成的角等于FG與平面SBC所成的角，進(jìn)一步利用直角三角形邊角關(guān)系可得AB與平面SBC所成角的正弦值.（1）證明：取AB中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則四邊形BCDE為矩形，DE=CB=2。連結(jié)SE，則又SD=1，故所以為直角。由得所以SD與兩條相交直線AB、SE都垂直。所以（2）由知，作垂足為F，則作垂足為G，則FG=DC=1。且所以AB與平面SBC所成的角等于FG與平面SBC所成的角。連結(jié)SG，則又故作H為垂足，則從而FG與平面所成的角為因?yàn)樗钥键c(diǎn)：線面位置關(guān)系，線面垂直，線面角的求法.【解析】【答案】（1）詳見解析（2）見解析18、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】（Ⅰ）5分。

（Ⅱ）當(dāng)x=5時(shí)；代入函數(shù)表達(dá)式解得y=10.2元10分。

（Ⅲ）設(shè)甲、乙兩用戶某月用水量分別為

（1）若則甲、乙兩用戶共應(yīng)交費(fèi)不合題意；

（2）若則甲；乙兩用戶共應(yīng)交費(fèi)。

不合題意；

（3）若則甲、乙兩用戶共應(yīng)交費(fèi)

甲用戶用水量為噸，交費(fèi)元，乙用戶用水量為噸，交費(fèi)元。

答：甲用戶用水量為噸，交費(fèi)元，乙用戶用水量為噸，交費(fèi)元。16分19、略

【分析】【解析】

試題分析：1)證明線線垂直時(shí)；要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高，中線和頂角的角平分線合一；矩形的內(nèi)角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形等等；(2)證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.解題時(shí)，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.

試題解析：(1)∵PA⊥底面ABCD，平面ABCD

∴CD⊥PA.

又矩形ABCD中；CD⊥AD；

∵AD∩PA＝A，平面PAD，平面PAD

∴CD⊥平面PAD；

平面PAD∴CD⊥PD.

(2)取PD的中點(diǎn)G；連結(jié)AG，F(xiàn)G.又∵G；F分別是PD、PC的中點(diǎn)；

∴

∴

∴四邊形AEFG是平行四邊形；

∴AG∥EF.

∵PA＝AD；G是PD的中點(diǎn)；

∴AG⊥PD；∴EF⊥PD；

∵CD⊥平面PAD；AG?平面PAD.

∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.

∵PD∩CD＝D，平面PCD，CD平面PCD

∴EF⊥平面PCD.

考點(diǎn)：線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化、線面垂直【解析】【答案】見解析20、略

【分析】

（1）由已知條件列方程；即可得解。

（2）根據(jù)二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；確定原函數(shù)在（0，3]上的單調(diào)性，由單調(diào)性求值域。

本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和求二次函數(shù)的最值問題，需注意區(qū)間與對稱軸的位置關(guān)系．屬簡單題【解析】解：（1）二次函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對稱。

∴

∴a=-2

又f（x）的圖象經(jīng)過原點(diǎn)。

∴b=0

∴f（x）的解析式為f（x）=x2-2x

（2）∵對稱軸x=1落在區(qū)間（0；3]內(nèi)，且拋物線開口向上。

∴函數(shù)在（0；1]上單調(diào)遞減，在[1，3]上單調(diào)遞增。

∴x=1時(shí)；f（x）有最小值，最小值為f（1）=1-2=-1；x=3時(shí)，f（x）有最大值，最大值為f（3）=9-6=3

∴f（x）的值域是[-1，3]21、略

【分析】

先作簡圖；然后觀察在哪些區(qū)域能使不等式成立，即可得到結(jié)論．

本題主要考查三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，以及三角函數(shù)對應(yīng)不等式的求解，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．【解析】解：在周期[-]內(nèi)，當(dāng)y=-時(shí)，x=或

當(dāng)y=得x=或

此時(shí)滿足不等式-≤y≤的解為≤x≤或≤x≤

∵函數(shù)的周期是2kπ；k∈Z；

∴不等式的解為+2kπ≤x≤+2kπ，或+2kπ≤x≤+2kπ；

故不等式的解集為{x|+2kπ≤x≤+2kπ，或+2kπ≤x≤+2kπ}，k∈Z．22、略

【分析】

（1）已知A（-1；5）；B（-2，-1），根據(jù)兩點(diǎn)式寫直線的方法化簡得到AB所在的直線方程；

（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M的坐標(biāo)；然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出AM即可．

考查學(xué)生會根據(jù)條件寫出直線的一般式方程，以及會利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求線段中點(diǎn)坐標(biāo)，會用兩點(diǎn)間的距離公式求兩點(diǎn)間的距離．【解析】解：（1）由兩點(diǎn)式寫方程得

即6x-y+11=0

或直線AB的斜率為

直線AB的方程為y-5=6（x+1）

即6x-y+11=0

（2）設(shè)M的坐標(biāo)為（x0，y0），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得

故M（1；1）

四、計(jì)算題(共2題，共16分)23、略

【分析】【分析】設(shè)有x個(gè)學(xué)生；y個(gè)管理員．

①該宿舍每位學(xué)生與贈一張賀卡；那么每個(gè)人收到的賀卡就是x-1張，那么總共就用去了x（x-1）（乘法原理）張賀卡；

②每個(gè)人又贈給每一位管理員一張賀卡；那么就用去了xy（乘法原理）張賀卡；

③每位管理員也回贈舍長一張賀卡；那么就用去了y張賀卡；

所以根據(jù)題意列出方程：x（x-1）+xy+y=51（加法原理），然后根據(jù)生活實(shí)際情況解方程即可．【解析】【解答】解：設(shè)有x個(gè)學(xué)生；y個(gè)管理員．

該宿舍每位學(xué)生與贈一張賀卡；那么每個(gè)人收到的賀卡就是x-1張，那么總共就用去了x（x-1）張賀卡；

每個(gè)人又贈給每一位管理員一張賀卡；那么就用去了xy張賀卡；

每位管理員也回贈舍長一張賀卡；那么就用去了y張賀卡；

∴x（x-1）+xy+y=51；

∴51=x（x-1）+xy+y=x（x-1）+y（x+1）≥x（x-1）+x+1=x2+1（當(dāng)y=1時(shí)取“=”）；

解得；x≤7；

x（x-1）+（x+1）y=51

∵51是奇數(shù)；而x和x-1中，有一個(gè)是偶數(shù)；

∴x（x-1）是偶數(shù)；

∴（x+1）y是奇數(shù)；

∴x是偶數(shù)；

而x≤7；所以x只有246三種情況；

當(dāng)x=2時(shí)，y=（不是整數(shù)；舍去）；

當(dāng)x=4時(shí)，y=（不是整數(shù)；舍去）；

當(dāng)x=6時(shí)；y=3．

所以這個(gè)宿舍有6個(gè)學(xué)生．24、略

【分析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根的情況的判斷方法，可得：；解可得答案；

（2）假設(shè)存在，由相反數(shù)的意義，即方程的兩根的和是0，依據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得到兩根的和是=0，可得k的值；把k的值代入判別式△，判斷是否大于0可得結(jié)論．【解析】【解答】解：（1）根據(jù)題意得：；（2分）

∴且k≠0；（3分）

（2）假設(shè)存在；根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；

有x1+x2==0，即；（4分）

但當(dāng)時(shí)；△＜0，方程無實(shí)數(shù)根（5分）

∴不存在實(shí)數(shù)k，使方程兩根互為相反數(shù)．（6分）五、證明題(共4題，共20分)25、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根據(jù)角平分線性質(zhì)推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AF=CF，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出即可；

（3）BF過圓心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F為AC中點(diǎn)；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF過圓心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．26、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割線定理：AG2=AF?AC，可證明△BAF∽△AED，則∠ABF+∠DAB=90°，從而得出AD⊥BF．【解析】【解答】證明：作DE⊥AC于E；

則AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中點(diǎn)；

∴AG=ED．

∴ED2=AF?AE；

∴5ED2=AF?AE；

∴AB?ED=AF?AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．27、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性質(zhì)知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，聯(lián)立①②，即可證得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分別是∠AFB和∠AED的角平分線，等量代換后可證得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可連接AX，此時(shí)發(fā)現(xiàn)∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可證得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲證∠MFX=∠NFX，必須先證得∠AFM=∠BFN，可通過相似三角形來實(shí)現(xiàn)；首先連接FM、FN，易證得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通過等量代換，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圓周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可證得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，進(jìn)一步可證得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可證得EX是∠MEN的角平分線．【解析】【解答】證明：（1）連接AX；

由圖知：∠FDC是△ACD的一個(gè)外角；

則有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分別是∠AFB、∠AED的角平分線；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性質(zhì)知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）連接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可證得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．28、略

【分析】【分析】（1）連接AF，并延長交BC于N，根據(jù)相似三角形的判定定理證△BDF∽△DEF，推出，=；再證△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，證出A；F、D、C四點(diǎn)共圓即可；

（2）根據(jù)已知推出∠EFG=∠ABD，證F、N、D、G四點(diǎn)共圓，推出∠EGF=∠AND，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）證明：連接AF，并延長交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

則=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四點(diǎn)共圓；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）證明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四點(diǎn)共圓；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．六、綜合題(共2題，共