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§1.3.2算法案例————秦九韶算法班級:姓名:學(xué)習(xí)目標1.了解秦九韶算法的計算過程,并理解利用秦九韶算法可以減少計算次數(shù)提高計算效率的實質(zhì)。2.理解數(shù)學(xué)算法與計算機算法的區(qū)別,理解計算機對數(shù)學(xué)的輔助作用。重點難點重點:理解秦九韶算法的思想。難點:用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示算法的步驟。學(xué)法指導(dǎo)評價一個算法好壞的一個重要標志是運算的次數(shù),如果一個算法從理論上需要超出計算機允許范圍內(nèi)的運算次數(shù),那么這樣的算法就只能是一個理論算法.在多項式求值的各種算法中,秦九韶算法是一個優(yōu)秀算法.問題探究知識探究(一):秦九韶算法的基本思想思考1:對于多項式,求的值.若先計算各項的值,然后再相加,那么一共要做多少次乘法運算和多少次加法運算?思考2:在上述問題中,若先計算的值,然后依次計算,,的值,這樣每次都可以利用上一次計算的結(jié)果,那么一共做了多少次乘法運算和多少次加法運算?小結(jié):第二種做法和第一種做法相比,乘法的運算次數(shù)減少了,因而能提高運算效率。而且對于計算機來說,做一次乘法運算所需的時間比做一次加法運算需要的時間要長得多,因此第二種算法能更快的得到結(jié)果。思考3:利用后一種算法求多項式的值,這個多項式應(yīng)寫成哪種形式?思考4:對于由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值,其算法步驟如何?第一步,計算.第二步,第三步,…第步,計算思考5:上述求多項式的值的方法稱為秦九韶算法,利用該算法求的值,一共需要多少次乘法運算,多少次加法運算?思考6:在秦九韶算法中,記那么第步的算式是什么?知識探究(二):秦九韶算法的程序設(shè)計思考1:用秦九韶算法求多項式的值,可以用什么邏輯結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法?其算法步驟如何設(shè)計?第一步,第二步,第三步,第四步,第五步,思考2:該算法的程序框圖如何表示?思考3:該程序框圖對應(yīng)的程序如何表述?理論遷移例1已知一個5次多項式為用秦九韶算法求的值.例2閱讀下列程序,說明它解決的實際問題是什么?INPUT“x=”;an=0y=0WHLEn<5y=y+(n+1)*a∧nn=n+1WENDPRINTyEND目標檢測1、利用秦九韶算法求多項式在的值時,在運算中下列哪個值用不到()A.164B.3767C.86652D.851692、利用秦九韶算法計算多項式當(dāng)=4的值的時候,需要做乘法和加法的次數(shù)分別為()A.6,6B.5,6C.5,5D.6,53、利用秦九韶算法求多項式在的值,寫出詳細步驟。4、下圖的框圖是一古代數(shù)學(xué)家的一個算法的程序框圖,它輸出的結(jié)果s表示()A.的值B.的值C.的值D.以上都不對開始開始輸入輸入輸出S結(jié)束5、已知n次多項式如果在一種算法中,計算(k=2,3,4,…,n)的值需要k-1次乘法,(1)計算的值需要9次運算(6次乘法,3次加法),那么計算的值需要多少次運算?(2)若采取秦九韶算法:(k=0,1,2,…,n-1),計算的值只需6次運算,那么計算的值共需要多少次運算?(3)若采取秦九韶算法,設(shè)ai=i+1,i=0,1,…,n,求P5(2)(寫出采取秦九韶算法的計算過程)糾錯矯正總結(jié)反思資料:秦九韶的生平秦九韶(1202~1261年),字道古,南宋普州安岳(今四川省安岳縣)人。
秦九韶的突出數(shù)學(xué)成就表現(xiàn)為四個方面:(1)“大衍求一術(shù)”。
即為一次同余式組解法。西方解決同類問題的理論是高斯于1801年建立的,比秦九韶晚了554年。他還把這種理論用于解決商功、利息、粟米、建筑等問題。
(2)線性方程組解法。
他在《數(shù)書九章》中解決了許多相當(dāng)于線性方程組的問題,其中數(shù)字相當(dāng)大,計算也很復(fù)雜。他在“均貨推本”題草中,井然有序地寫出廠解題過程,這種解法與高斯消元法本質(zhì)相當(dāng),但比高斯早約600年。(3)高次方程數(shù)值解法。他集秦漢以來“開方術(shù)”之大成,運用賈憲的“增乘開方法”,解決于數(shù)字高次方程有理數(shù)根和無理數(shù)根的近似值計算問題。他所設(shè)計的演算程序被稱為“秦九韶方法”。西方同類問題的探究始于19世紀,他比意大利的魯菲尼、英國的霍納要早五、六百年。(4)“三斜求積”。他在《數(shù)書九章》中,依據(jù)分別為12、14、15的三邊求出了相應(yīng)的三角形面積,其方法具有一般性。這與西方的海倫公式是等價
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