第 5 節(jié) 極限運算法則

第五節(jié)極限運算法則教學目的：掌握極限的求法，掌握極限的四則運算法則和復合函數(shù)極限的運算法則，利用這些法則，可以求某些函數(shù)的極限。教學重點：極限的四則運算法則和復合函數(shù)極限的運算法則教學難點：復合函數(shù)極限的運算法則教學過程：本節(jié)討論極限的求法，主要介紹極限的四則運算法則和復合函數(shù)極限的運算法則，利用這些法則，可以求某些函數(shù)的極限．在下面的討論中，記號“”表示定理對及都是成立的．定理1有限個無窮小的和也是無窮?。ɡ?有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小．推論1常數(shù)與無窮小的乘積是無窮?。普?有限個無窮小的乘積是無窮小．定理3如果，那么存在，且．（1－５）證因，由1.4定理1有，其中為無窮?。谑怯啥ɡ?知為無窮小，再由定理３知定理７可推廣到有限個函數(shù)的情形．例如，如果都存在，則有．定理4如果，那么存在，且．（1－6）推論3如果存在，為常數(shù)，則．推論4如果存在，為正整數(shù)，則．定理5如果，且，則存在，且．（1－7）以上定理和推論對于數(shù)列也是成立的．定理6如果，而都存在，那么．證令，則，所以，由定理3有，從而．例1求．解．事實上，設多項式，則例2求．解因所以．如果，其中都是多項式，如果，則．但必須注意，如果，則關于商的運算法則不能應用，需要特別考慮．例3求．解當時，分子分母的極限都是零，所以不能運尖用商的運算法則．但時，，所以．例4求．解因為，不能商的運算法則．但，故由定理4得．例5求．解．例6求．解．例7求．解因為，所以．更一般地，當，和為非負整數(shù)時，有例8求．解當時，分子分母的極限都不存在，不能應用商的運算法則．但，而是時的無窮小，是有界函數(shù)，所以根據(jù)定理6，有．前面已經(jīng)看到，對于有理函數(shù)（有理整函數(shù)或有理分式函數(shù)），只要在點處有定義，那么時的極限必定存在且等于在點的函數(shù)值．一般地，如果函數(shù)具有上述性質，即，就稱函數(shù)在點連續(xù)．因此有理函數(shù)在其定義域內的每一點處都是連續(xù)的．我們指出：一切基本初等函數(shù)在其定義域內的每一點處都是連續(xù)的．因此，如果為基本初等函數(shù)，其定義域為，而，則有．例如，是基本初等函數(shù)，它在點處有定義，所以．下面介紹一個半球復合函數(shù)求極限的定理．定理7設函數(shù)當時的極限存在且等于，即，而函數(shù)在點連續(xù)，那么復合函數(shù)當時的極限存在．且．（1－8）證明從略．因為，所以公式（1－8）又可寫成例9求．解．例10求．解．小結與思考：本節(jié)討論了極限的求法，主要介紹極限的四則運算法