專題03 半角模型解析版

專題03半角模型一、半角模型與正方形1.通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整．原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，連接EF，試猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系．（1）思路梳理把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，由∠ADG＝∠B＝90°，得∠FDG＝180°，即點F、D、G共線，易證△AFG≌△AFE，故EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系為BE+FD＝EF．（2）類比引申圖3圖圖3圖2解：（1）如圖3所示：∵AB＝AD，圖4圖4∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，點F、D、G共線，∴∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，∴∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，即∠EAF＝∠FAG．在△EAF和△GAF中，AF=AF∠EAF=∠GAF∴EF＝FG．圖5∴EF＝DF+DG＝DF+BE，即EF＝BE+DF．圖5（2）DF＝EF+BE．理由：如圖4所示．∵AB＝AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，∵∠ADC＝∠ABE＝90°，∴點C、D、G在一條直線上．∴EB＝DG，AE＝AG，∠EAB＝∠GAD．又∵∠BAG+∠GAD＝90°，∴∠EAG＝∠BAD＝90°．∵∠EAF＝45°，∴∠FAG＝∠EAG﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°．∴∠EAF＝∠GAF．在△EAF和△GAF中，（如圖5）EA=GA∠EAF=∠GAF∴EF＝FG．∵FD＝FG+DG，∴DF＝EF+BE．2．如圖1，在正方形ABCD中，點E為BC上一點，圖1連接DE，把△DEC沿DE折疊得到△DEF，圖1延長EF交AB于點G，連接DG．（1）∠EDG＝45°；解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝DA．∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，∵△DEC沿DE折疊得到△DEF，∴∠DFE＝∠C，DC＝DF，∠1＝∠2，∴∠DFG＝∠A＝90°，DA＝DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，DG=DGDA=DF∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3＝∠4，∴∠EDG＝∠3+∠2=12∠ADF=1=1圖2＝45°；圖2（2）如圖2，若正方形邊長為6，點E為BC的中點，連接BF．①求線段AG的長；②求△BEF的面積；（2）①由（1）知：Rt△DGA≌Rt△DGF，∴AG＝FG，∵E為BC的中點，∴CE＝EF＝BE＝3，設(shè)AG＝x，則BG＝6﹣x，在Rt△BEG中，由勾股定理得：EG2＝BG2+BE2，（3+x）2＝32+（6﹣x）2，x＝2，∴AG＝2；②由①知：BG＝4，BE＝3，∴S△BEG=1∵EF＝3，F(xiàn)G＝2， ∴S△圖3BEF=圖3（3）如圖3∵DE＝DG，∠DFE＝∠C＝90°，∴點F是EG的中點，∴AG＝FG＝EF＝CE＝a，∵AB＝BC， ∴BE＝BG，∴BE2+BG2＝EG2，∴2BE2＝4a2，∴BE2＝2a2．故答案為：2a2．3．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊DC、BC上的點，∠EAF＝45°，△ECF的周長為4，則正方形ABCD的邊長為（）A．2 B．3 C．4 D．5解：將△BAF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90度到△DAF′位置，第3題由題意可得出：△BAF≌△DAF′，第3題∴BF＝DF′，∠BAF＝∠DAF′，∴∠EAF′＝45°，在△FAE和△EAF′中，AF=AF'∠FAE=∠EAF'∴△FAE≌△EAF′（SAS），∴EF＝EF′，∵△ECF的周長為4，∴EF+EC+FC＝FC+CE+EF′＝FC+DC+DF′＝BF+FC+DC＝4，∴2DC＝4，∴DC＝2．故選：A．二、半角模型之矩形4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6，點E、F分別在BC、CD上．若DF＝2，∠EAF＝45°，則BE＝92解：如圖，在AB，CD上截取AM＝DN＝6，連接MN，交AE與H，連接FH，可得四邊形AMND為正方形，圖1由半角模型可得：MH+DF=HF圖1∵DF＝2，∴FN＝4，GF＝2+DG＝2+MH，在Rt△HFN中?！逨H2＝HN2+FN2，∴（2+MH）2＝（6﹣MH）2+16，∴MH＝3，∵∠BAE＝∠MAH，∠AMN＝∠ABC＝90°，∴△AMH∽△ABE，∴AMAB=MHBE，∴（∵MH∥BE∴AMAB 法二:補：補全正方形易證DM=3圖2∵DF∥MG∴圖2可得MG=2由半角模型得：MG+BE=EG可設(shè)BE=x,則EN=9-X,EG=3+X在Rt△EGN中，利用勾股定理，可求BE=95.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，點E、F分別在BC、CD上，若AE=5，∠EAF＝45°，則AF的長為210解：取AB的中點M，連接ME，在AD上截取ND＝DF，設(shè)DF＝DN＝x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝6，∴NF=2x，AN＝6﹣x∵AB＝3，∴AM＝BM=3∵BE=3∴ME=3∵∠EAF＝45°，∴∠MAE+∠NAF＝45°，∵∠MAE+∠AEM＝45°，∴∠MEA＝∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴32解得，x＝2．∴AF=AD26.如圖矩形ABCD，AB＝3，AD＝6．點M、N分別在邊CD、BC上，AN=13解：如圖，取AD，BC的中點P，Q，連接QP，連接NH，∵AD＝6，AB＝3，∴AP＝AB＝BQ＝PQ＝3，∠B＝90°，∴四邊形ABQP是正方形，Rt△ABN中，AB＝3，AN=13∴BN=A∴NQ＝3﹣2＝1，∵∠NAH＝45°，由（1）同理得：NH＝BN+PH，設(shè)PH＝x，則NH＝x+2，QH＝3﹣x，Rt△NHQ中，NH2＝QH2+NQ2，∴（2+x）2＝12+（3﹣x）2，x=3∵P是AD的中點，PH∥DM，∴AH＝HM，∴DM＝2PH=6由勾股定理得：AM=A7.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝m，點E在邊BC上，且BE＝2．（1）若m＝8，點F在邊DC上，且∠EAF＝45°，求DF的長；（2）若點F在邊DC上，且∠EAF＝45°，求m的取值范圍．（1）作正方形ABNM，MN與AF交于點G，連接EG，由發(fā)現(xiàn)可知，EG＝BE+MG，設(shè)MG＝x，則NG＝6﹣x，EG＝x+2，在Rt△GEN中，EG2＝NG2+NE2，即（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解得，x＝3，即MG＝3，∵MN∥CD，∴△AGM∽△AFD，∴MGDF=AM第7題（2）由題意得，m≥BE，即m≥2，當(dāng)F與C重合時，m最大，第7題由（1）得，MGDF=AM則點F在邊DC上，∠EAF＝45°，m的取值范圍是2≤m≤12．三、半角模型之三角形8．如圖，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，以C為頂點的45°的角在△ABC形內(nèi)旋轉(zhuǎn)，角的兩邊交AB于點E、F，求證：EF2＝AE2+BF2．圖1證明：(圖1)把△CBF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACG．連接EG．圖1則△CBF≌△CAG．∴BF＝AG，CF＝CG，∠CBF＝∠CAG＝45°．∵∠ACB＝90°，∠GCF＝90°．∴∠GCE＝∠ECF＝45°， 圖2(圖2)在△GCE和△FCE中，C圖2∴△GCE≌△FCE（SAS）．∴EF＝EG，又∵∠GAE＝45°+45°＝90°，∴AE2+AG2＝EG2，∴EF2＝AE2+BF2．法二:翻折思路:把△CEF沿邊EC翻折,得△CEG(如圖3),易證△ACG≌BCF即可.(如圖4)GG圖3圖49．已知：如圖，△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，點D、E是AB上的兩點，且∠DCE＝45°，△ADC與△FDC關(guān)于直線CD對稱．圖1求證：（1）∠FCE＝∠BC圖1（2）AD2+BE2＝DE2．證明：（1）∵△CDA與△CDF關(guān)于直線CD對稱，∴△CFD≌△CAD；∴∠ACD＝∠FCD，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，∴∠FCD+∠FCE＝45°，∠ACD+∠ECB＝45°，∴∠FCE＝∠BCE；圖2圖2又∵CB＝CA，∴CF＝CB，在△CFE與△CBE中，∵CF=∴△CFE≌△CBE，∴EF＝BE，∠B＝∠EFC，∴∠DFE＝∠DFC+∠EFC＝∠B+∠A＝90°在Rt△DFE中，DF2+EF2＝DE2，即：AD2+BE2＝DE2．四．半角模型之菱形10．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，過點A分別作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且∠EAF＝60°（1）寫出BE、CF、AB之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)∠EAF繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)到∠EAF的兩邊與菱形的兩邊相交，但不垂直時，上述的結(jié)論是否成立，如成立，請證明之，若不成立，寫出BE、DF、AB三者之間的關(guān)系，證明你的結(jié)論；（3）如圖3，當(dāng)∠EAF繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)到∠EAF的兩邊與菱形的兩邊BC、CD的延長線相交，但不垂直，請直接寫出BE、DF、AB三者之間的關(guān)系．解：（1）結(jié)論：BE+CF＝AB．理由：如圖1中，連接AC．菱形ABCD中，∵∠BAD＝120°，∴△ABC，△ACD為等邊三角形，∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，在Rt△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠BAE＝30°，∴BE=1在Rt△ACF中，∵∠AFC＝90°，∠CAF＝30°，∴CF=1∵AB＝AC，∴BE+CF＝AB．圖圖2（2）結(jié)論：BE+DF＝AB理由：圖2：連接AC，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，△ABC，△ACD為等邊三角形，∴∠ACE＝∠ADF＝60°，AD＝AC，∵∠EAC+∠CAF＝∠EAF＝60°，∠DAF+∠CAF＝60°，∴∠CAE＝∠DAF．∴△AEC≌△AFD（ASA），∴EC＝DF，∴BE+DF＝BE+EC＝BC＝AB．圖圖3（3）結(jié)論：BE﹣DF＝AB．理由：如圖3中，連接AC．同法可證：∴△AEC≌△AFD（ASA），∴EC＝DF，∴BE﹣DF＝BE﹣EC＝BC＝AB．11．（1）如圖，將∠EAF繞著四邊形ABCD的頂點A順時針旋轉(zhuǎn)，∠EAF的兩邊交CB的延長線于E，圖1交DC的延長線于F，連接EF．若AB＝AD，∠ABC與∠ADC互補，∠EAF=1圖1請直接寫出EF與DF、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）在（1）的前提下，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周長．①EF的長為：；②數(shù)量關(guān)系：．（1）證明：如圖1，在DF上截取DM＝BE，∵∠D+∠ABC＝∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠ABE，∴AD＝AB，∴△ADM≌△ABE，∴AM＝AE，∴∠DAM＝∠BAE；∵∠EAF＝∠BAE+∠BAF＝∠DAM+∠BAF＝∠BAD﹣∠FAM=1圖2∴∠MAF=圖2∵AF是△EAF與△MAF的公共邊，∴△EAF≌△MAF，(如圖2)∴EF＝MF；∵MF＝DF﹣DM＝DF﹣BE，∴EF＝DF﹣BE．（3）由上面的結(jié)論知：DF＝EF+BE；∵BC＝4，DC＝7，CF＝2，∴DF＝CD+CF＝9∴△CEF的周長＝EF+BE+BC+CF＝DF+BC+CF＝9+4+2＝15．即△CEF的周長為15．①EF＝DF﹣BE＝FC+CD﹣BE＝5②和（2）方法一樣，EF＝DF﹣BE．故答案為EF＝DF﹣BE．12．如圖在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，則∠CEF的大小為．解：連接AC，在菱形ABCD中，AB＝CB，∵∠B＝60°，∴∠BAC＝60°，△ABC是等邊三角形，∵∠EAF＝60°，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即：∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，∠BAE=∠CAFAB=AC∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF，又∠EAF＝∠D＝60°，則△AEF是等邊三角形，∴∠AFE＝60°,又∠AEC＝∠B+∠BAE＝80°，則∠CEF＝80°﹣60°＝20°．故答案為：20°．13．（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．圖4小明同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，(如圖圖4先證明△ABE≌ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF＝BE+DF；（1）EF＝BE+DF，證明如下：在△ABE和△ADG中，DG=BE∠B=∠ADG∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF=1∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，圖5（圖5）在△AEF和△GAF中，AE=AG圖5∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；2）探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=1上述結(jié)論是否仍然成立，請說明理由；（2）結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點G．使DG＝BE．連結(jié)AG，如圖6，圖6在△ABE和△ADG中，DG=BE圖6∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF=1∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，AE=AG∠EAF=∠GAF∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）實際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心O北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，2小時后，圖7圖7兩艦艇之間的距離是海里．（3）如圖7，連接EF，延長AE、BF相交于點C，WT∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF=1又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的條件，∴結(jié)論EF＝AE+BF成立，即EF＝2×（60+80）＝280海里．答：此時兩艦艇之間的距離是280海里；14.（1）正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，且∠EAF＝45°，已知BE＝3，DF＝2，求正方形ABCD的邊長．拓展提高（2）邊長為4的正方形ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，AE＝CF＝1，O為EF的中點，動點G、H分別在邊AD、BC上，EF與GH的交點P在O、F之間（與O、F不重合），且∠GPE＝45°，設(shè)AG＝m，求m的取值范圍．圖1（1）(圖1)圖1∴EF＝BE+DF＝5，設(shè)正方形ABCD的邊長＝x， ∴CE＝x﹣3，CF＝x﹣2，∵EF2＝CE2+CF2，∴25＝（x﹣3）2+（x﹣2）2， ∴x＝6，x＝﹣1（不合題意，舍去），∴正方形ABCD的邊長是6；圖圖2（4）(圖2)①假設(shè)P與O重合，如圖4，∵O為EF的中點，由半角模型易得：EG=GN+EMAE=1,可得EM=1AG=m,GN=2-m,EG=3-m利