集合知識點及題型歸納總結(含答案)

集合知識點及題型歸納總結知識點精講一、集合的有關概念1．集合的含義與表示某些指定對象的部分或全體構成一個集合．構成集合的元素除了常見的數(shù)、點等數(shù)學對象外，還可以是其他對象．2．集合元素的特征（1）確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個對象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素．（2）互異性：集合中任何兩個元素都是互不相同的，即相同元素在同一個集合中不能重復出現(xiàn)．（3）無序性：集合與其組成元素的順序無關．如．3．集合的常用表示法集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法(韋恩圖、數(shù)軸)和區(qū)間法．4．常用數(shù)集的表示R一實數(shù)集Q一有理數(shù)集Z一整數(shù)集N一自然數(shù)集或一正整數(shù)集C一復數(shù)集二、集合間的關系1．元素與集合之間的關系元素與集合之間的關系包括屬于(記作)和不屬于(記作)兩種．空集：不含有任何元素的集合，記作．2．集合與集合之間的關系（1）包含關系．子集：如果對任意，則集合是集合的子集，記為或，顯然．規(guī)定：．（2）相等關系．對于兩個集合與，如果，同時，那么集合與相等，記作．（3）真子集關系．對于兩個集合與，若，且存在，但，則集合是集合的真子集，記作或．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．三、集合的基本運算集合的基本運算包括集合的交集、并集和補集運算，如表所示．表交集AAB并集AAB補集AAI1．交集由所有屬于集合且屬于集合的元素組成的集合，叫做與的交集，記作，即．2．并集由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，叫做與的并集，記作，即．3．補集已知全集，集合，由中所有不屬于的元素組成的集合，叫做集合相對于全集的補集，記作，即．四、集合運算中常用的結論1．集合中的邏輯關系（1）交集的運算性質(zhì)．，，，，．（2）并集的運算性質(zhì)．，，，，．（3）補集的運算性質(zhì)．，，，．補充性質(zhì)：．（4）結合律與分配律．結合律：．分配律：．（5）反演律（德摩根定律）．．即“交的補補的并”，“并的補補的交”．2．由個元素組成的集合的子集個數(shù)的子集有個，非空子集有個，真子集有個，非空真子集有個．3．容斥原理．題型歸納及思路提示題型1集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：確定性、無序性、互異性．例1.1設，集合，則（）A．B．C．D．解析：由題意知，又，故，得，則集合，可得，故選C。變式1（2012新課標理1）已知集合，則中所含元素的個數(shù)為（）．A．B．C．D．變式2（2013山東理2）已知集合中元素的個數(shù)為（）．A．B．C．D．變式3若集合，則，．題型2集合間的基本關系思路提示（1）判斷兩集合的關系常用兩種方法：一是邏輯分析法，即先化筒集合，再從表達式中尋找兩集合的關系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關系，這體現(xiàn)了合情推理的思維方法．（2）已知兩集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將兩集合間的關系轉化為元素的關系，進而轉化為參數(shù)滿足的關系，解決這類問題常利用數(shù)軸和韋恩圖輔助分析．一、集合關系中的判斷問題例1.2若，則，，之間的關系為（）．A．B．C．D．解析：解法一：集合中元素，故集合，而集合中元素，故．解法二：列舉，．因此，故選C．評注：解法一是數(shù)學中“求同比異”的思想，值得學習；解法二是列舉法，易于入手，也是做選擇題的常用方法．變式1設集合，，則A．B．C．D．例1.3設.（1）若，試判斷集合與集合的關系；（2）若，求實數(shù)組成的集合.分析：（1）先求集合，再由求集合，確定與的關系.（2）解方程，建立的關系式求，從而確定集合.解析：（1）由得或，所以.若，得，即，所以，故.（2）因為，又.①當時，則方程無解，則；②當時，則，由，得，所以或，即或故集合.評注：（1）研究集合的子集問題時應首先想到空集，因為空集是任何集合的子集.（2）含參數(shù)的一元一次方程解的確定：當時，方程有唯一實數(shù)解；當時，方程有無數(shù)多個解，可為為任意實數(shù)；當且時，方程無解.變式1已知集合，集合，若，求實數(shù)的取值范圍.二、已知集合間的關系，求參數(shù)的取值范圍例1.4（2012大綱全國理2）已知集合，則（）A．或B．或C．或D．或解析：由，得，故或且，所以或.故選B.變式1已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是.變式2已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍是.變式3已知集合，若，則的取值范圍是（）A．B．C．D．三、集合關系中的子集個數(shù)問題例1.5已知集合，則集合的子集個數(shù)為.分析：本題應首先確定集合中元素的個數(shù)，再求其子集的個數(shù).解析：集合，共8個元素，則集合的子集的個數(shù)為.例1.6已知集合，滿足條件的集合的個數(shù)為（）A．B．C．D．解析：由且，得集合是集合與集合的任一子集的并集，即求集合的子集的個數(shù)為，故選D.變式1已知集合滿足，求集合的個數(shù).題型3集合的運算思路分析凡是遇到集合的運算（并、交、補）問題，應注意對集合元素屬性的理解，數(shù)軸和韋恩圖是集合交、并、補運算的有力工具，數(shù)形結合是解集合運算問題的常用思想.一、集合元素屬性的理解例1.7已知集合，則（）A．B．C．D．分析：在進行集合運算之前，首先要識別集合，即認清集合中元素的屬性，判斷、是數(shù)集還是點集，是數(shù)集要化簡集合，是點集要解方程組.在本題中，集合代表元素是因變量，故是函數(shù)的值域（數(shù)集）；集合的代表元素是自變量，故是函數(shù)的定義域（數(shù)集）.解析：，，即，所以，故選C.評注：幾量遇到集合的運算（交、并、補）問題，應注意對集合元素屬性的識別，如集合是函數(shù)的值域，是數(shù)集，求出值域可以使之簡化；集合是點集，表示函數(shù)圖像上所有點的集合.再如集合，可以理解為單位圓上點的縱坐標的取值集合，表示的是數(shù)集；表示的是曲線，即拋的線上所有點構成的集合，它表示的是點集，故有.另如，則有，而易錯為.變式1集合，則（）.A．B．C．D．變式2已知集合，則集合.變式3設全集，集合，那么（）A．B．C．D．變式4已知集合，，若，求實數(shù)的取值范圍.二、數(shù)軸在集合運算中的應用例1.8設集合，則的取值范圍是（）A．B．C．D．分析：借助數(shù)軸表示集合和集合，根據(jù)集合的關系，求解參數(shù)的取值范圍.解析：因為，集合，在數(shù)軸上的表示如圖1-1所示.因為，所以，可得.故選A.圖1—1變式1已知集合，集合，且，則，.變式2已知全集，集合，那么集合（）.A.B.C.D.變式3已知集合，則集合（）.A．B．C．D．三、韋恩圖在集合運算中的應用例1.9設為全集，，是兩個非空集合，定義與的差集，則（）.A．B．C．D．分析：本題可利用題中所給定義表示從集合中去掉屬于集合的元素解題.解析：①當時，根據(jù)題意利用韋恩圖解題，如圖1-2所示，.②當時，.綜上，.故選B.評注：凡是遇到抽象的集合運算題嘗試利用韋恩圖求解.本題也可用舉例法求解，比如，根據(jù)定義得出所求集合為空集.故選B.變式1設全集，，則（）.A．B．C．D．變式2某班級共有30人，其中15人喜愛籃球，8人喜愛足球，兩項都不喜愛的有8人，則喜愛籃球但不喜愛足球的有人．例1.10如圖1-3所示，是全集，是它的子集，則陰影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．分析：本題考查對利用韋恩圖表述集合關系的理解.解析：圖1-3中的陰影部分為與的公共部分，即中去掉屬于的那部分元素后剩余元素組成的集合，即，故選B.對于韋恩圖表述的集合應做如下理解：陰影部分涉及到誰就交誰，涉及不到誰就交其補集．如圖1-4所示分別表示：（a）；（b）；(c)或.變式1已知為集合的非空子集，且不相等，若，則（）A．B．C．D．四、以集合為載體的創(chuàng)新題例1.11設是整數(shù)集的一個非空子集，對于，如果且，那么稱是的一個孤立元，給定，由的3個元素組成的所有集合中，不含孤立元的集合共有個.解析：由孤立元的定義，若不是的孤立元，應滿足或，即集合中元素連續(xù)，故滿足的3個元素構成的不含孤立元的集合分別為、、、、和，共6個.評注：由的3元素組成的集合中，含有一個孤立元的集合有30個，含有3個孤立元的集合有20個.變式1設是整數(shù)集的非空子集，如果，有，則稱關于數(shù)的乘法是封閉的，若是的兩個不相交的非空子集，，且，有，，有，則下列結論恒成立的是（）A.中至少有一個關于乘法是封閉B.中至多有一個關于乘法是封閉C.中有且只有一個關于乘法是封閉D.中每一個關于乘法是封閉變式2已知集合，其中，由中的元素構成兩個相應的集合，，其中是有序數(shù)對，集合和中的元素個數(shù)分別為和.若對于任意的，總有，則稱集合具有性質(zhì).（1）檢驗集合與是否具有性質(zhì)，并對具有性質(zhì)的集合，寫出相應的集合和；（2）對任何具有性質(zhì)的集合，證明：.變式3（2012江蘇23）變式3設集合，記為同時滿足下列條件的集合的個數(shù).①；②若，則；③若，則.(1)求；(2)求的解析式(用表示).最有效訓練題:1．設集合，則等于（）A．B．C．D．2．若，則（）A．B．C．D．3．設全集.集合，，那么如圖1-5所示的陰影部分表示的集合是（）A．B．C．D．ABABU圖1—54．已知全集，集合，并且，那么的取值范圍是（）A．B．C．D．5．設集合.若，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．6．設全集,，那么的充要條件是（）A．且B．且C．且D．且7．設集合，則實數(shù).8．已知集合滿足條件：當時，總有（且）.已知，則集合中所有元素的積等于.9．已知集合滿足，且.若，則的取值范圍是.10．已知集合.若，則實數(shù)的取值范圍是.11．已知集合，若對任意的，求證：.12．已知集合，對于中的一個子集，若存在不大于的正整數(shù)數(shù)，使得對中的任意一對元素，都有，則稱具有性質(zhì).（1）當時，試判斷集合和是否具有性質(zhì)？請說明理由.（2）若集合具有性質(zhì)，那么集合是否一定具有性質(zhì)？請說明理由.

參考答案第一章集合與常用邏輯用語例1.1變式1解析：利用集合的概念及其表示求解，注意元素的特性。因為B=x,yx∈A,y∈例1.1變式2解析：逐個列舉可得，x=0,y=0,1,2時，x-y=0,-1,根據(jù)集合中元素的互異性可知集合B中元素為-2,-1,0,1,2,共5個，故選C例1.1變式3解析：依題意xy>0得x≠0,故lgxy=0,若x=x,則x≥若x=y,則x=1y=1或x=-1例1.2變式1解析集合M中的元素x=k2+14例1.3變式1解析由A={x|x2-3x-（1）當B=?，即P+1>2P-1（2）當B≠?時，如圖1-9所示，由B?A，得綜上所述，實數(shù)P的取值范圍是(評注：由B?A，勿忘B=例1.4變式1解析由A?B,如圖1-10所示得a≥6評注端點值的判斷通常是初學者的難題，我們可用假設法幫助判斷，即假設參數(shù)取端點后，與已知吻合，假設成立；若與已知不吻合，則假設不成立。例1.4變式2解析如圖1-11所示，A為(-∞,1]，B為[a,+∞)，要使A∪例1.4變式3解析由P∪M=P，得M?例1.6變式1解析由1,2M?{x|x≤10,x∈N評注求有限集的子集個數(shù)問題，有以下結論：結論1：含有n個元素的集合A={a1,a2,…,an}結論2設m,n∈①滿足a1,②滿足a1,a③滿足a1,a④滿足a1,a例1.7變式1分析本題考查集合的概念與運算。解析先化簡再求交集，由已知得P=0,1,2,M={x|評注：本題若忽視集合P中元素的屬性，易誤將集合P等同于集合{x|0例1.7變式2解析x+3+|x當x<-3時，當-3≤x當x>4時,綜上所述,A={x|又因為y=4x+1x-當x=12時取"="，所以B={y|y例1.7變式3解析解法一：M表示直線y=x+1上除去點（2,3）的部分，CIM表示點（2,3）和除去直線y=x+1的部分，CI解法二：CI例1.7變式4分析本題的幾何背景是：拋物線y=x2+mx+2與線段y=x+1,(0≤x≤2)解析解法一：問題等價于方程組y=x2+mx+2y=x+1在[0,2]上有解，即x2+m-1所以拋物線y=f(x)在[0,2]上與x軸有交點等價于f2=或4-m-12由①得m≤-32，由②所以實數(shù)m的取值范圍為(-∞,-1]解法二：同解法一，問題等價于方程x2+m-1x+1=0在[0,2]上有解，故可以轉化為函數(shù)值域問題。x2+m-1x+1=0等價轉化為1-mx=x2+1，當x=0時，方程不成立；當x≠0時，方程轉化為例1.8變式1解析先求出集合A，再根據(jù)集合的交集運算求解。因為A=x-5<x<1,B=xx-mx-2<0,,，當m≥2時，A∩B=?不符合題意，所以例1.8變式2解析CU例1.8變式3解析解法一：M=x-3<x<1,N={x|x≤-3},所以M∪N={x|x<1}解法二：M=CCR例1.9變式1解析由M∩C例1.9變式2分析本題中的集合關系比較抽象，可以考慮使用韋恩圖求解。解析作出韋恩圖，如圖1-12所示，設所求為x人，則喜愛籃球又喜愛足球的有15-x人，喜愛足球不喜愛籃球的有8-15-x=x-7人，故有例1.10變式1解析如圖1-13所示，因為N∩CIM=?，所以N?M例1.11變式1解析由于T∪V=Z，故整數(shù)1一定在T,V兩個集合中的一個中，不妨設1∈T，則?a,b∈T，由于1,a,b∈T，則a?b?1∈T，即ab∈T，從而T對乘法封閉；另一方面，當T=非負整數(shù)，V={例1.11變式2解析（1）因為0∈0,1,2,3,-0∈{0,1,2,3}，故集合{0,1,2,3}不具有性質(zhì)P，集合{-1,2,3}具有性質(zhì)P，其相應的集合S和T是（2）首先，由A中元素構成的有序數(shù)對(ai,aj)共有k2個，因為0?A，所以ai,ai?Ti=1,2,…,k例1.11變式3解析（1）當n=4時，Pn={1,2,3,4}，滿足條件的集合A有1,4,（2）解法一：任取偶數(shù)x∈Pn，則必有奇數(shù)p∈Pn，使得x=p?22,q∈N?。若p∈A，則2p?A,4p∈A,8p?A…,，即x∈A?q為偶數(shù)，x?A?q為奇數(shù)；若p?A，則2p∈A,4p?A,8p∈A…設集合Qn是由集合Pn中所有奇數(shù)組成的集合，則f(n)等于集合Qn解法二：易得f1當n≥2且n為奇數(shù)時，集合Pn-1中滿足條件的集合A有f(n-1)個,對于集合Pn，考慮元素n，因為n為奇數(shù)，所以即f3=2f1當n≥2且n為偶數(shù)時，集合Pn-1對于集合Pn，考慮元素n，因為n為偶數(shù)，所以n∈A?n2?A,n?A?n2∈A，即n是否屬于集合A,完全由n2綜上，fn評注：①數(shù)列的核心是遞推，先從特殊的幾個數(shù)（n=1,2,3，…….）入手，關鍵在于發(fā)現(xiàn)f(n)與f(n-1)的關系，從而發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，再給予證明。②遞推法是處理數(shù)列問題（乃至大學學習計算機等方面）的“殺手锏”，請讀者深思體會，并