2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布【八大題型】原卷版

二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布【八大題型】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1二項(xiàng)分布1..................................................................................................................3

【題型2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題】.............................................................4

【題型3超幾何分布】.........................................................................5

【題型4二項(xiàng)分布與超幾何分布的綜合應(yīng)用】....................................................6

【題型5正態(tài)密度函數(shù)1............................................................................................................8

【題型6正態(tài)曲線的性質(zhì)】.....................................................................9

【題型7正態(tài)分布的概率計(jì)算1..................................................................................................9

【題型8正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用】...............................................................10

?考情分析

1、二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

從近幾年的高考情況來看，本節(jié)是

高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，主要考查二項(xiàng)分布、

(1)理解二項(xiàng)分布、超幾何2022年新高考n卷:第13題，超幾何分布及其期望與方差、正態(tài)分布

分布的概念，能解決一些5分等內(nèi)容，正態(tài)分布主要以選擇、填空題

簡(jiǎn)單的實(shí)際問題2023年新高考I卷：第21題，的形式考查，難度不大；在解答題中主

⑵借助正態(tài)曲線了解正12分要考查二項(xiàng)分布、超幾何分布的期望與

態(tài)分布的概念，并進(jìn)行簡(jiǎn)2024年新高考I卷：第9題，方差問題，有時(shí)會(huì)與統(tǒng)計(jì)、獨(dú)立性檢驗(yàn)

單應(yīng)用6分等結(jié)合考查，難度中等偏難，關(guān)鍵在于

求出概率列出分布列，復(fù)習(xí)時(shí)需要加強(qiáng)

這方面的練習(xí).

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1二項(xiàng)分布】

1.伯努利試驗(yàn)

⑴伯努利試驗(yàn)的概念

把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)

(2)?重伯努利試驗(yàn)的兩個(gè)特征

①同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次

②各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.

2.二項(xiàng)分布

一般地，在〃重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(O</Kl),用X表示事件A發(fā)生的

次數(shù)，則X的分布列為尸后尸〃)"T,k=0,1,2,…，".如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式

的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X?3(〃，p).

3.二項(xiàng)分布的期望與方差

一般地，如果X?2(",p),那么/￥)=吵，D(X)=np(l-p).

4.判斷某隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵點(diǎn)

(1)在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.

(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.

(3)在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生.

【知識(shí)點(diǎn)2超幾何分布】

1.超幾何分布

(1)定義

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取〃件(不放回)，用X表示抽

「k「n—k

取的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=乂：一,k^m,m+1,加+2,八其中

LN

n,NMGN*,MWN,n^N,m=max{0,n-N+M},r=min{&M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,

那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布

nM

若隨機(jī)變量X服從超幾何分布則其均值

⑵求超幾何分布的分布列

①判斷隨機(jī)變量是不是服從超幾何分布

②套用超幾何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意義.

2.“二項(xiàng)分布”與“超幾何分布”的區(qū)別

有放回抽取問題對(duì)應(yīng)二項(xiàng)分布，不放回抽取問題對(duì)應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體容量很大時(shí),超幾何分布可

近似為二項(xiàng)分布來處理.

3.超幾何分布的應(yīng)用

(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是:①考

察對(duì)象分兩類；②己知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的分布列.

(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型.

【知識(shí)點(diǎn)3正態(tài)分布及其解題策略】

1.正態(tài)分布

(1)正態(tài)曲線

(X-㈤

1

函數(shù)小尸訴,2<T2,xGR.其中〃GR,為參數(shù).我們稱八x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正

態(tài)密度曲線簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線

⑵正態(tài)分布

若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為八x),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,記為X?NO").特別地,

當(dāng)〃=0,<7=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

(3)正態(tài)分布的均值和方差

若X?則￡⑶=〃，D(X)=<T2.

2.3。原則

⑴正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率

PUi-00.6827

P(〃-2cWXW〃+2a)七0.9545

P(〃-3。+3c)=0.9973.

(2)3。原則

在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布MN,/)的隨機(jī)變量X只?。?-3c,〃+3內(nèi)中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)

中稱為3。原則.

3.正態(tài)分布問題的解題策略

解決正態(tài)分布問題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):

(1)對(duì)稱軸x=〃；

(2)標(biāo)準(zhǔn)差<7；

(3)分布區(qū)間.利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由儀G,分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)

化為3c特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x=0.

【方法技巧與總結(jié)】

1.二項(xiàng)分布當(dāng)?=1時(shí)就是兩點(diǎn)分布.

超幾何分布有時(shí)也記為長(zhǎng)”5,MM，其均值E(X)=半，方差D(X)=H—1\

2.N-lh

3.若X服從正態(tài)分布，即X?陽〃,M),要充分利用正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱和曲線與x軸之間的

面

積為1解題.

?舉一反三

【題型1二項(xiàng)分布】

【例1】(2024?山東濟(jì)南?二模)已知隨機(jī)變量X?則P(X=2)=()

A.3B.|C.jD.1

【變式1-1](2024?山西呂梁?三模)如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)。出發(fā)，每次向左移動(dòng)

的概率為:，向右移動(dòng)的概率為!若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)經(jīng)過5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于X的位置,

則P(X>0)=()

-4-3-2-10123456%

A網(wǎng)B—c—D-

243512口,51281

【變式1-2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知隨機(jī)變量f?B(%p),若E(f)=2,D(f)=L則P(f=2)=()

A1ag-p-Ur)-

A.8-4J8'2

【變式1-3】(2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平

行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端

放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.記格

子從左到右的編號(hào)分別為0,1,2，…,10,用X表示小球最后落入格子的號(hào)碼，若P(X=/c)<P(X=k。)，則好=

A.4B.5C.6D.7

【題型2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題】

【例2】(2024?安徽合肥?二模)甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行一場(chǎng)比賽，采用7局4勝制(先勝4局者勝,

比賽結(jié)束）.已知每局比賽甲獲勝的概率均為,則甲以4比2獲勝的概率為（）

A.±B.C.竟D.-^7

64323264

【變式2-1］（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）一質(zhì)子從原點(diǎn)處出發(fā)，每次等可能地向左、向右、向上或向下移動(dòng)一

個(gè)單位長(zhǎng)度，則移動(dòng)6次后質(zhì)子回到原點(diǎn)處的概率是（）

A--55-R--5-5C--2-5D--2-5

1024512J256128

【變式2-2］（2024?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）某大型超市設(shè)立了“助農(nóng)促銷”專區(qū)，銷售各種農(nóng)產(chǎn)品，積極解決

農(nóng)民農(nóng)副產(chǎn)品滯銷問題.為加大農(nóng)產(chǎn)品銷量，該超市進(jìn)行了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡購(gòu)買專區(qū)的農(nóng)產(chǎn)品每滿100元

的顧客均可參加該活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下:將某空地劃分為（1）（2）（3）（4）四個(gè)區(qū)域，顧客將一皮球投進(jìn)

區(qū)域（1）或者（2）一次，或者投進(jìn)區(qū)域（3）兩次，或者投進(jìn)區(qū)域⑷三次，便視為中獎(jiǎng)，投球停止，且投

球次數(shù)不超過四次.已知顧客小王每次都能將皮球投進(jìn)這塊空地，他投進(jìn)區(qū)域（1）與（2）的概率均為

p（0<p<1）,投進(jìn)區(qū)域（3）的概率是投進(jìn)區(qū)域（1）的概率的2倍，且每次投皮球相互獨(dú)立.小王第二次投

完皮球首次中獎(jiǎng)的概率記為P1，第四次投完皮球首次中獎(jiǎng)的概率記為「2，若「1>22，貝如的取值范圍為

（）

【變式2-3］（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測(cè)）在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到

1的概率為a（0<a<1）,收到0的概率為1—a；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為0（0</?<1）,收到1的概率

為1-從考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每

個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳

輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1）下列說法錯(cuò)誤的是

（）

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為（1—a）（l—0）2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為夕（1-6）2

c.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為6（1—￡）2+（1-8）3

D.當(dāng)。<a<0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0

的概率

【題型3超幾何分布】

【例3】(2024?廣東江門?二模)一箱蘋果共有12個(gè)蘋果，其中有“2<n<7)個(gè)是爛果，從這箱蘋果中隨

機(jī)抽取3個(gè).恰有2個(gè)爛果的概率為器，貝仙=()

A.3B.4C.5D.6

【變式3-1](23-24高三上?山東臨沂?開學(xué)考試)一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)黑球，"個(gè)白球(zieN*),

這些球除顏色外大小、質(zhì)地完全相同，從中任意取出3個(gè)球，已知取出2個(gè)黑球，1個(gè)白球的概率為設(shè)

X為取出白球的個(gè)數(shù)，則僅X)=()

31

A.-B.-C.1D.2

【變式3-2](23-24高三上?四川成都?開學(xué)考試)某地盛行糕點(diǎn)有"種，該地的糕點(diǎn)店從中準(zhǔn)備了加

(爪<n)種糕點(diǎn)供顧客選購(gòu).已知某顧客喜好的糕點(diǎn)有左(k<n)種，則當(dāng)其隨機(jī)進(jìn)入一家糕點(diǎn)店時(shí)，會(huì)

發(fā)現(xiàn)該店中有若干種糕點(diǎn)符合其喜好.記隨機(jī)變量X為該顧客發(fā)現(xiàn)符合其喜好的糕點(diǎn)的種數(shù)，則伙X)=

()

,km—m+kkn一m—k

A-vB--c-?D--

【變式3-3](2024?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè))有甲、乙兩個(gè)不透明的袋子，甲袋子里有1個(gè)白球，乙袋子里

有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，現(xiàn)從乙袋子里隨機(jī)取出k(lWkW10,keN*)個(gè)球放入甲袋子里，再?gòu)募状永镫S

機(jī)取出一個(gè)球，記取到的白球的個(gè)數(shù)為X,則當(dāng)k(lWkW10,keN*)變大時(shí)()

A.E(X)變小B.E(X)先變小再變大

C.E(X)變大D.E(X)先變大再變小

【題型4二項(xiàng)分布與超幾何分布的綜合應(yīng)用】

【例4】(2024?吉林?二模)為不斷改進(jìn)勞動(dòng)教育，進(jìn)一步深化勞動(dòng)教育改革，現(xiàn)從某單位全體員工中隨機(jī)

抽取3人做問卷調(diào)查.已知某單位有N名員工，其中!是男性，|是女性.

(1)當(dāng)N=20時(shí)，求出3人中男性員工人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)我們知道當(dāng)總量N足夠大，而抽出的個(gè)體足夠小時(shí)，超幾何分布近似為二項(xiàng)分布.現(xiàn)在全市范圍內(nèi)考慮.

從N(N>4)名員工(男女比例不變)中隨機(jī)抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作Pi；

在二項(xiàng)分布中男性員工恰有2人的概率記作P2.那么當(dāng)N至少為多少時(shí)，我們可以在誤差不超過0.001的前

提下，認(rèn)為超幾何分布近似為二項(xiàng)分布.(參考數(shù)據(jù)：V578~24.04,“9297”139)

【變式4-1](2024?北京東城?一模)某中學(xué)為了解本校高二年級(jí)學(xué)生閱讀水平現(xiàn)狀，從該年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)

抽取100人進(jìn)行一般現(xiàn)代文閱讀速度的測(cè)試，以每位學(xué)生平均每分鐘閱讀的字?jǐn)?shù)作為該學(xué)生的閱讀速度，

將測(cè)試結(jié)果整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)若該校高二年級(jí)有1500人，試估計(jì)閱讀速度達(dá)到620字/分鐘及以上的人數(shù);

(2)用頻率估計(jì)概率，從該校高二學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達(dá)到540字/分鐘及以上的人數(shù)

為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)若某班有10名學(xué)生參加測(cè)試，他們的閱讀速度如下：506,516,553,592,617,632,667,693,723,

776,從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達(dá)到540字/分鐘及以上的人數(shù)為丫，試判斷數(shù)學(xué)

期望E(y)與(2)中的E(X)的大小.

【變式4-2](2024?北京西城?三模)根據(jù)2024城市魅力排行榜，一線城市4個(gè)，分別為：上海、北京、深

圳、廣州；新一線城市15個(gè)，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長(zhǎng)沙、天津、關(guān)B州、

東莞、無錫、寧波、青島、合肥.其中城區(qū)常住人口超過一千萬的超大城市10個(gè)，分別為：上海、北京、深

圳、重慶、廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.

(1)從10個(gè)超大城市中隨機(jī)抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；

(2)從10個(gè)超大城市按不可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個(gè)城市，隨機(jī)變量X表示新一線城市的數(shù)量，求隨機(jī)

變量X的分布列和期望；

(3)從10個(gè)超大城市中按可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個(gè)城市，隨機(jī)變量y表示新一線城市的數(shù)量，比較E

(X)與￡(y)的大小關(guān)系.(直接寫出結(jié)果)

【變式4-3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))某地臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質(zhì)細(xì)嫩化渣、無核少絡(luò)，酸甜

適度，汁多爽口，余味清香”而聞名.為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，各職能部門對(duì)臍橙種植、銷售、運(yùn)

輸、改良等各方面給予大力支持.已知臍橙分類標(biāo)準(zhǔn)：果徑80mm?85mm為一級(jí)果，果徑75mm?80mm

為二級(jí)果，果徑70?75mm或85mm以上為三級(jí)果.某農(nóng)產(chǎn)品研究所從種植園采摘的大量該地臍橙中隨機(jī)抽

取1000個(gè)，測(cè)量這些臍橙的果徑(單位：mm),得到如圖所示的頻率分布直方圖.

本頻率/緲巨

0.060----------------1

0.045---------------

0.030-------------------------

0.018-----------------------------

0.013-I—

0.004二-4士-卜士-卜-~|一|~.

~OA65707580859095lOo4@/mm

(1)試估計(jì)這1000個(gè)臍橙的果徑的中位數(shù)；

(2)在這1000個(gè)臍橙中，按分層抽樣的方法在果徑70?85mm中抽出9個(gè)臍橙，為進(jìn)一步測(cè)量其他指標(biāo)，在

抽取的9個(gè)臍橙中再抽出3個(gè)，求抽到的一級(jí)果個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率，某顧客從種植園的這批臍橙中隨機(jī)購(gòu)買100個(gè)，其中一級(jí)果的個(gè)數(shù)

為丫，記一級(jí)果的個(gè)數(shù)為k的概率為P(Y=k),寫出P(Y=k)的表達(dá)式，并求出當(dāng)k為何值時(shí)，P(y=k)最

大？

【題型5正態(tài)密度函數(shù)】

1(f)2

【例5】(23-24高二下?陜西寶雞?期末)已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)九(X)=鬲]2寸(％€1＜力=1,2,3)的

圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

A.=〃2>〃3，=。2>%

B.Ml<M2="3，Cl=<72<a3

C.%<〃2=林3,ffl=^2>。3

D.Ml=M2>43，<71=<72<W

【變式5-1］（23-24高二下?湖北武漢?期末）設(shè)隨機(jī)變量X?N（O,1）,則X的密度函數(shù)為（）

_1上.1&-1產(chǎn)

人/（w=鬲一B./（久）=鬲02

1±1（1）2

Cf（X）=鬲e2D,7（%）=鬲e?

1久2

【變式5-2］（23-24局二?全國(guó)?課后作業(yè)）已知隨機(jī)變量X的正態(tài)密度函數(shù)為/（x）=島料=（久eR）,則其均

值和標(biāo)準(zhǔn)差分別是（）

A.0和8B.0和4C.0和2D.0和1

【變式5-3］（23-24高二下?福建泉州?期末）“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用

與推廣，發(fā)明了“三系法”釉型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系，為我

國(guó)糧食安全，農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻(xiàn).某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，

I（x-100）2

得出株高（單位：cm）服從正態(tài)分布，其密度曲線函數(shù)為/（x）=痂￥「^,xeR,則下列說法錯(cuò)誤的

是（）

A.該地水稻的平均株高為100cm

B.該地水稻株高的方差為100

C.隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小

D.隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在（90,100）和在（100,110）（單位：cm）的概率一樣大

【題型6正態(tài)曲線的性質(zhì)】

【例6】（2024?湖南益陽?三模）某生產(chǎn)線正常生產(chǎn)下生產(chǎn)的產(chǎn)品力的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)X近似服從正態(tài)分布N（5〃2）,

若P（X<a）=>1+2a）,則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.1B.3C.4D.9

【變式6-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知隨機(jī)變量X?N(〃"2)(〃>O">o),則下列說法正確的是()

A.P(X<0)=P(X>0)B.尸(|X|<〃)=P(|X|之〃)

C.P(X<〃-o)<尸(X<[i+a)D.P(X>cr—//)<尸(X>o+〃)

【變式6-2](2024?四川?模擬預(yù)測(cè))若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3"2),P(X<5)=0.55,則P(X<1)=

()

A.0.45B.0.55C.0.1D.0.9

【變式6-3](2024?安徽合肥?三模)為弘揚(yáng)我國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對(duì)全市所有中小學(xué)生進(jìn)行了

言語表達(dá)測(cè)試，經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次言語表達(dá)測(cè)試成績(jī)服從N(70,64),據(jù)此估計(jì)測(cè)試成績(jī)不小于94

的學(xué)生所占的百分比為()

參考數(shù)據(jù)：尸(〃一。VXV〃+-0.6827/(〃-2。<XV〃+2。)《0.9545,P(〃-3。<X<

〃+3a)x0.9973

A.0.135%B.0.27%C.2.275%D.3.173%

【題型7正態(tài)分布的概率計(jì)算】

[例7](2024?甘肅張掖?三模)若已知隨機(jī)變量久服從正態(tài)分布N(3/2),且P">2)=0.75,貝中(3<%<4)

=()

A.0.75B.0.5C.0.25D.0.15

【變式7-1](2024?全國(guó)?三模)已知隨機(jī)變量X?N(2〃2),且P(XW4)=0.84,貝中(0<X<4)=()

A.0.84B.0.68C.0.34D.0.16

【變式7-2](2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))某種酸奶每罐凈重X(單位:g)服從正態(tài)分布N(184,2.52).隨機(jī)抽取1

罐，其凈重在179g與186.5g之間的概率為()

(注：若X?N(JIQ2),P(|X—4IV0)=0.6827,P(]X—[i\<2a)=0.9545,P(|X—<3<7)=0.9973)

A.0.8186B.0.84135C.0.9545D.0.6827

【變式7-3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在日常生活中，許多現(xiàn)象都服從正態(tài)分布.若X?N(〃"2),記出=尸

(〃—0<X<〃+°),P2=P(〃—<XV〃+2d),P3=P(〃—3。<XV〃+3°),經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某零件的尺

寸大小X(單位：dm)從正態(tài)分布N(30,25),貝！J*X>40)=()

A.lgB.C.守D.子

【題型8正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用】

【例8】(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))“公平正義”是社會(huì)主義和諧社會(huì)的重要特征，是社會(huì)主義法治理念的

價(jià)值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑，正被廣泛采用.一般地，對(duì)于一次成功的考試來說,

所有考生得考試成績(jī)應(yīng)服從正態(tài)分布.某單位準(zhǔn)備通過考試(按照高分優(yōu)先錄取的原則)錄用300人，其中

275個(gè)高薪職位和25個(gè)普薪職位.實(shí)際報(bào)名人數(shù)為2000名，考試滿分為400分.記考生的成績(jī)?yōu)閄,且X?N

(出小)，已知所有考生考試的平均成績(jī)〃=180,且360分及其以上的高分考生有30名.

(1)求。的值.(結(jié)果保留位整數(shù))

(2)該單位的最低錄取分?jǐn)?shù)約是多少？(結(jié)果保留為整數(shù))

(3)考生甲的成績(jī)?yōu)?86分，若甲被錄取，能否獲得高薪職位？若不能被錄取，請(qǐng)說明理由.

參考資料：①當(dāng)X?時(shí)，令丫=？，則丫?N(0,l).

②當(dāng)y?N(0,l),P(Y<2,17)?0.985,P(J<1,28)?0.900,P(Y<1.09)?0.863,P(Y<1.04)?0.85.

【變式8-1](2024?河南?模擬預(yù)測(cè))某大型公司進(jìn)行了新員工的招聘，共有10000人參與.招聘規(guī)則為：前

兩關(guān)中的每一關(guān)最多可參與兩次測(cè)試，只要有一次通過，就自動(dòng)進(jìn)入下一關(guān)的測(cè)試，否則過關(guān)失敗.若連續(xù)

通過三關(guān)且第三關(guān)一次性通過，則成功競(jìng)聘，己知各關(guān)通過與否相互獨(dú)立.

(1)若小李在第一關(guān)、第二關(guān)及第三關(guān)通過測(cè)試的概率分別為|慨,*求小李成功競(jìng)聘的概率P;

(2)統(tǒng)計(jì)得10000名競(jìng)聘者的得分X?N(420.5,10.752),試估計(jì)得分在442分以上的競(jìng)聘者有多少人.(四舍

五人取整)

附：若隨機(jī)變量X?則P(〃—(7WXW〃+u)=0.6827,P.—21JWXW〃+2(J)=0.9545

【變式8-2］（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購(gòu)物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道.2023

年11月某地臍橙開始采摘上市，一臍橙基地隨機(jī)抽查了100個(gè)購(gòu)物群的銷售情況，各購(gòu)物群銷售臍橙的情

況如下：

臍橙數(shù)量/盒[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600]

購(gòu)物群數(shù)量/個(gè)1218m3218

（1）求實(shí)數(shù)爪的值.并用組中值（每組的中點(diǎn)值）估計(jì)這100個(gè)購(gòu)物群銷售臍橙總量的平均數(shù);

(2)假設(shè)所有購(gòu)物群銷售臍橙的數(shù)量X?N(〃a2),其中〃為(1)中的平均數(shù)，=14400.若該臍橙基地參與

銷售的購(gòu)物群約有1000個(gè)，銷售的臍橙在[256,616)(單位：盒)內(nèi)的群為“級(jí)群”，銷售數(shù)量小于256盒

的購(gòu)物群為“8級(jí)群”，銷售數(shù)量不小于616盒的購(gòu)物群為“特級(jí)群”，該臍橙基地對(duì)每個(gè)“特級(jí)群”獎(jiǎng)勵(lì)600元,

每個(gè)“4級(jí)群”獎(jiǎng)勵(lì)100,對(duì)“B級(jí)群”不獎(jiǎng)勵(lì)，則該臍橙基地大約需要準(zhǔn)備多少獎(jiǎng)金？(群的個(gè)數(shù)按四舍五入取

整數(shù))

附：若X?N(%02),則p(〃—+=0.683,P(>—2。WX<〃+2。)=0.954,

PQi—3a<X<n+3<T)?0.997.

【變式8-3](2024?山東日照?三模)電信詐騙是指通過電話、網(wǎng)絡(luò)和短信等方式，編造虛假信息，設(shè)置騙

局，對(duì)受害人實(shí)施遠(yuǎn)程詐騙的犯罪行為.隨著5G時(shí)代的全面來臨，借助手機(jī)、網(wǎng)銀等實(shí)施的非接觸式電信

詐騙迅速發(fā)展蔓延，不法分子甚至將“魔爪”伸向了學(xué)生.為了增強(qiáng)同學(xué)們的防范意識(shí)，某校舉辦了主題為“防

電信詐騙，做反詐達(dá)人”的知識(shí)競(jìng)賽.

(1)已知該校參加本次競(jìng)賽的學(xué)生分?jǐn)?shù)4近似服從正態(tài)分布N(80,25),若某同學(xué)成績(jī)滿足〃<77<M+2CT,

則該同學(xué)被評(píng)為“反詐標(biāo)兵”；若〃>〃+2。，則該同學(xué)被評(píng)為“反詐達(dá)人”.

(i)試判斷分?jǐn)?shù)為88分的同學(xué)能否被評(píng)為“反詐標(biāo)兵”；

(ii)若全校共有40名同學(xué)被評(píng)為“反詐達(dá)人”，試估計(jì)參與本次知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生人數(shù)(四舍五入后取整).

(2)已知該學(xué)校有男生1000人，女生1200人，經(jīng)調(diào)查有750名男生和600名女生了解“反詐”知識(shí)，用樣本

估計(jì)總體，現(xiàn)從全校隨機(jī)抽出2名男生和3名女生，這5人中了解“反詐”知識(shí)的人數(shù)記為X,求X的分布列

及數(shù)學(xué)期望E(X).

參考數(shù)據(jù)：若毛?則+cr)=0.6827,P(ji-2a<^<n+2a)=0.9545,P

(/z—3cr<f</z+3(T)=0.9973

?過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.(2024?青海?一模)已知隨機(jī)變量X?若隨機(jī)變量Y=3X+2,則E(Y)=()

A.10B.12C.30D.32

2.(2024?云南?模擬預(yù)測(cè))已知X?N(N),且尸(X>3+t)=P(X<3—t)=0,2,則P(3-t<X<3)=

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

3.(2024?山東青島?三模)某校高一有學(xué)生980人，在一次模擬考試中這些學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)

分布NQOO,/),已知P(90<XW100)=0.L則該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)大約為

()

A.784B.490C.392D.294

4.(2024?山東濟(jì)寧?三模)若隨機(jī)變量X?N(3,22),隨機(jī)變量Y=*X—3),則口猾"=()

14

A.0B.-C.-D.2

5.(23?24高二下?遼寧?階段練習(xí))某市組織了一次高二調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布,

1(x-80)2

其密度函數(shù)/(久)=正扇6—麗-,XG(—co,+oo),則下列命題不正確的是

A.該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分

B.分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同

C.分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同

D.該市這次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為10

6.(2024?黑龍江?三模)袋中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5且質(zhì)地、大小相同的5個(gè)小球，從袋子中一次性

摸出兩個(gè)球，記下號(hào)碼并放回，如果兩個(gè)號(hào)碼的和是偶數(shù)，則獲獎(jiǎng).若有4人參與摸球，則恰好2人獲獎(jiǎng)的

概率是()

A空B—C-D—

6256259125

7.(2024?河北邢臺(tái)?二模)已知在(正一土丫的二項(xiàng)展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，若在展開式中任取3項(xiàng),

其中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為則E(f尸()

8-12-9

A4?五B.mC,-D.-

8.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))克拉麗絲有一枚不對(duì)稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為p(0<p<1),她

擲了k次硬幣，最終有10次正面向上.但她沒有留意自己一共擲了多少次硬幣.設(shè)隨機(jī)變量X表示每擲N次硬幣

中正面向上的次數(shù)，現(xiàn)以使P(X=10)最大的N值估計(jì)N的取值并計(jì)算E(X).(若有多個(gè)N使P(X=10)最大，則

取其中的最小N值).下列說法正確的是()

A.E(X)>10B.E(X)<10

C.E(X)=10D.E(X)與10的大小無法確定

二、多選題

9.(2024?吉林?模擬預(yù)測(cè))從含有2件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽出3件，則()

A.抽出的產(chǎn)品中恰好有1件是次品的抽法有Gc品種

B.抽出的產(chǎn)品中至多有1件是次品的概率為1—凈

C1OO

C.抽出的產(chǎn)品中至少有1件是次品的概率為1—厚

5oo

D.抽出的產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為高

10.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知X,y都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且X?N(〃1岳)，y?N(42,登),

+

其中〃1,〃26R,<7I,CT26R,則下列命題正確的有()

A.E(X)="1

B.D(X)-

C.若〃i=2,6=1,貝|P(XW1)+P(XW3)=1

D.若%=〃2=0,。1=2,%=3,則P(|X|W1)>P(|HW1)

11.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè))某人在n次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,X?8(幾,p),其中neN*,0<p<1,

設(shè)擊中偶數(shù)次為事件4則()

A.當(dāng)p=!時(shí)，D(X)取得最大值B.當(dāng)「=拊，D(X)取得最小值

C.當(dāng):<p<1/(4)隨九的增大而減小D.當(dāng)0<p<杷⑷隨n的增大而減小

三、填空題

12.(2023?江蘇?三模)設(shè)隨機(jī)變量X-W(3,2,10)(共10件產(chǎn)品，其中有2件合格品，從中取出3件，有X

件)，則P(X=1)=.

13.(2024?河南信陽?二模)某生產(chǎn)線正常生產(chǎn)下生產(chǎn)的產(chǎn)品4的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)X近似服從正態(tài)分布N(542),

若P(X<a)=>1+2a),則實(shí)數(shù)a的值為.

14.(2024?廣東惠州?模擬預(yù)測(cè))如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互

錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小

球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中.記格子從左到右

的編號(hào)分別為0,1,2,3,…10,用X表示小球最后落入格子的號(hào)碼，若P(X=k)WP(X=k0),則冊(cè)=.

四、解答題

15.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測(cè)）某校為營(yíng)造學(xué)科學(xué)、愛科學(xué)、用科學(xué)的良好氛圍，使學(xué)生掌握必要和基本

的科學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)良好的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度.特舉辦以“體悟科技魅力，激發(fā)思維潛能”為主題科普知識(shí)競(jìng)賽：該

活動(dòng)規(guī)定每班選3人，每人回答一個(gè)問題，答