2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：二項(xiàng)式定理（十五大題型）（練習(xí)）（學(xué)生版+解析）

第03講二項(xiàng)式定理

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)...................................................2

題型二：求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng).................................................2

題型三：求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng).................................................2

題型四：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù).............................................3

題型五：求三項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng).................................................3

題型六：求幾個(gè)二（多）項(xiàng)式的和（積）的展開式中條件項(xiàng)系數(shù).......................3

題型七：求二項(xiàng)式系數(shù)最值.......................................................4

題型八：求項(xiàng)的系數(shù)最值.........................................................4

題型九：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和'各項(xiàng)系數(shù)和...............................5

題型十：求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.................................................5

題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題.......................................................5

題型十二：近似計(jì)算問題.........................................................6

題型十三：證明組合恒等式.......................................................7

題型十四：二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和.................................................8

題型十五：楊輝三角.............................................................9

02重難創(chuàng)新練.................................................................11

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................13

題型一：求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)

1.（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）（1+依y的展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為84,則實(shí)數(shù)

2.二項(xiàng)式（工無+sina］的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)和為最，則sina=______；

（2J16

3.已知+辦2：展開式中的常數(shù)項(xiàng)是540,則實(shí)數(shù)。的值為

4.（2024?河北滄州?三模）已知+的二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)為60,貝心=.

題型二：求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)

5.（2024?新疆?三模）已知的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為64,則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為.（用

數(shù)字作答）

6.+展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

7.（2024?河北唐山?一模）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）

8.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）（2尤-3）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

題型三：求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)

9.寫出3/展開式中的一個(gè)有理項(xiàng)為

的展開式中，有理項(xiàng)有..項(xiàng).

11.（2024?高三?江西.開學(xué)考試）己知］康j的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，寫出展開式中

的一個(gè)有理項(xiàng).

題型四：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)

12.（2024?高三?四川成都?開學(xué)考試）二項(xiàng)式［:一的展開式中第5項(xiàng)為.

13.（2024.安徽蕪湖三模）寫出，的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)：.（用數(shù)字表示）

14.（2024?高三?北京?期中）在（1-2?）4的二項(xiàng)展開式中，第四項(xiàng)為.

15.的展開式的第4項(xiàng)是.

題型五：求三項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)

16.（2024?山東?二模）11+彳-工］展開式中xZy"的系數(shù)為（）

A.-840B.-420C.420D.840

17.（2024.新疆烏魯木齊.一模）（Y一的展開式中爐產(chǎn)的系數(shù)為（）

A.-30B.-20C.20D.30

18.（2024.浙江.一模）（l+x-yp展開式中含Vy項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.30B.-30C.10D.-10

19.在（1+X+2020）1°的展開式中，V項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.30B.45C.60D.90

題型六：求幾個(gè)二（多）項(xiàng)式的和（積）的展開式中條件項(xiàng)系數(shù)

20.若卜3+4）［：+9］的展開式中/的系數(shù)為葭，則,=（）

A.叵口B.±—C.±2D.±4

24

21.已知（ox+l）（2x-1）’的展開式中/的系數(shù)為448,則該展開式中/的系數(shù)為（）

A.56B.-98C.106D.-112

22.（2024?廣西南寧?一模）（1-x3）［］-京］展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.60B.4C.-4D.-64

23.（2024?廣東汕頭?一模）“+g］（l+xy展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.42B.35C.7D.1

題型七：求二項(xiàng)式系數(shù)最值

24.已知二項(xiàng)式（1-辦）"的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為64,則正數(shù)

a的值為.

25.若［五+：］的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的x項(xiàng)為.

26.已知二項(xiàng)式（2x-l）"的展開式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則〃=.

27.［6+的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則第四項(xiàng)為.

題型八：求項(xiàng)的系數(shù)最值

28.已知［丁+^：（a>0）的展開式中唯有第5項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（）

45

C.

353

29.二項(xiàng)式（1-力42（〃€2〃21）的展開式中，系數(shù)最大項(xiàng)的是（）

A.第2〃+1項(xiàng)B.第2〃+1項(xiàng)和第2”+2項(xiàng)

C.第2"項(xiàng)D.第2”+2項(xiàng)

（2024?江西南昌?三模）若12/-1|

30.的展開式中有且僅有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)

最大的是（）

A.第二項(xiàng)B.第三項(xiàng)C.第四項(xiàng)D.第五項(xiàng)

31.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）|的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（）

-56x3_p_56x570/

A.70B.56C.—1或D.

yy4

題型九：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和

32.已知(2%—3)9=%+q(%—1)+。2(]—l)?+...+—I)&+。式尤—I)'，則。0+2。1+3%+…+9%+10。9=()

A.9B.10

C.19D.29

718

33.(1+2x)(1-2x)=a0+aXx+a2x+---+?8x,貝(J4+%+%+…十%的值為()

A.-2B.-3C.253D.126

H-8

34.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)%,(2x-l)8=%+%(x+l)+%(x+l)2I-6Z8(X+1),則下列結(jié)論成立的是()

A.q+%+???+/=1

B.

c.<3o+^-+|r+---+^=256

D.q+2a2+3/+???+847g=16

35.已知與〕的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為M,各項(xiàng)的系數(shù)之和為N,若M—N=63,則展

開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.180B.60C.280D.240

題型十：求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和

36.（2024?高三?上海普陀?期末）已知（3彳-1）8=4+。/+。2彳2---尤=則%+%=（用數(shù)

字作答）.

題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題

37.（2024?湖北荊州三模）已知（3》-1）23=/+空+的V+L+-4鏟貝|弓+%+L+出。24被3除的余

數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

38.（2024.貴州黔南.二模）我國(guó)農(nóng)歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12種動(dòng)物

按順序輪流代表各年的生肖年號(hào)，今年2024年是龍年.那么從今年起的（134+1）年后是（）

A.虎年B.馬年C.龍年D.羊年

39.（2024?江西鷹潭?二模）第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)在上海華東師范大學(xué)舉行，如圖是本次大會(huì)的會(huì)標(biāo)，

會(huì)標(biāo)中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4,這是中國(guó)古代八進(jìn)制計(jì)數(shù)符號(hào)，換算成現(xiàn)代

十進(jìn)制是3x83+7x82+4x81+4x8°=2020，正是會(huì)議計(jì)劃召開的年份，那么八進(jìn)制數(shù)衛(wèi)二Z換算成十進(jìn)制

8個(gè)7

數(shù)，則換算后這個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是（）

A.1B.3C.5D.7

40.（2024?福建三明?三模）各種不同的進(jìn)制在生活中隨處可見，計(jì)算機(jī)使用的是二進(jìn)制，數(shù)學(xué)運(yùn)算一般使

用的是十進(jìn)制，任何進(jìn)制數(shù)均可轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，如八進(jìn)制數(shù)（3750）8轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的算法為

3x83+7x82+5x8^+0x8°=2024.若將八進(jìn)制數(shù)3二2轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，則轉(zhuǎn)換后的數(shù)的末位數(shù)字是（）

6個(gè)7

A.3B.4C.5D.6

題型十二：近似計(jì)算問題

41.（2024.高三.河北.開學(xué)考試）已知二項(xiàng)式（x+0.01）”的二項(xiàng)式系數(shù)的和為1024,則〃=.試估

算x=l時(shí)，（尤+0.01）"的值為.（精確到0.001）

42.（2024.廣東深圳.模擬預(yù)測(cè)）定義區(qū)表示不超過尤的最大整數(shù)（xeR）,[-1.3]=-2,[0.8]=0；定

義{x}=x-國(guó).

[9994]

(1)

[1000][1000J[1000][ToooJ

'9992]9993999”

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),++?,?+

[1000J11000]10001000

/L\2024

43.（1+V2）的小數(shù)點(diǎn)后第100位數(shù)字是

44.實(shí)數(shù)1,9965精確到0.001的近似值為

45.(2024.高三.山西朔州?開學(xué)考試)(105)6的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是

題型十三：證明組合恒等式

nQ2?+1.i

46.AC焉=一^

k=0$

2n

47.Z（-l）y?%=22"C>

k=0

48.(2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于數(shù)列｛%｝,稱｛A%｝為數(shù)列｛4｝的一階差分?jǐn)?shù)列，其中

△%=an+l-an(aeN)對(duì)正整數(shù)k(k>2),稱缶%“｝為數(shù)歹U｛%｝的上階差分?jǐn)?shù)列,其中

A%*=△W%)=△"4+]-△"%已知數(shù)列｛叫的首項(xiàng)%=1,且｛M向-4-2"｝為｛%｝的二階差分?jǐn)?shù)列.

(1)求數(shù)列｛%,｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)“=〈(川-〃+2),｛招｝為數(shù)列出｝的一階差分?jǐn)?shù)列，對(duì)V〃eN*,是否都有￡>&=%成立？并說明理

由；(其中C：為組合數(shù))

(3)對(duì)于(2)中的數(shù)列卜“｝,令％J+’,其中5<r<2.證明：\><2"-22.

22/=1

49.組合數(shù)有許多豐富有趣的性質(zhì)，例如，二項(xiàng)式系數(shù)的和有下述性質(zhì)：￡《=2".小明同學(xué)想進(jìn)一步探究

女=0

組合數(shù)平方和的性質(zhì)，請(qǐng)幫他完成下面的探究.

(1)計(jì)算：(CT+C)2+?)2，C)2+(C；)2+(G)2+(G)2,并與C；,C：比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？寫出一般性結(jié)

論并證明；

2n2

⑵證明：S(-I/(CL)=m

k=0

⑶利用上述⑴⑵兩小問的結(jié)論，證明：E(cr)2=4c^+(-irq?].

k=i2

50.已知(1+x)=%+qx+/兄之+???+a2nx2".

(1)求G+a2+a3-i---i-a2n的值

_2n+l

(2)①證明：-,其中左=1,2,3,L,2n；

\n2〃+2C吃

②利用①的結(jié)論求［_上+，_，+…+」----L的值.

%。3“4”2〃-1a2H

題型十四：二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和

51.設(shè)〃為正整數(shù),C：為組合數(shù),貝|C短+3C；o”+5C短+…+4037C；；：；=()

A.2018.22018B.2018!

C.C筮D.前三個(gè)答案都不對(duì)

52.設(shè)巴.e{1,2,3,4}(左=1,2,3,4),對(duì)于有序數(shù)組(q,%，/，%)，記NR,%%%)為4，＜32，％，%中所包含的

不同整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如N(l,1,2,2)=2,N(l,2,3,1)=3.當(dāng)心,%%)取遍所有的44個(gè)有序數(shù)組時(shí),

NR,%,4,%)的平均值為()

、173c87-175一11

A.---B.—C.---D.—

6432644

53.(2024?江西南昌?模擬預(yù)測(cè))記

(1-冗)=/+4(1+%)+4(1+1)++%(l+x)+%(1+%)+。6(1+1)，則"。+%+"4+”6=

54.設(shè)(后一%)=%++…+%0》°,貝！J(%+。2+〃4■1---—3+。3+。5■1---------^%)之的值為.

55.(2024?寧夏石嘴山?一模)已知0-1)4(1+2)5=〃0+%1+%/+…+%]9,則出+〃4+。6+。8=

2023]

56.（2024.高三.重慶.開學(xué)考試）已知（2-4廣3=%+%（元一]）+%（兄一1）2+...+%023（兄一1廣3,則￡一二

a

i=li

題型十五：楊輝三角

57.楊輝是我國(guó)古代數(shù)學(xué)史上一位著述豐富的數(shù)學(xué)家，在他所著的《詳解九章算法》中把二項(xiàng)式系數(shù)寫成

一張表，借助它發(fā)現(xiàn)了很多有趣的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，解決了很多數(shù)學(xué)問題.如圖所示，由楊輝三角左腰

上的各數(shù)出發(fā)引一組平行線，第1條線上的數(shù)字是1；第2條線上的數(shù)字是1；第3條線上的數(shù)字是1/；第4

條線上的數(shù)字是L2,那么第21條線上的數(shù)共有個(gè)，其中最大的數(shù)是.（用數(shù)字表示）

一

一G二

J，”,匚，

，匚-4二」611

.匚令''101051

才'715201561

58.“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章

算法》一書中.“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律（如圖所示），則“楊輝三

角”中第30行中第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)之比為.

楊輝三角

莒

行

笄0

1

其

1行

為11

-行

pol2

.雋121

3行

尸1331

4行

身14641

5行

雋

6行15101051

隱

7行1615201561

分

a8行172135352171

18285670562881

59.楊輝三角是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝杰出的研究成果之一,如圖，從楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組

平行線，則在第11條斜線上，最大的數(shù)是.

上第1條斜線

第2條斜線匕4-第二條

第5條斜線

第4條斜線十二3二二3廠11第7條斜線

17-4二--641

第6條斜線匕⑤’101051

「615201561

60.如圖所示，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形的數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,

L記這個(gè)數(shù)列前〃項(xiàng)和為S（〃），貝IJS（13）=

1

61.（2024.寧夏.二模）楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、教育家.楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要研

究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多規(guī)律，如圖是一個(gè)5階楊輝三角.

ni0行

Aq-.c1

1行

Au-11

2行

Au-121

3行

A-男1331

行

大4

身

行14641

5

A4-15101051

若第〃行中從左到右第3個(gè)數(shù)與第5個(gè)數(shù)的比為3:5,則〃的值為

62.在探究〃的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們把系數(shù)列成一張表，借助它發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律.在我

國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中，出現(xiàn)了這個(gè)表，我們稱這個(gè)表為楊輝三角.楊

輝三角是中國(guó)古代數(shù)學(xué)中十分精彩的篇章.楊輝三角如下圖所示:

第。行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第6行1615201561

如上圖,楊輝三角第6行的7個(gè)數(shù)依次為C：,C；,《…/，C：.現(xiàn)將楊輝三角中第行的第

"1工廠〈〃+1/￡N*〃EN*）個(gè)數(shù)乘以1）,第0行的一個(gè)數(shù)為0,得到一個(gè)新的三角數(shù)陣如下圖:

第。行0

第1行01

第2行022

第3行0363

第4行0412124

第5行052030205

第6行06306060306

在這個(gè)新的三角數(shù)陣中，第10行的第3個(gè)數(shù)為；從第一行開始的前行的所有數(shù)的和

為.

1

63.將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)C；都換成分?jǐn)?shù)小玩7,就得到一個(gè)如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨

111

二角形，從萊布尼茨二角形可以看出：一+的4\「，+1一”，，令

+(n+l)c?nCn_t

111111,、

“"一3+12+30+6。+,“+(〃+1曰(〃+2)M—"是｛%｝的刖〃項(xiàng)禾

],貝!JSn=________?

1￡j_

122

1J_1

363

1111

412124

j_J_J_J_￡

52030205

j_J_J_J_J_￡

6306060306

1111111

742105140105427

㈤2

重難創(chuàng)新練

1,若(1+2x)1°—CLQ+%(1+X)+/(1+%)?+,?,+%o(l+X)l°,則為=()

A.180B.-180C.-90D90

2.(2024?高三?四川成都?開學(xué)考試)已知S“是數(shù)列四｝的前幾項(xiàng)和，彳亨

)

(1-2尤戶”=%+%尤+〃2%2+...+%)25"25,數(shù)列也｝的首項(xiàng)巾=y+^f-+次+…+簧，％也=2"(MN*),

貝U星024=()

C.C；+C；+C；+...+C；o=12O

D.第6行的第7個(gè)數(shù)、第7行的第7個(gè)數(shù)及第8行的第7個(gè)數(shù)之和等于9行的第8個(gè)數(shù)

9.（多選題）已知二項(xiàng)式126-的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是:，則下列說法正確的是（）

A.展開式共有6項(xiàng)B.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)

C.展開式的常數(shù)項(xiàng)為540D.展開式含有尤2

10.（多選題）（2024?福建泉州?一模）已知）展開式中共有8項(xiàng).則該展開式結(jié)論正確

的是（）

B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為1|）

A.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128

C.系數(shù)最大項(xiàng)為第2項(xiàng)D.有理項(xiàng)共有4項(xiàng)

11.（多選題）若（2-3尤產(chǎn)4=%+4尤+./2+...+4024鏟24,則下列選項(xiàng)正確的有（）

2024

A.?0=2

B.⑷+同+聞+…424|=1

（1\2024

Q幺+"_1_______%024__22024

,22223?一22024-<2j

D.q+2%+3/+,??+2023%023+2024%。24=6072

39

12.（多選題）已知（2x-5）9=%+%（1-2）+〃2（1-2）2+a3（x—2）4--i-tz9（x—2）,則下列結(jié)論成立的是（）

A.a。+Q[+,,,+g=1B.2*a。+2,%+2‘%+6%+…+〃8=256

C.%—q+出一生+,——〃9=3鄉(xiāng)D.%+2%+3a3+??,+92=18

25

13.若（3%-Ip=a。+cixx+a2x+?--+a5x,則％+2a2+3%+4%+5a5=

14.（2024,[Wj二,全國(guó)咱主招生）3X+2）=/+4（%+1）+〃2（%+1）------1~〃20（%+1），則

2%

不"+%+2%+3%+…20〃20

15.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測(cè)）已知（1一2%）2°24=%+4%+外兄2_|----------F%024兀2°24,則

4+2a2+3。3+,?,+2024〃2024=?

16.（2024?高三.湖北.開學(xué)考試）在（3-x）”的展開式中，若/的系數(shù)為%（“22）,則一+—+—+—=

%“3%

17.（2024?天津?模擬預(yù)測(cè)）已知（x-1）”的二項(xiàng)展開式的奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為64,若

（x—1）"=%+%（%+1）+%（工+1）2+...+a〃（x+l）",貝!J/于.

18.（2024?高三?上海?開學(xué)考試）設(shè)九wR,若

(3+元),=4+q(1+X)+%(1+幻？+/(1+X)3+%(]+1)4+%(]+工)5,貝九4一%十/%+%_,

1.（2024年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題）在（x+l）〃的二項(xiàng)展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32,則爐項(xiàng)的系數(shù)為.

2.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）在（2x3-：］的展開式中，/的系數(shù)為.

3.（2022年新［WJ考浙江數(shù)學(xué)|WJ考真題）已知多項(xiàng)式（x+2）（x-1）4=%+%元+。2爐++為元4+火V，貝?。?/p>

a2-,%+〃2+。3+。4+。5=.

4.（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）［1-1］（x+y）8的展開式中尤2y6的系數(shù)為（用數(shù)字作

答）.

5.（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）在［?+捻）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是.

6.（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）在Qxhjj的展開式中，/的系數(shù)是.

7.（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知多項(xiàng)式（工一1）3+0+1）4=/+//3+。2l2+。31+。4，則。1=,

a2+a3+a4=.

8.（2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題）在。3-』）4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.

X

第03講二項(xiàng)式定理

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)...................................................2

題型二：求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng).................................................2

題型三：求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng).................................................2

題型四：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù).............................................3

題型五：求三項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng).................................................3

題型六：求幾個(gè)二（多）項(xiàng)式的和（積）的展開式中條件項(xiàng)系數(shù).......................3

題型七：求二項(xiàng)式系數(shù)最值.......................................................4

題型八：求項(xiàng)的系數(shù)最值.........................................................4

題型九：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和'各項(xiàng)系數(shù)和...............................5

題型十：求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.................................................5

題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題.......................................................5

題型十二：近似計(jì)算問題.........................................................6

題型十三：證明組合恒等式.......................................................7

題型十四：二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和.................................................8

題型十五：楊輝三角.............................................................9

02重難創(chuàng)新練.................................................................11

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................13

//

題型一：求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)

1.（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）（1+依y的展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為84,則實(shí)數(shù).

【答案】±2

【解析】（l+ax），展開式的通項(xiàng)為北+i=C；（oxf="C；x',

因?yàn)闋t項(xiàng)的系數(shù)為84,所以1c；=84,解得。=±2.

故答案為：±2

2.二項(xiàng)式［工尤+sintz］的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)和為,，貝!Jsina=_____；

（2J16

【答案】；或-彳

42

【解析】二項(xiàng)式（gx+sina］的展開式為"（（產(chǎn)'的1，（/=（）,1,2,3,4,5）,

3

故展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)和為三，

16

故C〉J+C；.J.sino+C；*，"儀=怖，

整理得：8sin2a+2sina-l=0,

解得sina=一:或:.

24

故答案為：或:.

24

3.已知1J+辦2：展開式中的常數(shù)項(xiàng)是540,則實(shí)數(shù)a的值為

【答案】±6

【解析】由題意得，（［+辦?的展開式的通項(xiàng)為加=屋匕「（辦2'=/*3"6,

令3左一6=0,解得，k=2,

所以（工+辦2）6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為"晨=15/=540,

X

解得。=±6.

故答案為：±6.

6

4.（2024?河北滄州?三模）已知2無+的二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)為60,則。

【答案】±1

6r6-2

展開式的通項(xiàng)為心（龍廠.r6r

【解析】2x+=q2=C6a2--x2

令6-5=0,得廠=4,貝（2x+的常數(shù)項(xiàng)為C：--22=60a4,

,當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為60時(shí)，a=±l.

故答案為：±1.

題型二：求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)

5.（2024?新疆?三模）已知的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為64,則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為.（用

數(shù)字作答）

【答案】15

【解析】由題意可知，T=64,得〃=6,

則［&一展開式的通項(xiàng)公式為e.（&）6［一口=&-㈠廣J等，

3

令3-y=0,得尸=2,

所以展開式的常數(shù)項(xiàng)或?（-1）?=15.

故答案為：15

6.+展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】240

,1、6./1\k土6—3左

【解析】26+工展開式的通項(xiàng)公式為幾］=晨（26］6卜=C：26Tx三”=€：轡-'丁，

令^^=0得左=2,7；=C^2S°=240,

故答案為：240.

7.（2024?河北唐山?一模）在（2/一:1的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）

【答案】-8

【解析】因?yàn)閊^一力展開式的通項(xiàng)公式為：&=^（2/廣［一口=（一1廣24，@/一4，/=0,1,2,3,4,

令12—4「=0,解得廠=3,

所以常數(shù)項(xiàng)為：7；=-2xC：=-8.

故答案為：-8

8.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）（2尤-3）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】240

,丫55

—2元一］=C；-(-2y

【解析】展開式的通項(xiàng)公式為Tr+l

==解得r=￡（舍去）或r=3,

故所求常數(shù)項(xiàng)為-3XC；X（-2）3=240.

故答案為：240

題型三：求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)

9.寫出展開式中的一個(gè)有理項(xiàng)為

【答案】729聲（答案不唯一）

【解析】展開式的通項(xiàng)公式為

(_5

26-r

Tr+l=C；(3x)=(-1)'X36TC"%'(r=0,1,---,6),

所以展開式中的有理項(xiàng)分別為：廠=0時(shí)，4=36^2=729/2；

477222

r=2時(shí),T；=3C^=1215X；廠=4時(shí)，T5=3C,x=135x；

r=6時(shí)，T-j=x~3.

故答案為：729一（四個(gè)有理項(xiàng)任寫其一均可）.

10.的展開式中，有理項(xiàng)有項(xiàng).

【答案】17

l11100-rr300-5r

【解析】石+廠的展開式的通項(xiàng)為（+1MGOO丁yF=c；0G?天一1，

令300-5r為整數(shù),貝I］r=0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96,共17項(xiàng).

6

故答案為：17.

11.（2024?高三?江西?開學(xué)考試）己知［康）的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，寫出展開式中

的一個(gè)有理項(xiàng).

【答案】/（或H20x,或256廣2,寫出其中一個(gè)即可）

【解析】由題意知展開式中共有9項(xiàng)，所以〃=8,

所以"-的展開式的通項(xiàng)為=C；（-2）'XT,0<r<8,reZ.

3

若（+i為有理項(xiàng)，則4-丁建，所以r=0,4,8,

33

4

故展開式中所有的有理項(xiàng)為7；=《（-2）°/=/,”=仁（-2），%"=1120x，Tg=晨（-2）\了8=256x&

故答案為：/（或1120x,或256r2,寫出其中一個(gè)即可）

題型四：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)

12.（2024?高三?四川成都?開學(xué)考試）二項(xiàng)式［上-GJ的展開式中第5項(xiàng)為.

【答案】15

【解析】展開式通項(xiàng)為小=&.（-^y=（-iyq-x^-6,

34N

TH-OC；=15.

故答案為：15.

13.（2024?安徽蕪湖?三模）寫出［的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)：.（用數(shù)字表示）

【答案】-160

/_1V3

【解析】&=C：（2X）3［_”J=-160X2.

故答案為：-160

14.（2024?高三?北京?期中）在（1-2?）4的二項(xiàng)展開式中，第四項(xiàng)為.

3

【答案】—32戶

【解析】由題設(shè)=C：（-24）'=（-2）簿：戶，

33

當(dāng)r=3時(shí),第四項(xiàng)為式=（_2）3禺立=-32，.

3

故答案為：_32尤5

6

15.的展開式的第4項(xiàng)是

【答案】-20x2

【解析】由題設(shè)，二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為*+I=C"6T（_^），=（_I），C"6號(hào)/=O,I,..,6,

4x3

第4項(xiàng)為n=(_1)3%Y=-20/-

故答案為：-20尤2

題型五：求三項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)

16.（2024?山東?二模）+展開式中x?y-2的系數(shù)為（）

A.-840B.-420C.420D.840

【答案】c

【解析】現(xiàn)有8個(gè)［l+x-工］相乘，從每個(gè)|中的三項(xiàng)1，%，-,各取一項(xiàng)相乘時(shí)，若結(jié)果為f/2的

1y)1<y)y

2個(gè)-L

常數(shù)倍，則所取的8項(xiàng)中有4個(gè)1,2個(gè)X,

y

所以，總的選取方法數(shù)目就是=70x6x1=420.

每個(gè)這樣選取后相乘的結(jié)果都是F1k［一;1=x2y-2,即給系數(shù)的貢獻(xiàn)總是1,所以一廠2的系數(shù)就是全部的

選取數(shù)420.

17.（2024.新疆烏魯木齊.一模）（/一x+y『的展開式中爐產(chǎn)的系數(shù)為（）

A.-30B.-20C.20D.30

【答案】C

【解析】M-x+y『=［仁7）+1，

2

其展開式的通項(xiàng)公式為Tr+l=C；（x-xp/,

令r=2,則心=砥（爐-

而（爐-耳3的展開式的通項(xiàng)公式為：

m（尤2廣.（_尤『=（_球《尸,

令k=\,貝lj（尤2一苫+y）s的展開式中的系數(shù)為:

C；x（-l），C；=-30,

18.