2025年中考數(shù)學復習：線段最值專項練習

線段最值專項練習

利用“垂線段最短”解決線段最值問題

方法突破練

直線外一點與直線上所有點的連線中，垂線段最短

1.如圖，在平面直角坐標系中，直線1y=-打+4分別交x軸，y軸于點A,B,點P為直線1上任意一點，

連接OP,求線段OP的最小值.

2.如圖，拋物線y=產(chǎn)—2%—3與x軸交于A,B兩點，頂點為C,點D為線段AC上一點，點E為拋物線對

稱軸上一點，連接AE,DE,求4E+DE的最小值.

第2題圖

3如圖，拋物線y=-比2+2x+3與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,在平面內(nèi)有一定點D(3,4),點

P,Q分別是拋物線、直線BC上的動點，求DP+PQ的最小值及此時點P的坐標.

第3題圖

利用“胡不歸”求線段最值

4.如圖，在平面直角坐標系中，4(0,-2),B(3,0),點P是x軸上任意一點，連接AP,求P4+的最小值.

第4題圖

5.如圖，已知拋物線y=-必—2x+3與x軸交于A,C兩點，與y軸交于點B,D為拋物線的頂點.若R為y

軸上的一個動點，連接AR，求AR+的最小值.

第5題圖

6.如圖，已知拋物線y=/—6久+8與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè))，直線y=打與拋物線對稱

軸交于點C,點D是直線y=[x上一點，連接AD,求2。+*CD的最小值.

]OA^/BX

第6題圖

設問進階練

例如圖，已知拋物線y=-|x2+jx-2與X軸交于點A,B(點B在點A左側(cè)),與y軸交于點C,拋物線頂

點為點D,對稱軸為直線1.(1)如圖①，若點P為x軸上一點，點N為直線AC上一點，求CP+PN的最小值；

例題圖①

⑵如圖②，若點P為y軸上一點，連接BP,求BP+2CP的最小值;

例題圖②

⑶如圖③，若點P為拋物線對稱軸上一點，點M為AB上一點，且=2AM連接MP,BD,求DP+的

4

最小值.

例題圖③

綜合強化練

1.創(chuàng)新題?探究性試題學習了二次函數(shù)之后，我們知道二次函數(shù)的圖象是拋物線，有同學猜想，拋物線上的點

到定點和定直線的距離相等，經(jīng)過小組探究，發(fā)現(xiàn)：如圖，點P是平面內(nèi)一動點，點Q是y軸正半軸上一點，設(

0Q=%連接PQ若點P到直線y=-n的距離等于PQ的長y=f度，則所有符合的點P形成的軌跡是拋物線y=

ax2.

【初步感知】

⑴當X加時，a與n的數(shù)量關系為—；

⑵若動點P(x,y),Q(0,3),連接PQ,且點P到直線.y=-3的距離等于PQ的長，直接寫出所有符合的點P形成的

軌跡的拋物線解析式；

【靈活應用】

(3)若點D的坐標是(1,5),在⑵中求得的拋物線上是否存在點M，使得MQ+最短?若存在，求出點M的

坐標，若不存在，請說明理由；

【拓展延伸】

(4)由上述發(fā)現(xiàn)可知，二次函數(shù)y=；(x-l)2+2的圖象可以看作平面內(nèi)一動點到定點F的距離等于它到定直

線y=-n=-n的距離，所有符合這一條件的動點所形成的圖形，求點F的坐標和n的值.

作圖區(qū)答題區(qū)

備用圖②

考向4利用"垂線段最短”解決線段最值問題

一階方法突破練

1.解：確定線段長最小值時動點的位置.當OP±AB時，線段0P的值最小.

?.直線I的解析式為y=-梟+4,

.-.A(3,0),B(0,4),.-.OA=3,OB=4,.-.AB=5.

-SAOB=lOA-OB=^AB-OP,

???。。=噤=9(求出線段長度)，

AD5

，線段0P的最小值為Y.

2.解：?.?確定定點坐標拋物線y=/_2%-3的頂點為=(%—1)2—4,

?.C(l,-4).

令y=0,解得x=-l或x=3,，A(-l,0),B(3,0),如解圖，連接BE,過點B作BD'±AC于點D',與拋

物線對稱軸交于點E1,

?.點A與點B關于對稱軸對稱，

.AE=BE，第2題標圖

AE+DE=BE+DE>BE'+D,E'=BD：

」.AE+DE的最小值為BD，的長.

：AC=2V^,AB=4,連接BC,

118A/5

.：SABC=-ABX4=-AC.BD,.：BD=4.

..AE+DE的最小值為管.

3.解:如解圖，過點D作DQ±BC于點Q,交拋物線于點P,此時DP+PQ取得最小值，最小值為DQ的長，則

P,Q即為所求作的點.

過點Q作QE±x軸于點E,連接BD,

1.拋物線的解析式為y=—x?+2%+3,

.".B(3,0),C(0,3),.-.OB=OC=3,/.zCBO=45°.

?.?D(3,4),;.NDBO=90°,BD=4,

ANQBD=45DQ=BQ=4x^=2加,

..DP+PQ的最小值為2VI

；QE，x軸,NQBE=45。，

.?.zBQE=zQBE=45°,

QE=BE=^BQ=2,

.?QE=OB-BE=1〃?.點Q的坐標為(1,2).

；D(3,4),Q(L2),.■直線DQ的解析式為y=x+l聯(lián)立［y+3,解得x=2或x=-l

(舍去)，當x=2時,y=3.

，點P的坐標為(2,3).

4.解:如解圖作NOBC=30。,交y軸正半軸于點C,過點A作AD±BC于點D,交x軸于點P

’，過點P作PDUBC于點D'.第3題解圖

構造直角三角形及特殊角.

>1'>1

???ZOBC=30。，:.DP=：BP,DP=：BP,

PH+；P8=PA+。P2AP'+P力=力。("化折為直"，確定動點位置)，

，當點P'與點P重合時,PA+的值最小，即AD的長.

?.A(0,-2),B(3,0),

,.OA=2/OB=3,

=V3,

OC^—3OB

AC=2+V3.

?.NOBC=30O,「.NOCB=60。，

AD=AC-sin600=(2+V3)x^=|+舊(求出線段的長)，

PA+的最小值為|+V3.

5.解:如解圖，連接BC,過點R作RH，BC于點H,過點A作AG±BC于點G.

■■■拋物線的解析式為y=—久2—2%+3,

..A(L0),C(-3,0),B(0,3),.QB=OC=3.

?.zCOB=90°,

，BC=3V2,zHBR=45°.

在RbBHR中,RH=^-BR,

：

.AR+—2BR=AR+RH>AG.

，當HRA三點共線且AHJ_BC時,AR+fBR的值最小，最小值為AG的長，連接AB.

s=|BCSG=|ac-OB,

2AGBC=逐=2魚，2

BC

AR+的最小值為2V2.

6.解:；拋物線y=/_6“+8與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè))，

，令y=0,解得x=2或x=4,/.A(2,0).

??直線y=梟與拋物線對稱軸交于點C,拋物線對稱軸為直線x=3,

，當x=3時y=^x=4,.'.C(3,4).

如解圖，過點C作CE，y軸于點E,過點D作DF±CE于點F,過點A作AG±CE于點G,交直線y=緊于點D

',/.CE=3,OE=4,OC=5,

??.sin4C°嶗二穿/

??.FD="4D,

???AD+^4CD=AD+FD>AD'+DG'=AG,

當點D與點D'重合時,AD+江。的值最小，即為AG的長

1.四邊形OAGE為矩形，

，AG=0E=4,

???力。+/D的最小值為4.

二階設問進階練

例解:⑴將y=0代入拋物線y=-打2+|x_2中，解得刈=1,0=4,

?.點B在點A左側(cè),，A(4,0),B(L0).

當x=0時,y=-2,;.C(0,-2).

,.OA=4/OC=2r.AC=2V5.

如解圖①作點C關于x軸的對稱點FQ2),過點F作FN±AC于點N,交x軸于點P.

例題解圖①

由軸對稱的性質(zhì)及垂線段最短可知，此時CP+PN=FP+PN的值最小，最小值為FN的長.

易得叢8?VCN,

AC_OA

FC-N尸'

FCOA_4X4_8V5

AC-2A/5-5'

..CP+PN的最小值為第；

⑵如解圖②，過點C作NOCE=30。,交x軸負半軸于點E,過點B作EC的垂線交EC于點F,交y軸于點P,點P

即為所求作的點.

?.zOCE=30o,.-.zBEC=60o,PF=|PC,

BP+^CP=BP+PF=BF,

???BP+|CP的最小值為BF的長，

由⑴得,A(4,0),B(l,0),C(0,-2),

.-.0C=2,0B=l,

EO=0C-tan30°=BE=—+l,

33

BF=BE-sin60°=—+1,

2

.?.BP+2的最小值為日+1；

例題解圖

⑶如解圖③，過點P作PE±BD于點E,設拋物線的對稱軸與x軸交于點F,由⑴得B(1,O).

12?5n1(5\2,9"59、

:y———x+-x—2=——x——

J222\2/8\287

5315

???BF=--l=-fBD=—,

228

RFPF44

???sinNBDP=-=—=PE=-DP,

BDDP55

ADP+|"P=|@DP+MP)=[(PE+MP),易知M(3,0),BM=2,

過點M作MQBD于點H廁PE+MP的最小值即為MH的長，連接DM,.，DP+|MP的最小值為

SBDM=\MB-DF=\BD-MH,

MR-DF2X^663

??.MH=絲絲====

BD竺542

■-DP+^MP的最小值為|.

三階綜合強化練

1.解:(1)?=【解法提示】由題意可知,PQ=PB,Q(O,n),設點P的坐標為(x,y),.1小+(-y=(江,...

471yny+

x2=Any.:y=ax2,-'-x2=^=471y.:xt0,a=

(2)y=2嵋【解法提示】由⑴知，此時n=3,.ia=高=》所有符合的點P形成的軌跡的拋物線解析式為y

=—x2.

12

(3)存在；如解圖①，過點D作直線y=-3的垂線，垂足為E,與拋物線交于點M,此時MQ+MD=ME+MD=D

第1題解困

(4)如解圖②，構造新的平面直角坐標系x101y',

???二次函數(shù)的解析式為y=+2,

..二次函數(shù)的頂點坐標為(1,2),a=*由(1)可知n=l,即在新的平面直角坐標系中n=-l,

二二次函數(shù)y=i(x-l)2+2的圖象可以看作到定點F(1,3)的距離等于它到定直線y=l的距離，所有符合的

動點所形成的圖形，

，定點F的坐標為(1,3),n的值為-1.

2.解:(1)?.拋物線經(jīng)過點C(0,2V3),

拋物線的解析式為y=ax2+bx+2V3,

將A,B兩點的坐標代入拋物線解析式，

得產(chǎn)—2b+2V|_=0,解得*

(16a+4b+2K=0b=~

I2

拋物線的解析式為y=—=/+當x+2V3;

(2)【思路點撥】作點G關于x軸的對稱點N,過N作BC的垂線，垂足為點M,貝GH+HM的最小值為N

M的長.

如解圖①，作點G關于x軸的對稱點N,過點N作NM，BC于點M,交x軸于點H(確定線段和最