2025年新高考數(shù)學一輪復習：計數(shù)原理（三大題型）（講義）（學生版+解析）

第01講計數(shù)原理

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：分類加法計數(shù)原理......................................................4

知識點2：分步乘法計數(shù)原理......................................................4

知識點3：兩個計數(shù)原理的綜合應用................................................5

題型一：分類加法計數(shù)原理的應用.................................................5

題型二：分步乘法計數(shù)原理的應用.................................................6

題型三：兩個計數(shù)原理的綜合應用.................................................7

04真題練習?命題洞見.............................................................8

05課本典例?高考素材.............................................................9

06易錯分析?答題模板............................................................10

易錯點：對兩種計數(shù)原理的概念理解不夠深刻......................................10

答題模板：計數(shù)原理的應用......................................................11

考情透視.目標導航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填空

(1)分類加法計數(shù)原理2020年上海卷第10題，5分

為主，以考查基本概念和基本方法為主，難度中

(2)分步乘法計數(shù)原理2016年上海卷第8題，3分

等偏下，與教材相當.

復習目標：

(1)理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.

(2)會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題.

匐2

知識導圖?思維引航

分類加法計效原理和“分類”有關(guān)，如果完成某件

事情有n類辦法，這n類辦法之間是互斥的，那

么求完成這件事情的方法總數(shù)時，就用分類加技

計數(shù)原理.

分步乘法計數(shù)原理和“分步”有關(guān)，是針對“分步完

計數(shù)原理成”的問題.如果完成某件事情有n個步驟，而且這

n個步騾缺一不可，且互不影響（獨立），當且

僅當依次完成這n個步驟后，這件事情才算完

成，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時，就用分

步乘法計數(shù)原理.

老占突曲?題理探密

-----H-H-c

知識JJ

知識點1:分類加法計數(shù)原理

完成一件事，有w類辦法，在第1類辦法中有叫種不同的辦法，在第2類辦法中有恤種不同的方

法，…，在第〃類辦法中有叫，種不同的方法，那么完成這件事共有：N=nh+m1++乙種不同的方法.

【診斷自測】4.己知A,B兩個公司承包6項工程，每個公司至少承包2項，則承包方式共有（）

A.24種B.70種C.48種D.50種

知識點2：分步乘法計數(shù)原理

完成一件事，需要分成"個步驟，做第1步有嗎種不同的方法，做第2步有啊種不同的方法，…，做

第〃步有啊種不同的方法，那么完成這件事共有：N=m17nl??〃乙種不同的方法.

姓利[]列n

D

注意：兩個原理及其區(qū)別

分類加法計數(shù)原理和“分類”有關(guān)，如果完成某件事情有〃類辦法，這〃類辦法之間是互斥的，那么求

完成這件事情的方法總數(shù)時，就用分類加法計數(shù)原理.

分步乘法計數(shù)原理和“分步”有關(guān)，是針對“分步完成”的問題.如果完成某件事情有〃個步驟，而且這

幾個步驟缺一不可，且互不影響（獨立），當且僅當依次完成這〃個步驟后，這件事情才算完成，那么求完

成這件事情的方法總數(shù)時，就用分步乘法計數(shù)原理.

當然，在解決實際問題時，并不一定是單一應用分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理，有時可能同時用到兩

個計數(shù)原理.即分類時，每類的方法可能運用分步完成；而分步后，每步的方法數(shù)可能會采取分類的思想

求方法數(shù).對于同一問題，我們可以從不同的角度去處理，從而得到不同的解法（但方法數(shù)相同），這也

是檢驗排列組合問題的很好方法.

【診斷自測】14.如圖，無人機光影秀中，有8架無人機排列成如圖所示，每架無人機均可以發(fā)出4種不

同顏色的光，1至5號的無人機顏色必須相同，6、7號無人機顏色必須相同，8號無人機與其他無人機顏

色均不相同，則這8架無人機同時發(fā)光時，一共可以有（）種燈光組合.

①

②④

③賓....試.....濃:⑼

⑦⑧

A.48B.12C.18D.36

知識點3：兩個計數(shù)原理的綜合應用

如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計數(shù)原理.如

果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事

的方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理.

【診斷自測】L用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成的有重復數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個數(shù)為（）

A.76B.38C.36D.30

題型一：分類加法計數(shù)原理的應用

【典例1-1］（2024.高三.江蘇南通?開學考試）今年暑期檔，全國各大院線推出多部精彩影片，其中比較熱

門的有《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華兩

位同學準備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵探

柯南》，則兩位同學不同的觀影方案種數(shù)為（）

A.12B.24C.28D.36

【典例1-2】從4名男生，3名女生中選出3人（可以一種性別）到校學生會任職，女生人數(shù)不多于男生人

數(shù)，那么不同的選法種數(shù)有（）種.

A.23B.22C.24D.26

【方法技巧】

分類標準的選擇

（1）應抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置.根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準.

（2）分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方

法是不同的方法，不能重復，但也不能有遺漏.

【變式1-11（2024安徽安慶?三模）A、B、C、D、E5所學校將分別組織部分學生開展研學活動，現(xiàn)有甲、

乙、丙三個研學基地供選擇，每個學校只選擇一個基地，且每個基地至少有1所學校去，則A校不去甲地,

乙地僅有2所學校去的不同的選擇種數(shù)共有（）

A.36種B.42種C.48種D.60種

【變式1-2］在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）個

A.44B.45C.54D.55

【變式1-3】紅黃藍三種不同顏色的小球各兩個，分別放置在正八面體的6個頂點上，共有幾種不同的放

置方法（）

A.7B.8C.4D.5

【變式1-4］定義“各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)叫幸運數(shù)”，比如116,431,則所有幸運數(shù)的個數(shù)為（）

A.18B.21C.35D.36

【變式1-5】某校高中三年級一班有優(yōu)秀團員8人，二班有優(yōu)秀團員10人，三班有優(yōu)秀團員6人，學校組

織他們?nèi)⒂^某愛國主義教育基地.推選1名優(yōu)秀團員為總負責人，不同的選法種數(shù)是（）

A.480B.24C.14D.18

【變式1-6］書架上有10本不同的自然科學圖書和9本不同的社會科學圖書，甲同學想從中選出1本閱讀,

則不同的選法共有（）

A.9種B.10種C.19種D.90種

題型二：分步乘法計數(shù)原理的應用

【典例2-1】（2024?云南大理?模擬預測）現(xiàn)有4個同學站成一排，將甲、乙2個同學加入排列，保持原來4

個同學順序不變，不同的方法共有（）種

A.10B.20C.30D.60

【典例2-2】編號為1,2,3,4的四位同學參觀某博物館，該博物館共有編號為1,2,3,4的四個門，

若規(guī)定編號為1,2,3,4的四位同學進入博物館不能走與自己編號相同的門，則四位同學用不同的方式

進入博物館的方法種數(shù)為（）

A.12B.16C.81D.256

【方法技巧】

利用分步乘法計數(shù)原理解題的策略

（1）明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的.

（2）將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當所有步驟都完成了，整

個事件才算完成.

【變式2-1】已知乘積（4+%）（4+4+4）（。1+。2+。3+，+C"）（〃eN+）展開后共有60項，則力的值為（

A.5B.7C.10D.12

【變式2-2］（2024?高三?江蘇徐州?開學考試）甲、乙、丙、丁四人打算從北京、上海、西安、長沙四個城

市中任選一個前去游玩，其中甲去過北京，所以甲不去北京，則不同的選法有（）

A.18種B.48種C.108種D.192種

【變式2-31某農(nóng)學院計劃從10種不同的水稻品種和7種不同的小麥品種中，選5種品種種植在如圖所示

五塊實驗田中，要求僅選兩種小麥品種且需種植在相鄰兩塊實驗田中，其他三塊實驗田選種水稻品種，則

不同種法有（）

12345

A.30240種B.60480種C.120960D.241920種

【變式2-4］（2024?高三?河南?期中）玩積木有利于兒童想象力和創(chuàng)造力的培養(yǎng).一小朋友在玩四棱柱形積

木（四個側(cè)面有各不相同的圖案）時，想用5種顏色給積木的12條棱染色，要求側(cè)棱用同一種顏色，且在

積木的6個面中，除側(cè)棱的顏色相同外，則染法總數(shù)為（）

A.216B.360C.720D.1080

【變式2-5］（2024.河南鄭州?模擬預測）已知xeZ,yeZ,則滿足方程孫+2024（x-y）=8092的解（x,y）

的個數(shù)為（）

A.27B.54C.108D.216

題型三：兩個計數(shù)原理的綜合應用

【典例3-1】（2024?高三.全國?自主招生）（a+2b+3c+4〃）i°展開式共項.

【典例3-2】（2024.高三.上海.開學考試）若從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中任取2個偶數(shù)和2個奇數(shù),

組成一個無重復數(shù)字的四位數(shù)，則不同的四位數(shù)的個數(shù)是—.

【方法技巧】

利用兩個計數(shù)原理解題時的三個注意點

（1）當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事.

（2）分類時，標準要明確，做到不重不漏，有時要恰當畫出示意圖或樹狀圖.

（3）對于復雜問題，一般是先分類再分步.

【變式3-1】用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復的四位偶數(shù)，將這些數(shù)字從小到大排列起來,

第71個數(shù)是—.

【變式3-2］（2024.高三.上海.開學考試）己知集合A=H，T，U，2,3，，若。，瓦ceA且互不相等，則使

得指數(shù)函數(shù)y="，對數(shù)函數(shù)y=log〃*，累函數(shù)》=尤，中至少有兩個函數(shù)在（0,+?）上嚴格增函數(shù)的有序數(shù)

對（a,）,c）的個數(shù)是

【變式3-3］從0,1,2,3,4,5六個數(shù)字中選5個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的五位偶數(shù)，且3不在百位，共有

種.

【變式3-4］如圖，一只螞蟻位于點〃處，去搬運位于N處的糖塊，的最短路線有條.

1.（2006年普通高等學校招生考試數(shù)學（文）試題（上海卷））如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此

直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的

“正交線面對”的個數(shù)是（）

A.48B.18C.24D.36

2.（2007年普通高等學校招生考試數(shù)學（文）試題（大綱卷II））5位同學報名參加兩個課外活動小組，每

位同學限報其中的一個小組，則不同報名方法有（）

A.A種B.20種C.25種D.32種

3.（2006年普通高等學校春季招生考試數(shù)學試題（上海卷））電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同

的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式.（結(jié)果

用數(shù)值表示）

1.2160有多少個不同的正因數(shù)？

2.在國慶長假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出現(xiàn)同一人連續(xù)值班

2天，有多少種可能的安排方法？

易錯點：對兩種計數(shù)原理的概念理解不夠深刻

易錯分析：對分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的理解不夠深刻導致錯誤.

【易錯題11某校計劃在五四青年節(jié)期間舉行歌唱比賽，高二年級某班從本班5名男生4名女生中選4人,

代表本班參賽，按照學校要求女生至少參加1人至多參加2人，則選派方式共有（）

A.80種B.90種C.100種D.120種

【易錯題2】有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，且醫(yī)療小組中男、女醫(yī)生

都要有，則不同的選法共有（）

A.135種B.150種C.165種D.270種

答題模板：計數(shù)原理的應用

1、模板解決思路

在解決計數(shù)原理相關(guān)的應用問題時，首要步驟是進行深入的分析，明確在計算之前是需要進行分類討

論還是分步操作.分類時必須確保每一類別獨立且完整，無重疊也無遺漏；分步時則需保證每個步驟的連貫

性和完整性.隨后，根據(jù)問題的具體需求，選擇恰當?shù)挠嫈?shù)原理來進行計算，以確定總的方法數(shù)或可能性.

2、模板解決步驟

(1)分類加法計數(shù)原理

第一步：將完成一件事情的方案分成若干類.

第二步：求出每一類的方法數(shù).

第三步：將每一類的方法數(shù)相加得到結(jié)果.

(2)分步乘法計數(shù)原理

第一步：將完成一件事的過程分成若干步.

第二步：求出每一步的方法數(shù).

第三步：將每一步的方法數(shù)相乘得到結(jié)果.

【經(jīng)典例題1】用L2,3,4,5,6這六個數(shù)字，可以排成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為—(用數(shù)字作答)

【經(jīng)典例題2】已知凡b均為集合4={1,5,7,9}中的元素，則對應的所有可能的直線>尤有一條.

第01講計數(shù)原理

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：分類加法計數(shù)原理......................................................4

知識點2：分步乘法計數(shù)原理......................................................4

知識點3:兩個計數(shù)原理的綜合應用................................................5

題型一：分類加法計數(shù)原理的應用.................................................5

題型二：分步乘法計數(shù)原理的應用.................................................6

題型三：兩個計數(shù)原理的綜合應用.................................................7

04真題練習?命題洞見.............................................................8

05課本典例高考素材.............................................................9

06易錯分析?答題模板............................................................10

易錯點：對兩種計數(shù)原理的概念理解不夠深刻......................................10

答題模板：計數(shù)原理的應用......................................................11

春情目標導航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填空

(1)分類加法計數(shù)原理2020年上海卷第10題，5分

為主，以考查基本概念和基本方法為主，難度中

(2)分步乘法計數(shù)原理2016年上海卷第8題，3分

等偏下，與教材相當.

復習目標：

(1)理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.

(2)會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題.

匐2

知識導圖?思維引航

分類加法計效原理和“分類”有關(guān)，如果完成某件

事情有n類辦法，這n類辦法之間是互斥的，那

么求完成這件事情的方法總數(shù)時，就用分類加技

計數(shù)原理.

分步乘法計數(shù)原理和“分步”有關(guān)，是針對“分步完

計數(shù)原理成”的問題.如果完成某件事情有n個步驟，而且這

n個步騾缺一不可，且互不影響（獨立），當且

僅當依次完成這n個步驟后，這件事情才算完

成，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時，就用分

步乘法計數(shù)原理.

考點突破■題型探究

-------QO-OOy.

知識JJ

知識點1：分類加法計數(shù)原理

完成一件事，有〃類辦法，在第1類辦法中有叫種不同的辦法，在第2類辦法中有恤種不同的方

法，…，在第〃類辦法中有機“種不同的方法，那么完成這件事共有：N=77R+〃12++”種不同的方法.

【診斷自測】4.己知A,B兩個公司承包6項工程，每個公司至少承包2項，則承包方式共有（）

A.24種B.70種C.48種D.50種

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，分三種情況：

①A公司承包2項工程，剩余4項工程8公司承包，則有C；=15種方式，

②A公司承包3項工程，剩余3項工程8公司承包，則有C：=20種方式，

③A公司承包4項工程，剩余2項工程8公司承包，則有C：=15種方式，

所以承包方式共有15+20+15=50種方式.

故選：D

知識點2：分步乘法計數(shù)原理

完成一件事，需要分成〃個步驟，做第1步有網(wǎng)種不同的方法，做第2步有啊種不同的方法，…，做

第〃步有叫，種不同的方法，那么完成這件事共有：N=m1-m2■?種不同的方法.

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0

0

注意：兩個原理及其區(qū)別

分類加法計數(shù)原理和“分類”有關(guān)，如果完成某件事情有〃類辦法，這W類辦法之間是互斥的，那么求

完成這件事情的方法總數(shù)時，就用分類加法計數(shù)原理.

分步乘法計數(shù)原理和“分步”有關(guān)，是針對“分步完成”的問題.如果完成某件事情有〃個步驟，而且這

幾個步驟缺一不可，且互不影響（獨立），當且僅當依次完成這〃個步驟后，這件事情才算完成，那么求完

成這件事情的方法總數(shù)時，就用分步乘法計數(shù)原理.

當然，在解決實際問題時，并不一定是單一應用分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理，有時可能同時用到兩

個計數(shù)原理.即分類時，每類的方法可能運用分步完成；而分步后，每步的方法數(shù)可能會采取分類的思想

求方法數(shù).對于同一問題，我們可以從不同的角度去處理，從而得到不同的解法（但方法數(shù)相同），這也

是檢驗排列組合問題的很好方法.

【診斷自測】14.如圖，無人機光影秀中，有8架無人機排列成如圖所示，每架無人機均可以發(fā)出4種不

同顏色的光，1至5號的無人機顏色必須相同，6、7號無人機顏色必須相同，8號無人機與其他無人機顏

色均不相同，則這8架無人機同時發(fā)光時，一共可以有（）種燈光組合.

①

其

②/'、、④

③注…X---…覆@

七?1............:汩9

⑦⑧

A.48B.12C.18D.36

【答案】D

【解析】根據(jù)題意可知，1至5號的無人機顏色有4種選擇；

當6、7號無人機顏色與1至5號的無人機顏色相同時，8號無人機顏色有3種選擇；

當6、7號無人機顏色與1至5號的無人機顏色不同時，6、7號無人機顏色有3種選擇，8號無人機顏色

有2種選擇；

再由分類加法和分步乘法計數(shù)原理計算可得共有4x（lx3+3x2）=36種.

故選：D

知識點3：兩個計數(shù)原理的綜合應用

如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計數(shù)原理.如

果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事

的方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理.

【診斷自測】L用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成的有重復數(shù)字的三位數(shù)且是偶數(shù)的個數(shù)為（）

A.76B.38C.36D.30

【答案】B

【解析】由題意可知，這三位數(shù)是偶數(shù)，則說明其個位數(shù)為偶數(shù)，即0,2,4,有3種選擇，

而由于這是一個三位數(shù)，所以百位數(shù)不能是0,有5種選擇，因為存在重復數(shù)字，由此分類討論：

①當個位數(shù)為。時，則百位數(shù)有5種選擇，十位數(shù)有兩種情況，

與百位數(shù)一樣，只有一種選擇，

與個位數(shù)一樣，也只有一種選擇；

②當個位數(shù)為2時，

如果百位數(shù)為2,則十位數(shù)有6種選擇，

如果百位數(shù)不為2,則百位數(shù)有4種選擇，此時十位數(shù)可以與百位數(shù)或個位數(shù)相同，有2種選擇：

當個位數(shù)為4時，

如果百位數(shù)為4,則十位數(shù)有6種選擇，

如果百位數(shù)不為4,則百位數(shù)有4種選擇，十位數(shù)可以與百位數(shù)或個位數(shù)相同，有2種選擇

綜上所述，5x1+5x1+1x6+4x2+1x6+4x2=38.

故選：B.

題型一：分類加法計數(shù)原理的應用

【典例1-1】（2024?高三?江蘇南通?開學考試）今年暑期檔，全國各大院線推出多部精彩影片，其中比較熱

門的有《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華兩

位同學準備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵探

柯南》，則兩位同學不同的觀影方案種數(shù)為（）

A.12B.24C.28D.36

【答案】D

【解析】若兩人所選影片均不同，此時小明先從除《名偵探柯南》中選擇一部，

小華從剩余的3部中選擇兩部，此時共有C；C；=12種方案，

若兩人所選影片中，《名偵探柯南》相同，則兩人從剩余4部中各選1部，有A：=12種方案，

若兩人所選影片中，不是《名偵探柯南》相同，相同的影片為4部中1部，有C：種選擇，

再給小華從剩余3部中選擇一部，有C；種選擇，故共有C：C；=12種方案，

綜上，共有12+12+12=36種方案.

故選：D

【典例1-2】從4名男生，3名女生中選出3人（可以一種性別）到校學生會任職，女生人數(shù)不多于男生人

數(shù)，那么不同的選法種數(shù)有（）種.

A.23B.22C.24D.26

【答案】B

【解析】由題意知，選取的3人中女生人數(shù)不多于男生人數(shù)，包括2男1女和3男0女兩種情況.

若3人中有2男1女，則不同的選法共有C：C；=18（種）；

若3人中有3男0女，則不同的選法共有C：C；=4（種）.

根據(jù)分類計數(shù)原理，所有不同的選法共有18+4=22（種）.

故選：B

【方法技巧】

分類標準的選擇

（1）應抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置.根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準.

（2）分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方

法是不同的方法，不能重復，但也不能有遺漏.

【變式1-11（2024.安徽安慶.三模）A、B、C、D、E5所學校將分別組織部分學生開展研學活動，現(xiàn)有甲、

乙、丙三個研學基地供選擇，每個學校只選擇一個基地，且每個基地至少有1所學校去，則A校不去甲地,

乙地僅有2所學校去的不同的選擇種數(shù)共有（）

A.36種B.42種C.48種D.60種

【答案】B

【解析】①A校去乙地有C；C；A；=24種；

②A校與另一所學校去丙地有C：C：=12種，

③A校單獨去丙地有C=6種，

所以共有24+12+6=42種，

故選：B.

【變式1-2］在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）個

A.44B.45C.54D.55

【答案】B

【解析】對于一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字能取的值分別為：0~9之間的任意一個數(shù)字，

十位上的數(shù)字能取的值為：1~9之間的任意一個數(shù)字，

為使個位上的數(shù)字小于十位上的數(shù)字，

當個位上的數(shù)字是。時，十位上的數(shù)字可以取1~9之間的任意一個數(shù)字，共9種情況；

當個位上的數(shù)字不是0時，只需從1~9之間任取兩個數(shù)字，

較大的數(shù)字當做十位上的數(shù)字即可，此時共有C；=36.

故滿足題意的兩位數(shù)共有36+9=45個.

故選：B

【變式1-3】紅黃藍三種不同顏色的小球各兩個，分別放置在正八面體的6個頂點上，共有幾種不同的放

置方法（）

A.7B.8C.4D.5

【答案】D

【解析】如圖，用對角線線段代表正八面體的6個頂點上小球及顏色,

黃

?紅藍

靖飛

黃

所以共五種.

故選：D.

【變式1-4］定義“各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)叫幸運數(shù)”，比如116,431,則所有幸運數(shù)的個數(shù)為（）

A.18B.21C.35D.36

【答案】D

【解析】按照百位數(shù)字進行分類討論:

當百位數(shù)是1,后兩位相加為7,有8種;當百位數(shù)是2,后兩位相加為6,有7種;

當百位數(shù)是3,后兩位相加為5,有6種;當百位數(shù)是4,后兩位相加為4,有5種;

當百位數(shù)是5,后兩位相加為3,有4種;當百位數(shù)是6,后兩位相加為2,有3種;

當百位數(shù)是7,后兩位相加為1,有2種;當百位數(shù)是8,后兩位相加為0,有1種;

總共有8+7+6+5+4+3+2+1=36種.

故選：D.

【變式1-5】某校高中三年級一班有優(yōu)秀團員8人，二班有優(yōu)秀團員10人,三班有優(yōu)秀團員6人，學校組

織他們?nèi)⒂^某愛國主義教育基地.推選1名優(yōu)秀團員為總負責人，不同的選法種數(shù)是（）

A.480B.24C.14D.18

【答案】B

【解析】采用分類計數(shù)原理，有8+10+6=24種方法.

故選：B

【變式1-6］書架上有10本不同的自然科學圖書和9本不同的社會科學圖書，甲同學想從中選出1本閱讀,

則不同的選法共有（）

A.9種B.10種C.19種D.90種

【答案】C

【解析】由分類加法計數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為10+9=19.

故選C.

題型二：分步乘法計數(shù)原理的應用

【典例2-1］（2024?云南大理?模擬預測）現(xiàn)有4個同學站成一排，將甲、乙2個同學加入排列，保持原來4

個同學順序不變，不同的方法共有（）種

A.10B.20C.30D.60

【答案】C

【解析】4個同學站成一排有5個空，甲加入排列有5種情況，隊列變成5個人有6個空，乙加入排列有6

種情況，

由分步計數(shù)原理得，共有5x6=30種不同的方法.

故選：C

【典例2-2】編號為1,2,3,4的四位同學參觀某博物館，該博物館共有編號為1,2,3,4的四個門，

若規(guī)定編號為1,2,3,4的四位同學進入博物館不能走與自己編號相同的門，則四位同學用不同的方式

進入博物館的方法種數(shù)為（）

A.12B.16C.81D.256

【答案】C

【解析】因不能走與自己編號相同的門，安排編號為1的同學進入博物館有3種選法；

同理編號為2,3,4的同學進入博物館各有3種方法，

由分步乘法計數(shù)原理，共有3x3x3x3=81種方法.故C正確.

故選：C.

【方法技巧】

利用分步乘法計數(shù)原理解題的策略

（1）明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的.

（2）將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當所有步驟都完成了，整

個事件才算完成.

【變式2-1】已知乘積（％+%）由+d+4）（。1+。2+。3+,+c.）（〃eN+）展開后共有60項,則〃的值為（

A.5B.7C.10D.12

【答案】C

【解析】根據(jù)多項式的乘法法則，展開后的項數(shù)為2X3X/7=6O,

所以〃=10.

故選：C.

【變式2-2］（2024?高三?江蘇徐州?開學考試）甲、乙、丙、丁四人打算從北京、上海、西安、長沙四個城

市中任選一個前去游玩，其中甲去過北京，所以甲不去北京，則不同的選法有（）

A.18種B.48種C.108種D.192種

【答案】D

【解析】因甲不去北京，應該分步完成：

第一步，甲在上海、西安、長沙三個城市中任選一個，有3種選法；

第二步，乙、丙、丁從北京、上海、西安、長沙四個城市中分別任選一個，有4x4x4=64中選法；

由分步乘法計數(shù)原理，可得不同選法有：3x64=192種.

故選：D.

【變式2-3】某農(nóng)學院計劃從10種不同的水稻品種和7種不同的小麥品種中，選5種品種種植在如圖所示

五塊實驗田中，要求僅選兩種小麥品種且需種植在相鄰兩塊實驗田中，其他三塊實驗田選種水稻品種，則

不同種法有（）

12345

A.30240種B.60480種C.120960D.241920種

【答案】C

【解析】由題得相鄰兩塊實驗田分成1和2；2和3；3和4；4和5四類；

第一類在1和2上種植小麥，“1”有7種選擇，“2”有6種選擇，剩下3塊實驗田種植水稻，

分別有10,9,8種選擇，所以共計7x6x10x9x8=30240種；

第二、三、四類和第一類種數(shù)相同.綜上總計有30240x4=120960種方法.

故選：C.

【變式2-4］（2024?高三?河南?期中）玩積木有利于兒童想象力和創(chuàng)造力的培養(yǎng).一小朋友在玩四棱柱形積

木（四個側(cè)面有各不相同的圖案）時，想用5種顏色給積木的12條棱染色，要求側(cè)棱用同一種顏色，且在

積木的6個面中，除側(cè)棱的顏色相同外，則染法總數(shù)為（）

A.216B.360C.720D.1080

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，如圖：

分3步進行分析：

①要求側(cè)棱用同一種顏色，則側(cè)棱有5種選色的方法，

②對于上底ABCD,有4種顏色可選，則有A：,

③對于下底A片GA，每條邊與上底和側(cè)棱的顏色不同，有3x3xlxl=9種選法,

貝I］共有5x24x9=1080種選法.

故選：D.

【變式2-5］（2024?河南鄭州?模擬預測）已知xeZ,jeZ,則滿足方程芍+2024（*7）=8092的解（尤4）

的個數(shù)為（）

A.27B.54C.108D.216

【答案】B

【解析】由題設，得2024）（,+2024）=-2022?,

又2022=2x3x337,其中2,3,337都為質(zhì)數(shù)，

所以（x-2024）（y+2024）=-22x32x3372,

因為x,"Z,所以x-2024可能為（-1廣?2"3'337。，笈e{?！粆,a,"ce{0,l,2},

所以x-2024的取值個數(shù)為2x3x3x3=54,

方程移+2024（尤-y）=8092的整數(shù)解（x,y）的個數(shù)為54.

故選：B.

題型三：兩個計數(shù)原理的綜合應用

【典例3-1】（2024?高三.全國?自主招生）（a+26+3c+4d-展開式共項.

【答案】286

【解析】可以看作10個相同的小盒子，每個盒子里都4個不同的數(shù)a,2b,3c,44,

展開式的每一項都是從10個盒子里取一個數(shù)，然后相乘構(gòu)成的，

若選一個數(shù)，能構(gòu)成不同的項C：=4種，

若選2個數(shù)，先選2個數(shù)有C：種選法，然后把10個盒子分給這2個數(shù)，利用隔板法可得分法為C；種，故

能構(gòu)成不同的項C：xC；=54種，

若選3個數(shù)，同理可知能構(gòu)成不同的項C：xC；=144種，

若選4個數(shù)，可構(gòu)成不同的項C：xC；=84種，

由分類加法計數(shù)原理可得，共有4+54+144+84=286種，

故答案為：286

【典例3-2】(2024.高三.上海.開學考試)若從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中任取2個偶數(shù)和2個奇數(shù)，

組成一個無重復數(shù)字的四位數(shù)，則不同的四位數(shù)的個數(shù)是—.

【答案】180

【解析】根據(jù)題意，可將四位數(shù)分成兩類：

第一類，數(shù)字0被取到，則可從2,4中任選一個，再從1,3,5中任選兩個，

接著從除。外的另外三個數(shù)中取一個排在首位，剩下的在三個數(shù)位上全排，

此時共有C；C；C；A：=108個四位數(shù)；

第二類，數(shù)字。沒被取到，故2,4全被取到，只需從1,3,5中任選兩個，

再與2,4共4個數(shù)字在四個數(shù)位上全排，此時共有C；A：=72個四位數(shù).

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的四位數(shù)的個數(shù)是108+72=180.

故答案為：180.

【方法技巧】

利用兩個計數(shù)原理解題時的三個注意點

(1)當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事.

(2)分類時，標準要明確，做到不重不漏，有時要恰當畫出示意圖或樹狀圖.

(3)對于復雜問題，一般是先分類再分步.

【變式3-1】用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復的四位偶數(shù)，將這些數(shù)字從小到大排列起來,

第71個數(shù)是—.

【答案】3140

【解析】①千位為1,個位為0,有A；=12個；

②千位為1,個位為2,有A；=12個；

③千位為1,個位為4,有A；=12個；

④千位為2,個位為0,有A；=12個；

⑤千位為2,個位為4,有A；=12個；

⑥千位為3,百位為0,個位為2(或4),各有3個.共66個.

接下來有3102,3104,3120,3124,3140,L,第71個數(shù)是3140.

故答案為：3140.

【變式3-2](2024?高三?上海?開學考試)已知集合4=.：,-；,：1,2,3，，若A且互不相等，則使

得指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)，對數(shù)函數(shù)y=基函數(shù)y=x。中至少有兩個函數(shù)在(0,+w)上嚴格增函數(shù)的有序數(shù)

對(a,Z?,c)的個數(shù)是

【答案】24

【解析】由題意可知，滿足指數(shù)函數(shù)〉=優(yōu)(4＞0且。聲1),

對數(shù)函數(shù)y=log”僅＞。且6列的。力取值只有4個，分別為:，：，2,3；

而使它們在(0,+?0上嚴格增函數(shù)的取值。涉都只有兩個，分別是2,3；

而滿足幕函數(shù)y=必的c的取值有6個(全部)，

使得幕函數(shù)y=在(0,+◎上是嚴格增函數(shù)的取值有4個，即g,；,2,3；

由于且互不相等，有三種情況：

第一種：指數(shù)函數(shù)＞=優(yōu)，對數(shù)函數(shù)y=log〃x在(0,+s)上是嚴格增函數(shù)，

而幕函數(shù)y=x°不滿足，共有2xlx2=4種；

第二種：指數(shù)函數(shù)＞=屋，幕函數(shù)y=x。在(0,+8)上是嚴格增函數(shù)，

而對數(shù)函數(shù)＞=log/不滿足，共有2x2x2=8種；

第三種：對數(shù)函數(shù)y=log爐，幕函數(shù)y=x°在(0,+8)上是嚴格增函數(shù)，

而指數(shù)函數(shù)＞=優(yōu)不滿足，共有2x2x2=8種；

第四種：三個函數(shù)在(0,+8)上都是嚴格增函數(shù)，共有2