2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式（七大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第06講事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：條件概率..............................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：相互獨(dú)立..............................................................4

知識(shí)點(diǎn)3：全概率公式............................................................5

題型一：條件概率...............................................................7

題型二：相互獨(dú)立事件的判斷.....................................................7

題型三：相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算.................................................9

題型四：相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用............................................10

題型五：全概率公式及其應(yīng)用....................................................12

題型六：貝葉斯公式及其應(yīng)用....................................................13

題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用......................................15

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................17

05課本典例高考素材............................................................18

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................19

易錯(cuò)點(diǎn)：混淆互斥與獨(dú)立........................................................19

答題模板：求條件概率..........................................................19

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

本節(jié)內(nèi)容是概率的基礎(chǔ)知識(shí)，考查

2024年天津卷第13題，5分形式可以是選擇填空題，也可以在解答

（1）條件概率2024年II卷第18題，17分題中出現(xiàn).出題多會(huì)集中在隨機(jī)事件的

（2）相互獨(dú)立2023年甲卷（理）第6題，5分關(guān)系以對(duì)應(yīng)的概率求解.全概率公式將

（3）全概率公式2022年乙卷（理）第10題，5分會(huì)是一個(gè)新的出題點(diǎn)，思維難度會(huì)略

2022年I卷第20題，12分大.但整體而言，本節(jié)內(nèi)容在高考中的

難度處于中等偏易.

復(fù)習(xí)目標(biāo)；

（1）了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的含義.

（2）理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性和條件概率的關(guān)系，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.

事件的相互獨(dú)立性'條

件慨率與全概率公式

全概率公式

全概率公式貝葉斯公式

考點(diǎn)突確.題理輝寶

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:條件概率

(-)定義

一般地，設(shè)A,3為兩個(gè)事件，且P(A)>0,稱P(8|A)=*但為在事件A發(fā)生的條件下，事件3

P(A)

發(fā)生的條件概率.

注意：(1)條件概率P(8|A)中后面就是條件；(2)若P(A)=O,表示條件A不可能發(fā)生，此時(shí)用

條件概率公式計(jì)算P(B\A)就沒有意義了，所以條件概率計(jì)算必須在P(A)>0的情況下進(jìn)行.

(-)性質(zhì)

(1)條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在。和1之間，即04P(B|A)41.

(2)必然事件的條件概率為1,不可能事件的條件概率為0.

(3)如果3與C互斥,則尸(8C\A)=P(B\A)+P(C\A).

注意:(1)如果知道事件A發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率，那么尸(為2尸(引⑷；

(2)已知A發(fā)生，在此條件下3發(fā)生，相當(dāng)于發(fā)生，要求P(B|A),相當(dāng)于把A看作新的基本事

n(AB)

件空間計(jì)算AB發(fā)生的概率，即P(B|A)=坐半=坐?=以綽.

n(A)“(A)P(A)

H(Q)

【診斷自測(cè)】(2024.江西九江.二模)將甲，乙，丙三名志愿者分配到A,B,。三個(gè)社區(qū)服務(wù)，每人分配

到一個(gè)社區(qū)且每個(gè)社區(qū)至多分配一人，則在乙分配到B社區(qū)的條件下，甲分配到A社區(qū)的概率為一.

知識(shí)點(diǎn)2：相互獨(dú)立

(-)相互獨(dú)立事件的概念及性質(zhì)

(1)相互獨(dú)立事件的概念

對(duì)于兩個(gè)事件A,B,如果P(B|A)=P(B),則意味著事件A的發(fā)生不影響事件3發(fā)生的概率.設(shè)

P(A)>0,根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，P(3)=P(B|A)=O些，從而P(AB)=P(A)P(B).

P(A)

由此我們可得：設(shè)A,3為兩個(gè)事件，若P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件3相互獨(dú)立.

(2)概率的乘法公式

由條件概率的定義，對(duì)于任意兩個(gè)事件A與8,若P(A)>0,則尸(AB)=P(A)尸(B|A).我們稱上式為

概率的乘法公式.

(3)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)

如果事件A，B互相獨(dú)立，那么A與耳，Z與3,4與否也都相互獨(dú)立.

(4)兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性的推廣

兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性可以推廣到“5>2,”eN*)個(gè)事件的相互獨(dú)立性，即若事件A,4，…，相

互獨(dú)立，則這九個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率尸(A44)=p(4)(&)p(4).

(二)事件的獨(dú)立性

(1)事件A與3相互獨(dú)立的充要條件是P(AB)=尸(A)?P(B).

(2)當(dāng)P(B)>0時(shí)，A與3獨(dú)立的充要條件是P(A|B)=P(A).

(3)如果尸(A)>0,A與B獨(dú)立，則P(B|A)="些=P(A)?尸(2)=成立.

尸(A)尸(A)

【診斷自測(cè)】(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))擲出兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件A="第一枚點(diǎn)數(shù)小于3”，事件

8=“第二枚點(diǎn)數(shù)大于4”，則A與8關(guān)系為()

A.互斥B.互為對(duì)立C.相互獨(dú)立D.相等

知識(shí)點(diǎn)3：全概率公式

(-)全概率公式

(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)；

(2)定理1若樣本空間。中的事件A，4,…，A”滿足：

①任意兩個(gè)事件均互斥，即44=0,i,j=l,2,,n,i^j；

②A+4++A,=C；

③P⑷>0,i=l,2,.,n.

則對(duì)。中的任意事件3,都有8=碼+%++網(wǎng),，且

PC)=f尸(%)=XP⑷尸⑻A).

Z=1Z=1

注意：(1)全概率公式是用來計(jì)算一個(gè)復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡(jiǎn)單事件的概

率計(jì)算，即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問題.

(2)什么樣的問題適用于這個(gè)公式？所研究的事件試驗(yàn)前提或前一步驟試驗(yàn)有多種可能，在這多種

可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時(shí)要求所研究事件的概率就可用全概率公式.

(-)貝葉斯公式

P(A)P(B|A)

(1)一般地，當(dāng)O<P(A)<1且尸(2)>0時(shí)，有P(A|股

P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

(2)定理2若樣本空間。中的事件4,4，，4滿足：

①任意兩個(gè)事件均互斥，即44=0，i，/=l，2,,n,⑺;

②A+4++4=。；

③。(尸(A)<1,i=l,2,,n.

則對(duì)。中的任意概率非零的事件3,者B有3=網(wǎng)+%++時(shí),

P(A)P(B|A)p(A)尸(8IA)

且尸闖8)=

而￡p(4)p(Bia)

1=1

注意：(1)在理論研究和實(shí)際中還會(huì)遇到一類問題，這就是需要根據(jù)試驗(yàn)發(fā)生的結(jié)果尋找原因，看看

導(dǎo)致這一試驗(yàn)結(jié)果的各種可能的原因中哪個(gè)起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式.貝葉

斯公式的意義是導(dǎo)致事件3發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗(yàn)概率.

(2)貝葉斯公式充分體現(xiàn)了尸(A|3),P(A),P(B),P(B\A),P(B\A),尸(AB)之間的轉(zhuǎn)關(guān)系，即

P(A|B)=今募，P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A),尸(B)=尸(A)尸(B|A)+P(A)P(BIN)之間的內(nèi)在聯(lián)

系.

【診斷自測(cè)】若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05,現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)

確率為95%,即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測(cè)，有95%的可能呈現(xiàn)陽性；該試劑的誤報(bào)率為

0.5%,即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測(cè)，有0.5%的可能會(huì)誤報(bào)陽性.現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個(gè)

被檢驗(yàn)者，已知檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為()

.495r995_10-21

A.------B.------C.—D.—

100010001122

題型一：條件概率

【典例1-1】袋子中有6個(gè)大小相同的小球，其中4個(gè)紅球，2個(gè)白球.每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出

的球不再放回，則兩次都摸到紅球的概率為;在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率

為.

731

【典例1-2】對(duì)于隨機(jī)事件若尸（A）=丁P（B）=w，P（B\A）=~,則P（A|B）=.

【方法技巧】

用定義法求條件概率P（B|A）的步驟

（1）分析題意，弄清概率模型；

（2）計(jì)算P（A）,P（AB）；

（3）代入公式求P（B|A）='）.

P（A）

【變式1-1】從一副去掉大小王的52張撲克牌中無放回地任意抽取兩次.在第一次抽到A的條件下，第二次

也抽到A的概率為.（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）

【變式1-2］（2024?天津北辰?模擬預(yù)測(cè)）甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有5個(gè)大小相同的小球，其中甲箱中有3

個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙箱中有4個(gè)紅球、1個(gè)白球，從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，在已知至少抽到一個(gè)紅球的

條件下，則2個(gè)球都是紅球的概率為；擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)小于等于4,從甲箱子中

隨機(jī)抽出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)大于等于5,從乙箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球，若抽到的是紅球，則它是來自乙箱

的概率是.

4

【變式1-3］（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）甲乙二人同時(shí)向某個(gè)目標(biāo)射擊一次.甲命中的概率為彳，乙命中

,,3-

的概率為《，且兩人是否命中目標(biāo)互不影響.若目標(biāo)恰被擊中一次，則甲命中目標(biāo)的概率為.

【變式1-4］（2024?湖南益陽.一模）在某世界杯足球賽上，a,b,c,d四支球隊(duì)進(jìn)入了最后的比賽，在第

一輪的兩場(chǎng)比賽中，。對(duì)b,c對(duì)d,然后這兩場(chǎng)比賽的勝者將進(jìn)入冠亞軍決賽，這兩場(chǎng)比賽的負(fù)者比賽，

決出第三名和第四名.若。對(duì)6、a對(duì)d的勝率均為0.6,a對(duì)c、c對(duì)d的勝率均為0.5,則。獲得冠軍的概

率為.

題型二：相互獨(dú)立事件的判斷

【典例2-1】（2024?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)質(zhì)地均勻的正八面體的八個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1到8,將其隨機(jī)拋

擲兩次，記與地面接觸面上的數(shù)字依次為王，無2,事件A：%=3,事件3：馬=6,事件C：%+%=9,則

下列正確的是（）

A.AB—CB.AB=C

C.A8互斥D.民C相互獨(dú)立

【典例2-2】(2024?山東泰安?三模)盒中有4個(gè)大小相同的小球，其中2個(gè)紅球、2個(gè)白球，第一次在盒中

隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后放回，第二次在盒中也隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后放回.設(shè)事件4="兩

次均未摸出紅球”，事件3="兩次均未摸出白球"，事件C="第一次摸出的兩個(gè)球中有紅球"，事件。="第

二次摸出的兩個(gè)球中有白球“，則()

A.A與3相互獨(dú)立B.A與C相互獨(dú)立

C.3與C相互獨(dú)立D.C與。相互獨(dú)立

【方法技巧】

判斷事件是否相互獨(dú)立的方法

(1)定義法：事件A,3相互獨(dú)立QP(4B)=P(A)-P(B).

(2)由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響.

(3)條件概率法：當(dāng)P(A)>0時(shí)，可用P(8|A)=尸(B)判斷.

【變式2-1】考慮以。為樣本空間的古典概型.設(shè)X和Y定義。上，取值｛0』｝的成對(duì)分類變量，則

“｛*=0｝與｛丫=0｝獨(dú)立”是“/=1｝與｛卜=1｝獨(dú)立”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【變式2-2](2024.遼寧葫蘆島.二模)設(shè)A,2是兩個(gè)隨機(jī)事件，且尸(A)=；P(B)=|,則下列正確的是

42

()

33

A.若P(3A)=%,則A與5相互獨(dú)立B.P(A+B)=-

84

C.P(A|B)=iD.A與2有可能是對(duì)立事件

【變式2-3】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣幾次，記事件A="〃次中既有正面朝上又有反面朝上”，8="〃次中

至多有一次正面朝上”，下列說法不正確的是()

A.當(dāng)〃=2時(shí)，P(AB)=1B.當(dāng)"=2時(shí)，事件A與事件2不獨(dú)立

7

C.當(dāng)〃=3時(shí)，P(A+B)=-D.當(dāng)九=3時(shí)，事件A與事件B不獨(dú)立

8

【變式2-4](2024?上海奉賢二模)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6從中有放回地隨

機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是

2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6"，則().

A.甲與乙相互獨(dú)立B.乙與丙相互獨(dú)立

C.甲與丙相互獨(dú)立D.乙與丁相互獨(dú)立

題型三：相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算

【典例3-1】（2024?天津南開.二模）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，每次結(jié)果要么正面向上，要么反

面向上，且兩種結(jié)果等可能，則3次結(jié)果中有正面向上，也有反面向上的概率為；3次結(jié)果中最多一

次正面向上的概率為.

【典例3-2】（2024?山東濟(jì)寧.三模）甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有6個(gè)球，其中甲箱子中有4個(gè)紅球、2個(gè)白球,

乙箱子中有2個(gè)紅球、4個(gè)白球，現(xiàn)隨機(jī)選擇一個(gè)箱子，然后從該箱子中隨機(jī)取出一個(gè)球，則取出的球是

白球的概率為.

【方法技巧】

（1）求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟

①首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的.

②求出每個(gè)事件的概率，再求積.

（2）使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)

立的.

【變式3-1］（2024.遼寧?二模）某運(yùn)動(dòng)員在亞運(yùn)會(huì)田徑比賽中準(zhǔn)備參加100米、200米兩項(xiàng)比賽，根據(jù)以往

13

成績(jī)分析，該運(yùn)動(dòng)員100米比賽未能獲得獎(jiǎng)牌的概率為萬，200米比賽未能獲得獎(jiǎng)牌的概率為布，兩項(xiàng)比

賽都未能獲得獎(jiǎng)牌的概率為木，若該運(yùn)動(dòng)員在100米比賽中獲得了獎(jiǎng)牌，則他在200米比賽中也獲得獎(jiǎng)牌

的概率為.

【變式3-2］（2024.北京海淀.二模）二維碼是一種利用黑、白方塊記錄數(shù)據(jù)符號(hào)信息的平面圖形.某公司計(jì)劃

使用一款由〃?eN*）個(gè)黑白方塊構(gòu)成的"X〃二維碼門禁，現(xiàn)用一款破譯器對(duì)其進(jìn)行安全性測(cè)試，已知該

破譯器每秒能隨機(jī)生成*個(gè)不重復(fù)的二維碼，為確保一個(gè)"X"二維碼在1分鐘內(nèi)被破譯的概率不高于

則〃的最小值為.

【變式3-3］（2024?江西南昌?二模）一次知識(shí)競(jìng)賽中，共有五個(gè)題，參賽人每次從中抽出一個(gè)

題回答（抽后不放回）.已知參賽人甲A題答對(duì)的概率為8題答對(duì)的概率為J,CRE題答對(duì)的概率

均為;，則甲前3個(gè)題全答對(duì)的概率為.

【變式3-4］（2024.天津河西?模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩名同學(xué)在電腦上進(jìn)行答題測(cè)試，每套測(cè)試題可從題庫中

4

隨機(jī)抽取.在一輪答題中，如果甲單獨(dú)答題，能夠通過測(cè)試的概率是二，如果乙單獨(dú)答題，能夠通過測(cè)試的

3

概率是不若甲單獨(dú)答題三輪，則甲恰有兩輪通過測(cè)試的概率為;若在甲，乙兩人中任選一人進(jìn)行測(cè)試,

則通過測(cè)試的概率為一.(結(jié)果均以既約分?jǐn)?shù)表示)

題型四：相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用

【典例4-1](2024.江西新余?模擬預(yù)測(cè))小金、小郅、小睿三人下圍棋，已知小金勝小郅、小睿兩人的勝

率均為:，小郅勝小睿的勝率為彳，比賽采用三局兩勝制，第一場(chǎng)比賽等概率選取一人輪空，剩余兩人對(duì)

弈，勝者繼續(xù)與上一場(chǎng)輪空者比賽，另一人輪空.以此類推，直至某人贏得兩場(chǎng)比賽，則其為最終獲勝者.

(1)若第一場(chǎng)比賽小金輪空，則需要下第四場(chǎng)比賽的概率為多少？

(2)求最終小金獲勝的概率.

(3)若已知小郅第一局未輪空且獲勝，在此條件下求小金最終獲勝的概率(請(qǐng)用兩種方法解答).

【典例4-2】(2024?浙江.二模)小林有五張卡片，他等概率的在每張卡片上寫下1,2,3,4,5中的某個(gè)

數(shù)字.

(1)求五張卡片上的數(shù)字都不相同的概率；

(2)證明：這五張卡片上最大的數(shù)字最可能是5.

【方法技巧】

1、求復(fù)雜事件的概率一般可分三步進(jìn)行

(1)列出題中涉及的各個(gè)事件，并用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示它們；

(2)理清各事件之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)赜檬录g的“并”“交”表示所求事件；

(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確地運(yùn)用概率公式進(jìn)行計(jì)算.

2、計(jì)算事件同時(shí)發(fā)生的概率常用直接法，當(dāng)遇到“至少”“至多”問題，考慮逆向思維，考查原事件的對(duì)

立事件，用間接法處理.

【變式4-1](2024.陜西銅川.三模)學(xué)校團(tuán)委和工會(huì)聯(lián)合組織教職員工進(jìn)行益智健身活動(dòng)比賽.經(jīng)多輪比賽

后，由教師甲、乙作為代表進(jìn)行決賽.決賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝者得10分，負(fù)者得-5分，沒有平局.

三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的獲得冠軍.已知教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為040.6,0.6,各項(xiàng)

目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲、乙獲得冠軍的概率分別記為Pl，Pz.

(1)求甲教師總得分為。分的概率；

(2)判斷甲、乙獲得冠軍的實(shí)力是否有明顯差別(若+0.1,則認(rèn)為甲、乙獲得冠軍的實(shí)

力有明顯差別，否則認(rèn)為沒有明顯差別.).

【變式4-2](2024?山東.模擬預(yù)測(cè))己知A,B,C,。四名選手參加某項(xiàng)比賽，其中A,B為種子選手,

31

C,。為非種子選手，種子選手對(duì)非種子選手種子選手獲勝的概率為種子選手之間的獲勝的概率為彳,

42

非種子選手之間獲勝的概率為:.比賽規(guī)則：第一輪兩兩對(duì)戰(zhàn)，勝者進(jìn)入第二輪，負(fù)者淘汰；第二輪的勝

者為冠軍.

(1)若你是主辦方，則第一輪選手的對(duì)戰(zhàn)安排一共有多少不同的方案？

(2)選手A與選手D相遇的概率為多少？

(3)以下兩種方案，哪一種種子選手奪冠的概率更大？

方案一：第一輪比賽種子選手與非種子選手比賽；

方案二：第一輪比賽種子選手與種子選手比賽.

【變式4-3](2024.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在某項(xiàng)體育比賽中，從第2局開始，選手每次對(duì)局獲勝的概率受到前

一局的影響.現(xiàn)甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員對(duì)局，第一局甲勝的概率為《；若前一局甲負(fù)，則下一局甲勝的概率是

2

1。

若前一局甲勝，則下一局甲勝的概率為§.比賽沒有平局.

⑴求甲在第3局中獲勝的概率；

2

（2）現(xiàn)設(shè)置300萬元獎(jiǎng)金，若甲在前3局中已經(jīng)勝了2局，如果停止比賽，那么甲拿走獎(jiǎng)金的如果再繼

31

續(xù)比賽一局，第4局甲獲勝，甲拿走獎(jiǎng)金的第4局甲失敗，甲拿走獎(jiǎng)金的彳，請(qǐng)問甲將如何決策，以

42

期拿走更多的獎(jiǎng)金.

【變式4-4］（2024?新疆?二模）目前不少網(wǎng)絡(luò)媒體都引入了虛擬主播，某視頻平臺(tái)引入虛擬主播A,在第1

天的直播中有超過100萬次的觀看.

（1）已知小李第1天觀看了虛擬主播A的直播，若小李前一天觀看了虛擬主播A的直播，則當(dāng)天觀看虛擬主

13

播A的直播的概率為若前一天沒有觀看虛擬主播A的直播，則當(dāng)天觀看虛擬主播A的直播的概率為二,

求小李第2天與第3天至少有一天觀看虛擬主播A的直播的概率；

2

（2）若未來10天內(nèi)虛擬主播A的直播每天有超過100萬次觀看的概率均為記這10天中每天有超過100

萬次觀看的天數(shù)為X.

①判斷上為何值時(shí)，尸（X=Q最大；

②記y=（-i）x,求E（y）.

題型五：全概率公式及其應(yīng)用

【典例5-1】（2024.高三.上海.開學(xué)考試）某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知這四條流水線的產(chǎn)量分

別為30000只、40000只、60000只和70000只，又知這四條流水線的產(chǎn)品合格率依次為0.95、0.96、0.97

和0.98,則從該廠的這一產(chǎn)品中任取一件，抽到不合格品的概率是.

【典例5-2】（2024.高三.北京.開學(xué)考試）已知甲盒中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球；乙盒中有1個(gè)白球，2個(gè)黑

球.若從這8個(gè)球中隨機(jī)選取一球，該球是白球的概率是—；若從甲、乙兩盒中任取一盒，然后從所取

到的盒中任取一球，則取到的球是白球的概率是

【方法技巧】

全概率公式尸?）=￡尸（a）p（Bia）在解題中體現(xiàn)了“化整為零、各個(gè)擊破”的轉(zhuǎn)化思想，可將較為復(fù)雜

1=1

的概率計(jì)算分解為一些較為容易的情況分別進(jìn)行考慮.

【變式5-1］（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）在概率論中，全概率公式指的是：設(shè)。為樣本空間，若事件

A，…,4兩兩互斥，口4=0,則對(duì)任意的事件8=。，有

P（3）=P（a）P（3l4）+P（4）P（3l4）++尸⑷尸（司4）.若甲盒中有2個(gè)白球、2個(gè)紅球、1個(gè)黑球，

乙盒中有尤個(gè)白球（xeN）、3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙盒，再?gòu)囊液兄须S機(jī)

取出一個(gè)球，若從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的概率大于等于三，則x的最大值為

【變式5-2］（2024?天津河西?模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙三個(gè)人去做相互傳球訓(xùn)練，訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一

次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出.如

果第一次由甲將球傳出，設(shè)〃次傳球后球在甲手中的概率為乙，則乙=—;Pn=—,

【變式5-3］（2024?廣東肇慶.模擬預(yù)測(cè)）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工

智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過程，該過程要求具備“無記憶”的

性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時(shí)間序列中它前面的事件均與之無關(guān).甲口袋中各裝有

1個(gè)黑球和2個(gè)白球，乙口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另

一口袋，重復(fù)進(jìn)行w（〃eN*）次這樣的操作，記口袋甲中黑球的個(gè)數(shù)為X",恰有1個(gè)黑球的概率為p.，

則Pi的值是—；X“的數(shù)學(xué)期望E（X“）是—.

【變式5-4】近年來，我國(guó)外賣業(yè)發(fā)展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道亮麗的風(fēng)景線.某

外賣小哥每天來往于4個(gè)外賣店（外賣店的編號(hào)分別為123,4）,約定：每天他首先從1號(hào)外賣店取單，叫

做第1次取單，之后，他等可能的前往其余3個(gè)外賣店中的任何一個(gè)店取單叫做第2次取單，依此類

推.假設(shè)從第2次取單開始，他每次都是從上次取單的店之外的3個(gè)外賣店取單，設(shè)事件4=｛第上次取

單恰好是從1號(hào)店取單｝,P（4）是事件4發(fā)生的概率，顯然P（A）=I，P（A）=O,則尸（4）=

題型六：貝葉斯公式及其應(yīng)用

【典例6-1】托馬斯?貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的問題中得到了一個(gè)公式：

⑷）二P（B|A）最）+尸（31Z）尸噂）?這個(gè)定理在實(shí)際生活中有著重要的應(yīng)用價(jià)值.假設(shè)某種疾病在所

有人群中的感染率是0.1%,醫(yī)院現(xiàn)有的技術(shù)對(duì)于該疾病檢測(cè)準(zhǔn)確率為99%,即已知患病情況下，99%的

可能性可以檢查出陽性，正常人99%的可能性檢查為正常.如果從人群中隨機(jī)抽一個(gè)人去檢測(cè)，經(jīng)計(jì)算檢

測(cè)結(jié)果為陽性的全概率為0.01098,請(qǐng)你用這個(gè)公式估計(jì)在醫(yī)院給出的檢測(cè)結(jié)果為陽性的條件下這個(gè)人得

病的概率（）

A.0.1%B.8%C.9%D.99%

3

【典例6-21某同學(xué)喜愛籃球和跑步運(yùn)動(dòng).在暑假期間，該同學(xué)下午去打籃球的概率為1.若該同學(xué)下午去打

4

o

籃球，則晚上一定去跑步；若下午不去打籃球，則晚上去跑步的概率為『已知該同學(xué)在某天晚上去跑步，

則下午打過籃球的概率為.

【方法技巧】

1、利用貝葉斯公式求概率的步驟

第一步：利用全概率公式計(jì)算尸0），即P（A）=￡尸（耳）尸（A］烏）；

Z=1

第二步：計(jì)算尸（AB）,可利用尸05）=2（3）。0|3）求解；

第三步：代入P（8|A）=&絲求解.

P⑷

2、貝葉斯概率公式反映了條件概率P（B|A）=￡竽，全概率公式尸（&=＞尸（耳＞（川耳）及乘法公式

尸（金=尸⑻尸口⑶之間的關(guān)系，即「⑶加需二型黑瞥二獸g.

P⑷P（A）￡p（BJP（AIBJ

i=l

【變式6-1］（2024.高三.江蘇揚(yáng)州?期末）有一個(gè)郵件過濾系統(tǒng)，它可以根據(jù)郵件的內(nèi)容和發(fā)件人等信息，

判斷郵件是不是垃圾郵件，并將其標(biāo)記為垃圾郵件或正常郵件.對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的測(cè)試具有以下結(jié)果：每封郵件

211

被標(biāo)記為垃圾郵件的概率為被標(biāo)記為垃圾郵件的有證的概率是正常郵件，被標(biāo)記為正常郵件的有五

的概率是垃圾郵件，則垃圾郵件被該系統(tǒng)成功過濾（即垃圾郵件被標(biāo)記為垃圾郵件）的概率為.

【變式6-2］（2024?浙江.二模）小明開始了自己的存錢計(jì)劃：起初存錢罐中沒有錢，小明在第左天早上八

點(diǎn)以丁工的概率向存錢罐中存入100元，1,2,3,..若小明在第4天早上七點(diǎn)發(fā)現(xiàn)自己前3天晚上八點(diǎn)

k+l

時(shí)存錢罐中的余額恰好成等差數(shù)列，則小明在第2天存入了100元概率是（）

A.—B.—C.—D.一

7532

【變式6-3］（2024?天津?模擬預(yù)測(cè)）第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發(fā)布為里程碑，開辟了人

機(jī)自然交流的新紀(jì)元.ChatGPT所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)并非都是遙不可及的高深理論，概率就被廣泛應(yīng)用于

ChatGPT中，某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下問題進(jìn)行研究：甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有5個(gè)大小相同的小球，其中

甲箱中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙箱中有4個(gè)紅球、1個(gè)白球，從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，在已知抽到紅球

的條件下，則2個(gè)球都是紅球的概率為—；擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)小于等于4,從甲箱子中

隨機(jī)抽出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)大于等于5,從乙箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球，若抽到的是紅球，則它是來自乙箱

的概率是.

【變式6-4］隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴(yán)重，上班族需要選擇合理的出行方式.某公司員工小

明上班出行方式有自駕、坐公交車、騎共享單車三種，某天早上他選擇自駕、坐公交車、騎共享單車的概率分

別為！!!，而他自駕、坐公交車、騎共享單車遲到的概率分別為，二二，則小明這一天遲到的概率

333456

為;若小明這一天遲到了，則他這天是自駕上班的概率為.

【變式6-5］（2024.高三.浙江.開學(xué)考試）隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴(yán)重，上班族需要選擇合

理的出行方式.某公司員工小明上班出行方式由三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概

率分別為:二,1，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為結(jié)果這一天他遲到了，在

333456

此條件下，他自駕去上班的概率是.

題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用

【典例7-1】（2024?高三?湖南衡陽?開學(xué)考試）假設(shè)在數(shù)字通信中傳送信號(hào)。與1的概率為0.8和0.2.由于隨

機(jī)干擾，當(dāng)傳送信號(hào)0時(shí)，接收到信號(hào)為。的概率為0.8,當(dāng)傳送信號(hào)1時(shí)，接收到信號(hào)為1的概率為0.9.

求：

（1）當(dāng)接收到信號(hào)。時(shí)，傳送的信號(hào)是。的概率；

（2）在信息傳送過程中，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)人接收到信息后，將信息發(fā)送給第二個(gè)人，這樣依次傳遞下去，在〃次傳

遞中，0出現(xiàn)的次數(shù)為X,求E（X）.

【典例7-2】假定用血清甲胎球蛋白法診斷肝癌，P（A|C）=0.95,P（A|C）=O.9O,這里C表示被檢驗(yàn)者患

有肝癌這一事件，A表示判斷被檢驗(yàn)者患有肝癌這一事件.又設(shè)在自然人群中P（C）=0。004.現(xiàn)在若有一

人被此檢驗(yàn)法診斷為患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率.

【方法技巧】

若隨機(jī)試驗(yàn)可以看成分兩個(gè)階段進(jìn)行，且第一階段的各試驗(yàn)結(jié)果具體結(jié)果怎樣未知，那么：（1）如果

要求的是第二階段某一個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率，則用全概率公式；(2)如果第二個(gè)階段的某一個(gè)結(jié)果是已知的,

要求的是此結(jié)果為第一階段某一個(gè)結(jié)果所引起的概率，一般用貝葉斯公式.

【變式7-1]在數(shù)字通信中，由于存在隨機(jī)干擾，因此接收到的信號(hào)與發(fā)出的信號(hào)可能不同，為了確定發(fā)

出的信號(hào)，通常需要計(jì)算各種概率，下面只討論一種比較簡(jiǎn)單的模型一二進(jìn)位信道.若發(fā)報(bào)機(jī)分別以

0.7和0.3的概率發(fā)出信號(hào)。和1(譬如分別用低電平與高電平表示)，由于隨機(jī)干擾的影響，當(dāng)發(fā)出信號(hào)。

時(shí)，接收機(jī)不一定收到0,而是分別以概率0.8和0.2收到。和1；同樣地，當(dāng)發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)出信號(hào)1時(shí)，接收

機(jī)分別以概率0.9和0.1收到信號(hào)1和0.計(jì)算當(dāng)接收機(jī)收到信號(hào)0時(shí)，發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)出信號(hào)0的概率.

【變式7-2】某中學(xué)即將迎來百年校慶，校方準(zhǔn)備組織校史知識(shí)競(jìng)猜比賽.比賽規(guī)則如下：比賽分成三輪，

每輪比賽沒有通過的學(xué)生直接淘汰，通過的學(xué)生可以領(lǐng)取獎(jiǎng)品結(jié)束比賽，也可以放棄本輪獎(jiǎng)品繼續(xù)下一輪

比賽，三輪都通過的學(xué)生可獲得獎(jiǎng)品一紀(jì)念版手辦.已知學(xué)生每輪通過的概率都為:，通過第一輪比賽后領(lǐng)

取獎(jiǎng)品結(jié)束比賽的概率為g,通過第二輪比賽后領(lǐng)取獎(jiǎng)品結(jié)束比賽的概率為;.

(1)求學(xué)生小杰獲得獎(jiǎng)品的概率；

(2)已知學(xué)生小杰獲得獎(jiǎng)品，求他至少通過兩輪比賽的概率；

(3)求學(xué)生小杰通過的比賽輪數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【變式7-3](2024?福建廈門?模擬預(yù)測(cè))甲箱裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，乙箱裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，這

些球除顏色外完全相同.某人先從兩個(gè)箱子中任選一個(gè)箱子，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一球.

(1)求摸出的球是黑球的概率；

(2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判斷該球取自哪個(gè)箱子的可能性更大.

【變式7-4](2024.安徽?模擬預(yù)測(cè))現(xiàn)需要抽取甲、乙兩個(gè)箱子的商品，檢驗(yàn)其是否合格.其中甲箱中有9個(gè)

正品和1個(gè)次品；乙箱中有8個(gè)正品和2個(gè)次品.從這兩個(gè)箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)箱子，再?gòu)脑撓渲械瓤赡艹?/p>

出一個(gè)商品，稱為首次檢驗(yàn).將首次檢驗(yàn)的商品放回原來的箱子，再進(jìn)行二次檢驗(yàn)，若兩次檢驗(yàn)都為正品,

則通過檢驗(yàn).首次檢驗(yàn)選到甲箱或乙箱的概率均為;.

(1)求首次檢驗(yàn)抽到合格產(chǎn)品的概率；

(2)在首次檢驗(yàn)抽到合格產(chǎn)品的條件下，求首次檢驗(yàn)選到的箱子為甲箱的概率；

(3)將首次檢驗(yàn)抽出的合格產(chǎn)品放回原來的箱子，繼續(xù)進(jìn)行二次檢驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案：方案一，從首次檢

驗(yàn)選到的箱子中抽??；方案二，從另外一個(gè)箱子中抽取.比較兩個(gè)方案，哪個(gè)方案檢驗(yàn)通過的概率大.

【變式7-5](2024?湖南?二模)現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)某種相同的產(chǎn)品進(jìn)入市場(chǎng)，己知甲、乙、丙

三個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率分別為:，現(xiàn)有某質(zhì)檢部門，對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè),

首先從三個(gè)工廠中等可能地隨機(jī)選擇一個(gè)工廠，然后從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品抽取一件進(jìn)行檢測(cè).

(1)若該質(zhì)檢部門的一次抽檢中，測(cè)得的結(jié)果是該件產(chǎn)品為優(yōu)秀等級(jí)，求該件產(chǎn)品是從乙工廠抽取的概率；

(2)因?yàn)槿齻€(gè)工廠的規(guī)模大小不同，假設(shè)三個(gè)工廠進(jìn)入市場(chǎng)的產(chǎn)品的比例為2：1：1,若該質(zhì)檢部門從已經(jīng)

進(jìn)入市場(chǎng)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，求能達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的產(chǎn)品的件數(shù)4的分布列及數(shù)學(xué)期望.

㈤4

1.(2024年上海市1月春考數(shù)學(xué)試題)有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國(guó)結(jié)、記事本、筆袋，第四

個(gè)禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個(gè)盒子，設(shè)事件A：所選盒中有中國(guó)結(jié)，事件所選盒中有記

事本，事件C：所選盒中有筆袋，則()

A.事件A與事件2互斥B.事件A與事件B相互獨(dú)立

C.事件A與事件BuC互斥D.事件A與事件BcC相互獨(dú)立

2.(2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑雪,

70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛

好滑冰的概率為()

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

3.(2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的

隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)

字是2"，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則

()

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

4.(2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(全國(guó)H卷))某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天

的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一

天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45

課本典例?高考素材W

1.分析如下三個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)及指定的隨機(jī)事件，并解答下面的問題.

E,：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣；事件A=“兩枚都正面朝上”.

E2：向一個(gè)目標(biāo)射擊兩次，每次命中目標(biāo)的概率為0.6；事件8="命中兩次目標(biāo)”.

E,：從包含2個(gè)紅球、3個(gè)黃球的袋子中依次任意摸出兩球；事件C="兩次都摸到紅球

(1)用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示試驗(yàn)的可能結(jié)果，分別寫出各試驗(yàn)的樣本空間；

(2)指出這三個(gè)試驗(yàn)的共同特征和區(qū)別；

(3)分別求A,B,C的概率.

2.如圖，一個(gè)正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8,任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的

面上的數(shù)字，得到樣本空間為。={1,2,3,4,5,6,7,8}.構(gòu)造適當(dāng)?shù)氖录嗀,B,C,使

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，但不滿足A,B,C兩兩獨(dú)立.

(2)如果此人患流感，求此人選自A地區(qū)的概率.

8.甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有10個(gè)球，其中甲箱中有5個(gè)紅球、5個(gè)白球，乙箱中有8個(gè)紅球、2個(gè)白球.

擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為1或2,從甲箱子隨機(jī)摸出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)為3,4,5,6,從乙箱

子中隨機(jī)摸出1個(gè)球.求摸到紅球的概率.

㈤6

〃易錯(cuò)分析-答題模板\\

易錯(cuò)點(diǎn)：混淆互斥與獨(dú)立

易錯(cuò)分析：相互獨(dú)立事件的獨(dú)立性，在統(tǒng)計(jì)學(xué)上被稱作“統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性”，這種獨(dú)立性是基于事件的“概

率”來定義的。重要的是要理解，一個(gè)事件對(duì)另一個(gè)事件“發(fā)生的概率”沒有影響，并不意味著它對(duì)“事件本

身”沒有影響。在判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立時(shí)，必須依據(jù)它們的概率計(jì)算來進(jìn)行判斷，而不能僅僅依靠

直觀感覺或表面現(xiàn)象。簡(jiǎn)而言之，要確定事件間的獨(dú)立性，概率分析是關(guān)鍵，直觀判斷可能誤導(dǎo)。

【易錯(cuò)題1】拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，記錄骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，若用X表示紅色骰子的

點(diǎn)數(shù)，用，表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用（X,y）表示一次試驗(yàn)結(jié)果，設(shè)事件E:x+y=8；事件P：至少有一顆

點(diǎn)數(shù)為5；事件G:x>4；事件"：》44.則下列說法正確的是（）

A.事件E與事件F為互斥事件B.事件F與事件G為互斥事件

C.事件E與事件G相互獨(dú)立D.事件G與事件H相互獨(dú)立

【易錯(cuò)題2】若古典概型的樣本空間/2={1,2,3,4,5,6},事件A={2,4,6},3={1,2,3,4},則（）

A.B包含AB.A與2對(duì)立C.A與8互斥D.A與2相互獨(dú)立

答題模板：求條件概率

1、模板解決思路

條件概率是求解在某一事件A發(fā)生的條件下，另一事件B發(fā)生的概率。解決條件概率問題的思路主要

包括以下幾步：首先，明確題目中給出的所有事件以及它們之間的關(guān)系；其次，根據(jù)條件概率的定義；最

后，將已知的概率值代入公式進(jìn)行計(jì)算，得出條件概率的結(jié)果。這一過程中，需要注意事件的獨(dú)立性和互

斥性，以及如何利用這些性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算。

2、模板解決步驟

第一步：求出事件A發(fā)生的概率P(A).

第二步：求出事件A與事件3同時(shí)發(fā)生的概率P(A3).

第三步：利用公式P{B\A)=求得條件概率P(B|A).

【經(jīng)典例題1】“端午節(jié)”是我國(guó)四大傳統(tǒng)節(jié)日之一，是集拜神祭祖、祈福辟邪、歡慶娛樂和飲食為一體的

民俗大節(jié)，其民間活動(dòng)也是豐富多彩，有賽龍舟、鳳舟、吃粽子、飲雄黃、懸艾葉、驅(qū)五毒等