2025年新高考數學一輪復習：數列（測試）（學生版+解析）

第六章數列（測試）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.等比數列｛叫的前〃項和S“=4i+t,貝曠=（）

A.—IB.—C.—D.—

423

2.已知等差數列｛%｝中，的是函數/（x）=sin（2x-*）的一個極大值點，則tan（%+%）的值為（）

A.gB.百C.±73D.-73

3.正整數L2,3,，”的倒數的和1+:+：++,已經被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求

23n

和公式，只是得到了它的近似公式，當"很大時，i+D+工。山〃+九其中/稱為歐拉-馬歇羅尼常數，

23n

0.577215664901,至今為止都不確定/是有理數還是無理數.設印表示不超過x的最大整數，用上式計

算］1+:+>+/］的值為（）

（參考數據：1112go.69,ln3?1.10,In10?2.30）

A.10B.9C.8D.7

4.在各項均為正數的等比數列｛4｝中，若。2。4+2。3%+。4。6=16,則%+生=（）

A.1B.2C.3D.4

5.已知實數a,b,c構成公差為d的等差數列，若abc=2,b<0,則d的取值范圍為（）

A.卜8,-6）。［白,+8）B.（-00,-2）32,+8）

C.卜D.（-00,-3）U［3,+ao）

6.已知％=〃?（令2,則數列｛q,｝的偶數項中最大項為（）

A.4oB.%C.4D.%

7.如圖所示的一系列正方形圖案稱為“謝爾賓斯基地毯”，在4個大正方形中，著色的小正方形的個數依次

*，、c111

構成一個數列｛%,｝的前4項.記S=—+—+-?-+----，則下列結論正確的為（）

a

\。2400

A.S>—B.S=—

77

QQ

c.D.S與J的大小關系不能確定

77

8.給定函數〃x）,若數列｛玉｝滿足無田則稱數列｛玉｝為函數“X）的牛頓數列.己知｛x｝為

77W,n

x—2

/（x）=d-無一2的牛頓數列，,且q=l,無“>2（7ZWN+）,數列幾｝的前，7項和為s”.則82023=

Xn+1

)

A.22023-1B.22024-l

D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設等差數列｛凡｝的前〃項和為S“，e是自然對數的底數，則下列說法正確的是（）

A.當“eN*時，S”，S2m,S3nl是等差數列

B.數列｛e'"｝是等比數列

C.數列［十｝是等差數列

sS-S

D.當p,q均為正整數且。二4時，~工

p+qp-q

10.記數列｛q｝的前〃項和為5“,5“=4〃+84、8為常數.下列選項正確的是（）

A.若1A+3=1,則4=1B.若A=2,貝!J%=2

C.存在常數A、B,使數列｛4｝是等比數列D.對任意常數A、B,數列｛q｝都是等差數列

11.設等比數列｛%｝前"項積為】，公比為心若%>1,?2023?2024>1-<0,則下列結論正確的是

“2024—1

)

A.0<^<1B?〃2023〃2025一1〉0

C.當〃=2023時，1取最大值D.使（＞1成立的最大自然數"是4046

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

1117

12.已知在遞增的等比數列｛q｝中，ata2a3=1,y+—+y=則數列｛?｝的通項公式為為=.

13.設數列｛%｝的通項公式為%=/-"/eN*,該數列中個位數字為0的項按從小到大的順序排列構成數

列也）,則小被7除所得的余數是,

"11"12"13人1

。12。13tl

“21“22623

%1①2。23

已知數表（"）=a（）41”32833

14.A",。31〃32。333n,Bn,n=

yanlan2an3ann）4bn2bn3bnn,

其中4,c..（z,jeN*,i,/W分別表示A（",n）,C（〃,“）中第i

行第/列的數.若&=%%+%%?++ai?b?j,則稱C（”,"）是人（〃,"），/〃,〃）的生成數表.若數表

2_2_、

4（2,2）=[：[,3（2,2）=520,且C（2,2）是A（2,2）,3（2,2）的生成數表，則C（2,2）=.

IJI/U

55,

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

已知數列｛q｝為公差不為零的等差數列，其前〃項和為3，￡=49,且0，%，如成等比數歹！J.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）若數列｛。,+2｝是公比為3的等比數列，且2=22,求也｝的前“項和】.

16.（15分）

已知數列｛q｝的首項%=3,且滿足。同=24-1（neN,）.

⑴求證：數列｛4-1｝為等比數列；

⑵記〃=log,（a“-l）,求數列的前〃項和S,i,并證明:

bb

[?n+iJ2

17.(15分)

已知正項數列｝的前"項和為S"，且滿足q=1,Sn="?試求：

(1)數列｛%｝的通項公式；

(2)記]=%,，數列,'1的前"項和為T,,當時，求滿足條件的最小整數”.

匕￡“+1J9

18.(17分)

已知｛4“｝是等差數列，公差d*0,4+%=8,且％是為與%的等比中項.

(1)求｛%｝的通項公式

⑵數列也｝滿足"含=2%，且4=]

(i)求也｝的前w項和S..

(ii)是否存在正整數相，”(m^n),使得邑，品“，邑”成等差數列，若存在，求出“，”的值;

若不存在，請說明理由.

19.(17分)

如果〃項有窮數列｛%｝滿足4=%,a2=an_r,a”=a、,即q=4T+][=1,2,JI),則稱有窮數列｛%｝

為“對稱數列”.

⑴設數列也｝是項數為7的“對稱數列”，其中乙也也也成等差數列，且么=3,々=5,依次寫出數列也｝

的每一項；

⑵設數列｛g｝是項數為2"1(丘N*且處2)的“對稱數列”，且滿足高+「。”|=2,記5"為數列｛&｝的前

”項和.

①若Q,c2,q構成單調遞增數列，且&=2023.當％為何值時，S21取得最大值？

②若q=2024,且邑i=2024,求上的最小值.

第六章數列（測試）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.等比數列｛%｝的前“項和S"=4"T+f,貝心=（）

A.—1B.—C.—D.一

423

【答案】B

【解析】若等比數列｛4｝的公比為1，

因為S]=t,S2=4+t,S3=16+/,

貝|]4+，=21,16+，=3，，矛盾，故qwl

設等比數列｛%｝公比為q｛qN1）,則Sn="_組二

1-q1-q1-q

即等比數列｛%｝的前〃項和S“要滿足Sn=AB"-A（AB^Q）,

又因為臬=47+r=Jx4"+f,所以/

44

故選：B

2.已知等差數列&｝中，%是函數/（X）=sin（2x-令）的一個極大值點，則tan@+的）的值為（）

A.gB.百C.±73D.-73

【答案】D

【解析】由正弦函數性質知，當2X-￡=]+2E,即x=1+E,左eZ時，函數/（x）=sin（2x-令）取得極大值，

JT2冗

則〃7=§+阮,左￡2,由等差數列性質，得%+偈=2a）=工~+2E,k￡Z,

27r2TL7LTCI-

所以tani%+的）=tan（---b2kn）=tan——=tan（7i——）=-tan—=73.

故選：D

3.正整數1,2,3,，”的倒數的和i+:+：++!已經被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求

23n

和公式，只是得到了它的近似公式，當“很大時，1+!+:++!。皿/+九其中/稱為歐拉-馬歇羅尼常數，

23n

0.577215664901,至今為止都不確定/是有理數還是無理數.設印表示不超過x的最大整數，用上式計

算心>的值為（）

（參考數據：In2?0.69,ln3-1.10,lnl0?2.30）

A.10B.9C.8D.7

【答案】C

111*

【解析】設…+萬+”+產N,則―+九

因為4+1-%1+-+-+L

23

可知數列｛q｝為遞增數列,

且4800~In1800+/=ln2+21n3+21nl0+/?8.07,

〃2048xIn2048+/=llln2+/?8.17,

可知8.07<%024<817,所以l+j+[+L+=[〃20241=8.

故選：c.

4.在各項均為正數的等比數列｛%｝中，若。2%+2%%+%R=16,則%+。5=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】由。2a4+2%%+。4a6=16得2%%+。；=16,即(4+%)2=16,

因為等比數列｛%｝各項均為正數，所以%+%=4,

故選：D.

5.已知實數a,b,c構成公差為1的等差數列，若abc=2,b<0,則］的取值范圍為()

A.卜8,-右)。［百,+8)B.(-00,-2)U［2,+00)

C.卜8,-石卜［石,+8)D.(-00,-3)U［3,+00)

【答案】A

【解析】由實數。，6,c構成公差為d的等差數列，所以設a=〃-d,c=b+d,

貝abc=b｛b2-d2)=2,所以屋=片僅<0),

構造函數/僅)=廿一?僅<o),川6)=變士D，

bJ\/及

當be(y,-l)時，f\b)<0,所以此時46)單調遞減,

當be[T,O)時，/(/7)>0,所以此時八6)單調遞增,

所以/(6)的最小值為"-1)=3,

當6趨近于-8時，/。)趨近于+如當6從負方向趨近于。時，/(4也趨近于田,

所以屋e[3,+oo）,所以de（-w,-石）-[g,+oo）.

故選：A.

6.已知%=〃?，產2,則數列｛q｝的偶數項中最大項為()

A.%oB.%C.a6D.%

【答案】D

【解析】數列｛4｝中，a"："，)'會,4n+l

~~5X~n~'

4〃+1

令--->1,解得“<4,則當”<4時，a>a,即%>%>。2>%，

5nn+1n

同理當〃>4時，an+i<an,即%>4>%>%>-，而當〃=4時，%=%，

所以數列｛q｝的偶數項中最大項為明.

故選：D

7.如圖所示的一系列正方形圖案稱為“謝爾賓斯基地毯”，在4個大正方形中，著色的小正方形的個數依次

構成一個數列｛為｝的前4項.記S='+'+…+」一，則下列結論正確的為()

QQ

C.SqD.S與了的大小關系不能確定

【答案】C

【解析】由圖分析可知％=1，%=8%+1=8+1,

t/j=8a,+1=8（8+1）+1=8i+8+1,

9897

依次類推，?100=8"+8+8++8+1,

LL…+-+J1

所以5=++8"+89S+897+~+8+1

“l(fā)oo8+18+8+1

100

b1-

100

<"+3++1_818

1-<—?

882薩=一1-1787

8

故選：C.

8.給定函數若數列｛玉｝滿足斗+|=尤“-堯J,則稱數列｛玉｝為函數的牛頓數歹I」.已知｛■為

%—2

〃x）=x2-x-2的牛頓數列，??=ln^—且q=l,x.>2（〃eN+）,數列｛見｝的前〃項和為S”.則￡023

當+1

）

A.22023-1B.22024-1

20222023

C.II-1D.I-1

【答案】A

七一2_片+2

【解析】由/（尤）=x?—無一2可得/'（無）=2*—1,xn+l=xn

2尤“一12x?-l

看+2

'尤「2

彳用一22?1一2I,則兩邊取對數可得In

X+1

n+1片+2?]、%+1尤.+1+1Z+1.

2%,-1

即4角=2瑪，所以數列｛凡｝是以1為首項，2為公比的等比數列.

所以％23=22023—1.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設等差數列｛見｝的前"項和為S“，e是自然對數的底數，則下列說法正確的是（）

A.當mEN*時，Sm，s2m,S3”是等差數列

B.

C.數列是等差數列

D.當p,q均為正整數且p—g時，上Ji~工

p+qp-q

【答案】BCD

【解析】對于A,令根=1,貝!]邑-$1=出，S3~S2=a3>

當dW0時，a2w/，即星—5戶S3—S2,

所以跖，邑，邑不是等差數列，故A錯誤；

,、pan+\

對于B,設｛g｝的公差為d,則==■，「％=/（定值），

e”

所以付”｝是公比為e”的等比數列，故B正確;

n(n-1),

是公差墻的等差數列’故°正確;

對于C,故

nn22n

(p+q)(p+4-l)

(0+q)q+d_d.、d,

對于D,%2

—=5(P+9)+4一耳

p+qP+Q

p(p—l)」q(q-1),

—d-qax+---——d

Spf

p+qp-q

故選：BCD.

10.記數列｛4｝的前〃項和為S“,S,=An+B,A,8為常數.下列選項正確的是（）

A.若A+_B=1,則。1=1B.若A=2,則電二2

C.存在常數A、B,使數列｛%｝是等比數列D.對任意常數A、B,數列｛4｝都是等差數列

【答案】ABC

【解析】對于A,若A+B=l,則4=R=A+5=l,A正確；

對于B,若A=2,則%=S2—S]=（2A+5）—（A+5）=A=2,B正確；

對于C,由+5得〃1=S]=A+5,

當孔22時，％==（即+B）-[.1）+5]=A,

所以，當5=0,Aw0時，數列｛“J是公比為1的等比數列，C正確；

對于D,由上知，當幾>2時%=A,若5w0,則%-4=A-（A+_B）=-Bw%-%=0,

此時，數列｛g｝不是等差數列，D錯誤.

故選：ABC

11.設等比數列｛q｝前W項積為】，公比為心若為>1,出。23%024>1，線匚1<°,則下列結論正確的是

°2024—1

（）

A.0<4<1B.。2023a2025-1>0

C.當〃=2023時，1取最大值D.使（>1成立的最大自然數〃是4046

【答案】ACD

a—1

【解析】A選項，4>1,a7T<0,故“2023>I“2024<1或〃2023VL〃2024>，

。2024T

當〃2023<I〃2024>1日寸，由〃2023a2024>矢口〃2024>L。<。2023<1，

所以4=詠?1,+功，但產2=詠?0,1),互相矛盾，舍去,

〃2023%

當“2023>I“2024<1時,又出023%024>1，所以“2023>L。<4024<1，

故好詠40,1)滿足要求，A正確；

“2023

B項，^2023^2025—1="2024—1<°,B錯；

C選項，因為“2023>1，。<%024<］，°V,V1,

故當〃=2023時，（取最大值，C正確;

D選項，由于4>%>>4023>1，故當1<九工4045時，

1(1(5〈)與045=,。4044。4045=(“2023))1，

n046=”4045”4046=(〃1。4046)=(〃2023。2024)>】'

4047=4%^4046^4047=(^^4047)%024=(%024)<1'

使，>1成立的最大自然數場是4046,D正確.

故選：ACD

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知在遞增的等比數列｛4｝中，axa2a3=1,-+—+—=則數列｛〃〃｝的通項公式為。〃=

【答案】2日”N*）

【解析】設等比數列｛q｝的公比為9，因為％%%=1,所以4=1,解得％=1，

=1

1117

又/+丁+丁=5，所以有<115,

-----1------

2

由｛%｝是遞增的等比數列,解得q==2,

所以4=&=2,即有a"」x2"T=27.

%2

故答案為：2-2（?eN*

13.設數列｛%｝的通項公式為風="-〃,〃￡N*,該數列中個位數字為0的項按從小到大的順序排列構成數

列也｝，則b20K被7除所得的余數是

【答案】0

【解析】因為%=〃3Tz="（"—1）5+1）,所以當”的個位數字為1,4,5,6,9,0時,

凡的個位數為0,則在數列｛%｝中，每連續(xù)10項中就有6項的個位數字為0,

而2017=336x6+1,由此推斷數列也｝中的第2017項相當于數列｛q｝中的第3361項,

即3>i7=a336i=336F-3361,而3361=480x7+1,所以3361除以7余數為1,

而（7左+葉=（7左）3+3（7左）2+3（7左）+1,keNf,所以336F除以7余數也為1,

而它們的差336F-3361一定能被7整除,所以優(yōu)。”被7除所得余數為0.

故答案為：0.

an“12

022

14.已知數表A（〃,〃）=，B(〃,〃)=832

b

舊1氏2氏3“砧)*?n)

C(/Z,77)=，其中陽也,與wN*工分別表示A（〃㈤，B（n,n）,中第i

Cn3Cnn>

行第，列的數.若0=生氏+生2b2j++*,則稱是A（〃〃），的生成數表.若數表

31

8520

A(2,2)=,8(2,2)=，且C（2,2）是4（2,2）,8（2,2）的生成數表，則C（2,2）=

I26

J5，

20

【答案】

12

［解析］由題意，得C"=4島+%2。21=gx^+lXy=2,

12

。21~］+%2,21=4x—+3x—=2,

+lx|=O,

c12=anbl2+%2b22=8x

c

22=a2ib]2+a22b22=4xfj+3x-|=3,

-2,2）=］：

故答案為：131

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

已知數列/｝為公差不為零的等差數列，其前w項和為S“，S7=49,且％,%,附成等比數列?

⑴求｛屐｝的通項公式；

⑵若數歹豈q+2｝是公比為3的等比數列，且4=22,求也｝的前"項和

【解析】（1）因為｛碑｝為等差數列，設公差為d,

由跖=49,得（％+；）義7=7%=49,=2=7即％+3d=7,

由%，生，知成等比數列得d=為“4，n（7+d）2=（7-2d）（7+10d）,（3分

化簡（7+d）2=（7-2d）（7+10d）得42_2d=0,因為1W。，所以d=2.

所以=%+（〃—4”=2〃-1（〃￡?4*）.

綜上?！?2〃—l（nwN*）.（6分）

（2）由〃〃=2fl-1知。［=1,%=5,

又｛凡+2｝為公比是3的等比數列，4=22,

所以的+4=（4+4）x9=5+22=27,即〃1+,=1+4=3,

所以+么=3x3M=3〃，％=3〃—（2〃一1）,（〃eN*）（10分）

所以7；二4+打+仇+…+勾=31+32+33+3+3〃一口+3+5+―+（2〃-1）］

3x（l-3"）（l+2〃-3"+i-32

=--------------------------------=------------n-

1-322

綜上至士一（13分）

“2

16.（15分）

已知數列｛q｝的首項巧=3,且滿足%+1=2為一1（〃eN*）.

⑴求證：數列｛q-1｝為等比數列；

⑵記〃=log,（4-1）,求數列;的前"項和S,,并證明

〔她+J2

【解析】（1）由%=2an-l（neN*）得為口-1=2（a—1）,（〃eN*）,

又q-l=2,所以｛%-1｝是首項為2,公比為2的等比數列.（6分）

（2）由（1）知，4-1=2X2"T=2",所以々=log2（a〃-1）=〃

1111

所以〃〃_=，加=----77，（10分）

bnbn+in（n+1）nn+1

s“=4+H+4++bn

223nn+ln+1n+1

當“eN”時，S?=l--匚單調遞增，

（15分）

n+12

17.（15分）

已知正項數列｛a,,｝的前"項和為S.,且滿足％=1,S“=.試求：

⑴數列｛%｝的通項公式；

1,I2

（2）記c,,=a,“，數歹"——的前”項和為當時，求滿足條件的最小整數".

cc

[??+l\9

【解析】（1）因為s.=安,

當〃=1時，4=n%=2,

當幾之2時，（3分）

因為S,=4件,

兩式相減得，。〃吟口+1-?！?1）,

因為%>0,所以2=%+i-4_i,（6分）

所以｛⑸一/，｛%｝均為等差數列，%.1=2〃-1，a2n=2n.

所以（7分）

112〃.2：+1）T-,

（2）由題意得,

"〃+1a2na2（n+\）

所以4+（10分）

2

因為

bi、in2

所以4(〃+1)>9'

解得〃>8.所以滿足條件的最小整數”為9.(15分)

18.(17分)

已知｛。,｝是等差數列，公差1*0,%+%=8,且％是%與%的等比中項.

(1)求｛屐｝的通項公式

⑵數列也｝滿足與含=2%,且偽=1

°n°n+\/

(i)求也｝的前W項和S“.

(ii)是否存在正整數加，n(祇?！?，使得S2m,S2,,成等差數列，若存在，求出相，”的值;

若不存在，請說明理由.

【解析】(1)因為｛“為等差數列，且q+%=8,所以％=4.

又能是%與%的等比中項，所以即16=(4—2d)(4+4d).

化簡得cP—4=0,解得d=l或d=0(舍),

所以4=<23+e-3)xl=〃+l.(5分)

(2)(i)由，；7""=2a”,得，-一1=2a“，所以〈■—?—=2?！癬[(M>2),又瓦=，,

她+i%b,bn%2

..1f11)(11)(1111

bb

n14n-i)(%bn_2)[b2bjb｛

=2%+2an_2++2ax+-^-=4(n-l)+――—―x2