2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（七大題型）（練習(xí)）（學(xué)生版+解析）

第04講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：垂直性質(zhì)的簡(jiǎn)單判定.....................................................2

題型二：證明線線垂直...........................................................2

題型三：證明線面垂直...........................................................4

題型四：證明面面垂直...........................................................5

題型五：面面垂直的性質(zhì)定理.....................................................7

題型六：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用.....................................................8

題型七：鱉月需幾何體中的垂直....................................................11

02重難創(chuàng)新練.................................................................13

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................19

題型一：垂直性質(zhì)的簡(jiǎn)單判定

1.設(shè)戊、力是兩個(gè)平面，加、力是兩條直線，且。/3=m.下列四個(gè)命題：

①若加〃”，則〃〃6Z或〃〃尸②若則“J_￡Z,nVP

③若M/c,且"http://夕，貝!④若”與a和月所成的角相等，則機(jī)

其中所有真命題的編號(hào)是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

2.（2024?四川成都?三模）已知直線/、加、九與平面a、戶，下列命題正確的是（）

A.若/J_”,mLn,則/〃

B.若/_La,1///3,則a，/?

C.若/_1_1,IA.m,則〃z〃a

D.若a_L尸，?p=m,IVm,貝l|/_L￡

3.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知小，九是兩條不同的直線，a,戶，7是三個(gè)不同的平面，下列命

題為真命題的是（）

A.若。_1;?,/?±/,則tz_LyB.若a_L￡,mua,〃u/?,則m_L〃

C.若mJ_a,n±a,貝D.m-Ln,mlla,alI/3,則”_1_齊

題型二：證明線線垂直

4.（2024?四川宜賓三模）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A3CD是正方形，AD=PD=2,ZPDC=120°,

PA=2拒，點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段4B上，且

（2）求三棱錐P—ABD的體積.

5.（2024?福建龍巖?三模）如圖，在四棱臺(tái)A2C。-A與G，中，底面四邊形ABC。為菱形,

ZABC=60°,AB=2AA=24耳,例1平面ABCD.

證明：BD1CC1；

7T

6.如圖，三棱柱ABC-A4G中，側(cè)面440C是邊長(zhǎng)為2的正方形，AB=2及,

證明：A\LBCX.

7.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,在平面四邊形BCDP中，PD//BC,BA1AD,垂足為

A,PA=AB=BC=2AD,將E4B沿A5翻折到△&4B的位置，使得平面SAB_L平面A3CD,如圖2所示.

圖1圖2

（1）設(shè)平面sen與平面&45的交線為/,證明：BCLI.

題型三：證明線面垂直

8.如圖所示，A3是〈。的直徑，點(diǎn)C是。。上異于A,PC,平面ABC,E、P分別為B4,PC的中點(diǎn),

求證：￡/_1平面尸2。；

9.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱ABC-$qG中，E是已出上的點(diǎn)，且人石，平面ABg.

求證：3CL平面

10.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E是AD的中點(diǎn).

A

(1)求該圓柱體的體積；

(2)證明：DE_L平面ABE；

11.(2024?寧夏銀川?一模)如圖，在四棱錐尸—ABCD中，己知尸A=PC=PD,A8//CD,NAr)C=90

是AC的中點(diǎn).

⑴證明：PO_L平面ABCD；

(2)若AD=OC=PO=2AB=2,點(diǎn)E是尸C的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到平面PAD的距離.

題型四：證明面面垂直

12.(2024?四川資陽?二模)如圖，在四面體ABC。中，AB=AC=AD=BC=BD=2,BC±BD,E,

尸分別為A8,AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面ACD_L平面BCD；

(2)求點(diǎn)A到平面BDF的距離.

13.（2024?四川成都模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB//CD,ZBAD=6O°,AB=1,AD=CD=2,

BELCD.

/B

(1)證明：平面瓦)E_L平面ABCD；

(2)^ADYDE,DE=4母,尸為庭中點(diǎn)，求三棱錐產(chǎn)-ABE的體積.

14.(2024?廣西?模擬預(yù)測(cè))在長(zhǎng)方體ABCD-乖。自中，點(diǎn)E,F分別在BB},方，上，且4斤，A.D,

AAl=BD.

Ds___________Cx

求證：平面AC。，平面AEF；

15.(2024?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè))如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2,ZS4D=60°,E為邊CD上

的點(diǎn)，CB=CE=1,以EB為折痕把CEB折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且三棱柱APE的體積為"

O

證明：平面P3E_L平面

題型五：面面垂直的性質(zhì)定理

16.如圖，在四邊形ABCD中，△ABD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，出〃。,。=2.現(xiàn)將△M￡＞沿比＞邊折起,

使得平面平面BCD,點(diǎn)E是的中點(diǎn).

求證：8E_L平面ACD；

17.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，斜三棱柱ABC-ABG的各棱長(zhǎng)均為2,側(cè)棱B片與底面ABC

7T

所成角為且側(cè)面小珥A_L底面A3C.

證明：點(diǎn)與在平面A3C上的射影。為A8的中點(diǎn);

18.如圖1,在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CO上，BC=DE=2EC=2,將，D鉆沿AE進(jìn)行翻折，翻折后。

點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)位置，且滿足平面PAEL平面ASCE,如圖2.

⑴若點(diǎn)P在棱“上，PBc平面CEF=G,求證：CEHFG；

(2)求點(diǎn)E到平面PAB的距離.

19.(2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測(cè))在三棱柱ABC-A4G中，側(cè)面AACG，平面ABC,AC=3C=A4,=4,

JT冗

ZACB=p側(cè)面ACGA為菱形，且〃AC=g,o為CG中點(diǎn).

證明：A。，平面BdCG；

題型六：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

20.如圖，在直三棱柱：ABC-AUG中，AC=BC=1,ZACB=90°,。是4片的中點(diǎn)，歹在上，G為

AB中點(diǎn).

AC

⑴求證：CG〃平面/；

(2)在下列給出的三個(gè)條件中選取哪兩個(gè)條件可使A瓦，平面G。歹?并證明你的結(jié)論.①尸為B片的中點(diǎn)；②

的=百；③A4,=技

21.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A3co是菱形，/DAB=60，PA=PD,G為AD的中點(diǎn).

(1)求證：AD±PB；

(2)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱尸C上找到一點(diǎn)歹，使DFLAD?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

22.已知正方體相8-4862的棱長(zhǎng)為2,耳尸,G分別是相,A綜AR的中點(diǎn).

⑴求證：EF〃平面BCQ；

(2)在線段30上是否存在點(diǎn)H,使得團(tuán)，平面BCQ?若存在，求線段3〃的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由;

⑶求播到平面8CQ的距離.

23.(2024?江西贛州?模擬預(yù)測(cè))如圖，在三棱柱ABC-A耳G中，側(cè)面A41GC是矩形，側(cè)面2片C。是

菱形，ZB,BC=60,D、E分別為棱48、4G的中點(diǎn)，/為線段C3的中點(diǎn).

(1)證明：A尸〃平面AOE；

(2)在棱上是否存在一點(diǎn)G,使平面ACGL平面22。。?若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)G的位置，并證明你的結(jié)論;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

24.(2024?高三?山西大同?期末)如圖，四棱錐尸中，底面A3CO為矩形，PAL底面A3CD,

且M,N分別為棱AB.PC的中點(diǎn)，平面CMN與平面PAD交于直線/.

⑴求證：MN//1-,

(2)若尸。與底面ABCD所成角為a,當(dāng)a滿足什么條件時(shí)，肱V，平面PCD.

題型七：鱉嚅幾何體中的垂直

25.(2024全國模擬預(yù)測(cè))如圖，在直角梯形A3CD中，AB//CD,ABYBC,E是CO上一點(diǎn)，AB=DE=2,

CD=3,BC=y/3,將VADE沿著AE翻折，使。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸處，得到四棱錐尸-ABCE.

證明：PB±AE；

26.國家主席習(xí)近平指出：中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化有著豐富的哲學(xué)思想、人文精神、教化思想、道德理念等，

可以為人們認(rèn)識(shí)和改造世界提供有益啟迪.我們要善于把弘揚(yáng)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和發(fā)展現(xiàn)實(shí)文化有機(jī)統(tǒng)一起來，

在繼承中發(fā)展，在發(fā)展中繼承.《九章算術(shù)》作為中國古代數(shù)學(xué)專著之一，在其“商功”篇內(nèi)記載：“斜解立方,

得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉膈”.劉徽注解為：“此術(shù)腌者，背節(jié)也，或曰半陽馬，其形有似

鱉肘，故以名云”.鱉席，是我國古代數(shù)學(xué)對(duì)四個(gè)面均為直角三角形的四面體的統(tǒng)稱.在四面體P-ACB中，

平面ACB.

RR

圖1圖2

(1)如圖1,若。、E分別是PC、尸8邊的的中點(diǎn)，求證：OE//平面ABC；

(2)如圖2,若BCLAC,垂足為C,且/尸54=30,AB=BAC=?,求直線尸8與平面APC所成角的

大??；

(3)如圖2,若平面APC_L平面BPC,求證：四面體P-ACB為鱉席.

27.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角

三角形的四面體稱之為鱉臆在如圖所示的陽馬尸-ABCD中，側(cè)棱底面A8CZ),且尸D=CD=2,點(diǎn)、E

是PC的中點(diǎn)，連接。及BD、BE.

證明：小，平面P3c.試判斷四面體EBCD是否為鱉席.若是，寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論)；若

不是，請(qǐng)說明理由；

28.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角

三角形的四面體稱之為鱉席.如圖，在陽馬P-MCD中，側(cè)棱尸。，底面ABCD,且PD=CD,過棱PC的

中點(diǎn)E,作EFLPB交PB于點(diǎn)、F,連接DE,DF,BD,BE.

p

證明：P3_L平面DEF；

1.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形A38是圓柱的軸截面,E是底面圓周上異于A,8的一

點(diǎn)，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.AEVCE

B.3C7/平面ADE

C.平面ADE_L平面3CE

D.止_1_平面3CE

2.（2024?江西景德鎮(zhèn)?三模）已知。，6是空間內(nèi)兩條不同的直線，a,￡,7是空間內(nèi)三個(gè)不同的平

面，則下列說法正確的是（）

A.若e_L/?,aua,則。，/

B.若。，^,aX./3,則aPa

C.若<zc/?=a,<z±/,則"JL7

D.若a\/3,ac/3=a,b1.a,則。_L（z或

3.（2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）己知直線〃?，〃和平面a,q，aV/3,a/3=m,則〃！.力的必要不

充分條件是（）

A.m//nB.n//aC.n±m(xù)D.nVa

4.（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在正方體4BCD-中，M是棱A4上一點(diǎn)，平面M3。

與棱CG交于點(diǎn)N.給出下面幾個(gè)結(jié)論，其中所有正確的結(jié)論是（）

①四邊形是平行四邊形；②四邊形可能是正方形；③存在平面MBA。與直線垂直；④任

意平面MBND］都與平面A?垂直.

C.①④D.①②④

5.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知兩條直線相，〃和三個(gè)平面a,P，y,下列命題正確的是（）

A.若〃7a,mp,則a〃力

B.若a_L6，?±/,則/?〃/

C.若<z_Ly,。1y,a/3=m,則機(jī)_1_7

D.若“u7,n//a,n/，a（3=m,則加〃/

6.（2024?江蘇常州?模擬預(yù)測(cè)）已知小，〃為異面直線，直線/與小，力都垂直，則下列說法不正確的

是（）

A.若/J■平面a,則〃?//a,nila

B.存在平面a,使得/_La,mua,n//a

C.有且只有一對(duì)互相平行的平面a和￡,其中〃?ua,nu（3

D.至少存在兩對(duì)互相垂直的平面a和￡,其中，"ua,nu/3

7.（2024?廣東?一模）已知點(diǎn)P,。分別在平面ABCD的兩側(cè)，四棱錐尸-ABCD與四棱錐Q-A3CD的所

有側(cè)棱長(zhǎng)均為2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.四邊形可能是A3=AC=2的菱形

B.四邊形ABCD一定是正方形

C.四邊形ABCD不可能是直角梯形

D.平面人尸。不一定與平面ABCD垂直

8.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》將兩底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵.如

圖，已知直三棱柱ABC-4瓦G是塹堵，其中的C=90。，則下列說法中不一定正確的是（）

A.耳G〃平面BACB.平面42（，平面AGC

C.AB1BCD.ABC為銳角三角形

9.（多選題）（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐P-廳的平面展開圖中，E,尸分別是AB,BC

的中點(diǎn)，正方形A38的邊長(zhǎng)為2,則在三棱錐P-ED/中（）

A.!PEF的面積為1B.PDYEF

2

C.平面P￡F_L平面。EFD.三棱錐P-ED廠的體積為!

10.（多選題）（2024?江蘇?二模）設(shè)相，”是兩條不同的直線，a,6是兩個(gè)不同的平面，下列命題中

正確的有（）

A.若〃m<za,nu/3,則傘_1￡

B.mLa,mHn,nlI/3,則a_L￡

C.若&//尸，mua,n，/3,貝!|〃z_L"

D.若/w_La,nV（3,mLn,則e_L/?

11.（多選題）（2024?山西呂梁?二模）如圖，在平行六面體A2CD-A耳GR中，底面ABCD是正方形,

。為4G與用口的交點(diǎn)，則下列條件中能成為“AG=A,C”的必要條件有（）

D、

B

A.四邊形ACC0是矩形

B.平面AB耳A，平面ACGA

C.平面BDD黑_L平面ABCD

D.直線0ABe所成的角與直線OC,M所成的角相等

12.（2024?陜西?三模）如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于AB的一點(diǎn)，則下

.（填序號(hào)）

①AEJ_CE；②BELDE；③￡>E_L平面3CE；④平面AZ2E_L平面BCE.

13.（2024?黑龍江?模擬預(yù)測(cè)）已知矩形A38,其中AB=8,AD=4,點(diǎn)。沿著對(duì)角線AC進(jìn)行翻折,

形成三棱錐。'-A3C,如圖所示，則下列說法正確的是（填寫序號(hào)即可）.

①點(diǎn)D在翻折過程中存在BD'LAC的情況;

②三棱錐。'-ABC可以四個(gè)面都是直角三角形;

③點(diǎn)。在翻折過程中，三棱錐O'-ABC的表面積不變;

④點(diǎn)。在翻折過程中，三棱錐的外接球的體積不變.

0AC=4,AB^4AF=4EC,且所交AC于點(diǎn)G,現(xiàn)

沿折痕4c將△ADC折起，直至折起后的DCL3C,止匕時(shí)的面積為.

D

15.（2024?四川?一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AT>=2,點(diǎn)E為線段CO的中點(diǎn)，沿直線AE

將VADE翻折，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P的位置.當(dāng)平面PAEL平面A3CD時(shí)，三棱錐P-ABC的體積為.

16.（2024?廣東?二模）如圖，三棱柱ABC-AqG的底面是等腰直角三角形，NACB=90。，側(cè)面ACGA

是菱形，/4AC=60o,AC=2,平面ABCJ_平面ACC】A.

(1)證明：AC±AB1.

（2）求點(diǎn)G到平面A網(wǎng)4的距離.

17.（2024?河南鄭州?二模）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，AB=AC,ABAC=90°,

點(diǎn)M,N分別為A3和B'C的中點(diǎn).

（1）證明：MN〃平面A4'C'C；

(2)設(shè)AB=4A4，，當(dāng)彳為何值時(shí)，CN，平面A'MN?試證明你的結(jié)論.

18.(2024?全國?模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱柱ABCO-ABCI，中，平面48瓦4和平面BCG片均垂直于

平面ABCD.

(1)求證：平面。平面A3CD；

(2)若M為A4的中點(diǎn)，底面ABCD是正方形，44,=243=4,求三棱錐C「MB。的體積.

19.（2024?四川成都三模）如圖，在三棱臺(tái)ABC-D￡F中，H在AC邊上，平面ACFD，平面ABC,N4CD=60。,

CH=2,CD=4,BC=y/3,BH±BC.

⑴證明：EFLBD；

(2)若VABC的面積為地，求三棱錐O-ABH的體積.

4

匐3

1.（多選題）（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知正方體ABC。-$qGR,則（）

A.直線與3A所成的角為90。B.直線BG與CA所成的角為90。

C.直線BG與平面8BQO所成的角為45?？?直線5G與平面42C￡＞所成的角為45°

2.（2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題）如圖，平面四邊形ABCD中，AB=8,8=3,AD=5若，ZADC=90°,

?1

N8AD=30°,點(diǎn)E,尸滿足=AF=-AB,將△AEF沿跖翻折至！正砂，使得PC=4A/L

⑴證明：EF工PD；

3.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在三棱錐P-ABC中，平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=^.

⑴求證：3C_L平面B4B；

4.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)如圖，在三棱柱ABC-ABC1中，，平面ABC,/ACB=90。.

(1)證明：平面ACGA，平面8片GC；

(2)設(shè)42=4民的=2,求四棱錐A-B4GC的高.

5.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)如圖，在三棱錐P-ABC中，ABYBC,AB=2,BC=2形,

PB=PC=?BP,AP,BC的中點(diǎn)分別為。，E,O,AD=s/5DO,點(diǎn)尸在AC上，BFA.AO.

(1)證明：EF//平面ADO；

(2)證明：平面ADO_L平面2￡尸；

6.(2023年新課標(biāo)全國H卷數(shù)學(xué)真題)如圖，三棱錐A-3CZ)中，DA=DB=DC,BD1CD,

ZADB=ZADC=60,E為BC的中點(diǎn).

(1)證明：BC±ZM；

7.(2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題)如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,

AB=5,DC=3,EF=1,NBAD=NCDE=60。，二面角尸—OC—3的平面角為60。.設(shè)M,N分別為

的中點(diǎn).

⑴證明：FN±AD；

8.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)如圖，四面體ABCD中，AD±CD,AD=CD,ZADB-ZBDC,

E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面BED_L平面AC。；

(2)設(shè)AB=80=2,NAC3=60。，點(diǎn)尸在8。上，當(dāng).、AFC的面積最小時(shí)，求三棱錐尸-ABC的體積.

DE1+BE1=BD1'所以DE工BE，

9.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在四棱錐P-ABCD中，底面

ABCD,CD〃AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=B

P

10.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，四面體ABCD中，AD工CD,AD=CD,ZADB=NBDC,

E為AC的中點(diǎn).

（1）證明：平面3ED_L平面ACD；

11.（2021年全國新高考n卷數(shù)學(xué)試題）在四棱錐Q-A8CD中，底面ABCD是正方形，若

AD=2,QD=QA=45,QC=3.

（1）證明：BFLDE；

14.(2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)(文)試題)如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是矩形，底面ABCD,

M為BC的中點(diǎn)，且PB14M.

(1)證明：平面R4M1平面尸8D；

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-ABCD的體積.

15.(2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題)如圖，在三棱錐A-3co中，平面平面3CO,AB=AD,

。為3。的中點(diǎn).

(1)證明：Q41CD；

(2)若OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-3C-。的大小為45。,

求三棱錐A-3CZ)的體積.

第04講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：垂直性質(zhì)的簡(jiǎn)單判定.....................................................2

題型二：證明線線垂直...........................................................2

題型三：證明線面垂直...........................................................4

題型四：證明面面垂直...........................................................5

題型五：面面垂直的性質(zhì)定理.....................................................7

題型六：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用.....................................................8

題型七：鱉月需幾何體中的垂直....................................................11

02重難創(chuàng)新練.................................................................13

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................19

題型一：垂直性質(zhì)的簡(jiǎn)單判定

1.設(shè)戊、力是兩個(gè)平面，加、力是兩條直線，且。/3=m.下列四個(gè)命題：

若mhn,則〃〃or或〃〃尸②若m_L*則a"_1_尸

③若九〃2，旦n邛,貝！④若"與。和￡所成的角相等，則機(jī)

其中所有真命題的編號(hào)是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】對(duì)于①：若"ua,因?yàn)?//〃，mu。,則山/廣，

若"u尸，因?yàn)樗?“，mua,貝!]〃〃0,

若〃不在a也不在?內(nèi)，因?yàn)樽?/“，mua,m<^/3,

所以M/a且出/夕,故①正確；

對(duì)于②：若機(jī)，“，則"與a,夕不一定垂直，也有可能相交但不垂直，故②錯(cuò)誤;

對(duì)于③：過直線〃分別作平面，與夕，戶分別相交于直線。，直線b,

因?yàn)椤?/a,過直線”的平面與平面口相交于直線a,所以“〃a,

同理可得〃//6,所以a//b,

因?yàn)閍ua,buB,則a//〃，因?yàn)閍ua,a13=m,則a〃加，

正方體ABC￡>-中，平面A3CD平面ADRA=AD,

DBt與平面ABCD所成角為NBQB,

DBt與平面ADD^所成角為NBQA,

1_A/2

又tan/B]DB=tanABXDA^=

綜上只有①③正確.

故選：A.

2.（2024?四川成都?三模）己知直線/、加、"與平面a、?，下列命題正確的是（）

A.若/_L”，mLn,則/〃加

B.若/_La,1///3,則

C.若/_Lc,/_!_根，則機(jī)〃。

D.若aJ■尸，a/3=m,I±m(xù),貝（

【答案】B

【解析】對(duì)于A,若/_!_〃，則/，“平行、相交或異面；

對(duì)于B,若/〃?，則存在使得//4,又因?yàn)?La,《，口,而4u尸，所以a,6，故B正確；

對(duì)于C,若/_La,/_!_,〃，則〃?//c或帆ua,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若a工尸,a（3=m,l±m(xù),且如果/不在。內(nèi)，則不會(huì)有故D錯(cuò)誤.

故選：B.

3.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知根，〃是兩條不同的直線，a,8,7是三個(gè)不同的平面，下列命

題為真命題的是（）

A.若e_L￡,/3,則B.若a_L￡,mua,nuf3,貝I]m_L”

C.若nVa,貝!|加〃"D.mVn,mlla,alI/3,貝1」77_1_乃

【答案】C

【解析】A：若則a與7可能相交，可能平行，故A錯(cuò)誤；

B：若a_L￡,〃?ua,〃u6，則加與〃可能相交，可能平行，故B錯(cuò)誤；

C：若〃工_Lc,〃_L。，由線面垂直的性質(zhì)知〃z〃"，故C正確；

D：若m工n,m//a,a”,則"與?可能相交，可能平行,故D錯(cuò)誤.

故選：C

題型二：證明線線垂直

4.（2024?四川宜賓?三模）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A3CD是正方形，AD=PD=2,ZPDC=120°,

PA=2及，點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段4B上，且AF=g.

⑴求證：CDLEF；

（2）求三棱錐P—ABD的體積.

【解析】（1）證明：在正方形ABCO中，AD=CD,又AD=PD=2,APD=CD=2

在中，點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn)，DELPC,DE平分NPDC,

在RtACDE中，DE=CDcos60°=l,

過E作由J_CZ）交CD于X,連接用，則r>//=DEcos60o=L,

2

在正方形ABCD中，；?四邊形AH，)是矩形，

2

/.CDLFH,又CDLEH,EHFH=H,EH,FHu平面EFH,

二CD_L平面及H,又EFu平面EFH,，CD1.EF.

(2)法一：在△PAD中，VAD=PD=2,PA=2叵，：-AD^PD,

在正方形ABCD中，AD±CD,而CDPD=D,CD,PDu平面PCD,

AT>_L平面尸CD,ADu平面ABCD,平面PCD_L平面ABCD,

平面尸CD：平面A5cz）=C￡>,過尸作2。，8交CD于Q,尸。/平面A3CD,

VZPDC=120°,：.ZPDQ=60°,PQ=PDsin60。=6,

SABO=2,VP-ABD=；X2義道=

法二：在中，VAD=PD=2,PA=272>ADLPD,

在正方形ABCD中，ADVCD,而CDPD=D,CD,PDu平面PCD,

AD_L平面PC。，SABD=SACD=2,S^PCD^DP-DCsin120°=>^

VP-ABD=VP-ACD=VA-PCD=?S&PDC,AD=~~'

5.（2024?福建龍巖?三模）如圖，在四棱臺(tái)ABC。-44G2中，底面四邊形ABC。為菱形,

ZABC=60°,AB=2A4；=244,M1平面ABCD.

證明：BD±CCl；

【解析】在四棱臺(tái)ABC。-ABGR中，44]，CG延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，

故AC,G，A四點(diǎn)共面，因?yàn)?4]_L平面ABCD,5￡>u平面A3cD,故AAJBD,

連接4C，4Q,因?yàn)榈酌嫠倪呅蜛BCD為菱形，故ACS3O,

441cAe=A,A4j,ACu平面AC￡A,故8。2平面ACC〕A,

因?yàn)镃Gu平面ACC|A，所以3D上eq.

7T

6.如圖，三棱柱ABC-A4G中，側(cè)面MGC是邊長(zhǎng)為2的正方形，AB=2及,

【解析】，側(cè)面AC￡A是邊長(zhǎng)為2的正方形,

二招"G，M=AC]=2,AC1=6,

側(cè)面4418n是平行四邊形，

TT

ZBBX\=ZBAAX=-,

在，BAA,中,由余弦定理有端+AB2-\B2=2A4j-ABcos^BA^,

解得AB=2,.44/是直角三角形,

AAt1A.B,ABcAG=A，A1B,AGu平面A^G，

二招，平面A2G，又BGu平面A^G，

A4(1BC［；

7.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,在平面四邊形BCDP中，PD//BC,BALAD,垂足為

A,PA=AB^BC^2AD,將PAB沿翻折到△&4B的位置，使得平面，平面A3C。，如圖2所示.

（1）設(shè)平面SCZ）與平面&45的交線為/,證明：BC1Z.

【解析】由題意可知3CLAB.

因?yàn)槠矫鍭S81平面ABCD=AS,平面5AB_L平面ABCD,3Cu平面ABCD,

所以3C_L平面S4B,

因?yàn)槠矫鍿CD。平面=/,所以/u平面&LB,則3C_L/.

題型三：證明線面垂直

8.如圖所示，A3是（。的直徑，點(diǎn)C是。。上異于A,PC,平面ABC,E、尸分別為R4,PC的中點(diǎn),

求證：E凡L平面PBC；

【解析】證明：因?yàn)槭珻,平面ABC,ACu平面ABC。所以尸CLAC,

因?yàn)?5是（。的直徑，知ACL3C,

因?yàn)镻Cc3C=C,且尸C,BCu平面尸3C,所以AC_L平面尸BC,

由E,尸分別是尸APC的中點(diǎn)，所以砂〃AC,所以平面PBC.

9.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱ABC-43?中，E是4A上的點(diǎn)，且平面ABg.

求證：3CL平面肌耳8；

【解析】因?yàn)锳E，平面ABG，BCiU面AB。，所以AE1BC，又BCLBg,所以AELBC,

又三棱柱ABC-A冉G是直三棱柱，所以發(fā)，

又易知4E與相交，AE，B耳u面4448,所以8C_L平面A4181g.

10.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E是人。的中點(diǎn).

（1）求該圓柱體的體積；

（2）證明：平面ABE；

【解析】（1）由已知可得圓柱的底面半徑r=l,高為=2,

二唳=5底?〃="％=2兀故該圓柱體體積為27r.

（2）是弧AD中點(diǎn)，?.AELDE

由題可知平面ADE,且DEu平面ADE,

；?ABLDE

又因?yàn)锳EcAB=A,AEu平面ABE,ABu平面ABE

所以DE_L平面ME.

11.（2024?寧夏銀川?一模）如圖，在四棱錐尸一ABCD中，已知PA=PC=尸。,AB〃C￡>,/ADC=90,O

是AC的中點(diǎn).

A"B

⑴證明：PO_L平面ABCD；

（2）若4￡?=。。=「0=2他=2,點(diǎn)石是2。的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到平面PAD的距離.

【解析】（1）PA=PC,。是OC的中點(diǎn)

連接OD，QZADC=90°,：.OA^OD,

4：笠一二檢

AB

在,POA和POD中上4=PQ,尸O=PO,OA=ODPOA=.■POD,

:.ZPOA=ZPOD=90，:.PO±OD,

OAOD=O,Q4,ODu平面ABC。，「.PO_L平面A3al.

（2）因?yàn)镋是尸C的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)E到平面9D的距離就是點(diǎn)C到平面上4。的距離的一半，

設(shè)點(diǎn)C到平面PAD的距離為h,

因?yàn)锳D=DC=PO=2AB=2,

所以AO」AC」JAD2+CZ）2」,22+22=叵,

222

i^PA=PD=VPO2+OA2=V22+V22=屈,

設(shè)點(diǎn)6為AD的中點(diǎn)，則AG=1,PG=JPA.一AG，=J后一F=君，

所以S功=gxADxPG=gx2x布=5,SACD=1xA￡>xCD=1x2x2=2,

因?yàn)椋?PAD=VP-ACD，

CCIU1c,1c,,,SACD-PO2x2475

所以qxSPAD-h=-xSACD-PO,故/z=-------

333P4八"\/53

所以點(diǎn)E到平面PAD的距離為型.

5

題型四：證明面面垂直

12.(2024?四川資陽?二模)如圖，在四面體ABC。中，AB=AC=AD=BC=BD=2,BC1BD,E,

產(chǎn)分別為AB,AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面ACD_L平面BCD；

(2)求點(diǎn)A到平面BDF的距離.

【解析】(1)

取C。的中點(diǎn)。，連接OA,OB,

因?yàn)锽CLBD,BC=BD=2,所以O(shè)3_LCD,J.CD=2A/2,OB=-CD=-Ji,

2

又AC=AD=2,OALCD,OA1AC2-CO2^2,OA=42,

所以+=鉆2,可得。4_LOB,

又OBCD=O,OB、CDu平面BCD,所以。4，平面8。，

又OAu平面ACO,所以平面4co_L平面BCD；

(2)因?yàn)锳B=2,所以由(1)可得03=&,CD=2-j2,

S——xCDxOA=—x2\/2x5/2=2,

.ACr”n22

V=_S-OB=-x2x>/2=———,

DB—3aAcld^U3,3

又尸為AC的中點(diǎn)，所以匕8帆=!%<48=史，

t5L)r2o—AC￡z3

在AB。尸中，BD=2,BF=曲，DF=y]AD2+AF2=75-

,clcBF2+DF2-BD-2

貝Ucos/BFD=-----------------------=-^=-,

2BFDF715

所以sinZBRD=^

V15

則SBDF=-BFDFsinZBFD=—

22

設(shè)點(diǎn)A到平面8。尸的距離為d,則!x姮1=變，

323

解得d=RH,即點(diǎn)A到平面瓦加的距離為拽1.

1111

13.(2024?四川成都模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB//CD,ABAD=f^)°,AB=1,AD=CD=2,

BELCD.

(1)證明：平面平面ABC。；

(2)^ADYDE,DE=4金,F為CE中點(diǎn),求三棱錐歹-ABE的體積.

【解析】(1)在中，由余弦定理得RBTATP+M?—2Ao.年-05//148=6-

由AD?=QB2+AB2,得DB_LAB,而CD〃AB,EBLCD,則￡B_LAB,

又EB\DB=B,EB,DBu平面EDB,因此AB_L平面EDB,而ABu平面ABC。,

所以平面￡DB_L平面ABCD.

(2)由尸是EC中點(diǎn)，得/且￡=3%一樹=：/一—

E

由（1）知AB_L平面ED8,EE>u平面EDB,則AB_LED,

而EDJ_AD，AOcAB=4,AD,ABu平面ABC。，則ED_L平面ABC。，

因此/.ABC=g枷?即=3；x1xgx40=半.即匕置B"半,

所以三棱錐P-ABE的體積為逅.

3

14.（2024?廣西?模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體ABCD-AB|G2中，點(diǎn)E，P分別在8月，上，且A產(chǎn)，AQ,

求證：平面ACD_L平面AEF；

【解析】ABC。-4耳G2為長(zhǎng)方體\CD人平面A412n

”匚平面四口。二CD±AF

又：Afj.4。，且COAtD=D,CD,4。<=平面40）,

AFL平面ACO

AFu平面4EF

平面AEF,平面ACO

15.（2024?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2,ZS4D=60°,E為邊CO上

的點(diǎn)，CB=CE=1,以￡S為折痕把一CEB折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且三棱柱APE的體積為"

O

p

證明：平面P3E_L平面B4E;

【解析】證明：由CB=CE=1,ZBCD=60°,_CEB為正三角形.

設(shè)距的中點(diǎn)為O,連接P。，則尸

則尸O=CO=3.易知|AD|=|。國=1,ZADE=120°,

所以SA桃=；?|AD|?|DEksinZADE=今.

所以，V=V=—-S.-h=h=—ih==IPO\,

DAPErp-AUDEE,3ZXAADUEtt]28,??

故尸OJ_平面ABC。，AEu平面ABCD,所以尸O_LAE.

又易知VADE中ZAED=30°,ZA￡B=90°,BE±AE,

又BEPO=O,BE,POu平面PBE,

所以AE_L平面尸BE.

又AEu平面DIE,所以平面尸BE_L平面PAE.

題型五：面面垂直的性質(zhì)定理

16.如圖，在四邊形A3CD中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，以〃CD,CD=2.現(xiàn)將沿3。邊折起,

使得平面平面3c。，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn).

求證：平面ACD；

【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?8,平面ABDc平面3a>=%>,BD1CD,8u平面3cO,所

以CD_L平面AB￡）,

又因?yàn)锽Eu平面ABD,所以CD_LBE,因?yàn)镋為AD中點(diǎn)，為正三角形，所以HCAD,

又因?yàn)锳D,Cr>u平面ACD,ADCD=D,所以平面ACD.

17.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，斜三棱柱ABC-A片G的各棱長(zhǎng)均為2,側(cè)棱B片與底面ABC

所成角為三7?，且側(cè)面底面A3C.

證明：點(diǎn)用在平面ABC上的射影。為A5的中點(diǎn)；

【解析】過功作用于O,

由平面ABB】A_1_平面ABC,平面'平面ABC=AB，

qOu平面Bfl1AB,得與。J■平面ABC,因此/