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文檔簡介

微專題27正方形

考點(diǎn)精講

構(gòu)建知識體系

rdZ)

「邊

d平行四邊形殊化[正方形卜干電困——黑純

----------------K'J/flSXi

I對稱性

[四邊形卜

「邊

「概念[判定)——角

L中點(diǎn)四邊形一

I形狀I(lǐng)對角線

4?^

考點(diǎn)梳理

1.正方形的性質(zhì)與判定(6年8考)

(1)定義:有一組鄰邊相等,并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形

(2)正方形的性質(zhì)

邊四條邊都相等,對邊平行

角四個(gè)角都是直角

對角線相等且互相①_______;二

對角線

每一條對角線平分一組對角

Aa.D

既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,有4條對稱軸,對

對稱性

稱中心是兩條②_______的交點(diǎn)

(3)正方形的判定

有一組鄰邊相等,并且有一個(gè)角是③_______的平行四邊形是正方形(定

邊義);

有一組鄰邊④_______的矩形是正方形

角有一個(gè)角是⑤_______的菱形是正方形

對角線⑥_______的矩形是正方形;

對角線

對角線⑦_(dá)______的菱形是正方形;

對角線互相⑧_________的四邊形是正方形

2.正方形面積

面積計(jì)算公式:S="=于(Q表示邊長,/表示對角線長)

3.平行四邊形與四邊形、特殊四邊形之間的關(guān)系

4.中點(diǎn)四邊形

概念依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形

任意四對角線相等的對角線垂直的對角線垂直且

原圖形矩形菱形正方形

邊形四邊形四邊形相等的四邊形

中點(diǎn)四平行四

菱形矩形正方形菱形矩形正方形

邊形形狀邊形

【溫馨提示】連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形面積是原圖形面積的一半

練考點(diǎn)

1.如圖,在正方形A5CZ)中,對角線AC與5。交于點(diǎn)0,且4vLE是

對角線4C上一點(diǎn),連接5E.

第1題圖

(l)ZACB的度數(shù)為

(2)40的長為;

(3)正方形A5CZ)的周長為,面積為;

(4)若NA5E=15°,則5E的長為.

2.下列說法中,正確的是()

A.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

D.一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

3.如圖,E,F,G,”分別是四邊形A5CD四條邊的中點(diǎn),則四邊形及G”

定是.(填“平行四邊形”“矩形”“菱形”或“正方形”)

第3題圖

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)1與正方形有關(guān)的證明及計(jì)算(6年8考)

例1已知四邊形ABC。為正方形,邊長為4,點(diǎn)又為5。上一點(diǎn),連接AM.

⑴如圖①,過點(diǎn)M分別作455C的垂線,垂足分別為E,F,求證:四邊形

5EM尸是正方形;

例1題圖①

(2)如圖②,若BM=3DM,求AM的長;

AD

BC

例1題圖②

(3)如圖③,連接AC交5。于點(diǎn)0,若AM平分NZMC,延長交。于點(diǎn)N,

例1題圖③

(4)如圖④,過點(diǎn)5作于點(diǎn)E,分別延長5EAM交A。于點(diǎn)下,交CD

于點(diǎn)N,連接。E,若N是CD的中點(diǎn),求NDEN的度數(shù).

例1題圖④

考點(diǎn)2中點(diǎn)四邊形

例2如圖,在四邊形45CD中,E,F,G,”分別是邊45,BC,CD,D4的

中點(diǎn).請你添加一個(gè)條件,使四邊形MG”為菱形,應(yīng)添加的條件是()

HD

A

G

例2題圖

A.AB=CDB.AC±BDC.CD^BCD.AC=BD

變式1(2024山西)在四邊形A5C。中,點(diǎn)石,F(xiàn),G,4分別是邊A5,BC,CD,

DA的中點(diǎn),EG,FH交于點(diǎn)O.若四邊形的對角線相等,則線段EG與尸”

一定滿足的關(guān)系為()

A.互相垂直平分B.互相平分且相等

C.互相垂直且相等D.互相垂直平分且相等

真題及變式

命題點(diǎn)與正方形性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算(6年8考)

1.(2024廣東7題3分)完全相同的4個(gè)正方形面積之和是100,則正方形的邊長

是()

A.2B.5C.10D.20

2.(2019廣東10題3分)如圖,正方形45。的邊長為4,延長。5至點(diǎn)石使也

=2,以防為邊在上方作正方形MG5,延長尸G交。。于點(diǎn)連接AM,AF,

”為4。的中點(diǎn),連接下”分別與A5,AM交于點(diǎn)N,K.則下列結(jié)論:

①△ANHZ/kGNB②/AFN=/HFG;③FN=2NK;?S^AFN:S^ADM=1:4.

其中正確的結(jié)論有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

第2題圖

變式

2.1變條件——增加線段DF

如圖,正方形A5CZ)的邊長為4,延長C5至點(diǎn)E使團(tuán)=2,以防為邊在上方

作正方形及‘G5,連接。尸,”是。尸的中點(diǎn),連接5“,則5”的長為.

3.(2023廣東15題3分)邊長分別為10,6,4的三個(gè)正方形拼接在一起,它們的

底邊在同一直線上(如圖),則圖中陰影部分的面積為.

變式

3.1變條件一一增加線段改變陰影區(qū)域的位置

如圖,邊長分別為5,3,2的三個(gè)正方形拼接在一起,它們的底邊在同一直線上,

圖中陰影部分的面積分別為Si,S2,則令的值為.

新考法

4.[數(shù)學(xué)文化](人教八下習(xí)題改編)2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽

取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖,它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正

方形拼成的大正方形,如圖所示,如果大正方形的面積是13,小正方形的面積為

1,直角三角形的較短直角邊長為a,較長直角邊長為b,那么(a+6)2的值為()

第4題圖

A.13B.19C.25D.169

考點(diǎn)精講

①垂直平分②對角線③直角(90°)④相等

⑤直角(90。)⑥互相垂直⑦相等⑧垂直平分且相等

練考點(diǎn)

1.(1)45°;(2)272;(3)16,16;(4)竽

2.C

3.平行四邊形

高頻考點(diǎn)

例1(1)證明:???四邊形A5CD是正方形,

AZABC=90°,ZABD=ZCBD=45°.

\'ME±AB,MF±BC,

,四邊形5EM尸是矩形.

VZABD=45°,ZMEB=90°,

:.ZEBM=ZEMB=45°,

:.BE=EM,

,四邊形5EM尸是正方形;

(2)解:如解圖①,連接4C交于點(diǎn)O,

?.?四邊形A5CD是正方形,

:.AC=BD,AC±BD,OA=OD.

':正方形ABCD的邊長為4,

Z.OA=OD=—AD=2V2.

2

9:BM=3DM,

???點(diǎn)〃是0。的中點(diǎn),

:.OM=V2,

在RtAAOM中,

由勾股定理得OA2+OM2=V10;

例1解圖①

(3)解:如解圖②,過點(diǎn)N作NGL4C于點(diǎn)G,

例1題解圖②

???四邊形A5C。是正方形,

:.ZDAC=45°,

YAM平分ND4C,

:.DN=GN.

設(shè)DN=x,則GN=x,CN=4—x.

VZNCG=45°,

△NGC是等腰直角三角形,

:.CN=^2CG,即4—%=缶,解得%=4四一4,

(4)解:如解圖③,過點(diǎn)。作。G_L。石交⑷V的延長線于點(diǎn)G,

':BF±AN,

:.ZABF+ZAFB=ZDAN+ZAFB=90°,即N45方=NZWV.

X'.'AB=DA,ZBAF=ZADN=90°,

:.bABF”8DAN,

:.AF=DN,ZAFB=ZDNA,

:.ZDFE=ZDNG.

是。。的中點(diǎn),

11

:.DN=-CD=-AD=AF,

22

,尸為A。的中點(diǎn),

:.DF=DN.

':DE±DG,

:.ZEDF+/EDN=ZGDN+ZEDN,即ZEDF=ZGDN,

:.ADEFmADGN,

:.DE=DG,

。石G是等腰直角三角形,

.,.ND硒的度數(shù)為45。.

R

例1題解圖③

例2D【解析】應(yīng)添加的條件是F,G,H分別為AB,BC,

CD,的中點(diǎn),且AC=BD,:.EH=-BD,FG=-BD,HG=-AC,EF=-AC,

2222

:.EH=HG=GF=EF,則四邊形EFGH為菱形.

變式1A【解析】二?在四邊形A5CD中,點(diǎn)E,F,G,"分別是邊AbBC,

CD,D4的中點(diǎn),如解圖,連接歷,F(xiàn)G,GH,EH,BD,AC,:.EF=^AC,FG

=涉),GH=^AC,即二舞).,四邊形A5CZ)的對角線相等,即4。二助,.?.£:/

=FG=G”=E",.?.四邊形"弓”為菱形,.'.EG與尸”互相垂直平分.

真題及變式

1.B【解析】由題意得每個(gè)正方形的面積為100+4=25,...正方形的邊長為

5.

2.C【解析】?.?四邊形石尸G5是正方形,仍=2,.?.尸G=5E=2,ZFGB=90°,

;四邊形A5C。是正方形,”為4。的中點(diǎn),:.AD=4,AH=2,ZfiAD=90°,

Z.ZHAN=ZFGN,AH=FG,":ZANH=ZGNF,:.kANH"△GNF(bAS),

故①正確;:./AHN=/HFG,,:AG=FG=2=AH,:.AF=V2FG=V2AH,

:./AFH于/AHF,':AD//FG,:.ZAHF=ZHFG,:.ZAFN^ZHFG,故②

錯(cuò)誤;V△ANH^AGNF,:.AN=-AG=1,\"GM=BC^4,:.—=—=!,

VZHAN=ZAGM=90°,:.AAHN^AGMA,:.ZAHN=ZAMG,ZMAG=

ZHNA,:.AK=NK,\"AD//GM,:.ZHAK=ZAMG,:.ZAHK=ZHAK,:.AK

=HK,:.AK=HK=NK,?:FN=HN,:.FN=2NK;故③正確;易知四邊形4DMG

是矩形,***DM=AG=2.?,:S>AFN=3AN,bG=^X1X2=l,5AADM=~AD-DM=

|X4X2=4,:.S^AFN:S^ADM=1:4,故④正確,.?.選C.

變式2.1V10【解析】如解圖,連接5。,BF,在正方形A5C。和正方形MG5

中,ZABD=ZGBF=45°,:.ZDBF=90°.由題意,得EB=2,BC=4,:.BF

=V2EB=2V2,5D=V2fiC=4V2,在Ra下中,由勾股定理,得DF=

JBF2+BD2=2VIO,又?.?”是。下的中點(diǎn),:.BH=WDF=再.

AD

變式2.1題解圖

3.15【解析】如解圖,?.,四邊形A5CZ),ECGF,/G”K均為正方形,

AD=1Q,CE=FG=CG=EF=6,ZCEF=ZF=90°,GH=IK=4,:.CH=CG

+GH=W,:.CH=AD,VZD=ZDCH=90°,ZAJD=ZHJC,

.*.△ADJ^AHCJ(AAS),:.CJ=DJ=5,:.EJ=1,,:GL//CJ,:.AHGL^AHCJ,

:::陰影梯形

CJCH5.GL=2,.FL=4,.S=S=1,(E7+F£)-EF=,-X(1+4)X6

=15.

10D

第3題解圖

變式3.1卷【解析】如解圖,設(shè)A"分別交CD,FG,BM于息K,I,L,BM

分別交C。,尸G于點(diǎn)尸,Q,AH=m,

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