2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)公共點(diǎn)問(wèn)題綜合練習(xí)

二次函數(shù)公共點(diǎn)問(wèn)題綜合練習(xí)

考向1與線段結(jié)合求取值范圍

一階方法突破練

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)力(-1，2),點(diǎn)B(3,2),若拋物線y=x2-4x-3+c與線段AB有公

共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求c的取值范圍.

第1題圖

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)2(-1，2),點(diǎn)B(3,2),若拋物線y=x2-2bx+b2-1與線段AB有

公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求b的取值范圍.

口

AB

第2題圖

3.如圖.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(3,3),B(3,5),若拋物線y=(久-4+b(b>0)與線段AB有公共

點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求b的取值范圍.

第3題圖

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)4(0,-4),B(2,-2)若拋物線y=ax2-2ax-a+2與線段AB有

兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍.

第4題圖

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1,-3),B(2,2).若拋物線yax2-2ax+a-2與線段AB有一^公

共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍.

第5題圖

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn).4(-1，2),點(diǎn)B(3,2),若拋物線y=ax2-4ax-5a與線段AB有一

個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍.

-r

AB

0X

第6題圖

設(shè)問(wèn)進(jìn)階練

例在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P(2,2),(Q(2+2。5a)拋物線y=ax2+bx+c(a豐0).

(1)當(dāng)a=I，6=0時(shí)，若拋物線與線段PQ沒(méi)有公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，求c的取值范圍；

例題圖①

(2)當(dāng)a=|,c=0時(shí)，若拋物線與線段PQ有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，求b的取值范圍；

例題圖②

⑶當(dāng)。=1,6=2時(shí)，若拋物線與線段PQ有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，求c的取值范圍；

?P

1-

0.1%

例題圖③

（4）當(dāng)b=3a,c=a時(shí)，若拋物線與線段PQ沒(méi)有公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合圖象，求a的取值范圍；

y

?P

o.1x

例題圖④

（5）當(dāng)b=-4a,c=0時(shí)，若拋物線與線段PQ有公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍.

例題圖⑤

綜合強(qiáng)化練

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=a(x-m)(x-n)(a豐0).

(1)若爪=1-2a,n=a-2,,求拋物線的對(duì)稱軸(用含a的代數(shù)式表示)；

⑵創(chuàng)新題代數(shù)推理在⑴的條件下，設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(p,q),當(dāng)a力1時(shí)，求證：蘭-工；

P+CLo

⑶若m=-l,n=3,,平面內(nèi)有兩點(diǎn)P(2,-4),Q(-l，-4),,當(dāng)拋物線與線段PQ有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.

作圖區(qū)答題區(qū)

備用圖②

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx2-2m(m+l)x+2(m0)與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)

稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B.

⑴當(dāng)m=一2時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵若AB=6,,求拋物線的解析式；

(3)已知點(diǎn)P(m+3,2),(2(0<m+1),,若拋物線與線段PQ恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍.

答題區(qū)

備用圖①

備用圖②

考向2與直線結(jié)合求取值范圍

方法突破練

1.已知直線y=k久與拋物線y=x2+2x+3有兩個(gè)交點(diǎn)，求k的取值范圍.

2.已知直線y=-x+3與拋物線y=ax2-4ax+l(a〉O)存在兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)左側(cè)的交點(diǎn)為點(diǎn).P(久i，%),當(dāng)-2<

<一1時(shí),求a的取值范圍.

3.若直線y=kx+2與拋物線y=x(x-4)+2(0<%<3)有唯一公共點(diǎn)，求k的取值范圍.

第3題圖

設(shè)問(wèn)進(jìn)階練

例在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2-3ax+c(a力0)與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左

側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)若a=c,,拋物線與直線y=3久-1有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍；

(2)可創(chuàng)新題?直線平移考交點(diǎn)已知直線.y=-久+4經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn)，現(xiàn)將拋物線先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再

向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)新拋物線.當(dāng)直線y=2x+n與新拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求n的取值范圍；

(3)若。=-l,c=1,,將該拋物線在x軸上方的部分沿x軸翻折，其余部分不變得到新的函數(shù)圖象.當(dāng)直線丫=

x+。與新函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求b的取值范圍.

例題圖③

綜合強(qiáng)化練

1.如圖，已知拋物線C-.y=x2-2x+3a+l(a為常數(shù))，直線1:y=2%-3與x軸交于點(diǎn)P,點(diǎn)M與直

線上的點(diǎn)N(4,5)關(guān)于直線.%=1對(duì)稱，連接PM.

(1)當(dāng)a=11時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵創(chuàng)新題?拋物線與折線交點(diǎn)若拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)拋物線與折線MPN的兩個(gè)交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)是%i,x2(xr<久2),求+久2的值；

⑶若該拋物線在x<3的部分與直線1有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

作圖區(qū)答題區(qū)

備用圖②

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=12一.+c與x軸交于A,B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且拋

物線的對(duì)稱軸為直線.%=1.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

⑵(拋物線翻折得新圖)過(guò)點(diǎn)C作直線久軸，將拋物線在y軸左側(cè)的部分沿直線1翻折，拋物線的其余部分保

持不變，得到一個(gè)新圖象，請(qǐng)你結(jié)合新函數(shù)圖象回答：當(dāng)直線y=+d與新圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x°，y。),且為

W8時(shí)，求d的取值范圍.

作圖區(qū)答題區(qū)

第2題圖

考向3與反比例函數(shù)結(jié)合求取值范圍

一階方法突破練

1.若二次函數(shù)y=/+c與反比例函數(shù)y=式2<x<4）的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求c的取值范圍.

2.如圖，拋物線y=-2x2+4久與x軸相交于O,A兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)B.反比例函數(shù)y=其k>0）的圖象

與拋物線在第一象限的一個(gè)父點(diǎn)在點(diǎn)B左側(cè)，求k的取值范圍

K

第2題圖

3如圖，若拋物線y=-x2+2bx與反比例函數(shù)BC:y=：（2<x<4）的圖象有交點(diǎn)，其中點(diǎn)B,C的橫坐標(biāo)

分別為2,4,求b的取值范圍.

第3題圖

4.當(dāng)c=q時(shí)，拋物線y=-x（x-3）+c與反比例函數(shù)y=:（久〉0）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)（（久0，”且0<久。W

3,求當(dāng)0<久W3時(shí)，若該拋物線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn),求c的取值范圍（?為已知常數(shù)）.

第4題圖

設(shè)問(wèn)進(jìn)階練

2f

例如圖,已知拋物線y=ax-2x+3a(a)0)與x軸相交于0),B{x20)兩點(diǎn)，且％iV冗2,雙曲線y=

泅0,1<X<4).

(1)若k=3,,且拋物線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn),求a的取值范圍；

例題圖①

(2)當(dāng)a=|,k=3時(shí)，若拋物線沿x軸向右移動(dòng)n個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的新拋物線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，求n的

取值范圍；

例題園②

(3)當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)(0,2)時(shí)，若雙曲線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,且3<機(jī)<4,,求k的取值范

例題圖③

綜合強(qiáng)化練

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=%2-2ax+a?一4與x軸相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與

y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，雙曲線y=久公0)在第一象限內(nèi)的圖象記作G.

(1)求線段AB的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸為y軸時(shí)，令拋物線y=/-2奴+/一4與圖象G的交點(diǎn)為M,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為%0

，若3＜配＜4,求k的取值范圍；

(3)已知圖象G經(jīng)過(guò)點(diǎn).P(4,爪-3)和點(diǎn)Q(m,2),若存在拋物線y=/-2a比+a?-4與圖象G在P,Q兩點(diǎn)

之間有交點(diǎn)，直接寫出a的取值范圍.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L:y=a%?+匕％+c與x軸的一於交點(diǎn)為4（一1，0）,與反比例

函數(shù)V=久久〉0）的圖象有交點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱軸為直線.%=1.

⑴若拋物線頂點(diǎn)在反比例函數(shù)V=（30）的圖象上，求拋物線的解析式;

⑵在⑴的條件下，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ1X軸于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)的圖象

交于點(diǎn)Q,若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,求線段PQ的長(zhǎng)；

（3）若c=8+a,點(diǎn)E（2，%）和“小發(fā)》是反比例函數(shù)/二式》網(wǎng)上兩點(diǎn)，記E,F兩點(diǎn)間的圖

象為G,若拋物線與圖象G有公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍.

答題區(qū)

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-%2+2ax+a2-3（a為常數(shù)）點(diǎn)M（2，%）,N（8，y2）是反比例函

數(shù)，=-久久〉。）圖象上的兩點(diǎn)，記M,N兩點(diǎn)間的部分為圖象G.

⑴若加物線過(guò)點(diǎn)M,求此時(shí)拋物線的解析式；

⑵當(dāng)a=-l,t-l<x<l^,y的最大值為-3,求t的值；

（3）若拋物線與圖象G有兩個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍.

答題區(qū)

備用圖②

類型一二次函數(shù)對(duì)稱性、增減性、最值問(wèn)題

類型二二次函數(shù)公共點(diǎn)問(wèn)題

考向1與線段結(jié)合求取值范圍

一階方法突破練

1.解：,「拋物線的解析式為y=X2-4%-3+c=(%-2)2-7+C,

，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,c-7)(確定頂點(diǎn)軌跡)，確定三種臨界情況：

如解圖，①當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，c-7=2廨得c=9;

②當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，將A(-l,2)代入y="2_4X-3+C中，解得c=0;

③當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，將B(3,2)代入y=/_4X-3+C中，解得c=8.

結(jié)合函數(shù)圖象可知，c的取值范圍為04c49.第1題解圖第2題解圖

2.解:「y-X2—2bx+b2—l=(x—b)2—1,

.?拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(b,-1),如解圖,①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，將A(-l,2)代入y=(%—。)2—1中，解

得6=百—1或b=-百-1,當(dāng)b=遮-1時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)的部分過(guò)點(diǎn)A;當(dāng)b=-舊-1時(shí)，拋物線

在對(duì)稱軸右側(cè)的部分過(guò)點(diǎn)A;

②當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)B時(shí)，將B(3,2)代入y=(%-b)2—1中，解得6=3+b或b=3—百，

當(dāng)b=3-舊時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸右側(cè)的部分過(guò)點(diǎn)B;當(dāng)6=3+舊時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)的部分過(guò)點(diǎn)B.

結(jié)合函數(shù)圖象可知，b的取值范圍為-百-1Wb<3+百.

3.解如解圖，

①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)把A(3,3)代入y=(x-by+b(b>0)得3=(3-匕尸+b,解得b=2或b=3;當(dāng)b=2

時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸右側(cè)的部分經(jīng)過(guò)點(diǎn)A;當(dāng)b=3時(shí)，拋物線對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)A;

②當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)把B(3,5)代入y=(x-b-)2+b(b>0)得5=(3=曠+瓦解得b=l或b=4;當(dāng)b=l

時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸右側(cè)的部分經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,當(dāng)b=4時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)的部分經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，二b的取值范圍是1

4.解:,拋物線y=ax2—2ax-a+2,

二拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-=^=l.

當(dāng)a<0時(shí),拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-4)時(shí),a=6方腦物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,-2)時(shí),a=4,

與矛盾，

,.a=6za=4a<0

此時(shí)拋物線與線段AB無(wú)公共點(diǎn)，

如解圖，當(dāng)a>0時(shí)，若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-4)時(shí),a=6,此時(shí)拋物線與線段AB只有1個(gè)交點(diǎn).

若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,-2)時(shí)，a=4,此時(shí)拋物線與線段AB有2個(gè)交點(diǎn).

由題意知，AB所在直線解析式為y=x-4,

，將拋物線與直線y=x-4聯(lián)立，

得ax2-2ax—a+2=%—4,即ax2—(2a+l)x—a+6=0,

當(dāng)拋物線與直線y=%-4只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

則4=(2a+1)2—4a(—a+6)=0,

缶%日5+V235-V23

用牛得

=—4—>^2=4

當(dāng)a=咨至?xí)r，拋物線與線段AB無(wú)交點(diǎn)，故舍去.

，拋物線與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為一<aW4.

4

5.解：，y=ax2—2ax+a—2=a(%—l)2—2,

「?拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)(頂點(diǎn)為定點(diǎn)，對(duì)開口方向進(jìn)行分類討論確定臨界值).

如解圖，若a<0,當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-l,-3)時(shí),-3=a+2a+a-2,解得a=

當(dāng)-;Wa<0時(shí)，拋物線與線段AB有一個(gè)公共點(diǎn)；若a>0,當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,2)時(shí)，它與線段AB恰

有兩個(gè)公共點(diǎn)，

此時(shí)2=4a-4a+a-2,解得a=4.

???拋物線與線段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，

6.解:y=ax2—4ax—5a=a\x2—4x—5)=a(x+1)(%—5),

7.二拋物線與x軸交于點(diǎn)C(-1Q),D(5,O)(與x軸交點(diǎn)為定點(diǎn))，

當(dāng)a>0時(shí)，如解圖①,拋物線與線段AB無(wú)公共點(diǎn).

當(dāng)a<0時(shí)，,：y=ax2—4ax—5a=a(x—2)2—9a,

..拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-9a).

如解圖②，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，貝卜9a=2,

如解圖③，當(dāng)拋物線與線段AB有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則當(dāng)x=3時(shí),y=9a-12a-5a=-8a>2,解得a<一］.

結(jié)合函數(shù)圖象可知，a的取值范圍為a=-1或a<-*

二階設(shè)問(wèn)進(jìn)階練

例(1)當(dāng)a=|,b=0時(shí)，拋物線y=|/+c,Q(裝)2),如解圖①,

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí)，|x4+c=2,c=|,

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q時(shí)，|X(￡丫+c=2,c=-詈，

結(jié)合函數(shù)圖象可知，C的取值范圍為。<詈或c>|；

圖①圖②

例題解圖

------------52),如解圖②,

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí)，|x4+2b=2,b=/當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q時(shí)，|x(^)2+爭(zhēng)=

結(jié)合函數(shù)圖象可知，b的取值范圍為-曝<b<巳；

⑶當(dāng)a=l,b=2時(shí)，

拋物線y=/+2x+c,Q(4,5),如解圖③,當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí),4+4+c=2/.c=-6,

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q時(shí),16+8+c=5,

.,.c=-19,

易知，直線PQ的解析式為Y=|%-1,

令+2x+c=|x—1,

整理得%2+|x+c+l=0,

當(dāng)拋物線與直線PQ只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b2-4ac=-4xlx(c+l)=0,解得c15

4161

當(dāng)x=2時(shí),y=/+2%+c=/+2%-II=譽(yù)，

—113>2G,

16

此時(shí)交點(diǎn)不在線段PQ上，

?.C的取值范圍為-19WCW-6;

⑷二?當(dāng)b=3a,c=a時(shí),

拋物線y—CLX2+3ax+a=a(%+I)—|a,

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

,;P(2,2),Q(2+2a,5a),令y=5a得,ax?+3a久—4a=0,

.-.a(x+4)(x-l)=0,

二設(shè)拋物線經(jīng)過(guò)L(-4,5a),K(l,5a)兩點(diǎn),

①如解圖④，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，頂點(diǎn)位于x軸下方，在點(diǎn)P左側(cè)，且點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)，當(dāng)拋物

線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí),4a+6a+a=2,

...a=a.當(dāng)a>。時(shí)，拋物線與線段PQ沒(méi)有交點(diǎn)；

例題解圖

②如解圖⑤，當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，頂點(diǎn)位于x軸上方，在P點(diǎn)左側(cè)，且點(diǎn)Q在點(diǎn)P左側(cè)，

，若拋物線與線段PQ沒(méi)有交點(diǎn)，則2+2a>l(K點(diǎn)橫坐標(biāo))，即a>

綜上所述，a的取值范圍為-：<a<0或a>。；

⑸當(dāng)b=-4a,c=o時(shí),拋物線y=ax2-4ax,P(2,2),Q(2+2a,5a),

?-,y=ax2—4ax=a(返一=a(%—2)2—4a,

，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-4a).

令y=5a彳導(dǎo)ax2-4ax=5a,a(x-5)(x+l)=0,解得x=-l或x=5,

.,設(shè)點(diǎn)M(-l,5a),N(5,5a)在拋物線上.

①當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，頂點(diǎn)位于x軸下方,且Q(2+2a,5a)位于點(diǎn)P的右側(cè)，

如解圖⑥，當(dāng)點(diǎn)N位于點(diǎn)Q左側(cè)或與點(diǎn)Q重合時(shí)，拋物線與線段PQ有公共點(diǎn)，

此時(shí)2+2a25,解得a2|；

②當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，頂點(diǎn)位于x軸上方,點(diǎn)Q(2+2a,5a)位于點(diǎn)P的左側(cè)，

例題解圖

(i)如解圖⑦，當(dāng)拋物線頂點(diǎn)位于點(diǎn)P下方或與點(diǎn)P重合時(shí)，拋物線與線段PQ有公共點(diǎn)，此時(shí)-4a42,解得a

11

a<0;

(ii)如解圖⑧，當(dāng)拋物線頂點(diǎn)位于點(diǎn)P上方，點(diǎn)M位于點(diǎn)Q右側(cè)或與點(diǎn)Q重合時(shí)，拋物線與線段PQ有公共

點(diǎn)i

此時(shí)2+2aW-l,解得ci<—|.

綜上所述，a的取值范圍為a2|或-巳Wa<0或aW-|.

三階綜合強(qiáng)化練

1.Q)解：拋物線y=a(x-m)(x-n)(a/O),

，拋物線與x軸交于(m,O)(n,O)兩點(diǎn)

■.m=l-2a,n=a-2,

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=匕等三=青；

(2)證明：；拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(l-2a,0),(a-2,0),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(p,q),

二拋物線的解析式為y=a(x+2a-l)(x-a+2),

.?.由(1)可知p=平，

|a(a-l)2

29/Y、9/1、？z，9

■■■q=a(一等+2a-1)(一等-a+2)=-^a(a—l),a+1,=--a(a-1)=--(a--)+-,

-2—

9

V--<0,

2，

...^_<2.

p+a-8'

(3)解:,「m=-Ln=3,

，拋物線y=a(x+l)(x-3)=a(x-l)2-4a,當(dāng)a<0時(shí)，如解圖①，將Q點(diǎn)橫坐標(biāo)x=-l代入y=a(久一1尸一4a得y

。將P點(diǎn)橫坐標(biāo)x=2代入y=a(x-1尸—4a,得y=-3a,

..?a<0,；.-3a>0,，拋物線與線段PQ無(wú)公共點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，分頂點(diǎn)在線段PQ上和頂點(diǎn)在線段PQ下方，

如解圖②，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在線段PQ上時(shí)，

,.y=a(x+l)(x-3)=a(x-l)2-4a,

；.-4a=-4,解得a=l,

?.點(diǎn)P(2,-4),Q(-l,-4),且拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,-l<l<2拋物線過(guò)(-1,0),

二當(dāng)拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于-4時(shí)，拋物線與線段PQ恒有交點(diǎn)

當(dāng)拋物線與線段PQ有交點(diǎn)時(shí),-4a<-4,「.a>1.綜上所述，a的取值范圍為a>l.

2.解:⑴當(dāng)m=-2時(shí),拋物線y=-lx2—4x+2=-2(x+1)2+4,

，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4);

(2)?:點(diǎn)A與點(diǎn)B是關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，且拋物線與y軸交于點(diǎn)A,

■.A(0,2),

?.AB=6,；.B(6,2)或B(-6,2),

將點(diǎn)B(6,2)代入拋物線解析式，得36m-12巾2_i2m=0,解得m=0(舍去)或m=2,

，拋物線的解析式為y=2x2-12x+2;

將點(diǎn)B(-6,2)代入拋物線解析式，得36m+127n2+i2m+2=2,解得m=0(舍去)或m=-4,

拋物線的解析式為y=-4久2—24%+2.

綜上所述，拋物線的解析式為y=lx2-12%+2或y=-4x2-24%+2;

(3)1?點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為B，，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2,

1?拋物線的對(duì)稱軸為直線%=--2m,(m+1)=m+1,

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2m+2,2),

?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m+3,2),

，點(diǎn)P在直線AB上，

①如解圖①，當(dāng)m>0時(shí),2m+2>0,m+l>Lm+3>m+L，B(2m+2,2)在A(0,2)右側(cè),

(i)當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)A上方時(shí),m+1>2,即m>1,

拋物線y=mx2-2m(m+l)x+2(m0)與線段PQ恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

，結(jié)合圖象可得，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)(或與點(diǎn)B重合)時(shí)滿足題意，即冷2XB，

.,.m+3>2m+2,/.m<l,-^m>1矛盾，故此情況不存在；

(ii)當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)A下方時(shí),m+1<2,即m<1,

，結(jié)合圖象可得，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)滿足題意，即如<xB,

.■.m+3<2m+2,

，m>L與m<l矛盾，故此情況不存在；

第2題解圖

②如解圖②，當(dāng)m<0時(shí),m+l<l,m+3>m+L

，Q(0,m+l)在點(diǎn)A(0,2)的下方，

(i)當(dāng)m+l>O,BPm>-l時(shí),如解圖②所示，點(diǎn)B(2m+2,2)在A(0,2)右側(cè),?.?當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)B右側(cè)(或與點(diǎn)B重合)

時(shí)，拋物線與線段PQ有一個(gè)交點(diǎn)，即m+322m+2,解得m<l,

l<m<0;

(ii)當(dāng)m+l<O,BPm<-l時(shí),如解圖③所示，點(diǎn)B(2m+2,2)在A(0,2)左側(cè)，

，結(jié)合圖象可得，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)(或與點(diǎn)A重合)時(shí)，滿足題意，即久pN久&

，m+320,解得m>-3,

綜上所述，當(dāng)拋物線與線段PQ恰好有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),m的取值范圍為-3sm<0.

第2題解圖③

考向2與直線結(jié)合求取值范圍

一階方法突破練

1.解：：拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，

令/+2%+3=kx,x2+(2—k)x+3=0,

b2-4ac=(2-fc)2-12>0,2-fc>2*或2-k<-273,

.-.k的取值范圍為fc<2-2b或k>2+2V3.

2.解：?：直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，

聯(lián)立f〈一支廣

(y=ax—4ax+1

得—％+3=ax2-4ax+1,?,?ax2+(1—4a)x—2=0,

b2-4ac=(1—4a)2+4ax2=16a2+1>0恒成立，

即無(wú)論a取何值，直線與拋物線恒有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)打=—2時(shí),P(-2,5)把P(-2,5)代入y=a久？_4ax+L得4a+8a+l=5,解得a=：,

當(dāng)刈=一1時(shí),P(-l,4)把P(-L4)代入y=a/_4ax+L得a+4a+l=4,解得a=：,

..a的取值范圍為|<a<|.

3.解:,.拋物線丫=*儀-4)+2(0043)與直線丫=1?+2有唯一公共點(diǎn)，

，分兩種情況討論：

①如解圖①，拋物線與直線相切，得運(yùn)一4x+2=kx+2,整理得運(yùn)_(4+k)x=0,b2-4ac=(4+k)2-

0廨得k=-4；

圖①圖②

第3題解圖

②如解圖②，拋物線與直線不相切，但在04X43范圍內(nèi)只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)兩個(gè)臨界值分別為(0,2)和(3,-

1),且直線y=kx+2必過(guò)(0,2),

.?.當(dāng)x=3時(shí),y=3k+2>-l,解得k>-l.

綜上所述,k的取值范圍為k>-l或k=-4.

二階設(shè)問(wèn)進(jìn)階練

例解:⑴把C=a代入拋物線y=ax2—3ax+c,得y=ax2—3ax+a,

令ax2-3ax+a=3x-1,

整理得ax2-3(a+l)x+a+1=0,

拋物線y=ax2-3ax+c與直線y=3x-l有兩個(gè)交點(diǎn),

由題意得9(a+1)2—4a(a+1)>0,解得a<—g或a>-1,

■■■a的取值范圍為a<-］或a>-l且"0;

(2).直線y=-x+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C,

.-.B(4,0),C(0,4),

將點(diǎn)B,C的坐標(biāo)代入y=ax2-3ax+c,

得，"==。解得｛a=—1

.c=4

..拋物線的解析式為y=-%2+3%+4.

由題意得，拋物線平移后的解析式為y=--一%+11,令-x2-x+11=2%+幾整理得一汽2-3%+11-九

=o,

?.?直線y=2x+n與新拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，

??.b2—4ac=(—3)2—4X(―1)x(11—n)>0,解得n<—,

4

，n的取值范圍為

4

⑶當(dāng)a=-l,c=l時(shí)，

213

拋物線解析式為y=-x2+3X+1=-+T-

.?拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(|，苫)，

當(dāng)y=0時(shí)，一%"3%+1=0,

3+V133—V13

斛得，久2=

則拋物線、=-X2+3x+1與x軸的交點(diǎn)為4，o用0),

把拋物線丫=—X2+3%+1在x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸下方，則翻折部分的拋物線解析式為y=x

3\213/3-V13,3+V13\

)<x<

24\2一2

頂點(diǎn)坐標(biāo)M(|--9

如解圖,當(dāng)直線y=x+b過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線y=x+b與該新圖象恰好有三個(gè)交點(diǎn),

3+V133+V13

+b=0,解得b=-

22

當(dāng)直線y=x+b與拋物線丫=x-丁T亨9歲)相切時(shí)，直線y=x+b與該新圖

、

'3'2

象恰好有三個(gè)交點(diǎn)，即方程X——芳=X+暗兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，整理得/一位--1

.2,

=0,b2—4dc=(—4)2—4(—b—1)=0,解得b=-5,

3+V13例題解圖

?.b的取值范圍為一5<b<-

2

三階綜合強(qiáng)化練

1.解:⑴當(dāng)a=l時(shí)，拋物線y=X2—2久+3a+1=x2—2%+4=(%—1)2+3,

，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)；

(2)由題意得直線y=2x-3與x軸的交點(diǎn)「(1,0),

???拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

，拋物線的解析式為丫=久2一2萬(wàn),

聯(lián)立二；2=1解得x=3或x=l(不合題意,舍去)，;點(diǎn)M與直線上的點(diǎn)N(4,5)關(guān)于直線x=l對(duì)稱,，M(-2,

_1015

5)〃?.直線PM的解析式為y--yx+三聯(lián)立y=一￥+子解得x=7(不合題意，舍去)或x=當(dāng)生

.y=x2—2x

-V109+2Q,QV109-2

??”1—7,X］十切-J7，

(3)1?二次函數(shù)的圖象在x<3的部分與直線y=2x-3有兩個(gè)交點(diǎn),

令X2—2%+3a+1=2%—3,整理得x2—4%+3a+4=0,

?**b2—4ac=16—4(3a+4)>0,角單彳導(dǎo)a<0,

把x=3代入y=2x-3,得y=3x2-3=3,

把(3,3)代入y=—2x+3a+L得3=9-6+3a+l,解得ci——

■■.a的取值范圍為一：Wa<0.

2.解:(1)；拋物線y=|——.+。與x軸交于點(diǎn)B(4,0%拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

產(chǎn)

二.b=L

.?點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),

.,將B(4,0)代入拋物線y=|x2-x+c得,c=-4,

二拋物線的解析式為y=%—4;r/

⑵由y=*-x-4得，拋物線與v軸的交點(diǎn)為C(0,-4).依題意翻折后的圖象如解圖.刃一齊

令y=8廁療-?久-4=8,解得Xi=-4(舍去),久2=6.二新圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(6,8).

當(dāng)直線y=3x+d經(jīng)過(guò)點(diǎn)(6,8)時(shí),可得d=5.彳廠

當(dāng)直線y="+d經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，可得(d=-4.第2題解圖

當(dāng)直線y=3x+d(d<-4)與函數(shù)y=之/-x-4(盼0)的圖象僅有一?"公共點(diǎn)P時(shí)，也就是方程［產(chǎn)一萬(wàn)一

4=|x+d有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

整理得x2-3x-(8+2d)=0,b2-4ac=(-3)2+4(8+2d)=8d+41=0解得d=-p

結(jié)合圖象可知，d的取值范圍為-4<ck5或d<-2.

考向3與反比例函數(shù)結(jié)合求取值范圍

一階方法突破練

1.解：1?反比例函數(shù)的解析式為y=^(2<%<4),當(dāng)x=2時(shí),y=3,當(dāng)x=4時(shí),y=|(找出臨界點(diǎn)的坐標(biāo)).

二當(dāng)二次函數(shù)y=返+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3)時(shí)，解得c=-l,

當(dāng)二次函數(shù).y=#+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,|)時(shí)，解得c=-m(分別求出當(dāng)拋物線過(guò)臨界點(diǎn)時(shí)，拋物線解析式

中未知系數(shù)c的值).

當(dāng)二次函數(shù)y=久2+c與反比例函數(shù)y=久2WX44)的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，c的取值范圍為-胃Wc

<-1.

2

2.解:：y=—2*2+4x=-2(%-1)+2,，B(1,2)(拋物線的頂點(diǎn)即臨界點(diǎn))，

1?反比例函數(shù)y=久公0)的圖象與拋物線在第一象限的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)B左側(cè),

.,把B(l,2)代人y=繾k=2(求反比例函數(shù)過(guò)臨界點(diǎn)B時(shí),k的值)，

.水的取值范圍為0<k<2.

3.解：:反比例函數(shù)BC的解析式為y=^(2<xW4),點(diǎn)B,C的橫坐標(biāo)分別為2,4,

■.B(2,3),C(4,|).

當(dāng)拋物線y=-%2+2bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,3)時(shí),3=-4+2bx2,解得b=；

當(dāng)拋物線y=-x2+2bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(4,|)(時(shí),|=-16+2bx4,解得d=

ZZlo

，b的取值范圍為:Wb

416

4.解:「拋物線y=—x(x—3)+c=—x2+3%+c,

.,拋物線的對(duì)稱軸為直線%=-雙色=*

1?當(dāng)0<X43時(shí)拋物線y=-x(x-3)+c與雙曲線y=久久〉0)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

，分拋物線與雙曲線y=久久)。)有且只有一個(gè)交點(diǎn)和有兩個(gè)交點(diǎn)兩種情況，

①當(dāng)x>0,拋物線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為(x°,y。)，

V0<X0<3,Q滿足題意；

②當(dāng)x>0,拋物線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),[11

由拋物線的對(duì)稱軸為直線%=|,如解圖，]AT\

當(dāng)x>0時(shí)若有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線x=3在兩交點(diǎn)之間，即x=3時(shí)，拋物線在雙曲線上方.J~

?-0<x<3時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，/I但今'

.?.當(dāng)x=3時(shí),一3x(3—3)+c>/即c>2,綜上所述，c的取值范圍為02或c=j第4題解圖

二階設(shè)問(wèn)進(jìn)階練

例解：(1)；雙曲線y=-(l<%<4),當(dāng)x=l時(shí),y=3;當(dāng)x=4時(shí),y=即拋物線與雙曲線在(1,3),((4,：之間有

X44

交點(diǎn););

①當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)(1,3)時(shí),a-2+3a=3,解得a=|；

②當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)(4,》時(shí),16a-8+3a=*解得a=||,

綜上所述，a的取值范圍為

(2)?.在雙曲線y=[中,14X44,

，當(dāng)x=l時(shí),y=3;當(dāng)x=4時(shí),y=1，

，臨界點(diǎn)為(L3),(4,3

V拋物線的解析式為y=#—2支+1=2—2>4，

，平移后的拋物線的解析式為/=久乂-2-71)2一點(diǎn)當(dāng)平移后的拋物線V經(jīng)過(guò)臨界點(diǎn)(1,3)時(shí)，解得71=

夕-1或n=-1-77(舍去)；

當(dāng)平移后的拋物線y'經(jīng)過(guò)臨界點(diǎn)(4,｝時(shí)，解得n=手或n=1，

.?.n的取值范圍為手(n<77—1或n>學(xué)更；

⑶,?拋物線過(guò)點(diǎn)(0,2),

二可得3a=2,即a=|,

，拋物線的解析式為y=|%2-2%+2,

當(dāng)m=3時(shí),y=2;當(dāng)m=4時(shí),y=~,

?.臨界點(diǎn)為(3,2),(4,?,)

二?當(dāng)雙曲線過(guò)點(diǎn)(3,2)時(shí)，k=6;當(dāng)雙曲線過(guò)點(diǎn)((4,苫)時(shí),k=第二.k的取值范圍為6<k<當(dāng)

三階綜合強(qiáng)化練

1.解:⑴：拋物線y=x2-2ax+a2-4=(x-a+2)(久-a-2)與X軸交于A,B兩點(diǎn)

...當(dāng)y=0時(shí),打=a—2,0=a+2,

.".A(a-2,0),B(a+2,0),/.AB=a+2-(a-2)=4;

(2)由題意得，拋物線的對(duì)稱