2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：重難點(diǎn)突破 直線與圓的綜合應(yīng)用（八大題型）（學(xué)生版+解析）

重難點(diǎn)突破03直線與圓的綜合應(yīng)用

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：距離的創(chuàng)新定義.........................................................2

題型二：切比雪夫距離...........................................................3

題型三：曼哈頓距離'折線距離、直角距離問題.....................................4

題型四：閔氏距離問題...........................................................5

題型五：圓的包絡(luò)線問題.........................................................6

題型六：阿波羅尼斯圓問題、反演點(diǎn)問題'阿波羅尼斯球問題.........................7

題型七：圓中的垂直問題.........................................................8

題型八：圓的存在性問題.........................................................9

03過(guò)關(guān)測(cè)試.....................................................................9

亡法牯自與.柒年

//\\

直線與圓的綜合應(yīng)用方法主要包括幾何法和代數(shù)法。

題型一：距離的創(chuàng)新定義

【典例1-1】數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為

幾何問題加以解決，例如，與J（x-4）2+（y-6）2相關(guān)的代數(shù)問題,可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A（x,y）與點(diǎn)8（。⑼之間

距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可求得方程+4*+5+_4/+5=6的解是（）

A,2B.+逅C,述D.+述

4455

【典例1-2】人臉識(shí)別中檢測(cè)樣本之間相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和

余弦距離.若二維空間有兩個(gè)點(diǎn)雙石,乂），5（孫％）則曼哈頓距離為：d（A5）=|%—到+n―

余弦距離為1—cos（AB）.

余弦相似度為高T雋

若4（—1,2），則48之間的余弦距離為（）

A.1_好B.1+@C.i_@D.i_避

5555

【變式1-1】費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小120。時(shí)，

費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角相等，均為120。.根據(jù)

以上性質(zhì)，已知A(-2,0),8(2,0),C(0,4),尸為VABC內(nèi)一點(diǎn),記〃尸)=|網(wǎng)+歸卻+|尸。，則“P)的

最小值為()

A.2A/3B.4+2百

C.4+石D.2+73

【變式1-2］以三角形邊3C,CA,43為邊向形外作正三角形BCA',CAB',ABC,則A4',BB',

CC三線共點(diǎn)，該點(diǎn)稱為VABC的正等角中心.當(dāng)VA3c的每個(gè)內(nèi)角都小于120。時(shí)，正等角中心點(diǎn)P滿足

以下性質(zhì)：

(1)?APB2Ape?BPC120?；(2)正等角中心是到該三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)(也即費(fèi)

馬點(diǎn)).由以上性質(zhì)得"上+(y-1)?+J/+(y+l)2+J(x-2)2+J的最小值為

【變式1-3］已知平面上的線段/及點(diǎn)尸，任取/上一點(diǎn)Q,線段尸2長(zhǎng)度的最小值稱為點(diǎn)尸到線段/的距離,

記作d(P,/).請(qǐng)你寫出到兩條線段34距離相等的點(diǎn)的集合O={PS(P，4)=或尸，4)}，其中4=AB,

k=CD,A,B,C,。是下列兩組點(diǎn)中的一組.對(duì)于下列兩種情形，只需選做一種，滿分分別是①3

分；②5分.①A(L3),B(l,0),C(-l,3),0(-1,0)；②4(1,3),B(l,0),C(-l,3),。(-1,-2).你選擇

第一種情形，到兩條線段心。距離相等的點(diǎn)的集合。=.

題型二：切比雪夫距離

【典例2-1］在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(A,3)=max{|xj-X2川%-%|}為兩點(diǎn)A(%,yJ、3(々,%)的“切比

雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)P及I上任意一點(diǎn)Q，稱"(RQ)的最小值為點(diǎn)P到直線/的“切比雪夫距離”記作d(PJ)，給

出下列四個(gè)命題：

①對(duì)任意三點(diǎn)A,B,C,都有d(CA)+d(CB)2d(AB)；

4

②已知點(diǎn)P(3,1)和直線/:2x-y-1=。,則d(P,/)=-；

③到原點(diǎn)的“切比雪夫距離'’等于1的點(diǎn)的軌跡是正方形；

其中真命題的是()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【典例2-2】在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(A,2)=l芯-尤21+1%-%1為兩點(diǎn)4和%)、取%,%)的“切比雪夫

距離”，又設(shè)點(diǎn)尸及直線/上任意一點(diǎn)。，稱"(P，2)的最小值為點(diǎn)尸到直線/的“切比雪夫距離”，記作成尸,/),

給出下列三個(gè)命題：

①對(duì)任意三點(diǎn)A、B、C,都有4。,4)+或。,8)2或48)；

4

②己知點(diǎn)P(3,l)和直線l-.2x-y-l=0,則d(P,l)=］；

③定義。（0,0）,動(dòng)點(diǎn)尸（X,y）滿足d（P,O）=l,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡圍成平面圖形的面積是4；

其中真命題的個(gè)數(shù)（）

A.0B.1C.2D.3

【變式2-1］（2024?上海?二模）在平面直角坐標(biāo)系中，定義d（A,3）=max｛|X］-xJ』X-y2l｝為兩點(diǎn)4（出，“）、

8%,%）的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)P及/上任意一點(diǎn)。，稱“（P，Q）的最小值為點(diǎn)P到

直線/的“切比雪夫距離”，記作d（P,0,給出下列三個(gè)命題：

①對(duì)任意三點(diǎn)A、B、C,都有或。,為+或。,8）2或48）；

4

②已知點(diǎn)尸（3,1）和直線/：2萬(wàn)一、一1=0,則d（P,/）=］；

③定點(diǎn)耳（一。,0）、罵（。,0）,動(dòng)點(diǎn)P（x,y）滿足|d（P,￡）-d（P,6）|=2a（2c>2a>0）,

則點(diǎn)P的軌跡與直線、=左（左為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)；

其中真命題的個(gè)數(shù)是

A.0B.1C.2D.3

【變式2-2］（2024.高三.上海浦東新.期中）在平面直角坐標(biāo)系中，定義d（A,B）=max｛歸-耳,也-%|｝為兩

點(diǎn)A6,yJ、3（%為）的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)P及/上任意一點(diǎn)。，稱〃（P，Q）的最小值為點(diǎn)P到直線/

的“切比雪夫距離”，記作d（PJ）,給出四個(gè)命題，正確的是—.

①對(duì)任意三點(diǎn)A、B、C,都有d（C,A）+d（C,B）Wd（A,B）；

②到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于I的點(diǎn)的軌跡是正方形；

4

③已知點(diǎn)尸（3,1）和直線/：2x—y—l=0,則d（P,/）="

④定點(diǎn)4（-c，0）、耳（G。），動(dòng)點(diǎn)P（x,y）滿足|d（P，G）-d（尸，鳥）|=2a（2c>2a>o）,則點(diǎn)P的軌跡與直線

y=k（左為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).

題型三：曼哈頓距離、折線距離、直角距離問題

【典例3-1］（多選題）“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，用以標(biāo)明兩個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐

標(biāo)系上的絕對(duì)軸距總和，其定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)4（不弘）,3（七，%）的曼哈頓距離

d（A3）=|%一知+|%-%|,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若點(diǎn)尸（2,4）,0（—2,1）,則d（P,Q）=7

B.若點(diǎn)M（—l,0）,N（l,0）,則在x軸上存在點(diǎn)/>,使得d（P,M）+d（P,N）=l

C.若點(diǎn)加（2,1）,點(diǎn)P在直線x-2y+6=0上，則d（P,M）的最小值是3

D.若點(diǎn)加在圓/+丁=4上，點(diǎn)N在直線2x-y+8=0上，則d（〃,N）的值可能是4

【典例3-2】（2024.高三.江蘇無(wú)錫?開學(xué)考試）“曼哈頓距離”是人臉識(shí)別中的一種重要測(cè)距方式，其定義如

下：設(shè)A（占,％）,B（x2,y2）,則A,3兩點(diǎn)間的曼哈頓距離d（AB）=|百-司+|%-%＞己知加（4,6）,點(diǎn)N

在圓C:尤2+/+6尤+4y=0上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P滿足d（M,P）=2,則|PN|的最大值為.

【變式3-1］在平面直角坐標(biāo)系中，定義d（P,Q）=l玉-9|+|%-%|為兩點(diǎn)。（々，%）之間的“折

線距離”，則圓（彳-4）2+（丫-3）2=4上一點(diǎn)與直線了+〉=0上一點(diǎn)的“折線距離”的最小值是_.

【變式3-2］（2024?廣東廣州.二模）在平面直角坐標(biāo)系無(wú)0y中，定義d（AB）=忖-可+回一%|為

3（孫力）兩點(diǎn)之間的“折線距離”.已知點(diǎn)。（LO）,動(dòng)點(diǎn)尸滿足d（Q,P）==，點(diǎn)M是曲線V=!上任意一點(diǎn),

2x

則點(diǎn)P的軌跡所圍成圖形的面積為,d（P,M）的最小值為

題型四：閔氏距離問題

【典例4-1】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）閔氏距離（Minkowskidistance）是衡量數(shù)值點(diǎn)之間距離的一種非常常

見的方法，設(shè)點(diǎn)A、2坐標(biāo)分別為（耳,兀），（巧,無(wú)），則閔氏距離

與（A,2）=佃一々（+N-yJ）%（peN*）.若點(diǎn)A、B分別在y=e'和y=x-1的圖像上，則與（A,8）的最

小值為（）

A.21/pB.2。C.e1/pD.ep

【典例4-2】（2024?高三?安徽阜陽(yáng)?期末）閔可夫斯基距離又稱為閔氏距離，是兩組數(shù)據(jù)間距離的定義.設(shè)兩

組數(shù)據(jù)分別為A=（岡嗎,…，%）和3=色也,…也），這兩組數(shù)據(jù)間的閔氏距離定義為dAB（g）J為4_4,丁

_k=l_

其中q表示階數(shù).現(xiàn)有下列四個(gè)命題：

①若A=（1,2,3,4）,B=（0,3,4,5）,則“項(xiàng)（1）=4；

②若A=（a,a+1）,8=（6-1,6）,其中a,6eR,則⑴=0w（2）;

③若A=（a,6）,8=（。/）,其中a,6,c,deR,則北式1）2乙8（2）;

④若4=,,〃）,2=（6*-I）,其中q/eR,則乙B（2）的最小值為述.

8

其中所有真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式4-1］（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4（%,%）,8（%,為），記

dp（A,8）=佃+、-%「），其中P為正整數(shù)，稱E（A3）為點(diǎn)A,8間的M距離.下列說(shuō)法正確的

是（）.

A.若4（O,A）=l,則點(diǎn)A的軌跡是正方形

B.若4（43）=4（43）,則A與B重合

C.4（A,3）404（A,3）

D..（AB）24（A3）

【變式4-2］（多選題）閔可夫斯基距離又稱為閔氏距離，是兩組數(shù)據(jù)間距離的定義.設(shè)兩組數(shù)據(jù)分別為

I

A=（q,4,…0）和8=3也,…也），這兩組數(shù)據(jù)間的閔氏距離定義為“（q）=為%-研〃，其中4表示

_k=l_

階數(shù).下列命題中為真命題的是（）

A.若A=（l,2,3,4）,3=（0,3,4,5）,則%（1）=4

B.若A=（〃,Q+1）,B=（b-l,b）,其中〃，Z?GR,則％⑴=%（2）

C.若A=（a,5）,B=（c,d）,其中a,b,c,deR,則“⑴2dA^（2）

D.若4=仙。2）,B=（b,b-D，其中a,6eR,則服B（2）的最小值為逑

8

題型五：圓的包絡(luò)線問題

【典例5-1】（多選題）設(shè)有一組圓C*：（x-A+l『+（y-3^）2=2/（左?N*）.下歹！J四個(gè)命題中真命題的是

A.存在一條定直線與所有的圓均相切

B.存在一條定直線與所有的圓均相交

C.存在一條定直線與所有的圓均不相交

D.所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

【典例5-2】（多選題）設(shè)有一組圓C/（尤-l）2+（y-Q2=/（左?N*）.下列四個(gè)命題正確的是

A.存在左，使圓與無(wú)軸相切

B.存在一條直線與所有的圓均相交

C.存在一條直線與所有的圓均不相交

D.所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

【變式5-1］（多選題）己知圓M:（》-1-cos0）2+（y-2-sin0）2=l,直線/：kx-y-k+2=G,下面五個(gè)命

題，其中正確的是（）

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)左與仇直線/和圓M有公共點(diǎn);

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)人與仇直線/與圓M都相離；

C.存在實(shí)數(shù)左與仇直線/和圓M相離；

D.對(duì)任意實(shí)數(shù)鼠必存在實(shí)數(shù)仇使得直線/與圓M相切：

E.對(duì)任意實(shí)數(shù)仇必存在實(shí)數(shù)也使得直線/與圓M相切；

【變式5-2］（多選題）已知圓M：（x-l-cos6＞）2+（y-sin6＞）2=1,直線/：kx-y-k=O,下面命題中正

確的是（）

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)％與。，直線/和圓M有公共點(diǎn)；

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)A:與6,直線/與圓M都相離；

C.存在實(shí)數(shù)上與。，直線/和圓M相交；

D.對(duì)任意實(shí)數(shù)距必存在實(shí)數(shù)。，使得直線/與圓/相切.

題型六：阿波羅尼斯圓問題、反演點(diǎn)問題、阿波羅尼斯球問題

【變式5-3］（多選題）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)

三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值〃幾＞0,且?guī)?1）的點(diǎn)的軌跡是圓，

PA1

此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-2.0）,5（4,0）,點(diǎn)尸滿足=設(shè)點(diǎn)p的軌跡為

FD2

曲線C,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.C的方程為（x+4）2+V=16

B.點(diǎn)A3都在曲線C內(nèi)部

C.當(dāng)A,6,P三點(diǎn)不共線時(shí)，則=

D.若0（2,2）,則|理+2|「。的最小值為46

【變式5-4】圓的反演點(diǎn)：已知圓。的半徑是「，從圓心。出發(fā)任作一條射線，在射線上任取兩點(diǎn)

若|OMHON|=/,則M,N互為關(guān)于圓。的反演點(diǎn).圓的反演點(diǎn)還可以由以下幾何方法獲得：若點(diǎn)加在圓

。外，過(guò)M作圓的兩條切線，兩切點(diǎn)的連線與的交點(diǎn)就是點(diǎn)"的反演點(diǎn)；若點(diǎn)加在圓。內(nèi)，則連接

OM,過(guò)點(diǎn)M作。M的垂線，該垂線與圓兩交點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)即為知的反演點(diǎn).已知圓O:/+y2=4,

點(diǎn)”（1,3）,則知的反演點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【變式5-5】阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，

他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)尸到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)幾（2＞0,且4/1）,那么點(diǎn)尸的軌跡為圓，

這就是著名的阿波羅尼斯圓.已知圓C：天2+9=24,點(diǎn)“（2,2）,平面內(nèi)一定點(diǎn)N（異于點(diǎn)”）,對(duì)于圓

上任意動(dòng)點(diǎn)A,都有比值|AN|:|A圖為定值，則定點(diǎn)N的坐標(biāo)為—.

【變式5-6】阿波羅尼奧斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠.他發(fā)

現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,8的距離之比為定值九(Xwl)的點(diǎn)的軌跡是圓.”人們將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓,

簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-3,1),5(-3,5),點(diǎn)尸是滿足1%|=3|叢|的阿氏圓上的任意

一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為;若。為拋物線C：V=4x上的動(dòng)點(diǎn)，。在y軸上的射影為則

I1+3(1PQI+1QMI)的最小值為.

【變式5-7]如圖，己知平面a[\p=l,A、3是直線/上的兩點(diǎn)，C、。是平面月內(nèi)的兩點(diǎn)，且

DALI,CBLl,AD=3,AB=6,CB=6.P是平面。上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線尸。，尸C與平面口所成角

相等，則二面角尸-的余弦值的最小值是—.

【變式5-8]如圖，在正方體ABC。一中，48=3百，點(diǎn)瓦廠在線段上，且DE=EF=FB],

PEOE

點(diǎn)M是正方體表面上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸，。是空間兩動(dòng)點(diǎn)，若方=詼=2且囤=4,則痔.版的最小

值為一.

題型七：圓中的垂直問題

【變式5-9](2024?海南?模擬預(yù)測(cè))已知直線4：x-3y+l=O,直線。過(guò)點(diǎn)。,0)且與直線《相互垂直，圓

C:x2+y2-4x-2y-3=0,若直線4與圓C交于M,N兩點(diǎn),則|MN卜.

【變式5-10](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知AC,8。為圓O:尤2+/=9的兩條相互垂直的弦，垂足為

加(2,2),則|4。?|比＞|的最大值為一.

【變式5-11](2024.高三.北京?期中)已知AC、3。為圓O：x2+y2=9的兩條相互垂直的弦，垂足為

M(l,g)則四邊形ABCD的面積的最大值為

【變式5-12]過(guò)定點(diǎn)M(l,2)作兩條相互垂直的直線乙、3設(shè)原點(diǎn)到直線晨4的距離分別為4、d2,則

4+4的最大值是

【變式5-13］（2024.江蘇.二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓。:仁-加了=產(chǎn)?！?gt;o）.已知過(guò)原點(diǎn)。且

相互垂直的兩條直線4和4,其中4與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，4與圓C相切于點(diǎn)。.若AB=OD,則直線乙

的斜率為.

題型八：圓的存在性問題

【典例6-1】（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）已知圓C:（x-l）2+y2=80,點(diǎn)尸在直線/：y=履+7（左eR）上.若存在

過(guò)點(diǎn)P的直線與圓C相交于A,8兩點(diǎn)，且|A8|=16,AP=^PB,則上的取值范圍是.

【典例6-2】（2024.黑龍江.三模）已知圓C：（x-l）2+（y-4）2=/（,>0）,A（-3,0）,B（-l,0）,若C上存在

點(diǎn)P,使得NAP5=90。，則r的取值范圍為.

【變式6-1】已知圓C:（無(wú)一6產(chǎn)+（y-8）z=l和兩點(diǎn)4（0,-加）,B（Q,m）（m>0）.若圓C上存在點(diǎn)尸，使得

APYBP,則加的最大值為.

【變式6-2］（2024?重慶.模擬預(yù)測(cè)）已知圓。:爐+,2=8及圓4：（工一4+（尸1）2=1,若圓A上任意一點(diǎn)

P,圓。上均存在一點(diǎn)。使得45。，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是—.

【變式6-3］（2024?廣東韶關(guān)?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為憶過(guò)尸且斜率為的直線/交

拋物線C于A,8兩點(diǎn)，則以線段為直徑的圓。的方程為—；若圓。上存在兩點(diǎn)P,Q,在圓T：

（x+2）2+（y+7）2="（a>0）上存在一點(diǎn)使得/加。=90。，則實(shí)數(shù)°的取值范圍為一.

0

〃過(guò)關(guān)測(cè)試,\

1.定義平面內(nèi)任意兩點(diǎn)尸（為％）,。（肛%）之間的距離42="-力+卜-耳，稱為尸。之間的曼哈頓距

離.若點(diǎn)A在直線y=：x-2上，點(diǎn)8為拋物線y=/+2x上一點(diǎn)，則AB之間的曼哈頓距離的最小值為

（）

A23班R69?23n3

4040162

2.“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)

4（%,％）,3優(yōu)，%）的曼哈頓距離為：4（4,3）=|%-司+|%-%|?已知點(diǎn)"在圓。：/+y2=1上，點(diǎn)"在直

線/:3x+y-9=0上，則d（KN）的最小值為（）

A9M9A/10［「18-2A/10

Rn°回

101053

3.“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，其定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)

公（%,必）,3優(yōu)，%）的曼哈頓距離4（43）=|占-司+|%-%|，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若點(diǎn)尸（2,4）,0（-2,1）,則d（P,Q）=6

B.若點(diǎn)M（T,0）,N（l,0）,則在x軸上存在點(diǎn)P,使得d（P,M）+d（P,N）=l

C.若點(diǎn)M（2,l）,點(diǎn)尸在直線x-2y+6=0上，則刈尸,㈣的最小值是5

D.若點(diǎn)M在圓/+必=4上，點(diǎn)N在直線2x—y+8=O上，則d（M,N）的值可能是4

4.（2024.福建泉州.模擬預(yù)測(cè)）人臉識(shí)別，是基于人的臉部特征信息進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技

術(shù).在人臉識(shí)別中，主要應(yīng)用距離測(cè)試檢測(cè)樣本之間的相似度，常用測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦

距離.設(shè)4（%,%）,網(wǎng)程為），則曼哈頓距離4（>5）=歸一引+|乂一%|*余弦距離e（A,B）=l-cos（A,B）,

其中cos（AB）=cos（次，礪）（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.已知M（2,l）,d（M,N）=l,則e（M,N）的最大值近似等

于（）

（參考數(shù)據(jù)：V2?1.4B拓。2.24.）

A.0.052B.0.104C.0.896D.0.948

5.（2024.重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè)）十九世紀(jì)著名德國(guó)猶太人數(shù)學(xué)家赫爾曼閔可夫斯基給出了兩點(diǎn)尸（a%）,

。（々,%）的曼哈頓距離為。（尸,。）=5一百+|%|.我們把到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的曼哈頓距離相等的點(diǎn)叫“好

點(diǎn)”，已知三角形VABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（2,4）,8（8,2）,C（12,10）,貝UVABC的“好點(diǎn)”的坐標(biāo)為（）

A.（2,4）B.（6,8）C.（0,0）D,（5,1）

6.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P（x,y）,定義［OP］=|x|+|y|,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn).對(duì)于下列結(jié)論：

（1）符合［OP］=1的點(diǎn)P的軌跡圍成的圖形的面積為2；

（2）設(shè)點(diǎn)P是直線：盾+2y-2=0上任意一點(diǎn)，則［0尸/=孚；

（3）設(shè)點(diǎn)尸是直線：>=履+1化eR）上任意一點(diǎn)，則“使得［OP］最小的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)”的充要條件是

“左=±1";

（4）設(shè)點(diǎn)P是橢圓J+V=1上任意一點(diǎn)，則［0尸］皿=5.

其中正確的結(jié)論序號(hào)為（）

A.（1）、⑵、（3）B.⑴、(3)、(4)

C.⑵、（3）、（4）D.⑴、⑵、(4)

7.設(shè)力（巧，yj,5（巧,為平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn)，其中乙，%，xB,%均為整數(shù).若

民-”+|%-%|=3，則稱點(diǎn)8為點(diǎn)A的“相關(guān)點(diǎn)”.已知點(diǎn)々是坐標(biāo)原點(diǎn)。的“相關(guān)點(diǎn)”，點(diǎn)外是點(diǎn)月的“相

關(guān)點(diǎn)”，點(diǎn)鳥是點(diǎn)鳥的“相關(guān)點(diǎn)”，……，依此類推，點(diǎn)取23是點(diǎn)心）22的“相關(guān)點(diǎn)''.注：點(diǎn)4（%，%），8（%，%）

間的距離|A卻=J（/-,）2+（%-%）則點(diǎn)。與點(diǎn)心23間的距離最小值為（）

A.0B.1C.2D.3

8.定義：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸（％y）的橫坐標(biāo)X的絕對(duì)值表示為國(guó)，縱坐標(biāo)y的絕對(duì)值表示為M，我

們把點(diǎn)尸（X,y）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值之和叫做點(diǎn)尸（x,y）的折線距離，記為卜W+3（其中的“+”是

四則運(yùn)算中的加法）.若拋物線丁=62+法+1與直線y=x只有一個(gè)交點(diǎn)“，已知點(diǎn)"在第一象限，且

2<|M|<4,令r=2〃_4a+2022,則f的取值范圍為（）

A.2018<f<2019B.2019</<2020

C.20204W2021D.2021W2022

9.（2024.浙江?模擬預(yù)測(cè)）“曼哈頓距離”也叫“出租車距離”，是19世紀(jì)德國(guó)猶太人數(shù)學(xué)家赫爾曼?閔可夫斯

基首先提出來(lái)的名詞，用來(lái)表示兩個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對(duì)軸距總和，即在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，若

8?,%）,則A,B兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”為卜2-%|+|%-%|，下列直角梯形中的虛線可以作為

A,8兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”是（）

10.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，”事實(shí)上，很多代

數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，例如，與相關(guān)的代數(shù)問題,可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A（x,

y）與點(diǎn)8（a,b）之間的距離的幾何問題，結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得方程&+6x+10-_6%+10=4的解

是（）

11.設(shè)直線系M：xcos0+（y-2）sin0=1（0<0<2TT）,則下列命題中是真命題的個(gè)數(shù)是（）

①存在一個(gè)直線與所有直線相交；②加中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)”523),存在正“

邊形，其所有邊均在M中的直線上；④M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.

A.0B.1C.2D.3

12.(2024?高三?上海浦東新?期中)設(shè)直線系A(chǔ)f:xcos6+(y-2)sin6=l(0<。<2萬(wàn))，則下列命題中是真

命題的個(gè)數(shù)是()

①存在一個(gè)圓與所有直線相交；

②存在一個(gè)圓與所有直線不相交；

③存在一個(gè)圓與所有直線相切；

?M中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；

⑤不存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上；

⑥對(duì)于任意整數(shù)之3),存在正〃邊形，其所有邊均在M中的直線上；

⑦加中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.

A.3B.4C.5D.6

13.設(shè)直線系M:xcos9+(y-2)sinJ=l,O<0<2,TT,對(duì)于下列四個(gè)命題：

(1)M中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；

(2)存在定點(diǎn)P不在”中的任意一條直線上；

(3)對(duì)于任意整數(shù)〃，”23,存在正〃邊形，其所有邊均在M中的直線上；

(4)M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等；其中真命題的是()

A.(2)(3)B.(1)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)

14.設(shè)直線系M:尤cos6+(y—2)5m。=1(04。42萬(wàn))，對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論：

(1)當(dāng)直線垂直于久軸時(shí)，。=0或萬(wàn)；

TT

(2)當(dāng)。時(shí)，直線傾斜角為120。；

(3)版中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；

(4)存在定點(diǎn)P不在M中任意一條直線上.

其中正確的是()

A.①②B.③④C.②③D.②④

15.設(shè)有一組圓C-(1+1)"_3匹=2/優(yōu)［N*).下列四個(gè)命題：

①存在一條定直線與所有的圓均相切；②存在一條定直線與所有的圓均相交；

③存在一條定直線與所有的圓均不相交；④所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn).

其中真命題的序號(hào)是()

A.①③B.②④C.②③D.③④

16.已知直線cosa-(x-l)+sina-y+l=0(ae&與圓(x-3y+(y-&y=4相切，則滿足條件的直線/有

A.1條B.2條C.3條D.4條

17.已知直線/：xcostz+ysin（z—l=0（aeR）與圓（x-2y+y2=i相切，則滿足條件的直線/有（）條

A.4B.3C.2D.1

18.（2024?廣西?模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期

數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)尸到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)4（2>0且4/1）,那么點(diǎn)P的

軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)P到4（2,0）,8（-2,0）的距離比為右，則點(diǎn)P到直線/：

2缶-、-5/1=0的距離的最大值是（）

A.3A/2+2A/3B.2+2若C.4右D.66

19.（2024.云南昆明.一模）在棱長(zhǎng)均為2百的四面體A3CD中，點(diǎn)E為8的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為砥的中點(diǎn).若

點(diǎn)N是平面88內(nèi)的兩動(dòng)點(diǎn)，M--=—=2,MN=2,則AM4N的面積為

MFNF

A.4四B.3

C.2A/2D.2

20.（多選題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為V+y2-4x=0.若直線^=%（》+1）上存在一點(diǎn)P,

使過(guò)P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)上的取可以是

A.1B.2C.3D.4

21.（2024?山東煙臺(tái).三模）在平面直角坐標(biāo)系中，若定義兩點(diǎn)A（玉，%）和4（%，%）之間的，距離”為

卜一尤2I回一%|

⑶聞，=max<其中max{p,q}表示P，q中的較大者，則點(diǎn)4（0,0）與點(diǎn)4（1,2）之

1+|%1-X2|1+|%一%|

間的"f距離''為；若平面內(nèi)點(diǎn)A（x,y）和點(diǎn)&（1,1）之間的，距離''為:，則A點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形

的面積為.

22.平面中兩條直線乙、4相交于點(diǎn)。，對(duì)于平面上任意一點(diǎn)〃，若p,q分別是M到直線《和乙的距離,

則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)（P，。）是點(diǎn)"的“距離坐標(biāo)”.已知常數(shù)q>0,給出下列命題:

（1）若P=4=0,貝I“距離坐標(biāo)”為（0,。）的點(diǎn)有且僅有1個(gè);

（2）若。4=。，p+q^O,貝“距離坐標(biāo)”為（p,q）的點(diǎn)有且僅有2個(gè);

（3）若pqw。，貝廣距離坐標(biāo)”為（p,q）的點(diǎn)有且僅有4個(gè).

以上命題中，正確的命題是.

23.在平面直角坐標(biāo)系中，定義1（4,8）=1113\{|玉-%2|,|%-%|}為兩點(diǎn)4>1，%）,以%，%）的“切比雪夫距

離”.又設(shè)點(diǎn)P及/上任意一點(diǎn)。，稱d（P,。）的最小值為點(diǎn)P到直線/的“切比雪夫距離”，記作d（P,

/）.給出下列四個(gè)命題：①對(duì)任意三點(diǎn)A,B,C,都有d（C,A）+d（C,B）2d（A,B）；②已知點(diǎn)尸（3,1）

4

和直線/:2尤-丁-1=0,貝Ud(P,/)=(；③到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于1的點(diǎn)的軌跡是正方形.其中正確

的序號(hào)為_.

24.(2024?廣東韶關(guān)?一模)我們知道距離是衡量?jī)牲c(diǎn)之間的遠(yuǎn)近程度的一個(gè)概念.數(shù)學(xué)中根據(jù)不同定義有好

多種距離.平面上，歐幾里得距離是4(%,%)與3(%,%)兩點(diǎn)間的直線距離，即服8=5/(&一々)2+(%-%)2?

切比雪夫距離是AQ,乂)與B(X2,%)兩點(diǎn)中橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值和縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值中的最大值，即

41s=111皎{|%-引,|%-%|}.已知尸是直線/：2x+yT5=0上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)p與O(。為坐標(biāo)原點(diǎn))兩點(diǎn)之間

的歐幾里得距離最小時(shí)，其切比雪夫距離為.

25.(2024?四川涼山?三模)點(diǎn)”是AABC內(nèi)部或邊界上的點(diǎn)，若加■到AABC三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則

稱點(diǎn)”是AABC的費(fèi)馬點(diǎn)(該問題是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出).若4(0,2)，5(-1,0)，C(l,0)時(shí),

點(diǎn)風(fēng)是AA6C的費(fèi)馬點(diǎn),且已知/在'軸上,貝1|4閻+忸的大小等于一.

重難點(diǎn)突破03直線與圓的綜合應(yīng)用

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：距離的創(chuàng)新定義.........................................................2

題型二：切比雪夫距離...........................................................3

題型三：曼哈頓距離'折線距離'直角距離問題.....................................4

題型四：閔氏距離問題...........................................................5

題型五：圓的包絡(luò)線問題.........................................................6

題型六：阿波羅尼斯圓問題'反演點(diǎn)問題、阿波羅尼斯球問題.........................7

題型七：圓中的垂直問題.........................................................8

題型八：圓的存在性問題.........................................................9

03過(guò)關(guān)測(cè)試.....................................................................9

亡法牯自與.柒年

//\\

直線與圓的綜合應(yīng)用方法主要包括幾何法和代數(shù)法。

題型一：距離的創(chuàng)新定義

【典例1-1]數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為

幾何問題加以解決，例如，與何尸江+代-6)2相關(guān)的代數(shù)問題,可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A(x,y)與點(diǎn)3(a,b)之間

距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可求得方程+4x+5+J/_4尤+5=6的解是()

A,2B.+逅C.述D.+述

4455

【答案】D

[解析]因?yàn)?+4*+5=J(x+2]+l=7[X-(-2)]2+(1-0)2,

所以&+以+5可以轉(zhuǎn)化為/(羽1)到N(-2,0)的距離,

同理，Jx2-4x+5可以轉(zhuǎn)化為“(x，l)到P(2,0)的距離，

因?yàn)?+4x+5+&-4-+5=6，

所以M(x,l)到兩定點(diǎn)N(-2,0)和尸(2,0)的距離之和為6,

所以“(X,1)在以點(diǎn)N(-2,0)和P(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓上，

22

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：二+2=1(4>6>0),

ab'

則，2短=6,

即a=3,

又片一k=4,

所以/=5，

22

所以橢圓的方程為：—+^=1,

95

由y=i,

得寸+',

95

解得,』還.

5

故選:D.

【典例1?2】人臉識(shí)別中檢測(cè)樣本之間相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和

余弦距離.若二維空間有兩個(gè)點(diǎn)fi(x2,y2),則曼哈頓距離為：=上—回+回一％卜

余弦相似度為：COS(A,B)=Trx+廠:二丁X廠",余弦距離為1—cos(A,B).

收+看在+4商+y；J考+「

若A(—1,2)，《|，g]，則4B之間的余弦距離為()

A.[—叵B.i+倉(cāng)C.D.]_好

5555

【答案】D

【解析】由題gF=Q^=逐,7^=IfT4fJ=i-

“(亦營(yíng)+丁冬

所以42之間的余弦距離為i_cos(A,3)=l—坐.

故選：A.

【變式1-1】費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小120。時(shí)，

費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角相等，均為120。.根據(jù)

以上性質(zhì)，已知A(-2,0),8(2,0),C(0,4),尸為VABC內(nèi)一點(diǎn),記〃尸)=|網(wǎng)+怛回+|尸。，則〃P)的

最小值為()

A.2拒B.4+2百

C.4+A/3D.2+73

【答案】A

【解析】設(shè)。(0,0)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由A(-2,0),8(2,0),C(0,4),

知|AC|=|BC|=2有，且VABC為銳角三角形，

因此，費(fèi)馬點(diǎn)M在線段OC上，設(shè)如圖，

則為頂角是120。的等腰三角形，故/z=|OB|tan30o=2，,

所以/(PR/W)=|M4|++3=4/z+4-//=4+26，

貝”/(2)的最/」、值為4+26.

故選：B

【變式1-2]以三角形邊8C,CA,A3為邊向形外作正三角形BC4',CAB',ABC,則A4,,BB'，

CC三線共點(diǎn)，該點(diǎn)稱為VABC的正等角中心.當(dāng)VABC的每個(gè)內(nèi)角都小于120。時(shí)，正等角中心點(diǎn)P滿足

以下性質(zhì)：

(1)?APB?APC?BPC120?；(2)正等角中心是到該三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)(也即費(fèi)

馬點(diǎn)).由以上性質(zhì)得"r+(y_l)2++(y+])2+J(x—2)2+,2的最小值為

【答案】2+6

【解析】根據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中，令點(diǎn)AQ1),5(0,-1),C(2,0),

則J尤2+(y-1)2+Jx?+(y+1)2+-2)2+y2表示坐標(biāo)系中一點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)A、B、C的距離之和，

因?yàn)?4BC是等腰三角形，AC=BC,

所以C'點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，所以CC與x軸重合，

令2MBe的費(fèi)馬點(diǎn)為尸(a,3,則尸在CC'上，貝16=0,

因?yàn)锳4BC是銳角三角形，由性質(zhì)(1)得NAPC=120。，

所以NAPO=60。，所以工=有，所以.=立，

a3

...P(4，0)到A、B、C的距離分別為PA=P8=半，PC=2-R,

22

所以yjx+(y-l)+J%2+(y+i)2+J(x—2)2+y2的最小值，

即為費(fèi)馬點(diǎn)。到點(diǎn)A、B、C的距離之和，貝!JPA+P3+尸。=2+百.

故答案為：2+百.

【變式1-3］已知平面上的線段/及點(diǎn)尸，任取/上一點(diǎn)Q,線段P。長(zhǎng)度的最小值稱為點(diǎn)P到線段/的距離,

記作d(/v).請(qǐng)你寫出到兩條線段4，4距離相等的點(diǎn)的集合。={尸1或尸，4)=或尸，4)},其中4=AB,

l2=CD,A,B,C,D是下列兩組點(diǎn)中的一組.對(duì)于下列兩種情形，只需選做一種，滿