回歸直線方程高二下學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

4.2.1回歸直線方程1.了解一元線性回歸模型的概念及最小二乘法原理，掌握回歸直線方程的求法.在上節(jié)課中，我們已經(jīng)判斷出班級(jí)中學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，于是我們希望用一條直線或一個(gè)線性函數(shù)(圖象為直線的函數(shù))來反映所給出的散點(diǎn)圖的分布趨勢(shì).找出與散點(diǎn)圖中各點(diǎn)散布趨勢(shì)相似的直線，使各點(diǎn)經(jīng)過或充分靠近該直線，這樣所得到的直線就可以比較科學(xué)地反映實(shí)際問題中兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系.這條直線叫作回歸直線，這條直線的方程叫作回歸直線方程.有了回歸直線方程，就可以由一些變量的值去估計(jì)或預(yù)測(cè)另一些變量的值.由散點(diǎn)圖求出回歸直線并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的過程叫作回歸分析.在回歸分析中，被預(yù)測(cè)或被解釋的變量稱為因變量，用y表示.用來預(yù)測(cè)或解釋因變量的變量稱為自變量，用x表示.如果具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x、y可用方程

y=a+bx(1)來近似刻畫，其中a，b是待定系數(shù).某地區(qū)從某一年開始進(jìn)行了環(huán)境污染整治，得到了如下數(shù)據(jù)第x年1234567污染指數(shù)y6.15.24.54.73.83.43.1(1)作出這些成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，則污染指數(shù)y與x是否線性相關(guān)？如果是，判斷是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān).y與x是具有線性相關(guān)關(guān)系，且為負(fù)相關(guān).（2）如何找出近似描述y與x之間關(guān)系的一次函數(shù)表達(dá)式？

例如：過點(diǎn)(1，6)和(7，3)，得

y=-0.5x+6.5.y=-0.5x+6.5是最好的直線嗎？衡量標(biāo)準(zhǔn)是什么呢？過點(diǎn)(1，6)和(6，3.4)，得y=-0.54x+6.52.......第x年1234567污染指數(shù)y6.15.24.54.73.83.43.1預(yù)測(cè)值-0.5x+6.5

誤差(殘差)

65.54.55430.1-0.3-0.50.2-0.2-0.10.13.5由函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-0.5x+6.5可得下表：“最好”的直線

誤差平方和最小.取得最小值，則稱為y關(guān)于x的回歸直線方程(對(duì)應(yīng)的直線稱為回歸直線).一般地，已知變量x與y的n對(duì)成對(duì)數(shù)據(jù)(xi，yi)，i=1，2，3，…，n.任意給定一個(gè)一次函數(shù)y=bx+a，對(duì)每一個(gè)已知的xi，由直線方程可以得到一個(gè)估計(jì)值最小二乘法.方法如果一次函數(shù)能使殘差平方和即回歸直線方程最小二乘法確定回歸直線方程給定兩個(gè)變量y與x的一組數(shù)據(jù)之后，回歸直線方程總是存在的，

而且例1

某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚?1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求物理成績(jī)y關(guān)于數(shù)學(xué)成績(jī)x的回歸直線方程(結(jié)果保留三位小數(shù)).學(xué)生ABCDE數(shù)學(xué)成績(jī)x

/分8876736663物理成績(jī)y

/分7865716461Oxy解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示.

學(xué)生ABCDE數(shù)學(xué)成績(jī)x

/分8876736663物理成績(jī)y

/分7865716461(1)畫出散點(diǎn)圖．從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系．(2)計(jì)算

等相關(guān)數(shù)據(jù)．(3)代入公式求出

中參數(shù)

的值．(4)寫出回歸方程并對(duì)實(shí)際問題作出估計(jì)．歸納總結(jié)求線性回歸方程的步驟：

？

歸納總結(jié)

例2

如果某位同學(xué)10次考試的物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x如下表所示.數(shù)學(xué)成績(jī)x76827287937889668176物理成績(jī)y808775861007993688577(1)求出y關(guān)于x的回歸直線方程；

因此回歸直線方程為(2)該同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)每提高3分，物理成績(jī)估計(jì)能提