高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修四）第01講911正弦定理

9.1.1正弦定理TOC\o"13"\h\u題型1正弦定理解三角形 ②已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形．題型1正弦定理解三角形【方法總結(jié)】正弦定理的特點(diǎn)（1）適用范圍：正弦定理對(duì)任意的三角形都成立.（2）結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長(zhǎng)，分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦的連等式.（3）刻畫規(guī)律：正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化.◆類型1已知兩角一邊解三角形【方法總結(jié)】已知兩角及一邊解三角形（1）首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值；（2）如果已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，由三角形中大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一；（3）如果已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí)，則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角，要分類討論【例題11】（2021春·四川成都·高二成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，A=45°，C=30°，c【答案】2【分析】運(yùn)用正弦定理解三角形.【詳解】由正弦定理得：asinA=csin故答案為：2.【變式11】1.（2022春·上海崇明·高一上海市崇明中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，若b=2，B=30°，C【答案】6【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系得角A的大小，再根據(jù)兩角差的正弦公式求得sinA的值，最后由正弦定理得邊a【詳解】解：在△ABC，可得A又sin15°=sin(45°?30°)=sin45°cos30°?cos45°sin30°=由正弦定理得asinA=故答案為：6?【變式11】2.已知一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是45°，60°，它們所夾邊的長(zhǎng)是1，求最小邊長(zhǎng)．【解析】設(shè)△ABC中，A＝45°，B＝60°，則C＝180°－(A＋B)＝75°.因?yàn)镃>B>A，所以最小邊為a.又因?yàn)閏＝1，由正弦定理得，a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(1×sin45°,sin75°)＝eq\r(3)－1，所以最小邊長(zhǎng)為eq\r(3)－1.◆類型2已知兩邊及一邊對(duì)角解三角形【方法總結(jié)】已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形①用正弦定理求出另一邊所對(duì)角的正弦值；②用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角；③根據(jù)正弦定理求出第三條邊.其中進(jìn)行①時(shí)要注意討論該角是否可能有兩個(gè)值.【例題12】（多選）（2022春·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，若a=2,bA．60° B．150° C．120° D．30°【答案】AC【分析】由大邊對(duì)大角可知B>30°，從而得B∈(30°,150°)，由正弦定理可得【詳解】解：因?yàn)閍=2,所以B>由正弦定理可知asin∴sinB又因?yàn)锽∈(30°,150°)∴B=60°或B故選:AC．【變式12】1.在△ABC中，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，求A，C，c.【解析】由正弦定理及已知條件，有eq\f(\r(3),sinA)＝eq\f(\r(2),sin45°)，得sinA＝eq\f(\r(3),2).∵a>b，∴A>B＝45°.∴A＝60°或120°.當(dāng)A＝60°時(shí)，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin75°,sin45°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)；當(dāng)A＝120°時(shí)，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(2)sin15°,sin45°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).綜上可知：A＝60°，C＝75°，c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)或A＝120°，C＝15°，c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).【變式12】2.在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝eq\f(1,3)，則sinB＝()A.eq\f(1,5)B.eq\f(5,9)C.eq\f(\r(5),3)D．1【解析】在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(5×\f(1,3),3)＝eq\f(5,9).【答案】選B【變式12】3.在△ABC中，c＝eq\r(6)，C＝60°，a＝2，求A，B，b.【解析】∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴sinA＝eq\f(asinC,c)＝eq\f(\r(2),2).∴A＝45°或A＝135°.又∵c>a，∴C>A.∴A＝45°.∴B＝75°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)·sin75°,sin60°)＝eq\r(3)＋1.【變式12】4.（2021春·陜西西安·高二?？计谀┰凇鰽BC中,已知a=3,b=2A．60° B．120° C．60°或120【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理求得sinA=3【詳解】由題知a=3,b=在△ABCasin解得sinA=32,因?yàn)樗訟=60°故選:C題型2三角形多解問題【方法總結(jié)】多解問題方法：◆類型1判斷三角形解的個(gè)數(shù)【例題21（2022春·河南安陽(yáng)·高一安陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、cA．B=60°，c=4，b=5，有兩解 B．B=60°，C．B=60°，c=4，b=3，有一解 D．B=60°，【答案】D【分析】已知B=60°，c=4的前提下，利用直角△ADB【詳解】因?yàn)锽=60°，c=4，如圖AD⊥由直角△ADB可得AD當(dāng)b=23或當(dāng)b<2當(dāng)23結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)，可知，選項(xiàng)A，B，C三項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D【變式21】1.（2023·全國(guó)·專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A,BA．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．a(chǎn)【答案】B【分析】結(jié)合已知條件和正弦定理即可求解.【詳解】對(duì)于A：由正弦定理可知，a∵a>b，∴B<對(duì)于B：由正弦定理可知，asin∵b>a，∴B>對(duì)于C：由正弦定理可知，a∵A為鈍角，∴B一定為銳角，故三角形△ABC對(duì)于D：由正弦定理可知，asinA=故選：B.【變式21】2.（多選）（2022春·廣西百色·高一?？计谥校┰凇鰽BC中，角A,BA．a(chǎn)=5,B．b=18,C．a(chǎn)=8,D．a(chǎn)=30,【答案】AD【分析】根據(jù)三邊確定可判斷A選項(xiàng)；由正弦定理，在結(jié)合大邊對(duì)大角可判斷B，C，D選項(xiàng).【詳解】解：選項(xiàng)A，a=5,選項(xiàng)B，由正弦定理得：bsinB=csinC，則選項(xiàng)C，由正弦定理得：asinA=bsinB，則sinA選項(xiàng)D，由正弦定理得：asinA=bsinB，故選：AD.【變式21】3.（多選）（2022秋·河北張家口·高三校聯(lián)考期中）在△ABC中，內(nèi)角A,BA．b=10,A=45°,C．a(chǎn)=3,【答案】BC【分析】對(duì)于A，直接判斷即可；對(duì)于B，sinC=csinBb=4?3215【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閎=10,A=45°,C=60°對(duì)于B，因?yàn)閎=所以由正弦定理得sinC因?yàn)閎<c，即B<C，所以C>60°，所以△對(duì)于C，因?yàn)閍=所以由正弦定理得asinA=因?yàn)?2<23<32對(duì)于D，因?yàn)閍=8,所以由正弦定理得sinB由于b<a，故B<80°故選：BC【變式21】4．（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在△ABC①sinA=32；②cosA=?32；③A．①② B．②③ C．②④ D．②③④【答案】B【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及正弦定理，再結(jié)合三角形的圖象逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可求解.【詳解】對(duì)于①sinA=32，則A=π3或2π3，故①不滿足題意；對(duì)于②cosA=?32，則A=5π6，故②滿足題意；對(duì)于③cosB=?12，b=3a，則B故選：B．◆類型2取值范圍問題【例題22】（2021秋·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考期中）在△ABC中，AB=10，B=A．(5,10) B．(5,+∞)C．(53,10) 【答案】A【分析】利用正弦定理直接求解.【詳解】根據(jù)正弦定理，該三角形有兩解，所以ABsinB<AC<故選：A【變式22】1.（2023秋·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）在△ABC中，已知a=3，A=π3A．x=23 C．x∈23【答案】D【分析】結(jié)合正弦定理得x=23sin【詳解】由正弦定理得3sinπ3=x∵滿足條件的三角形只有一個(gè)，即x有唯一的角與其對(duì)應(yīng)，則B∈π2故選：D【變式22】2.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）張老師在整理試題時(shí)發(fā)現(xiàn)一題部分字跡模糊不清，只能看到：在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，已知b=2【答案】1,【分析】問題為三角形有兩個(gè)解，根據(jù)畫圓法可確定CD<【詳解】由題意可知三角形有兩個(gè)解由上圖可知：CD若c有兩解，可知以C為圓心，a為半徑的圓弧與AD有兩個(gè)交點(diǎn)則CD<a<故答案為：1,【變式22】3.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，若A=120°，c=10【答案】(10,+∞)【分析】由題意確定0°<C<60°，由正弦定理可求得sinC【詳解】由題意在△ABC中，若A=120°，則由正弦定理得asin△ABC可解，則需有0<sinC=故邊a的取值范圍是(10,+∞)，故答案為：(10,+∞)【變式22】4.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，A=α0<(1)△ABC(2)△ABC(3)△ABC【答案】(1)a=msin(2)msin(3)a<【分析】（1）根據(jù)正弦定理，得到sinB=msinαa.分（2）由已知可得sinα（3）由已知可得sinB【詳解】（1）由正弦定理asinA=（?。┊?dāng)a<b，即a<①若sinB>1，即msinαa>1，則②若sinB=1，即msinαa=1，③若sinB<1，即msinαa<1，因?yàn)閟inB>sinA綜上所述，當(dāng)a=msin（ⅱ）當(dāng)a=b，即a=m時(shí)，（ⅲ）當(dāng)a>b，即a>m時(shí)，sinB綜上所述，△ABC有一解時(shí)，邊長(zhǎng)a的取值范圍是a=m（2）由（1）知，△ABC有兩解，應(yīng)滿足sinA<sinB<1，由sin（3）由（1）知，△ABC無解，應(yīng)滿足sinB>1，即m題型3利用正弦定理判斷三角形的形狀【方法總結(jié)】判斷三角形的形狀，就是根據(jù)題目條件，分析其是不是等腰三角形、直角形、等邊三角形、等腰直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等.利用正弦定理判斷三角形形狀的方法如下：（1）化邊為角，走三角變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C（R為△ABC外接圓的半徑）；（2）化角為邊，走代數(shù)變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)（R為△ABC外接圓的半徑）；【例題3】(1)若acosB＝bcosA，則△ABC是________三角形；(2)若acosA＝bcosB，則△ABC是________三角形.【答案】(1)等腰(2)等腰或直角【解析】(1)由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB).又acosB＝bcosA，所以eq\f(a,b)＝eq\f(cosA,cosB)，所以eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(cosA,cosB)，所以sinA·cosB＝sinB·cosA，即sinA·cosB－sinB·cosA＝0，故sin(A－B)＝0，∵A，B是三角形內(nèi)角，所以A－B＝0，則A＝B，故△ABC是等腰三角形.(2)由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB).又acosA＝bcosB，所以eq\f(a,b)＝eq\f(cosB,cosA)，所以eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(cosB,cosA)，所以sinA·cosA＝sinB·cosB，所以2sinA·cosA＝2sinB·cosB，即sin2A＝sin2B，∵A，B為三角形內(nèi)角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.【變式31】1.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，a,b,cA．銳角三角形； B．直角三角形； C．鈍角三角形； D．以上都有可能．【答案】B【分析】方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則有Δ=0，再利用正弦定理邊角互化的應(yīng)用可得c2【詳解】由題可知,方程x2∴Δ=4sinsin2C=∴△ABC故選：B.【變式31】2.若sinAa=cosBbA．等邊三角形B．等腰直角三角形C．有一個(gè)內(nèi)角為30°的直角三角形D．有一個(gè)內(nèi)角為30°的等腰三角形【答案】B【解析】因?yàn)閟inAa所以cosBb=同理sinAa所以cosCc=sinCc，即【變式31】3.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，已知sin(A?A．直角三角形； B．銳角三角形； C．鈍角三角形； D．等邊三角形．【答案】A【分析】由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知式后確定A角大小，判斷三角形形狀．【詳解】解：由已知sin(A?B因?yàn)锳∈(0,π)故選：A．【變式31】4.（2022春·福建福州·高一福建省福州高級(jí)中學(xué)?？计谀┰凇鰽BC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，已知三個(gè)向量m=a,cosA2，A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可得acosB2=bcosA【詳解】解：∵向量m=(a,cos∴a由正弦定理得：sinA∴2sinA∵0<A2所以cos則sinA∴A2=B同理由n=b,cosB2∴△ABC故選：A．【變式31】5.（2022春·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）在△ABC中，若lgA．等腰三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算先求解出a,c的關(guān)系以及sinB的值，從而確定出B，再根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式確定出C【詳解】由lga?lgc所以得ac=22=sin所以c=2a即a=ccos所以sinB所以sinBcosC=0，即cosC即三角形為等腰直角三角形，故選：D【變式31】6.（2022秋·山東臨沂·高一?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A,B①若sinA>sinB②若sin2A=sin2B③若cos2A+cos2B④若△ABC為銳角三角形，則sin以上結(jié)論中正確的有___________.（填正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①③【分析】利用三角形的內(nèi)角和為π結(jié)合三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及正弦定理求解即可.【詳解】①因?yàn)閟inA>sinB，由正弦定理得a②因?yàn)閟in2A=sin2B，且在△ABC中，2A+2B∈(0,2π)，所以③由二倍角公式得1?2sin2A+1?2sin2B?1+2sin2④若△ABC為銳角三角形，則0<A<π2，0<π2?B<π2，當(dāng)故答案為：①③.【變式31】7.在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，則△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形【答案】A【解析】由sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，得a∶b∶c＝3∶4∶5.不妨設(shè)a＝3k，b＝4k，c＝5k(k>0)，則有c2＝a2＋b2，故△ABC為直角三角形.【變式31】8.（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若a2+【答案】△ABC【分析】利用三角恒等變換的公式和正弦定理化簡(jiǎn)即得解.【詳解】解：因?yàn)閍2所以b2所以2sinA即a2由正弦定理知a=2Rsin所以sin2又sinAsinB所以sin2A因?yàn)樵凇鰽BC中，0<2所以2A=2B或2A=所以△ABC題型4正弦定理求外接圓半徑【例題4】（2022春·上海普陀·高一校考期末）在△ABC中，A=π【答案】1【分析】由圖，結(jié)合初中幾何知識(shí)可得答案.【詳解】如圖，設(shè)△ABC外接圓圓心為O，半徑為r.BC=a=3.延長(zhǎng)BO交外接圓于故sin∠BA1故答案為：1.【變式41】1．（2021春·四川內(nèi)江·高一威遠(yuǎn)中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知△ABC內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，面積為S，滿足acosB+b【答案】1【分析】利用正弦定理邊角互化可求得c=1，然后利用余弦定理結(jié)合三角形的面積公式求出C的值，再利用正弦定理可求得△【詳解】設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，則acosB因?yàn)閍2+b2=4整理可得tanC=33，由正弦定理可得2r=c故答案為：1.【變式41】2．（2022春·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若c=1，acosB=2sinA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，再結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)可得sinC【詳解】由c=1，則a由正弦定理得sinA所以sinAcosB解得sinC所以2R=c故選：B.【變式41】3．（2021·浙江溫州·高一競(jìng)賽）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c所對(duì)的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，若c=1，且acosB=2sin【答案】2【分析】使用正弦定理，邊角轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于sinC的方程，求出sin【詳解】由正弦定理得：ac=sinAsinC，得所以sinAcosB所以2解得sinC=14，所以2R故答案為：2【變式41】4．（2022春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市阿城區(qū)第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sinB+π3cosπ【答案】(1,【分析】化簡(jiǎn)等式，結(jié)合鈍角三角形即可求出B=π3.由正弦定理可知2【詳解】因?yàn)閟inB所以sin2又因?yàn)椋?<B所以B+由正弦定理有：2R而sinA又因?yàn)椤鰽BC為鈍角三角形，不妨設(shè)π2<A<所以32所以△ABC外接圓的半徑R故答案為：(1,3【變式41】5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，a=1，b=【答案】1【分析】設(shè)D為AB邊的中點(diǎn)，則2CD=CA+CB【詳解】如圖，在△ABC中，設(shè)D為AB則CD=CB+BD,故4CD2=所以4=3+1+2CA?CB由于∠ACB∈(0,π)，故所以c=3+1=2則csin故答案為：1【變式41】6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，等腰△ABC,AB=AC,D是BC上一點(diǎn)，△ABD、A．1 B．sinB C．cosB【答案】A【分析】由正弦定理求解即可【詳解】在△ABDABsin∠在△ADCACsin∠因?yàn)锳B=AC，所以ABsin∠所以2R所以R1故選：A題型5三角形面積公式【方法總結(jié)】求三角形面積的方法（1）若三角形中已知一個(gè)角（角的大小或該角的正、余弦值），及其該角的兩邊，代入公式求面積；②若已知三角形的三邊，可先求其一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積．總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵.【例題5】在△ABC中，a＝3eq\r(2)，b＝2eq\r(3)，cosC＝eq\f(1,3)，則△ABC的面積為．【答案】4eq\r(3)【解析】cosC＝eq\f(1,3)，0<C<π，∴sinC＝eq\f(2\r(2),3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×2eq\r(3)×eq\f(2\r(2),3)＝4eq\r(3).【變式51】1.（2021春·四川成都·高一統(tǒng)考期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=2，c=5A．302 B．104 C．102【答案】B【分析】根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】S△故選：B【變式51】2.（2022春·安徽合肥·高一?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，a,b,c分別是角AA．3 B．23 C．2 D．【答案】B【分析】由正弦定理求得b=2【詳解】由正弦定理得：b=2由面積公式得：S△故選：B.【變式51】3.在△ABC中，已知AB?AC=tanA，當(dāng)時(shí)，【解析】由ABAC=tanA得\AB||AC|cosA=tanA【變式51】4.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，則△ABC的面積是()A．3B.eq\f(9\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),2)D．3eq\r(3)【答案】C【解析】∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝eq\f(π,3)，∴c2＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).【變式51】5．（2023春·安徽·高一淮北一中校聯(lián)考開學(xué)考試）數(shù)學(xué)中處處存在著美,機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱的美感.萊洛三角形的畫法:先畫等邊三角形ABC,再分別以A、B、C為圓心,線段AB長(zhǎng)為半徑畫圓弧,便得到萊洛三角(如圖所示).若萊洛三角形的周長(zhǎng)為π,則其面積是__________．【答案】π?【分析】根據(jù)圖形分析,利用扇形面積和三角形面積求解即可.【詳解】如圖,由條件可知,弧長(zhǎng)AB=BC=則以點(diǎn)A、B、C為圓心,圓弧AB,BC,中間等邊△ABC的面積S所以萊洛三角形的面積是3×π故答案為:π?3【變式51】6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”，與著名的海倫公式等價(jià)，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減小，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即S=14c2a2?c【答案】3【分析】由正弦定理得三角形三邊之比，由周長(zhǎng)求出三邊，代入公式即可求出面積【詳解】由正弦定理可得a:設(shè)a=因?yàn)椤鰽BC的周長(zhǎng)2解得：m=1，所以a==1故答案為：34【變式51】7.（2023秋·山東濟(jì)寧·高一嘉祥縣第一中學(xué)?？计谀樾麄?023年杭州亞運(yùn)會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙（記為矩形ABCD，如圖）上設(shè)計(jì)四個(gè)等高的宣傳欄（欄面分別為兩個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角三角形且GH=2EF），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為36000cm(1)當(dāng)x=100cm(2)為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形ABCD的面積最?。?？【答案】(1)49000(2)選擇長(zhǎng)寬分別為350cm【分析】（1）先表示出陰影部分的面積，代入x=100cm（2）表示出各自的關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為條件下的最值問題，最后運(yùn)用基本不等式可得答案.【詳解】（1）設(shè)陰影部分直角三角形的高為ycm,所以陰影部分的面積：S=6×12xy由圖像知：AD=∴（2）由（1）知：xyS=49000，當(dāng)且僅當(dāng)6x=5y即AB=350綜上，選擇長(zhǎng)寬分別為350cm【變式51】8.（2023春·四川內(nèi)江·高一四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考開學(xué)考試）在①acosC+ccosA=已知△ABC中，內(nèi)角A,B(1)求tan2B(2)若tanA=?12【答案】(1)24(2)周長(zhǎng)為11，面積為33【分析】（1）若選①，利用正弦定理邊化角及誘導(dǎo)公式求出cosB=45，再求出tanB，由正切的二倍角公式即可求出tan2B的值；若選②，由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合三角函數(shù)的平方和，可求出sinB，tanB，再由正切的二倍角公式可求出（2）由tanA=?125，求出【詳解】（1）若選①:由正弦定理得sinA故sin(A而在△ABC中，sin(故sinB=5所以sinB≠0，則則sinB故tan2B若選②:由5sin(π2+B)+5sin(?B)=1即(5sinB因?yàn)锽∈(0,π)，所以sinB>0則cosB故tan2B若選③:因?yàn)閏os2B所以2cos2B?1=cosB因?yàn)锽∈(0,π2則sinB故tan2B（2）因?yàn)閠anA=sin所以cosA由（1）得cosBsinC由正弦定理得asinA=故△ABC的周長(zhǎng)為a△ABC的面積為S【變式51】9.（2022春·重慶沙坪壩·高一重慶八中校考期中）已知△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，AD=2，∠ADC=(1)求AC的長(zhǎng);(2)若AB=3，求【答案】(1)3(2)3【分析】（1）在△ADC（2）判斷三角形形狀，利用三角形面積公式即可得答案.【詳解】（1）由已知∠ACD=π4，則在△即ACsinπ3（2）△ABC中，AB=AC=3∴△ABC故△ABC的面積為1題型6正弦定理邊角互化的應(yīng)用【方法總結(jié)】在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有a、b、c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.【例題6】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，“a=b【答案】充要【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念即可判斷.【詳解】充分性：∵∴sinA所以a=b是必要性：因?yàn)樵凇鰽BC中，sin所以A=B或當(dāng)A=B時(shí)，所以sinA=sinB故a=b是故答案為：充要【變式61】1．（2022春·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)校考期中）若在△ABC中，"A>A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【答案】C【分析】在三角形中，結(jié)合正弦定理，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：在三角形中，若A>B，根據(jù)大角對(duì)大邊可得邊a>b，由正弦定理若sinA>sinB，則正弦定理asinA所以，“A>B”是“故選：C．【變式61】2.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）△ABC的外接圓半徑為3，則2【答案】73【分析】根據(jù)正弦定理asin【詳解】因?yàn)椤鰽BC由正弦定理可得：asin則有2bsinB所以2b故答案為：736【變式61】3．（2022春·河南信陽(yáng)·高一信陽(yáng)高中校考階段練習(xí)）銳角△ABC的外接圓半徑為1，邊AC=3，BC>BAA．π12 B．π6 C．π4【答案】C【分析】由正弦定理得B，由cosAcosC=3【詳解】由正弦定理得sinB因?yàn)閏osAcosC即?1因此2C?π6=π3因?yàn)锽C>AB，所以C<故選：C.【變式61】4．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角AA．3 B．33 C．6 D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理可得2sinCcosB=2sinA【詳解】由正弦定理及2ccosB又因?yàn)樵凇鰽BC中，sin所以2sinCcosB因?yàn)樵凇鰽BC，sinB≠0，所以2cos又因?yàn)镃∈(0,π)，所以C又S△ABC=故選:A.【變式61】5．（2022春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bsinAA．32 B．12 C．2 【答案】A【分析】先由正弦定理及誘導(dǎo)公式倍角公式得sinC2=12【詳解】由正弦定理得sinBsinA+B2=sin又cosC2≠0，則sinC2=1則S△ABC=12b?故選：A.【變式61】6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，sinA+B=2sinA，【答案】π【分析】由AM=6MC得S由sinA+B=2sin【詳解】由AM=6MC設(shè)∠ABM=2∠CBMS△聯(lián)立①②③得csin2θ=6asinθ∵sinA+B=2∴cosθ=6a2c=故答案為：π【變式61】7．（2022春·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)校考期末）若不等式λ2sin2B?8sin【答案】92【分析】由正弦定理角化邊，三角形兩邊之和大于第三邊，再利用配方法求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)正弦定理：不等式λ2sin2B?8sinBsin由于(8b所以λ2?814，故|λ故答案為：9【變式61】8．（2022·浙江溫州·高一永嘉中學(xué)統(tǒng)考競(jìng)賽）已知三角形△ABC中，角A,B,C(1)當(dāng)A=π4,a(2)判斷△ABC【答案】(1)2(2)△ABC【分析】(1)由正弦定理通過邊角互化將條件轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再通過三角恒等變換求角B，再由正弦定理求c，(2)由條件通過三角恒等變換判斷tanA，tanB的正負(fù)，結(jié)合兩角和公式判斷【詳解】（1）由a2tanA所以acos所以sinA則sin2A又A=π4，λ所以1+sin2B所以(sinB因?yàn)锳=π4，所以B所以sinB所以tanB=3，所以sinBsinC由asinA=（2）因?yàn)閟in2A所以sinA所以2sin(A+B所以cos(A化簡(jiǎn)得(1+λ所以tanA因?yàn)棣?gt;1，所以tan所以tanA>0，所以tanC又A，B，C∈所以A，B，C都為銳角，所以△ABC題型7取值范圍問題【例題7】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，sinA:sinA．2,+∞ B．?∞,0 C．?12,0【答案】D【分析】利用正弦定理和三角形成立的條件求解.【詳解】由正弦定理知sinA所以a:根據(jù)三角形成立的條件可知2k+k故選:D.【變式71】1．（2022春·福建福州·高一校聯(lián)考期末）在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知a=2bA．A=2B B．角BC．cosA的取值范圍是0,32 D．【答案】AD【分析】由正弦定理統(tǒng)一為角可判斷A，由銳角三角形確定角的取值范圍，由正弦定理化為三角函數(shù)求取值范圍判斷BD，由A=2【詳解】因?yàn)閍=2bcos∵0<A<π2，0<B<π因?yàn)閎≠c，所以B≠C，所以因?yàn)锳+B+因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以0<A<π2所以22<cosB因?yàn)锳=2B，所以π3故選：AD【變式7