中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項(xiàng)知識(shí)一元二次方程及其應(yīng)用(講義4考點(diǎn)+4命題點(diǎn)15種題型(含6種解題技巧))含答案及解析

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第二章方程與不等式第07講一元二次方程及其應(yīng)用（思維導(dǎo)圖+4考點(diǎn)+4命題點(diǎn)15種題型（含6種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一一元二次方程及解法考點(diǎn)二根的判別式考點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系考點(diǎn)四一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一一元二次方程及其解法?題型01已知一元二次方程的解求未知數(shù)/代數(shù)式的值?題型02選用合適的方法解一元二次方程?題型03以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查解一元二次方程?題型04配方法的應(yīng)用?題型05以開放性試題的形式考查解一元二次方程命題點(diǎn)二根的判別式?題型01不解方程，判斷一元二次方程根的情況?題型02根據(jù)根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍?題型03利用根的判別式求代數(shù)式的值?題型04以開放性試題的形式考查根的判別式命題點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?題型01不解方程，求方程中參數(shù)的值?題型02不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值命題點(diǎn)四一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用?題型01變化率問題?題型02幾何圖形問題?題型03以真實(shí)問題情境為背景考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用?題型04以數(shù)學(xué)文化為背景考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求一元二次方程及其解法★★理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程一元二次方程根的判別式★會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根及兩個(gè)實(shí)根是否相等一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系★★了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用變化率問題★★能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義；能針對(duì)具體問題列出方程；能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程解的合理性.利潤(rùn)問題★★循環(huán)問題★面積問題★其它問題★【考情分析1】本專題包括利用根的判別式確定一元二次方程解的情況、已知方程解的情況確定方程中未知字母的值及利用根與系數(shù)關(guān)系求解某些特定形式的代數(shù)式的值,試題形式多樣，難度一般，常與完全平方公式的各種變形結(jié)合考查.【考情分析2】一元二次方程的應(yīng)用的考查多以解答題形式出現(xiàn)，難度一般，主要涉及的問題有變化率問題、利潤(rùn)問題、幾何圖形問題等.解決實(shí)際問題時(shí)，要檢驗(yàn)所求解是否滿足實(shí)際意義，注意取舍.【命題預(yù)測(cè)】本考點(diǎn)內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問題，年年考查，分值為12分左右.預(yù)計(jì)2025年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個(gè)題型，復(fù)習(xí)過程中要多注意各基礎(chǔ)考點(diǎn)的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續(xù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)公式記混了．02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一一元二次方程及解法一、一元二次方程基礎(chǔ)一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征：等號(hào)左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)的二次多項(xiàng)式，等號(hào)右邊是0.其中：【易錯(cuò)/熱考】如果明確了ax2+一元二次方程的根的定義：能使一元二次方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（根）.判斷一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的根：將此數(shù)代人這個(gè)一元二次方程的左、右兩邊，看是否相等，若相等，則是方程的根；若不相等，則不是方程的根.二、一元二次方程的解法基本思路：通過“降次”，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，分別解兩個(gè)一元一次方程，得到的兩個(gè)解就是原方程的解.1.直接開平方法（基礎(chǔ)）例：形如ax2=b當(dāng)b＞0時(shí)，則x1=ba=，x2=-當(dāng)b＝0時(shí)，則，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b＜0時(shí)，則方程無實(shí)數(shù)根.2.配方法（基礎(chǔ)）配方的實(shí)質(zhì)：將方程化為的形式，當(dāng)m≥0時(shí)，直接用直接開平方法求解.用配方法解一元二次方程的一般步驟：1）移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊,含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)左邊；2）二次項(xiàng)系數(shù)化為1：如果二次項(xiàng)系數(shù)不是1，將方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；3）配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一般的平方，把方程化為的形式；4）求解：若q≥0時(shí)，直接用直接開平方法求解.3.公式法用公式法解一元二次方程的一般步驟：1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為整數(shù)，方便計(jì)算)；2）求出的值，根據(jù)其值的情況確定一元二次方程是否有解；3）如果,將a、b、c的值代入求根公式：；4）最后求出.【補(bǔ)充說明】求根公式的使用條件：4.因式分解法依據(jù)：如果兩個(gè)一次因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少一個(gè)為0，即若ab=0，則a=0或b=0.步驟：1）將方程右邊的各項(xiàng)移到方程左邊，使方程右邊為0；2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式相乘的形式；3）令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；4）求解.【易錯(cuò)易混】利用因式分解法解方程時(shí)，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時(shí)，不能在兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過移項(xiàng),將方程右邊化為0.1．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程x?2x+3=0，將其化成二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一般形式后，它的常數(shù)項(xiàng)是2．（2025·云南昆明·一模）若關(guān)于x的方程m+1x2+mx?1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是（

A．m≠?1 B．m=1 C．m>1 D．m≠03．（2024·廣東深圳·中考真題）已知一元二次方程x2?3x+m=0的一個(gè)根為1，則m=4．（2024·山東德州·中考真題）把多項(xiàng)式x2?3x+4進(jìn)行配方，結(jié)果為（A．x?32?5 C．x?3225．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）用配方法解一元二次方程x2?2x?2023=0時(shí)，將它轉(zhuǎn)化為(x+a)2=b的形式，則A．?2024 B．2024 C．?1 D．1考點(diǎn)二根的判別式根的判別式的定義：一般地，式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母Δ表示，即.根的情況與判別式的關(guān)系：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程的根的情況由其系數(shù)a，b，c，即確定.1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根:x=?b±b2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)根：x1=x3）方程無實(shí)根.【補(bǔ)充說明】由此可知，一元二次方程有解分兩種情況：1）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【易錯(cuò)易混】1）使用一元二次方程根的判別式時(shí)，應(yīng)先將方程整理成一般形式，再確定a，b，c的方程；2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不能說方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.1．（2023·吉林·中考真題）一元二次方程x2?5x+2=0根的判別式的值是（A．33 B．23 C．17 D．172．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）若拋物線y=x2?x+c（c是常數(shù)）與x軸沒有交點(diǎn)，則c3．（2023·四川瀘州·中考真題）若一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是關(guān)于x的一元二次方程x2A．3 B．23 C．14 D．4．（2024·上海寶山·一模）一次函數(shù)y=?3x?a不經(jīng)過第三象限，關(guān)于x的方程ax2?3x+1=05．（2024·四川眉山·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求m的取值范圍；(2)設(shè)方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且滿足x1QUOTEQUOTE考點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 若一元二次方程的兩個(gè)根是，則與方程的系數(shù)a，b，c之間有如下關(guān)系：x1+x2＝?ba，x1【補(bǔ)充說明】1）一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的使用條件：.2）當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，如，其兩根關(guān)系為x1+x2＝?p，x13）以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是.4）運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和運(yùn)用根的判別式一樣,都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定a、b、c的值.1．（2024·黑龍江綏化·中考真題）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時(shí)，小影在化簡(jiǎn)過程中寫錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，因而得到方程的兩個(gè)根是6和1；小冬在化簡(jiǎn)過程中寫錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個(gè)根是?2和?5．則原來的方程是(

)A．x2+6x+5=0 C．x2?5x+2=0 2．（2024·四川巴中·中考真題）已知方程x2?2x+k=0的一個(gè)根為?2，則方程的另一個(gè)根為3．（2024·四川眉山·中考真題）已知方程x2+x?2=0的兩根分別為x1，x2，則4．（2023·青海西寧·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：aa2?b2?1考點(diǎn)四一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用用一元二次方程解決實(shí)際問題的步驟：審：理解并找出實(shí)際問題中的等量關(guān)系;設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;答：實(shí)際問題的答案.一元二次方程的常見問題及數(shù)量關(guān)系：常見問題數(shù)量關(guān)系變化率問題利潤(rùn)問題利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)；利潤(rùn)率=利潤(rùn)/進(jìn)價(jià)×100%總利潤(rùn)=總售價(jià)-總成本=單個(gè)利潤(rùn)×總銷售量.循環(huán)問題單循環(huán)（如握手問題）：12雙循環(huán)（如寫信問題）：n（n－1）（其中n為人數(shù)）面積問題(a?2x)(b?2x)（x為空白部分的寬）(a?x)(b?x)（x為陰影部分的寬）

1．（2024·江蘇南通·中考真題）紅星村種的水稻2021年平均每公頃產(chǎn)7200kg，2023年平均每公頃產(chǎn)8450kg．求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率．設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x．列方程為（A．72001+x2=8450C．84501?x2=72002．（2024·四川眉山·中考真題）眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉(cāng)”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長(zhǎng)到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（

）A．670×1+2x=780 C．670×1+x23．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）某市2021年底森林覆蓋率為64%，為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力發(fā)展植樹造林活動(dòng)，2023年底森林覆蓋率已達(dá)到69%．如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長(zhǎng)率為x，則符合題意得方程是（A．0.641+x=0.69 C．0.641+2x=0.69 4．（2023·浙江衢州·中考真題）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（

）A．x+1+x=36 B．21+x=36 C．5．（2023·浙江湖州·中考真題）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費(fèi)人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了31.2萬輛．如果設(shè)從2020年到2022年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長(zhǎng)率為x，那么可列出方程是（

）A．201+2x=31.2 C．201+x2=31.26．（2021·山西·中考真題）2021年7日1日建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用一個(gè)方框圈出4個(gè)數(shù)（如圖所示），若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65，求這個(gè)最小數(shù)（請(qǐng)用方程知識(shí)解答）．7．（2022·遼寧丹東·中考真題）丹東是我國(guó)的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀(jì)念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進(jìn)行銷售，規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元，銷售一段時(shí)間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：銷售單價(jià)x（元/件）…354045…每天銷售數(shù)量y（件）…908070…(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若每天銷售所得利潤(rùn)為1200元，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？(3)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一一元二次方程及其解法?題型01已知一元二次方程的解求未知數(shù)/代數(shù)式的值1．（2024·四川涼山·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程a+2x2+x+a2?4=0的一個(gè)根是A．2 B．?2 C．2或?2 D．12．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）若一元二次方程2x2?4x?1=0的兩根為m，n，則33．（2024·四川南充·中考真題）已知m是方程x2+4x?1=0的一個(gè)根，則(m+5)(m?1)的值為4．（2023·湖南婁底·中考真題）若m是方程x2?2x?1=0的根，則mQUOTEQUOTEQUOTE?題型02選用合適的方法解一元二次方程已知a，b，c分別為二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng).1）當(dāng)a=1，b為偶數(shù)，c≠0時(shí)，首選配方法；2）當(dāng)b=0時(shí)，首選直接開平方法；3）當(dāng)c=0時(shí)，可選因式分解法或配方法；4）當(dāng)a=1，b≠0，c≠0時(shí)，可選配方法或因式分解法；5）當(dāng)a≠1，b≠0，c≠0時(shí)，可選公式法或因式分解法.1．（2024·安徽·中考真題）解方程：x2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）解方程：(2x+3)3．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算(1)3(2)從下列方程中任選一個(gè)方程，并用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠挞賦2?8x?1=0

②x+324．（2024·湖南衡陽·一模）（1）用配方法解方程：x2（2）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋簒2x?1?題型03以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查解一元二次方程1．（2021·浙江嘉興·中考真題）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3x?3小敏：兩邊同除以x?3，得3=x?3，則x=6．小霞：移項(xiàng)，得3x?3提取公因式，得x?33?x?3則x?3=0或3?x?3=0，解得x1=3，你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．2．（2024·貴州黔東南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程2x解：移項(xiàng)，得2x二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2配方，得(x+2)2由此可得x+2=±22所以，x1=?2+22(1)小明同學(xué)的解答過程，從第________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)你寫出正確的解答過程．3．（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程x2解法一：xx(x?2)=3x=1或x?2=3∴x1=1解法二：a=1，b=?2，c=?3b∵b∴此方程無實(shí)數(shù)根．(1)判斷：兩位同學(xué)的解題過程是否正確，若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”．(2)請(qǐng)選擇合適的方法求解此方程．4.（2024·江西·一模）課堂上，劉老師展示了一位同學(xué)用配方法解x2解：原方程可化為x2配方，得x2即(x?42直接開平方，得x?42所以x1=42(1)這位同學(xué)的解題過程從第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)你正確求解該方程．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04配方法的應(yīng)用【利用配方法求代數(shù)式的最值】求多項(xiàng)式的最值時(shí)，要先把多項(xiàng)式配方成的形式.若a＞0，則代數(shù)式有最小值；若a＜0,則代數(shù)式有最大值.1．（2022·山東德州·中考真題）已知M=a2?a，N=a?2（a為任意實(shí)數(shù)），則M?NA．小于0 B．等于0 C．大于0 D．無法確定2．（2023·江蘇連云港·中考真題）若W=5x2?4xy+y2?2y+8x+3（3．（2024·河北石家莊·一模）（1）發(fā)現(xiàn)，比較4m與m2①當(dāng)m=3時(shí)，4mm2②當(dāng)m=2時(shí)，4mm2③當(dāng)m=?3時(shí)，4mm2（2）論證，無論m取什么值，判斷4m與m2（3）拓展，試通過計(jì)算比較．x2+2與4．（2023·江蘇揚(yáng)州·二模）（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在研究函數(shù)y=x+1①函數(shù)y=x+1x的自變量x的取值范圍是②容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x>0時(shí)，y>0；當(dāng)x<0時(shí)，y<0．由此可見，圖像在第象限；③閱讀材料：當(dāng)x>0時(shí)，y=x+1當(dāng)x=1x時(shí)，即x=1請(qǐng)仿照上述過程，求出當(dāng)x<0時(shí)，y的最大值；（2）當(dāng)x>0時(shí)，求y=x（3）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△AOB、△COD的面積分別為4和9，求四邊形ABCD面積的最小值．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型05以開放性試題的形式考查解一元二次方程以開放性試題的形式考查直接解一元二次方程，解題時(shí)可以根據(jù)題目選擇不同的方法解決問題有利于培優(yōu)策略性思維。1．（2023·貴州六盤水·一模）（1）小明解分式方程2x+3x去分母，得2x+3=1?x?1去括號(hào)，得2x+3=1?x+1，…第二步移項(xiàng)，得2x+x=1+1?3，…第三步合并同類項(xiàng)，得3x=?1，…第四步系數(shù)化為1，得x=?1檢驗(yàn)：當(dāng)x=?13時(shí)，∴x=?1上述解答過程是從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的，請(qǐng)寫出正確的解答過程；（2）在初中階段，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法，它們分別是配方法、公式法和因式分解法，請(qǐng)從下列一元二次方程中任選兩個(gè)，并解這兩個(gè)方程．①x2+6x?3=0；②x2?4x=0；③2．（2023·貴州黔東南·一模）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法，他們分別是配方法、公式法和因式分解法，請(qǐng)從下列一元二次方程中任選兩個(gè)，并解這兩個(gè)方程．①x2=25；②x2+6x=?4命題點(diǎn)二根的判別式?題型01不解方程，判斷一元二次方程根的情況一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根:x=?b±b2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)根：x1=x3）方程無實(shí)根.1．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）以下一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（

）A．x2?6x=0 C．x2?6x+6=0 2．（2024·四川自貢·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+kx?2=0的根的情況是（A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根3．（2023·四川廣安·中考真題）已知a，b，c為常數(shù)，點(diǎn)P(a,c)在第四象限，則關(guān)于x的一元二次方程axA．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法判定?題型02根據(jù)根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍1）有根Δ≥0;2）有兩個(gè)不等根Δ＞0;3）有兩個(gè)相等根Δ=0;4）無實(shí)數(shù)根Δ＜0.【易錯(cuò)點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程根的情況確定字母參數(shù)的值或取值范圍時(shí)，若二次項(xiàng)系數(shù)含有所求的字母參數(shù)，則不要忽略隱含條件a≠0，否則這個(gè)參數(shù)的取值范圍會(huì)增大，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.1．（2024·山東泰安·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程2x2?3x+k=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)kA．k<98 B．k≤98 C．2．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程m?2x2+4x+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則mA．m≤4 B．m≥4 C．m≥?4且m≠2 D．m≤4且m≠23．（2024·江蘇徐州·中考真題）關(guān)于x的方程x2+kx+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k值為4．（2024·廣東廣州·中考真題）關(guān)于x的方程x2(1)求m的取值范圍；(2)化簡(jiǎn)：1?m5．（2024·四川南充·中考真題）已知x1，x2是關(guān)于x的方程(1)求k的取值范圍．(2)若k<5，且k，x1，x2都是整數(shù)，求QUOTE?題型03利用根的判別式求代數(shù)式的值1．（2023·廣東廣州·中考真題）已知關(guān)于x的方程x2?2k?2x+kA．?1 B．1 C．?1?2k D．2k?32．（2023·甘肅蘭州·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則b2A．－2 B．2 C．－4 D．43．（2024·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的一元二次方程ax2?bx+1=0(a≠0)A．?4 B．4 C．2 D．?24．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?x+14a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根為bA．m>?2 B．m≥?2 C．m≤?2 D．m<?2?題型04以開放性試題的形式考查根的判別式1．（2023·甘肅武威·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則c=2．（2024·江蘇南通·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．請(qǐng)寫出一個(gè)滿足題意的k的值：3．（2023·山東濟(jì)南·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2?4x+2a=0有實(shí)數(shù)根，則a的值可以是4．（2023·浙江杭州·中考真題）設(shè)一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的四組條件中選擇其中一組①b=2,c=1；②b=3,c=1；③b=3,c=?1；④b=2,c=2．注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．命題點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?題型01不解方程，求方程中參數(shù)的值1．（2024·四川樂山·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+p=0兩根為x1、x2，且1xA．?23 B．23 C．2．（2023·湖南岳陽·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2?m+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且3．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?px+1=0（p為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1(1)填空：x1+x(2)求1x1+(3)已知x12+4．（2023·湖北·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：無論m取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，b，若2a+ba+2b=20，求?題型02不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值利用根與系數(shù)的關(guān)系還可以求出關(guān)于、的代數(shù)式的值，涉及到的變形如下：1．（2024·四川成都·中考真題）若m，n是一元二次方程x2?5x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m+n?22．（2024·四川瀘州·中考真題）已知x1，x2是一元二次方程x2?3x?5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則3．（2023·湖北鄂州·中考真題）若實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2?3a+2=0，b2?3b+2=0，且a≠b4．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2和系數(shù)a，材料2：已知一元二次方程x2?x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求解：∵m，n是一元二次方程x2∴m+n=1,mn=?1．則m2根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問題：(1)應(yīng)用：一元二次方程2x2+3x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，(2)類比：已知一元二次方程2x2+3x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n(3)提升：已知實(shí)數(shù)s，t滿足2s2+3s?1=0，2命題點(diǎn)四一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用?題型01變化率問題1．（2024·山東淄博·中考真題）“我運(yùn)動(dòng)，我健康，我快樂！”隨著人們對(duì)身心健康的關(guān)注度越來越高．某市參加健身運(yùn)動(dòng)的人數(shù)逐年增多，從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人．(1)求該市參加健身運(yùn)動(dòng)人數(shù)的年均增長(zhǎng)率；(2)為支持市民的健身運(yùn)動(dòng)，市政府決定從A公司購(gòu)買某種套裝健身器材．該公司規(guī)定：若購(gòu)買不超過100套，每套售價(jià)1600元；若超過100套，每增加10套，售價(jià)每套可降低40元．但最低售價(jià)不得少于1000元．已知市政府向該公司支付貨款24萬元，求購(gòu)買的這種健身器材的套數(shù)．2．（2023·遼寧大連·中考真題）為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛圖書的習(xí)慣，某學(xué)校抽出一部分資金用于購(gòu)買書籍．已知2020年該學(xué)校用于購(gòu)買圖書的費(fèi)用為5000元，2022年用于購(gòu)買圖書的費(fèi)用是7200元，求2020?2022年買書資金的平均增長(zhǎng)率．3．（2023·湖南郴州·中考真題）隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人．(1)求這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；(2)預(yù)計(jì)5月份該景區(qū)游客人數(shù)會(huì)繼續(xù)增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)率不會(huì)超過前兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？?題型02幾何圖形問題1．（2023·江蘇·中考真題）為了便于勞動(dòng)課程的開展，學(xué)校打算建一個(gè)矩形生態(tài)園ABCD（如圖），生態(tài)園一面靠墻（墻足夠長(zhǎng)），另外三面用18m的籬笆圍成．生態(tài)園的面積能否為40m2

2．（2023·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，老李想用長(zhǎng)為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個(gè)2m寬的門（建在

(1)當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640m2(2)羊圈的面積能達(dá)到650m23．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）有一塊矩形鐵皮如圖所示，長(zhǎng)為20m，寬為15m，現(xiàn)打算從該鐵皮上裁出兩個(gè)完全相同的小矩形，每個(gè)小矩形的長(zhǎng)為2xm，寬為QUOTE?題型03以真實(shí)問題情境為背景考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用1．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）2024龍年春晚主題為“龍行龘龘（dá），欣欣家國(guó)”，“龘”這個(gè)字引發(fā)一波熱門關(guān)注．據(jù)記載，“龘”出自第一部楷書字典《玉篇》，“龍行龘龘”形容龍騰飛的樣子，昂揚(yáng)而熱烈．某服裝店購(gòu)進(jìn)一款印有“龘”字圖案的上衣，據(jù)店長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)，該款上衣1月份銷售量為150件，3月份銷售量為216件，則該款上衣銷售量的月平均增長(zhǎng)率為（

）A．20％ B．22％ C．25％2．（2024·四川成都·二模）世界羽壇最高水平團(tuán)體賽成都2024“湯尤杯”將于4月27日至5月5日在成都高新體育中心舉行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”14日下午首次公開亮相．某商場(chǎng)銷售該吉祥物，已知每套吉祥物的進(jìn)價(jià)為20元，如果以單價(jià)30元銷售，那么每天可以銷售400套，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，提高銷售單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20套．(1)若商家每天想要獲取4320元的利潤(rùn)，為了盡快清空庫(kù)存，售價(jià)應(yīng)定為多少元？(2)銷售單價(jià)為多少元時(shí)每天獲利最大？最大利潤(rùn)為多少？3．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2020年底某市汽車擁有量為75萬輛，而截止到2022年底，該市的汽車擁有量已達(dá)108萬輛．為了保護(hù)環(huán)境，緩解汽車擁堵，該市擬控制汽車總量，要求到2024年底全市汽車擁有量不超過125.48萬輛；且從2023年初起，該市此后每年報(bào)廢的汽車數(shù)量是上年底汽車擁有量的10%4．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）沈陽市推出“沈水之陽我心向往——冬日雪暖陽”沈陽冬季游系列活動(dòng)，涵蓋四大主題300余項(xiàng)精彩活動(dòng)．2024年春節(jié)假期期間，沈陽文旅市場(chǎng)異?；鸨塾?jì)接待國(guó)內(nèi)游客1112.13萬人次，據(jù)統(tǒng)計(jì)，我市某景點(diǎn)去年12月份接待游客人數(shù)為4萬人，今年2月份接待游客人數(shù)5.76萬人．求今年1月和2月這兩個(gè)月中，該景點(diǎn)接待游客人數(shù)月平均增長(zhǎng)率．5．（2024·山西朔州·二模）2024年中國(guó)家電及消費(fèi)電子博覽會(huì)AWE2024?題型04以數(shù)學(xué)文化為背景考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用1．（2024·浙江金華·二模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式，后人借助此分割方法所得圖形證明了勾股定理．如圖所示，矩形ABCD就是由兩個(gè)這樣的圖形拼成（無重疊、無縫隙）．下面給出的條件中，一定能求出矩形ABCD面積的是（

）A．BM與DM的積 B．BE與DE的積C．BM與DE的積 D．BE與DM的積2．（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）圖1是我國(guó)古代傳說中的洛書，圖2是洛書的數(shù)字表示．相傳，大禹時(shí)，洛陽西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱“洛書”，獻(xiàn)給大禹．大禹依此治水成功，遂劃天下為九州．又依此定九章大法，治理社會(huì)，流傳下來收入《尚書》中，名《洪范》．《易?系辭上》說：“河出圖，洛出書，圣人則之”．洛書是一個(gè)三階幻方，就是將已知的9個(gè)數(shù)填入3×3的方格中，使每一橫行、每一豎列以及兩條斜對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等．圖3是一個(gè)不完整的幻方，根據(jù)幻方的規(guī)則，由已知數(shù)求出x的值應(yīng)為（）A．?1或?4 B．1或?4 C．?1或4 D．1或43．（2023·陜西西安·三模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問題：“今有邑方不知大小，各開中門，出北門三十步有木，出西門七百五十步見木，問：邑方幾何？”．其大意是：如圖，一座正方形城池，A為北門中點(diǎn)，從點(diǎn)A往正北方向走30步到B處有一樹木，C為西門中點(diǎn)，從點(diǎn)C往正西方向走750步到D處正好看到B處的樹木，設(shè)正方形城池的邊長(zhǎng)為x步．根據(jù)題意整理成一元二次方程的一般形式．4．（2021·安徽·三模）我國(guó)古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遺人去買幾株椽，每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽”，其大意為：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文，如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)格，求這批椽的數(shù)量有多少株？5．（2023·福建泉州·一模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家梅鼓成在其著作《增刪算法統(tǒng)宗》中，有詩(shī)如下：今有門廳一座，不知門廣高低，長(zhǎng)竿橫進(jìn)使歸室，爭(zhēng)奈門狹四尺，隨即豎筆過去，亦長(zhǎng)二尺無疑兩隅斜去恰方齊，請(qǐng)問三色各幾？意思是；今有一房門，不知寬與高，長(zhǎng)竿橫起進(jìn)門入室，門的寬度比長(zhǎng)竿小4尺；將長(zhǎng)竿直立過門，門的高度比長(zhǎng)竿小2尺．將長(zhǎng)竿斜放穿過門的對(duì)角，恰好進(jìn)門，試問門的寬、高和長(zhǎng)竿各是多少尺？6．（2022·江蘇常州·中考真題）第十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-14）會(huì)徽的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國(guó)古代的計(jì)數(shù)符號(hào)寫出的八進(jìn)制數(shù)3745．八進(jìn)制是以8作為進(jìn)位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0~7共8個(gè)基本數(shù)字．八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)是3×83+7×(1)八進(jìn)制數(shù)3746換算成十進(jìn)制數(shù)是_______；(2)小華設(shè)計(jì)了一個(gè)n進(jìn)制數(shù)143，換算成十進(jìn)制數(shù)是120，求n的值．

第二章方程與不等式第07講一元二次方程及其應(yīng)用（思維導(dǎo)圖+4考點(diǎn)+4命題點(diǎn)15種題型（含6種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一一元二次方程及解法考點(diǎn)二根的判別式考點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系考點(diǎn)四一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一一元二次方程及其解法?題型01已知一元二次方程的解求未知數(shù)/代數(shù)式的值?題型02選用合適的方法解一元二次方程?題型03以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查解一元二次方程?題型04配方法的應(yīng)用?題型05以開放性試題的形式考查解一元二次方程命題點(diǎn)二根的判別式?題型01不解方程，判斷一元二次方程根的情況?題型02根據(jù)根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍?題型03利用根的判別式求代數(shù)式的值?題型04以開放性試題的形式考查根的判別式命題點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?題型01不解方程，求方程中參數(shù)的值?題型02不解方程，求出與方程兩根有關(guān)的代數(shù)式的值命題點(diǎn)四一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用?題型01變化率問題?題型02幾何圖形問題?題型03以真實(shí)問題情境為背景考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用?題型04以數(shù)學(xué)文化為背景考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求一元二次方程及其解法★★理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程一元二次方程根的判別式★會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根及兩個(gè)實(shí)根是否相等一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系★★了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用變化率問題★★能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義；能針對(duì)具體問題列出方程；能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程解的合理性.利潤(rùn)問題★★循環(huán)問題★面積問題★其它問題★【考情分析1】本專題包括利用根的判別式確定一元二次方程解的情況、已知方程解的情況確定方程中未知字母的值及利用根與系數(shù)關(guān)系求解某些特定形式的代數(shù)式的值,試題形式多樣，難度一般，常與完全平方公式的各種變形結(jié)合考查.【考情分析2】一元二次方程的應(yīng)用的考查多以解答題形式出現(xiàn)，難度一般，主要涉及的問題有變化率問題、利潤(rùn)問題、幾何圖形問題等.解決實(shí)際問題時(shí)，要檢驗(yàn)所求解是否滿足實(shí)際意義，注意取舍.【命題預(yù)測(cè)】本考點(diǎn)內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問題，年年考查，分值為15分左右.預(yù)計(jì)2025年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個(gè)題型，復(fù)習(xí)過程中要多注意各基礎(chǔ)考點(diǎn)的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續(xù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)公式記混了．02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一一元二次方程及解法一、一元二次方程基礎(chǔ)一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征：等號(hào)左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)的二次多項(xiàng)式，等號(hào)右邊是0.其中：【易錯(cuò)/熱考】如果明確了ax2+一元二次方程的根的定義：能使一元二次方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（根）.判斷一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的根：將此數(shù)代人這個(gè)一元二次方程的左、右兩邊，看是否相等，若相等，則是方程的根；若不相等，則不是方程的根.二、一元二次方程的解法基本思路：通過“降次”，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，分別解兩個(gè)一元一次方程，得到的兩個(gè)解就是原方程的解.1.直接開平方法（基礎(chǔ)）例：形如ax2=b當(dāng)b＞0時(shí)，則x1=ba=，x2=-當(dāng)b＝0時(shí)，則，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b＜0時(shí)，則方程無實(shí)數(shù)根.2.配方法（基礎(chǔ)）配方的實(shí)質(zhì)：將方程化為的形式，當(dāng)m≥0時(shí)，直接用直接開平方法求解.用配方法解一元二次方程的一般步驟：1）移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊,含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)左邊；2）二次項(xiàng)系數(shù)化為1：如果二次項(xiàng)系數(shù)不是1，將方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；3）配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一般的平方，把方程化為的形式；4）求解：若q≥0時(shí)，直接用直接開平方法求解.3.公式法用公式法解一元二次方程的一般步驟：1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為整數(shù)，方便計(jì)算)；2）求出的值，根據(jù)其值的情況確定一元二次方程是否有解；3）如果,將a、b、c的值代入求根公式：；4）最后求出.【補(bǔ)充說明】求根公式的使用條件：4.因式分解法依據(jù)：如果兩個(gè)一次因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少一個(gè)為0，即若ab=0，則a=0或b=0.步驟：1）將方程右邊的各項(xiàng)移到方程左邊，使方程右邊為0；2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式相乘的形式；3）令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；4）求解.【易錯(cuò)易混】利用因式分解法解方程時(shí)，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時(shí)，不能在兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過移項(xiàng),將方程右邊化為0.1．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程x?2x+3=0，將其化成二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一般形式后，它的常數(shù)項(xiàng)是【答案】?6【分析】本題考查了一元二次方程的一般式，熟練掌握運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．先把化方程為一般式，從而得到常數(shù)項(xiàng)．【詳解】解：x?2x+3去括號(hào)，得x2合并，得x2所以常數(shù)項(xiàng)是?6．故答案為：?6．2．（2025·云南昆明·一模）若關(guān)于x的方程m+1x2+mx?1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是（

A．m≠?1 B．m=1 C．m>1 D．m≠0【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的定義．熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．由題意知，m+1≠0，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程m+1x2+mx?1=0∴m+1≠0，解得，m≠?1，故選：A．3．（2024·廣東深圳·中考真題）已知一元二次方程x2?3x+m=0的一個(gè)根為1，則m=【答案】2【分析】本題考查了一元二次方程解的定義，根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x=1代入原方程，列出關(guān)于m的方程，然后解方程即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2?3x+m=0的一個(gè)根為∴x=1滿足一元二次方程x2∴1?3+m=0，解得，m=2．故答案為：2．4．（2024·山東德州·中考真題）把多項(xiàng)式x2?3x+4進(jìn)行配方，結(jié)果為（A．x?32?5 C．x?322【答案】B【分析】本題主要考查完全平方公式，利用添項(xiàng)法，先加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．根據(jù)利用完全平方公式的特征求解即可；【詳解】解：x==故選B．5．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）用配方法解一元二次方程x2?2x?2023=0時(shí)，將它轉(zhuǎn)化為(x+a)2=b的形式，則A．?2024 B．2024 C．?1 D．1【答案】D【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程．熟練掌握配方法步驟，是解出本題的關(guān)鍵．用配方法把x2?2x?2023=0移項(xiàng)，配方，化為【詳解】解：∵x2移項(xiàng)得，x2配方得，x2即x?12∴a=?1，b=2024，∴ab故選：D．考點(diǎn)二根的判別式根的判別式的定義：一般地，式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母Δ表示，即.根的情況與判別式的關(guān)系：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程的根的情況由其系數(shù)a，b，c，即確定.1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根:x=?b±b2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)根：x1=x3）方程無實(shí)根.【補(bǔ)充說明】由此可知，一元二次方程有解分兩種情況：1）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【易錯(cuò)易混】1）使用一元二次方程根的判別式時(shí)，應(yīng)先將方程整理成一般形式，再確定a，b，c的方程；2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不能說方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.1．（2023·吉林·中考真題）一元二次方程x2?5x+2=0根的判別式的值是（A．33 B．23 C．17 D．17【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判別式△=b【詳解】解：∵a=1，b=?5，c=2，∴△=b故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的根的判別式，正確記憶公式是解題關(guān)鍵．2．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）若拋物線y=x2?x+c（c是常數(shù)）與x軸沒有交點(diǎn)，則c【答案】c>【分析】本題主要考查了拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)問題，掌握拋物線y=ax2由拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，運(yùn)用根的判別式列出關(guān)于c的一元一次不等式求解即可．【詳解】解：∵拋物線y=x2?x+c∴x2∴Δ=12故答案為：c>13．（2023·四川瀘州·中考真題）若一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是關(guān)于x的一元二次方程x2A．3 B．23 C．14 D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到a+b=10，根據(jù)菱形的面積得到ab=22，利用勾股定理以及完全平方公式計(jì)算可得答案．【詳解】解：設(shè)方程x2?10x+m=0的兩根分別為a，∴a+b=10，∵a，b分別是一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)，已知菱形的面積為11，∴12ab=11，即∵菱形對(duì)角線垂直且互相平分，∴該菱形的邊長(zhǎng)為a=1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及菱形的性質(zhì)，完全平方公式，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出a+b=10是解題的關(guān)鍵．4．（2024·上海寶山·一模）一次函數(shù)y=?3x?a不經(jīng)過第三象限，關(guān)于x的方程ax2?3x+1=0【答案】1或2【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象的分布，一元二次方程的根的判別式，準(zhǔn)確判斷圖象不過第三象限的條件，直線y=?3x?a不經(jīng)過第三象限，則?a=0或?a>0，分這兩種情形判斷方程的根，靈活運(yùn)用根的判別式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵直線y=?3x?a不經(jīng)過第三象限，∴?a=0或?a>0，∴a=0或a<0,當(dāng)a=0時(shí)，原方程為?3x+1=0,是一元一次方程，故有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)a<0時(shí)，方程ax∴∵a<0,∴?4a>0,∴9?4a>0,∴∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，綜上，方程有1個(gè)或2個(gè)解，故選：D．5．（2024·四川眉山·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求m的取值范圍；(2)設(shè)方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且滿足x1【答案】(1)m的取值范圍是m≤13(2)m的取值范圍?1【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及解一元一次不等式等知識(shí)點(diǎn)，（1）根據(jù)根的判別式得出b2（2）求出x1+x2=3熟練掌握一元二次的根與系數(shù)的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】（1）方程x2?3x=1?3m整理得∵關(guān)于x的一元二次方程x2∴b2解得：m≤13即m的取值范圍是m≤13（2）∵x1+x又∵x1∴x1∴32∴m≥?1∵m≤13∴?1故m的取值范圍?1QUOTEQUOTE考點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 若一元二次方程的兩個(gè)根是，則與方程的系數(shù)a，b，c之間有如下關(guān)系：x1+x2＝?ba，x1【補(bǔ)充說明】1）一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的使用條件：.2）當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，如，其兩根關(guān)系為x1+x2＝?p，x13）以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是.4）運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和運(yùn)用根的判別式一樣,都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定a、b、c的值.1．（2024·黑龍江綏化·中考真題）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時(shí)，小影在化簡(jiǎn)過程中寫錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，因而得到方程的兩個(gè)根是6和1；小冬在化簡(jiǎn)過程中寫錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個(gè)根是?2和?5．則原來的方程是(

)A．x2+6x+5=0 C．x2?5x+2=0 【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意得出原方程中x1+x【詳解】解：∵小影在化簡(jiǎn)過程中寫錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，得到方程的兩個(gè)根是6和1；∴x1又∵小冬寫錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個(gè)根是?2和?5．∴xA.x2+6x+5=0中，x1B.x2?7x+10=0中，x1C.x2?5x+2=0中，x1D.x2?6x?10=0中，x1故選：B．2．（2024·四川巴中·中考真題）已知方程x2?2x+k=0的一個(gè)根為?2，則方程的另一個(gè)根為【答案】4【分析】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．設(shè)方程的另一個(gè)根為m，根據(jù)兩根之和等于?ba，即可得出關(guān)于【詳解】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為m，∵方程x2?2x+k=0有一個(gè)根為∴?2+m=2，解得：m=4．故答案為：4．3．（2024·四川眉山·中考真題）已知方程x2+x?2=0的兩根分別為x1，x2，則【答案】12【分析】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩根分別為x1，x先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=?1，x【詳解】解：∵方程x2+x?2=0的兩根分別為x1∴x1+∴1故答案為：124．（2023·青海西寧·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：aa2?b2?1【答案】aba+b，【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式得出a+b=?1

ab=?6，代入化簡(jiǎn)結(jié)果，即可求解．【詳解】解：原式===ab∵a，b是方程x2∴a+b=?1

ab=?6

∴原式=ab【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的混合運(yùn)算，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用用一元二次方程解決實(shí)際問題的步驟：審：理解并找出實(shí)際問題中的等量關(guān)系;設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;答：實(shí)際問題的答案.一元二次方程的常見問題及數(shù)量關(guān)系：常見問題數(shù)量關(guān)系變化率問題利潤(rùn)問題利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)；利潤(rùn)率=利潤(rùn)/進(jìn)價(jià)×100%總利潤(rùn)=總售價(jià)-總成本=單個(gè)利潤(rùn)×總銷售量.循環(huán)問題單循環(huán)（如握手問題）：12雙循環(huán)（如寫信問題）：n（n－1）（其中n為人數(shù)）面積問題(a?2x)(b?2x)（x為空白部分的寬）(a?x)(b?x)（x為陰影部分的寬）

1．（2024·江蘇南通·中考真題）紅星村種的水稻2021年平均每公頃產(chǎn)7200kg，2023年平均每公頃產(chǎn)8450kg．求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率．設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x．列方程為（A．72001+x2=8450C．84501?x2=7200【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x，則2022年平均每公頃72001+xkg，則2023年平均每公頃產(chǎn)【詳解】解：設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x，則2022年平均每公頃產(chǎn)72001+x則2023年平均每公頃產(chǎn)72001+x根據(jù)題意有：72001+x故選：A．2．（2024·四川眉山·中考真題）眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉(cāng)”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長(zhǎng)到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（

）A．670×1+2x=780 C．670×1+x2【答案】B【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意、列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列出方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：670×1+x故選：B．3．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）某市2021年底森林覆蓋率為64%，為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力發(fā)展植樹造林活動(dòng)，2023年底森林覆蓋率已達(dá)到69%．如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長(zhǎng)率為x，則符合題意得方程是（A．0.641+x=0.69 C．0.641+2x=0.69 【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件．設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)2023年底森林覆蓋率=2021年底森林覆蓋率×1+x【詳解】解：根據(jù)題意，得64即0.641+x故選：B．4．（2023·浙江衢州·中考真題）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（

）A．x+1+x=36 B．21+x=36 C．【答案】C【分析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則第一輪傳染了x個(gè)人，第二輪作為傳染源的是(x+1)人，則傳染x(x+1)人，依題意列方程：1+x+x(1+x)=36．【詳解】由題意得：1+x+x(1+x)=36，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是根據(jù)實(shí)際問題列一元二次方程．找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江湖州·中考真題）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費(fèi)人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了31.2萬輛．如果設(shè)從2020年到2022年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長(zhǎng)率為x，那么可列出方程是（

）A．201+2x=31.2 C．201+x2=31.2【答案】D【分析】設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)2020年銷量為20萬輛，到2022年銷量增加了31.2萬輛列方程即可．【詳解】解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，由題意得201+x故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用—增長(zhǎng)率問題，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．（2021·山西·中考真題）2021年7日1日建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用一個(gè)方框圈出4個(gè)數(shù)（如圖所示），若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65，求這個(gè)最小數(shù)（請(qǐng)用方程知識(shí)解答）．【答案】5【分析】根據(jù)日歷上數(shù)字規(guī)律得出，圈出的四個(gè)數(shù)最大數(shù)與最小數(shù)的差值為8，設(shè)最小數(shù)為x，則最大數(shù)為x+【詳解】解：設(shè)這個(gè)最小數(shù)為x．根據(jù)題意，得xx+8解得x1=5，答：這個(gè)最小數(shù)為5．【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，掌握日歷的特征，根據(jù)已知得出的最大數(shù)與最小數(shù)的差值是解題的關(guān)鍵．7．（2022·遼寧丹東·中考真題）丹東是我國(guó)的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀(jì)念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進(jìn)行銷售，規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元，銷售一段時(shí)間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：銷售單價(jià)x（元/件）…354045…每天銷售數(shù)量y（件）…908070…(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若每天銷售所得利潤(rùn)為1200元，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？(3)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)y＝﹣2x+160(2)銷售單價(jià)應(yīng)定為50元(3)當(dāng)銷售單價(jià)為54元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)1248元【分析】（1）設(shè)每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）之間的關(guān)系式為y＝kx+b，用待定系數(shù)法可得y＝﹣2x+160；（2）根據(jù)題意得（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，解方程并由銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元，可得銷售單價(jià)應(yīng)定為50元；（3）設(shè)每天獲利w元，w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)銷售單價(jià)為54元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)，1248元．【詳解】（1）解：設(shè)每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）之間的關(guān)系式為y＝kx+b，把（35，90），（40，80）代入得：35k+b=9040k+b=80解得k=?2b=160∴y＝﹣2x+160；（2）根據(jù)題意得：（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∵規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元，∴x＝50，答：銷售單價(jià)應(yīng)定為50元；（3）設(shè)每天獲利w元，w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，對(duì)稱軸是直線x＝55，而x≤54，∴x＝54時(shí)，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），答：當(dāng)銷售單價(jià)為54元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)，1248元．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)，一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式和一元二次方程．04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一一元二次方程及其解法?題型01已知一元二次方程的解求未知數(shù)/代數(shù)式的值1．（2024·四川涼山·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程a+2x2+x+a2?4=0的一個(gè)根是A．2 B．?2 C．2或?2 D．1【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解，二次項(xiàng)系數(shù)不為0．由一元二次方程的定義，可知a+2≠0；一根是0，代入a+2x2+x+【詳解】解：a+2x2+x+∴a+2≠0，即a≠?2①由一個(gè)根x=0，代入a+2x可得a2?4=0，解之得a=±2；由①②得a=2；故選A2．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）若一元二次方程2x2?4x?1=0的兩根為m，n，則3【答案】6【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及利用完全平方公式求解，若x1,x2是一元二次方程根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得m+n=2，mn=?12，2m【詳解】解：∵一元二次方程2x2?4x?1=0的兩個(gè)根為m∴m+n=2，mn=?∴3=2====6故答案為：6．3．（2024·四川南充·中考真題）已知m是方程x2+4x?1=0的一個(gè)根，則(m+5)(m?1)的值為【答案】?4【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代數(shù)式的值，根據(jù)m是方程x2+4x?1=0的一個(gè)根，可得出【詳解】解：∵m是方程x2∴m(m+5)(m?1)===1?5=?4，故答案為：?4．4．（2023·湖南婁底·中考真題）若m是方程x2?2x?1=0的根，則m【答案】6【分析】由m是方程x2?2x?1=0的根，可得m2=2m+1，把【詳解】解：∵m是方程x2∴m2?2m?1=0，即∴m=====6；【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解的含義，分式的化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確的把原分式變形，再求值是解本題的關(guān)鍵．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02選用合適的方法解一元二次方程已知a，b，c分別為二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng).1）當(dāng)a=1，b為偶數(shù)，c≠0時(shí)，首選配方法；2）當(dāng)b=0時(shí)，首選直接開平方法；3）當(dāng)c=0時(shí)，可選因式分解法或配方法；4）當(dāng)a=1，b≠0，c≠0時(shí)，可選配方法或因式分解法；5）當(dāng)a≠1，b≠0，c≠0時(shí)，可選公式法或因式分解法.1．（2024·安徽·中考真題）解方程：x【答案】x1=3【分析】先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．【詳解】解：∵x2∴x2∴(x?3)(x+1)=0，∴x1=3，【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的方法進(jìn)行解題．2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）解方程：(2x+3)【答案】x1=?1【分析】直接開方可得2x+3=?3x?2或2x+3=3x+2，然后計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵(2x+3)∴2x+3=?3x?2或2x+3=3x+2解得x1=?1，【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于靈活選取適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算(1)3(2)從下列方程中任選一個(gè)方程，并用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠挞賦2?8x?1=0

②x+32【答案】(1)3(2)①x1=4+17，【分析】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，解一元二次方程，零指數(shù)冪：（1）根據(jù)二次根式的混合計(jì)算法則和零指數(shù)冪計(jì)算法則求解即可；（2）①利用配方法解方程即可；②利用因式分解法解方程即可；③利用直接開平方的方法解方程即可．【詳解】（1）解：原式==33（2）解：①∵x2∴x2∴x2∴x?42∴x?4=±17解得x1②∵x+32∴x+32∴x+3+1?2xx+3?1+2x∴4?x=0或3x+2=0，解得x1③∵2x+32∴2x+32∴2x+3=±5，解得x14．（2024·湖南衡陽·一模）（1）用配方法解方程：x2（2）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋簒2x?1【答案】（1）x1=【分析】本題主要考查了解一元二次方程：（1）先移項(xiàng)，然后利用完全平方公式配方，進(jìn)而解方程即可得到答案；（2）先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【詳解】解：（1）xxx?1解得x1（2）xxx?2x?2=0或2x?1=0解得x1?題型03以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查解一元二次方程1．（2021·浙江嘉興·中考真題）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3x?3小敏：兩邊同除以x?3，得3=x?3，則x=6．小霞：移項(xiàng)，得3x?3提取公因式，得x?33?x?3則x?3=0或3?x?3=0，解得x1=3，你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．【答案】?jī)晌煌瑢W(xué)的解法都錯(cuò)誤，正確過程見解析【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程【詳解】解：小敏：兩邊同除以x?3，得3=x?3，則x=6．（×）小霞：移項(xiàng)，得3x?3提取公因式，得x?33?x?3則x?3=0或3?x?3=0，解得x1=3，（×）正確解答：3移項(xiàng)，得3x?3提取公因式，得x?33?去括號(hào)，得x?33?x+3則x?3=0或6?x=0，解得x1=3，【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧準(zhǔn)確計(jì)算是解題關(guān)鍵．2．（2024·貴州黔東南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程2x解：移項(xiàng)，得2x二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2配方，得(x+2)2由此可得x+2=±22所以，x1=?2+22(1)小明同學(xué)的解答過程，從第________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)你寫出正確的解答過程．【答案】(1)三(2)x1=?1+5【分析】此題考查了配方法解一元二次方程．（1）按照配方法解一元二次方程的步驟進(jìn)行判斷即可；（2）按照配方法解一元二次方程的正確步驟進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）小明同學(xué)的解答過程，從第三步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，配方結(jié)果不正確；故答案為：三（2）解：2移項(xiàng)，得2x二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2配方，得(x+1)2由此可得x+1=±5所以，x1=?1+53．（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程x2解法一：xx(x?2)=3x=1或x?2=3∴x1=1解法二：a=1，b=?2，c=?3b∵b∴此方程無實(shí)數(shù)根．(1)判斷：兩位同學(xué)的解題過程是否正確，若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”．(2)請(qǐng)選擇合適的方法求解此方程．【答案】(1)兩位同學(xué)均錯(cuò)(2)x1=3【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與Δ=b2?4ac（1）利用因式分解法解方程可對(duì)解法一進(jìn)行判斷；根據(jù)根的判別式的計(jì)算可判斷解法二進(jìn)行判斷；（2）利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x?3=0或x+1=0，然后解兩個(gè)一次方程．【詳解】（1）兩位同學(xué)的解題過程都不正確．（2）x2(x?3)(x+1)=0，x?3=0或x+1=0，所以x1=3，4.（2024·江西·一模）課堂上，劉老師展示了一位同學(xué)用配方法解x2解：原方程可化為x2配方，得x2即(x?42直接開平方，得x?42所以x1=42(1)這位同學(xué)的解題過程從第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)你正確求解該方程．【答案】(1)二(2)見解析【分析】本題考查了一元二次方程的解法，（1）根據(jù)配方法的步驟求解即可；（2）利用配方法或公式法解一元二次方程即可；解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．【詳解】（1）第二步配方時(shí)應(yīng)方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即22∴這位同學(xué)的解題過程從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）配方法：xxx(x?2∴x?2解得x1=22公式法：xa=1，b=?42，c=?4∴Δ∴x=4解得x1=22QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04配方法的應(yīng)用【利用配方法求代數(shù)式的最值】求多項(xiàng)式的最值時(shí)，要先把多項(xiàng)式配方成的形式.若a＞0，則代數(shù)式有最小值；若a＜0,則代數(shù)式有最大值.1．（2022·山東德州·中考真題）已知M=a2?a，N=a?2（a為任意實(shí)數(shù)），則M?NA．小于0 B．等于0 C．大于0 D．無法確定【答案】C【分析】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握整式的加減，完全平方式與配方法，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方式利用配方法把M?N的代數(shù)式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性判斷即可．【詳解】M?N===a?1∵a?12∴a?12∴M?N大于0，故選：C．2．（2023·江蘇連云港·中考真題）若W=5x2?4xy+y2?2y+8x+3（【答案】?2【分析】運(yùn)用配方法將W=5x2?4xy+y2【詳解】解：W=5=4=2x?y=2x?y+1∵x、y為實(shí)數(shù)，∴2x?y+1∴W的最小值為?2,故答案為：?2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)注意配方的步驟，注意在變形的過程中不要改變式子的值．3．（2024·河北石家莊·一模）（1）發(fā)現(xiàn)，比較4m與m2①當(dāng)m=3時(shí)，4mm2②當(dāng)m=2時(shí)，4mm2③當(dāng)m=?3時(shí)，4mm2（2）論證，無論m取什么值，判斷4m與m2（3）拓展，試通過計(jì)算比較．x2+2與【答案】（1）<，=，<；（2）總有4m≤m2【分析】此題考查了配方法的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是不等式的性質(zhì)、完全平方公式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩個(gè)式子的差比較出數(shù)的大小．（1）當(dāng)m=3時(shí)，當(dāng)m=2時(shí)，當(dāng)m=?3時(shí)，分別代入計(jì)算，再進(jìn)行比較得出結(jié)論填空即可；（2）根據(jù)(m2+4)?4m=(m?2)2≥0，即可得出無論m取什么值，判斷（3）拓展：先求出x2+2?2x【詳解】解：（1）①當(dāng)m=3時(shí)，4m=12，m2+4=13，則②當(dāng)m=2時(shí)，4m=8，m2+4=8，則③當(dāng)m=?3時(shí)，4m=?12，m2+4=13，則故答案為：<；=；<；（2）無論m取什么值，判斷4m與m2+4有理由如下：∵(m∴無論取什么值，總有4m≤m（3）拓展：x=?=?(=?(x+2)故x24．（2023·江蘇揚(yáng)州·二模）（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在研究函數(shù)y=x+1①函數(shù)y=x+1x的自變量x的取值范圍是②容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x>0時(shí)，y>0；當(dāng)x<0時(shí)，y<0．由此可見，圖像在第象限；③閱讀材料：當(dāng)x>0時(shí)，y=x+1當(dāng)x=1x時(shí)，即x=1請(qǐng)仿照上述過程，求出當(dāng)x<0時(shí)，y的最大值；（2）當(dāng)x>0時(shí)，求y=x（3）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△AOB、△COD的面積分別為4和9，求四邊形ABCD面積的最小值．【答案】（1）①x≠0；②一、三；③當(dāng)x<0時(shí)，x+1x的最大值為【分析】（1）①根據(jù)分母不為0即可求解；②根據(jù)當(dāng)x>0時(shí)，y>0；當(dāng)x<0時(shí)，y<0即可判斷；③模仿求解過程，利用配方法即可求解；（2）將y=x2+3x+16（3）設(shè)S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，則由等高三角形可知：S△BOC:S【詳解】解：（1）①函數(shù)y=x+1x的自變量x的取值范圍為：②容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x>0時(shí)，y>0；當(dāng)x<0時(shí)，y<0．由此可見，圖像在第一、三象限；③當(dāng)x>0時(shí)，x+1當(dāng)x<0時(shí)，x+∵?x?∴?(?x?∴當(dāng)x>0時(shí)，x+1x的最小值為2；當(dāng)x<0時(shí)，x+1故答案為：①x≠0；②一、三；③當(dāng)x<0時(shí)，x+1x的最大值為（2）由y=x∵x>0，∴y=x+16當(dāng)x=16（3）設(shè)S△BOC=x，已知S則由等高三角形可知：S∴x:9=4:∴:∴四邊形ABCD面積=4+9+x+當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)取等號(hào)，即四邊形ABCD面積的最小值為25．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法在最值問題中的應(yīng)用，同時(shí)本題還考查了分式化簡(jiǎn)和等高三角形的性質(zhì)，本題難度中等略大，屬于中檔題．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型05以開放性試題的形式考查解一元二次方程以開放性試題的形式考查直接解一元二次方程，解題時(shí)可以根據(jù)題目選擇不同的方法解決問題有利于培優(yōu)策略性思維。1．（2023·貴州六盤水·一模）（1）小明解分式方程2x+3x去分母，得2x+3=1?x?1去括號(hào)，得2x+3=1?x+1，…第二步移項(xiàng)，得2x+x=1+1?3，…第三步合并同類項(xiàng)，得3x=?1，…第四步系數(shù)化為1，得x=?1檢驗(yàn)：當(dāng)x=?13時(shí)，∴x=?1上述解答過程是從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的，請(qǐng)寫出正確的解答過程；（2）在初中階段，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法，它們分別是配方法、公式法和因式分解法，請(qǐng)從下列一元二次方程中任選兩個(gè)，并解這兩個(gè)方程．①x2+6x?3=0；②x2?4x=0；③【答案】（1）一，見解析；（2）①x1=?3+23，x2=?3?23；②x1=0，x【分析】本題主要考查解一元二次方程，解分式方程：（1）觀察可知，上述解答過程是從第一步出錯(cuò)的，原因是去分母時(shí)，方程右邊的1沒有乘以x，按照去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟解方程，然后檢驗(yàn)即可；（2）①利用配方法解方程即可；②利用因式分解法解方程即可；③利用公式法解方程即可；④利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：（1）觀察可知，上述解答過程是從第一步出錯(cuò)的，原因是去分母時(shí)，方程右邊的1沒有乘以x，去分母，得2x+3=x?x?1去括號(hào)，得2x+3=x?x+1，…第二步移項(xiàng)，得2x+x?x=1?3，…第三步合并同類項(xiàng)，得2x=?2，…第四步系數(shù)化為1，得x=?1．…第五步檢驗(yàn)：當(dāng)x=?1時(shí)，x≠0，…第六步∴x=?1是原分式方程的解；（2）①∵x2∴x2∴x2∴x+32∴x+3=±23解得x1=?3+23②∵x2∴xx?4解得x1=0，③∵x2∴x2∴a=1，∴Δ=∴x=?b±解得x1=7+④∵x2∴x+3x?3∴x1=?3，2．（2023·貴州黔東南·一模）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法，他們分別是配方法、公式法和因式分解法，請(qǐng)從下列一元二次方程中任選兩個(gè)，并解這兩個(gè)方程．①x2=25；②x2+6x=?4【答案】①x1=?5，x2=5；②x1=5【分析】此題考查了解一元二次方程，熟練掌握配方法、公式法和因式分解法，根據(jù)方程特點(diǎn)靈活選擇方法是解題的關(guān)鍵．①變形后用因式分解法解方程即可；②用配方法解方程即可；③用公式法解方程即可；④用因式分解法解方程即可．【詳解】解：任選兩個(gè)方程解答如下：①x2∴x2∴x+5x?5則x+5=0或x?5=0，解得x1=?5，②x∴x∴x+32∴x+3=±5則x1=5③x由題意得a=1,b=?4,c=?7，∵Δ=∴x=?b±∴x1④x∴xx+2則x=0或x+2=0，解得x1命題點(diǎn)二根的判別式?題型01不解方程，判斷一元二次方程根的情況一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根:x=?b±b2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)根：x1=x3）方程無實(shí)根.1