中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項(xiàng)知識(shí)整式與因式分解(練習(xí))含答案及解析

第一章數(shù)與式第02講整式與因式分解TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01實(shí)際問題中的代數(shù)式??題型02求代數(shù)式的值??題型03整式的相關(guān)概念??題型04整式的加減??題型05冪的混合運(yùn)算??題型06整式的乘除??題型07利用乘法公式變形求解??題型08乘法公式的應(yīng)用??題型09整式的化簡(jiǎn)求值-直接代入法??題型10整式的化簡(jiǎn)求值-整體代入法??題型11整式的混合運(yùn)算??題型12判斷因式分解的正誤??題型13因式分解??題型14因式分解的應(yīng)用??題型15判斷整式運(yùn)算或因式分解的錯(cuò)誤步驟??題型16圖形類規(guī)律探索??題型17數(shù)字類規(guī)律探索??題型18數(shù)式中的新定義問題??題型01實(shí)際問題中的代數(shù)式1．（2024·河南信陽·一模）某商場(chǎng)出售一件商品，在原標(biāo)價(jià)基礎(chǔ)上實(shí)行以下四種調(diào)價(jià)方案，其中調(diào)價(jià)后售價(jià)最低的是（

）A．先打九五折，再打九五折 B．先提價(jià)10%，再打八折C．先提價(jià)30%，再降價(jià)35% D．先打七五折，再提價(jià)10%2．（2023·安徽池州·一模）某產(chǎn)品的成本價(jià)為a元，銷售價(jià)比成本價(jià)增加了14%，現(xiàn)因庫存積壓，按銷售價(jià)的八折出售，那么該產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)為（

）A．(1+14%)(1+0.8)a元 B．C．(1+14%)(1?0.8)a元 D．3．（2022·貴州貴陽·一模）貴陽市“一圈兩場(chǎng)三改”落地，幸福生活近在咫尺．周末，小高同學(xué)從家出發(fā)步行15min到達(dá)附近學(xué)校的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)鍛煉，較之前步行去城市運(yùn)動(dòng)中心少走了25min．已知小高同學(xué)步行的速度為每分鐘am，則“一圈兩場(chǎng)三改”后，小高同學(xué)少走的路程是（

）A．a(chǎn)m B．10am C．15am D．25am4．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）公司有330臺(tái)機(jī)器需要一次性運(yùn)送到某地，計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車共8輛．已知每輛甲種貨車一次最多運(yùn)送機(jī)器45臺(tái)、租車費(fèi)用為400元，每輛乙種貨車一次最多運(yùn)送機(jī)器30臺(tái)、租車費(fèi)用為280元．(1)設(shè)租用甲種貨車x輛（x為非負(fù)整數(shù)），試填寫下表．表一：租用甲種貨車的數(shù)量/輛37x租用的甲種貨車最多運(yùn)送機(jī)器的數(shù)量/臺(tái)135租用的乙種貨車最多運(yùn)送機(jī)器的數(shù)量/臺(tái)150表二：租用甲種貨車的數(shù)量/輛37x租用甲種貨車的費(fèi)用/元2800租用乙種貨車的費(fèi)用/元280(2)給出能完成此項(xiàng)運(yùn)送任務(wù)的最節(jié)省費(fèi)用的租車方案，并說明理由．??題型02求代數(shù)式的值1．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a，b，滿足a?b=6，ab=?8，則a2b?ab2．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）若x+82+y?7=0，則代數(shù)式3．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）若a是16的算術(shù)平方根，而b的算術(shù)平方根是16，則a+b=．4．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知2x2?5x+1=0，則5．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知∶2x2?5x?11=0??題型03整式的相關(guān)概念1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）若單項(xiàng)式?3x2y的系數(shù)是m，次數(shù)是n，則mnA．9 B．3 C．?3 D．?92．（2024·云南楚雄·一模）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：x3，?4x5，9x7，?16A．?1n?1n2C．?1n?1n+123．（2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）多項(xiàng)式a2+4abA．三次三項(xiàng)式 B．二次三項(xiàng)式 C．三次二項(xiàng)式 D．二次二項(xiàng)式4．（2024·江西九江·三模）若關(guān)于x，y的多項(xiàng)式x2?2x??題型04整式的加減1．（2024·重慶渝北·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，將邊長(zhǎng)為m的正方形紙片剪去兩個(gè)小矩形，得到一個(gè)“2”的圖案，如圖2所示，再將剪下的兩個(gè)小矩形拼成一個(gè)新的矩形，如圖3所示，則新矩形的周長(zhǎng)可表示為（

）A．2m?4n B．2m?3n C．4m?8n D．4m?6n2．（2024·河南周口·三模）如果單項(xiàng)式：2xym與12x3．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）在“點(diǎn)燃我的夢(mèng)想，數(shù)學(xué)皆有可衡”數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)活動(dòng)中，“智多星”小強(qiáng)設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)：對(duì)依次排列的兩個(gè)整式m，n按如下規(guī)律進(jìn)行操作：第1次操作后得到整式串m，n，n?m；第2次操作后得到整式串m，n，n?m，?m；第3次操作后…其操作規(guī)則為：每次操作增加的項(xiàng)，都是用上一次操作得到的最末項(xiàng)減去其前一項(xiàng)的差，小強(qiáng)將這個(gè)活動(dòng)命名為“回頭差”游戲．則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項(xiàng)之和是．4．（2024·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）在計(jì)算題：“已知，M=□，N=2x2?4x+3求2M?N”時(shí)，嘉琪把“2M?N”看成“M?2N(1)求整式M；(2)若x≠12，請(qǐng)比較2M與5．（2024·河北秦皇島·一模）已知整式a2+ab?★ab?b2?5(1)則★所表示的數(shù)字是多少？(2)嘉淇說該代數(shù)式的值一定是正的，你認(rèn)為嘉淇的說法對(duì)嗎？說明理由．??題型05冪的混合運(yùn)算1．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）下列運(yùn)算中，與2a2b?A．2b?2ab2 B．?8a2+b2．（2020·四川樂山·中考真題）已知3m=4，32m?4n=2．若9nA．8 B．4 C．22 D．3．（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測(cè)）a324．（2024·廣東江門·一模）計(jì)算：(1)2024+(2)?a??題型06整式的乘除1．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（）A．2m2m+1C．m2n?2mn2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知一臺(tái)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度為1.2×109次/秒，這臺(tái)計(jì)算機(jī)9×10A．10.8×1012 B．1.08×1014 C．3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）若m×4x2y2=12A．4x?3y B．?4x+3y C．4x+3y D．?4x?3y4．（2023·陜西西安·二模）先化簡(jiǎn)，再求值：x+2yx?2y+x+2y2?2xy5．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為m，寬為n的矩形（m>n）．用7張圖1中的小矩形紙片，按圖2的方式無空隙不重疊地放在大矩形內(nèi)，未被覆蓋的部分用陰影表示．若大矩形的長(zhǎng)是寬的32(1)求m與n的關(guān)系；(2)若圖2中，大矩形的面積為18，求陰影部分的面積．??題型07利用乘法公式變形求解1．（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）已知a+b=7,ab=6，則(a?b)2?6(b?a)+9=2．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）若x1，x2是方程x3．（2024·浙江寧波·二模）已知a?b=b?c=?1，a2+b24．（2024·河南安陽·模擬預(yù)測(cè)）閱讀與思考：若m+n=1，mn=?6，則由完全平方公式a+b2=a已知1x+1y=3??題型08乘法公式的應(yīng)用1．（2024·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）閱讀材料：例：求代數(shù)式2x解：2x可知：當(dāng)x=?1時(shí)，2x2+4x?6根據(jù)上面的方法可求多項(xiàng)式a2+b2．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）探究活動(dòng)：（1）如圖①，可以求出陰影部分的面積是（寫成兩數(shù)平方差的形式）；（2）如圖②，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，面積是（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）；（3）比較圖①，圖②陰影部分的面積，可以得到公式．知識(shí)運(yùn)用：（4）用合理的方法計(jì)算：7.523．（2024·河北石家莊·二模）現(xiàn)有如圖1所示的甲、乙、丙三種卡片，卡片的邊長(zhǎng)如圖所示a>b.如圖2，用1張甲、1張乙和2張丙卡片可以拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的正方形，用兩種方式表示該正方形面積可以得到等式：a+b2【發(fā)現(xiàn)】（1）如圖3，嘉淇用這三種卡片拼成一個(gè)長(zhǎng)為2a+b，寬為a+2b的矩形，仿照例子寫出一個(gè)關(guān)于a，b的等式；（2）嘉淇還發(fā)現(xiàn)拼成矩形所需卡片的張數(shù)和整式的乘法計(jì)算結(jié)果中各項(xiàng)的系數(shù)有關(guān).根據(jù)嘉淇的發(fā)現(xiàn)，若要用這三種卡片拼成一個(gè)長(zhǎng)為a+2b，寬為a+b的矩形，不畫圖形，試通過計(jì)算說明需要丙種卡片多少張？【應(yīng)用】（3）現(xiàn)用甲種卡片1張，乙種卡片4張，丙種卡片m張（m為正整數(shù)），拼成一個(gè)矩形，直接寫出m所有可能的值.

4．（2023·山東青島·二模）“構(gòu)造圖形解題”，它的應(yīng)用十分廣泛，特別是有些技巧性很強(qiáng)的題目，如果不能發(fā)現(xiàn)題目中所隱含的幾何意義，而用通常的代數(shù)方法去思考，經(jīng)常讓我們手足無措，難以下手，這時(shí)，如果能轉(zhuǎn)換思維，發(fā)現(xiàn)題目中隱含的幾何條件，通過構(gòu)造適合的幾何圖形，將會(huì)得到事半功倍的效果，下面介紹兩則實(shí)例：實(shí)例一：勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之…，在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如實(shí)例圖一），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．他利用直角邊為a和b，斜邊為c的四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的圖形（如實(shí)例圖一），由S大正方形=4S直角三角形+

實(shí)例二：歐幾里得的《幾何原本》記載，關(guān)于x的方程x2+ax=b2的圖解法是：畫Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a2，AC=

根據(jù)以上閱讀材料回答下面的問題：(1)如圖1，請(qǐng)利用圖形中面積的等量關(guān)系，寫出甲圖要證明的數(shù)學(xué)公式是______．乙圖要證明的數(shù)學(xué)公式是______；

(2)如圖2，利用歐幾里得的方法求方程x2

(3)如圖3，已知⊙O，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，連接CO，設(shè)DA=a，BD=b，請(qǐng)利用圖3證明：a+b2

??題型09整式的化簡(jiǎn)求值-直接代入法1．（2024·廣東汕頭·一模）已知1?a+2b?12=0，則2．（2024·青海西寧·二模）先化簡(jiǎn)，再求值：(x?2y)2+2x?yx+y?3x3．（2024·吉林長(zhǎng)春·三模）先化簡(jiǎn)，再求值：x+2y2?x+2yx?2y÷4y4．（2024·廣東東莞·一模）求代數(shù)式2x?y2??題型10整式的化簡(jiǎn)求值-整體代入法1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知a2+3ab=5，則(a+b)(a+2b)?2b2．（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）若b+a=3，則9?6a+a2?3．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)m滿足m?12+(m?2)2=34．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx?3=0的一個(gè)根是x=1，則代數(shù)式2027?a?b??題型11整式的混合運(yùn)算1．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）下列運(yùn)算正確的是（

）A．a(chǎn)+12=aC．a(chǎn)+1+a?1=2a2．（2024·廣東廣州·二模）已知T=2a+3b(1)化簡(jiǎn)T；(2)若a，b互為相反數(shù)，求T的值．3．（2024·河北邯鄲·二模）數(shù)學(xué)課上，老師給出一個(gè)整式ax2+bx?x+1x?1（其中a，(1)甲同學(xué)給出一組數(shù)據(jù)，最后計(jì)算結(jié)果為x+12，請(qǐng)分別求出甲同學(xué)給出的a，b(2)乙同學(xué)給出了a=5，b=?4，請(qǐng)按照乙同學(xué)給出的數(shù)值說明該整式的結(jié)果為非負(fù)數(shù)．4．（2024·河北張家口·三模）如圖1，2，約定：上方相鄰兩代數(shù)式之和等于這兩代數(shù)式下方箭頭共同指向的代數(shù)式．(1)求代數(shù)式M；(2)嘉嘉說，無論x取什么值，M的值一定大于N的值，嘉嘉的說法是否正確？請(qǐng)通過計(jì)算說明．??題型12判斷因式分解的正誤1．（2024·安徽阜陽·模擬預(yù)測(cè)）下列因式分解正確的是（

）A．x2+1=x+1C．2x2?2=22．（2022·河北·一模）下列關(guān)于4a+2的敘述，錯(cuò)誤的是（

）A．4a+2的次數(shù)是1 B．4a+2表示a的4倍與2的和C．4a+2是多項(xiàng)式 D．4a+2可因式分解為4(a+1)3．（2024·河北秦皇島·一模）對(duì)于①2x?xy=x2?y，②x?32=A．都是因式分解 B．都是乘法運(yùn)算C．①是因式分解，②是乘法運(yùn)算 D．①是乘法運(yùn)算，②是因式分解4．（2023·河北石家莊·二模）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見互逆運(yùn)算，例如加法和減法互為逆運(yùn)算，乘法和除法互為逆運(yùn)算，分解因式和整式乘法也是互逆運(yùn)算．請(qǐng)回答下列問題：(1)①a(2)小紅是一名密碼編譯愛好者，在她的密碼手冊(cè)中，有這樣一條信息：a?b，x?y，??題型13因式分解1．（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測(cè)）把a(bǔ)2b?2abA．ba2?2ab+b2 B．a(chǎn)22．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）把多項(xiàng)式3a2b?12ab+12b3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知x+3x?2+xx?2可因式分解成(ax+b)(2x+c)，其中a，b，c4．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）用兩種不同的方法計(jì)算：a+22??題型14因式分解的應(yīng)用1．（2024·山西長(zhǎng)治·模擬預(yù)測(cè)）在現(xiàn)今“互聯(lián)網(wǎng)+”的時(shí)代，密碼與我們的生活已經(jīng)緊密相連，密不可分，而諸如“123456”、生日等簡(jiǎn)單密碼又容易被破解，因此利用簡(jiǎn)單方法產(chǎn)生一組容易記憶的密碼就很有必要了．有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式a4?b4因式分解的結(jié)果是a?ba+ba2+b2，若取a=8，b=8時(shí)，則各個(gè)因式的值是：a?b=0，a+b=16，a2+b2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）定義：若4n3?3n?2（n正整數(shù)，且0<n<500）等于兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的乘積，則稱n為“彗星數(shù)”．則“彗星數(shù)”n的最小值為3．（2024·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b，c為△ABC的三邊，且滿足a2c24．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）有一列數(shù)：4，12，20，…．這些正整數(shù)都能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，我們把這樣的正整數(shù)稱為“好數(shù)”．如：第1個(gè)數(shù)：4=2第2個(gè)數(shù)：12=4第3個(gè)數(shù)：20=6…(1)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k和2k?2（其中k取大于1的整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“好數(shù)”是4的倍數(shù)嗎？請(qǐng)通過計(jì)算加以說明？(2)2024是“好數(shù)”嗎？請(qǐng)通過計(jì)算判斷，如果是，它是第幾個(gè)“好數(shù)”；如果不是，寫出小于它的最大“好數(shù)”．??題型15判斷整式運(yùn)算或因式分解的錯(cuò)誤步驟1．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）下面是小華同學(xué)計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．（1）計(jì)算：(2a?3b)(2a+3b)．解：原式=(2a)（2）計(jì)算：(2a?3b)(a+3b)．解：原式=2a任務(wù)一：在上述解題過程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”）任務(wù)二：請(qǐng)判斷小華（2）的解答是否正確，若錯(cuò)誤，請(qǐng)直接寫出（2）中計(jì)算的正確答案．任務(wù)三：計(jì)算：(2a?3b)22．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知多項(xiàng)式A=(1)在化簡(jiǎn)多項(xiàng)式A時(shí)，小明同學(xué)的解題過程如下所示．A=a+22=在標(biāo)出①②③④的幾項(xiàng)中出現(xiàn)錯(cuò)誤的是______；請(qǐng)你寫出正確的解答過程；(2)淇淇說：“若給出a與b互為相反數(shù)，即可求出多項(xiàng)式A的值．”嘉嘉說：“若給出a與b互為倒數(shù)，即可求出多項(xiàng)式A的值．”請(qǐng)你判斷哪個(gè)同學(xué)說得對(duì)，并按此同學(xué)賦予的條件求A的值．3．（2022·山西大同·二模）（1）?1（2）下面是小明同學(xué)進(jìn)行因式分解的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．因式分解：3a+b解：原式=9a=8a2=8a2任務(wù)一：填空：①以上解題過程中，第一步進(jìn)行整式乘法用到的是___________公式；②第三步進(jìn)行因式分解用到的方法是___________法．任務(wù)二：同桌互查時(shí)，小明的同桌指出小明因式分解的結(jié)果是錯(cuò)誤的，具體錯(cuò)誤是______________________．任務(wù)三：小組交流的過程中，大家發(fā)現(xiàn)這個(gè)題可以先用公式法進(jìn)行因式分解，再繼續(xù)完成，請(qǐng)你寫出正確的解答過程．4．（2023·浙江嘉興·一模）因式分解3x+y2小禾的解法：3x+y=3x+y+x+3y=4x+4y2x+4y=8x+yx+2y小禾的檢驗(yàn)：當(dāng)x=0，y=1時(shí)，x+?x+3y=12=1?9

=16∵?8≠16∴分解因式錯(cuò)誤任務(wù)：(1)小禾的解答是從第______步開始出錯(cuò)的，錯(cuò)誤的原因是____________．(2)請(qǐng)嘗試寫出正確的因式分解過程．??題型16圖形類規(guī)律探索1．（2024·貴州貴陽·一模）如圖，三角數(shù)是能夠組成大大小小等邊三角形的點(diǎn)的數(shù)目，當(dāng)n=1時(shí)，三角數(shù)為1，當(dāng)n=2時(shí)，三角數(shù)為3，則當(dāng)n=10時(shí)，三角數(shù)為（

）A．100 B．110 C．55 D．502．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是．3．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）榫卯被稱為“巧奪天工”的中國(guó)古典智慧，是中國(guó)傳統(tǒng)木藝的靈魂．下圖結(jié)構(gòu)為固定榫槽的連接結(jié)構(gòu)，彼此按照同樣的拼接方式緊密相連，當(dāng)連接結(jié)構(gòu)數(shù)分別有1個(gè)和2個(gè)時(shí)，總長(zhǎng)度如圖所示，則當(dāng)有n個(gè)連接結(jié)構(gòu)時(shí)，總長(zhǎng)度為cm．

4．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，圖案1中“☆”的個(gè)數(shù)為1×2，“★”的個(gè)數(shù)為2×32，圖案2中“☆”的個(gè)數(shù)為2×3，“★”的個(gè)數(shù)為3×42，圖案3中“☆”的個(gè)數(shù)為3×4，“★”的個(gè)數(shù)為(1)圖案5中“☆”的個(gè)數(shù)為；(2)圖案n中，“★”的個(gè)數(shù)為；（用含n的式子表示）(3)根據(jù)圖案中“☆”和“★”的排列方式及規(guī)律，若圖案n中“★”的個(gè)數(shù)是“☆”的個(gè)數(shù)的23，求n??題型17數(shù)字類規(guī)律探索1．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）有一組數(shù)，按以下規(guī)律排列∶?12，1，2．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來表示，即21=2,223．（2024·湖南·二模）下面每個(gè)表格中的四個(gè)數(shù)都是按相同規(guī)律填寫的．

根據(jù)此規(guī)律確定a的值為，b的值為，x的值為．4．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）【觀察·發(fā)現(xiàn)】給出一些按一定規(guī)律排列的等式：第1個(gè)等式：4×1×2+1=2×1+1第2個(gè)等式：4×2×3+1=2×2+1第3個(gè)等式：4×3×4+1=2×3+1…【歸納·證明】根據(jù)上述等式的規(guī)律，解答下列問題：(1)寫出第5個(gè)等式：_________；(2)試猜想第n個(gè)等式，并證明．（用含n的式子表示，n為正整數(shù)）??題型18數(shù)式中的新定義問題1．（2024·陜西漢中·二模）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算a☆b=ab+1，當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)，x+1☆x?3A．x2?x?2 B．x2?2x?3 C．2．（2024·河北保定·一模）定義一種新運(yùn)算，規(guī)定Fa,b=ab，例(1)已知A=Fx+2y,x?2y，B=F4y,x?2y，分別求A，(2)通過計(jì)算比較A與B的大?。?．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）【定義新知】如果a,b,c是整數(shù)，且ac=b，那么我們規(guī)定一種記號(hào)a,b=c，例如4【嘗試應(yīng)用】（1）2,8=【拓展提升】（2）若k、m、n、p均為整數(shù)，且k,9=m,k,27=n,4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于實(shí)數(shù)a,b，定義新運(yùn)算“⊕”，規(guī)定如下：a⊕b=如1⊕2=(1)求3⊕5的值；(2)若x為某一個(gè)實(shí)數(shù)，記x⊕3的值為m，1⊕2?x的值為n，請(qǐng)你判斷m?n的值是否與x1．（2023·四川德陽·中考真題）在“點(diǎn)燃我的夢(mèng)想，數(shù)學(xué)皆有可衡”數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)活動(dòng)中，“智多星”小強(qiáng)設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)：對(duì)依次排列的兩個(gè)整式m，n按如下規(guī)律進(jìn)行操作：第1次操作后得到整式中m，n，n?m；第2次操作后得到整式中m，n，n?m，?m；第3次操作后…其操作規(guī)則為：每次操作增加的項(xiàng)，都是用上一次操作得到的最末項(xiàng)減去其前一項(xiàng)的差，小強(qiáng)將這個(gè)活動(dòng)命名為“回頭差”游戲．則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項(xiàng)之和是（

）A．m+n B．m C．n?m D．2n2．（2024·重慶·中考真題）一個(gè)各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)M=abcd，若滿足a+d=b+c=9，則稱這個(gè)四位數(shù)為“友誼數(shù)”．例如：四位數(shù)1278，∵1+8=2+7=9，∴1278是“友誼數(shù)”．若abcd是一個(gè)“友誼數(shù)”，且b?a=c?b=1，則這個(gè)數(shù)為；若M=abcd是一個(gè)“友誼數(shù)”，設(shè)FM=M9，且3．（2024·江蘇鹽城·中考真題）發(fā)現(xiàn)問題小明買菠蘿時(shí)發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．提出問題銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢？分析問題某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)表示不同的籽．該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯(cuò)規(guī)律排列，每行有n個(gè)籽，每列有k個(gè)籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數(shù)，n>k≥3，d>0），如圖1所示．小明設(shè)計(jì)了如下三種鏟籽方案．方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長(zhǎng)為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為________；方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為________；方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)．解決問題在三個(gè)方案中，哪種方案鏟籽路徑總長(zhǎng)最短？請(qǐng)寫出比較過程，并對(duì)銷售員的操作方法進(jìn)行評(píng)價(jià)．4．（2024·安徽·中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動(dòng)，研究了“正整數(shù)N能否表示為x2?y(1)指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，部分信息如下（n為正整數(shù)）：N奇數(shù)4的倍數(shù)表示結(jié)果1=4=3=8=5=12=7=16=9=20=??一般結(jié)論

2n?1=4n=______按上表規(guī)律，完成下列問題：（ⅰ）24=（

）2?（

）2（ⅱ）4n=______；(2)興趣小組還猜測(cè)：像2，6，10，14，?這些形如4n?2（假設(shè)4n?2=x2?分下列三種情形分析：①若x，y均為偶數(shù)，設(shè)x=2k，y=2m，其中則x2?y而4n?2不是4的倍數(shù)，矛盾．故x，②若x，y均為奇數(shù)，設(shè)x=2k+1，y=2m+1，其中則x2?y而4n?2不是4的倍數(shù)，矛盾．故x，③若x，y一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則而4n?2是偶數(shù)，矛盾．故x，由①②③可知，猜測(cè)正確．閱讀以上內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谇樾微诘臋M線上填寫所缺內(nèi)容．5．（2023·湖南張家界·中考真題）閱讀下面材料：將邊長(zhǎng)分別為a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面積分別記為S1，S2則S==(2a+=b+2a例如：當(dāng)a=1，b=3時(shí)，S根據(jù)以上材料解答下列問題：(1)當(dāng)a=1，b=3時(shí)，S3?S(2)當(dāng)a=1，b=3時(shí)，把邊長(zhǎng)為a+nb的正方形面積記作Sn+1，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計(jì)算結(jié)果，你能猜出(3)當(dāng)a=1，b=3時(shí)，令t1=S2?S1，t2=一、單選題1．（2024·江蘇徐州·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A．x3+x3=x6 B．2．（2023·江蘇南通·中考真題）若a2?4a?12=0，則2aA．24 B．20 C．18 D．163．（2024·海南·中考真題）下列計(jì)算中，正確的是（

）A．a(chǎn)8÷a4=a2 B．4．（2024·四川巴中·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A．3a+b=3ab B．a(chǎn)C．a(chǎn)8÷a5．（2023·吉林·中考真題）下列各式運(yùn)算結(jié)果為a?的是（

）A．a(chǎn)23 B．a(chǎn)2+a3 C．a(chǎn)2?a3 6．（2024·云南·中考真題）分解因式：a3?9a=（A．a(chǎn)a?3a+3 B．a(chǎn)a2+9 7．（2023·湖北宜昌·中考真題）在日歷上，某些數(shù)滿足一定的規(guī)律．如圖是某年8月份的日歷，任意選擇其中所示的含4個(gè)數(shù)字的方框部分，設(shè)右上角的數(shù)字為a，則下列敘述中正確的是（

）．日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031A．左上角的數(shù)字為a+1 B．左下角的數(shù)字為a+7C．右下角的數(shù)字為a+8 D．方框中4個(gè)位置的數(shù)相加，結(jié)果是4的倍數(shù)8．（2024·江蘇徐州·中考真題）觀察下列各數(shù)：3、8、18、38、…，按此規(guī)律，第5～7個(gè)數(shù)可能為（

）A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、3189．（2024·云南·中考真題）按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：2x，3x2，4x3，5x4，6xA．2xn B．n?1xn C．10．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，是用12個(gè)相似的直角三角形組成的圖案．若OA=1，則OG=（

）A．125564 B．12564 C．64二、填空題11．（2023·四川樂山·中考真題）若m、n滿足3m?n?4=0，則8m÷12．（2024·黑龍江大慶·中考真題）已知a+1a=5，則13．（2024·北京·中考真題）分解因式：x3?25x=14．（2023·江蘇蘇州·中考真題）已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)1,3和?1,2，則k2?15．（2024·四川德陽·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，甲組同學(xué)給乙組同學(xué)出示了一個(gè)探究問題：把數(shù)字1至8分別填入如圖的八個(gè)圓圈內(nèi)，使得任意兩個(gè)有線段相連的圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對(duì)值不等于1．經(jīng)過探究后，乙組的小高同學(xué)填出了圖中兩個(gè)中心圓圈的數(shù)字a、b，你認(rèn)為a可以是（填上一個(gè)數(shù)字即可）．三、解答題16．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：2a+b2a?b?a+b17．（2023·浙江嘉興·中考真題）觀察下面的等式：3(1)寫出192(2)按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）(3)請(qǐng)運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，推理說明這個(gè)結(jié)論是正確的．18．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）某研究人員對(duì)分別種植在兩塊試驗(yàn)田中的“豐收1號(hào)”和“豐收2號(hào)”兩種小麥進(jìn)行研究，兩塊試驗(yàn)田共產(chǎn)糧1000kg，種植“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田產(chǎn)糧量比種植“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田產(chǎn)糧量的1.2倍少100kg，其中“豐收1號(hào)”小麥種植在邊長(zhǎng)為ama>1的正方形去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為1m的正方形蓄水池后余下的試驗(yàn)田中，“豐收2號(hào)”小麥種植在邊長(zhǎng)為(1)請(qǐng)分別求出種植“豐收1號(hào)”小麥和“豐收2號(hào)”小麥兩塊試驗(yàn)田的產(chǎn)糧量；(2)哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高？高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？19．（2023·河北·中考真題）現(xiàn)有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長(zhǎng)如圖1所示(a>1)．某同學(xué)分別用6張卡片拼出了兩個(gè)矩形(不重疊無縫隙)，如圖2和圖3，其面積分別為S1(1)請(qǐng)用含a的式子分別表示S1,S2；當(dāng)(2)比較S1與S20．（2023·山東青島·中考真題）如圖①，正方形ABCD的面積為1．

(1)如圖②，延長(zhǎng)AB到A1，使A1B=BA，延長(zhǎng)BC到B1，使(2)如圖③，延長(zhǎng)AB到A2，使A2B=2BA，延長(zhǎng)BC到B2，使(3)延長(zhǎng)AB到An，使AnB=nBA，延長(zhǎng)BC到Bn，使第一章數(shù)與式第02講整式與因式分解TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01實(shí)際問題中的代數(shù)式??題型02求代數(shù)式的值??題型03整式的相關(guān)概念??題型04整式的加減??題型05冪的混合運(yùn)算??題型06整式的乘除??題型07利用乘法公式變形求解??題型08乘法公式的應(yīng)用??題型09整式的化簡(jiǎn)求值-直接代入法??題型10整式的化簡(jiǎn)求值-整體代入法??題型11整式的混合運(yùn)算??題型12判斷因式分解的正誤??題型13因式分解??題型14因式分解的應(yīng)用??題型15判斷整式運(yùn)算或因式分解的錯(cuò)誤步驟??題型16圖形類規(guī)律探索??題型17數(shù)字類規(guī)律探索??題型18數(shù)式中的新定義問題??題型01實(shí)際問題中的代數(shù)式1．（2024·河南信陽·一模）某商場(chǎng)出售一件商品，在原標(biāo)價(jià)基礎(chǔ)上實(shí)行以下四種調(diào)價(jià)方案，其中調(diào)價(jià)后售價(jià)最低的是（

）A．先打九五折，再打九五折 B．先提價(jià)10%，再打八折C．先提價(jià)30%，再降價(jià)35% D．先打七五折，再提價(jià)10%【答案】D【分析】本題考查了代數(shù)式，打折，有理數(shù)大小比較，準(zhǔn)確列出符合題意的代數(shù)式，設(shè)原件為x元，根據(jù)調(diào)價(jià)方案逐一計(jì)算后，比較大小判斷即可．【詳解】解：設(shè)原件為x元，選項(xiàng)A：∵先打九五折，再打九五折，∴調(diào)價(jià)后的價(jià)格為0.95x×0.95=0.9025x元，選項(xiàng)B：∵先提價(jià)10%，再打八折，∴調(diào)價(jià)后的價(jià)格為1+10%選項(xiàng)C：∵先提價(jià)30%，再降價(jià)35%，∴調(diào)價(jià)后的價(jià)格為=1+30選項(xiàng)D：∵先打七五折，再提價(jià)10%，∴調(diào)價(jià)后的價(jià)格為0.75x×1+10∵0.825x<0.845x<0.88x<0.9025x故選：D2．（2023·安徽池州·一模）某產(chǎn)品的成本價(jià)為a元，銷售價(jià)比成本價(jià)增加了14%，現(xiàn)因庫存積壓，按銷售價(jià)的八折出售，那么該產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)為（

）A．(1+14%)(1+0.8)a元 B．C．(1+14%)(1?0.8)a元 D．【答案】B【分析】根據(jù)售價(jià)與成本價(jià)之間的數(shù)量關(guān)系得到銷售價(jià)，再根據(jù)銷售價(jià)的八折得到實(shí)際售價(jià)．【詳解】解：∵產(chǎn)品的成本價(jià)為a元，銷售價(jià)比成本價(jià)增加了14%，∴產(chǎn)品銷售價(jià)為：1+14%a∵因庫存積壓，按銷售價(jià)的八折出售，∴產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)為：0.81+14%故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，讀懂題意，找出數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2022·貴州貴陽·一模）貴陽市“一圈兩場(chǎng)三改”落地，幸福生活近在咫尺．周末，小高同學(xué)從家出發(fā)步行15min到達(dá)附近學(xué)校的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)鍛煉，較之前步行去城市運(yùn)動(dòng)中心少走了25min．已知小高同學(xué)步行的速度為每分鐘am，則“一圈兩場(chǎng)三改”后，小高同學(xué)少走的路程是（

）A．a(chǎn)m B．10am C．15am D．25am【答案】D【分析】根據(jù)“路程=速度×?xí)r間”計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意，小高同學(xué)步行的速度為每分鐘am，較之前步行去城市運(yùn)動(dòng)中心少走了25min，則少走的路程是：a×25=25am．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找準(zhǔn)解題所需信息．4．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）公司有330臺(tái)機(jī)器需要一次性運(yùn)送到某地，計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車共8輛．已知每輛甲種貨車一次最多運(yùn)送機(jī)器45臺(tái)、租車費(fèi)用為400元，每輛乙種貨車一次最多運(yùn)送機(jī)器30臺(tái)、租車費(fèi)用為280元．(1)設(shè)租用甲種貨車x輛（x為非負(fù)整數(shù)），試填寫下表．表一：租用甲種貨車的數(shù)量/輛37x租用的甲種貨車最多運(yùn)送機(jī)器的數(shù)量/臺(tái)135租用的乙種貨車最多運(yùn)送機(jī)器的數(shù)量/臺(tái)150表二：租用甲種貨車的數(shù)量/輛37x租用甲種貨車的費(fèi)用/元2800租用乙種貨車的費(fèi)用/元280(2)給出能完成此項(xiàng)運(yùn)送任務(wù)的最節(jié)省費(fèi)用的租車方案，并說明理由．【答案】(1)表一：315，30，45x，?30x+240；表二：1200，400x，1400，?280x+2240(2)甲種貨車6輛，乙種貨車2輛【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，列出相應(yīng)的方程和不等式．（1）根據(jù)計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車共8輛．已知每輛甲種貨車一次最多運(yùn)送機(jī)器45臺(tái)、租車費(fèi)用為400元，每輛乙種貨車一次最多運(yùn)送機(jī)器30臺(tái)、租車費(fèi)用為280元，可以分別把表一和表二補(bǔ)充完整；（2）由（1）中的數(shù)據(jù)和公司有330臺(tái)機(jī)器需要一次性運(yùn)送到某地，列出不等式，求出x≥6，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：由題意可得，在表一中，當(dāng)甲車7輛時(shí)，運(yùn)送的機(jī)器數(shù)量為：45×7=315（臺(tái)），則乙車8?7=1輛，運(yùn)送的機(jī)器數(shù)量為：30×1=30（臺(tái)），當(dāng)甲車x輛時(shí)，運(yùn)送的機(jī)器數(shù)量為：45×x=45x（臺(tái)），則乙車8?x輛，運(yùn)送的機(jī)器數(shù)量為：30×8?x在表二中，當(dāng)租用甲貨車3輛時(shí)，租用甲種貨車的費(fèi)用為：400×3=1200（元），則租用乙種貨車8?3=5輛，租用乙種貨車的費(fèi)用為：280×5=1400（元），當(dāng)租用甲貨車x輛時(shí)，租用甲種貨車的費(fèi)用為：400×x=400x（元），則租用乙種貨車8?x輛，租用乙種貨車的費(fèi)用為：280×8?x故答案為：表一：315，30，45x，?30x+240；表二：1200，400x，1400，?280x+2240．（2）解：能完成此項(xiàng)運(yùn)送任務(wù)的最節(jié)省費(fèi)用的租車方案是甲車6輛，乙車2輛，理由：當(dāng)租用甲種貨車x輛時(shí)，設(shè)兩種貨車的總費(fèi)用為y元，則兩種貨車的總費(fèi)用為：y=400x+?280x+2240又∵45x+?30x+240解得：x≥6，∵120>0，∴在函數(shù)y=120x+2240中，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=6時(shí)，y取得最小值，即能完成此項(xiàng)運(yùn)送任務(wù)的最節(jié)省費(fèi)用的租車方案是甲種貨車6輛，乙種貨車2輛．??題型02求代數(shù)式的值1．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a，b，滿足a?b=6，ab=?8，則a2b?ab【答案】?48【分析】本題考查了因式分解和代數(shù)式求值，先把a(bǔ)2b?ab2進(jìn)行因式分解，然后【詳解】解：∵a?b=6，ab=?8，∴原式=aba?b故答案為：?48．2．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）若x+82+y?7=0，則代數(shù)式【答案】1【分析】本題主要考查了代數(shù)式求值，平方和絕對(duì)值的非負(fù)性，熟知平方和絕對(duì)值的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平方和絕對(duì)值的非負(fù)性求出x、y的值，然后代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵x+8∴x+82=0∴x=?8，y=7，∴x+y故答案為：1．3．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）若a是16的算術(shù)平方根，而b的算術(shù)平方根是16，則a+b=．【答案】260【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根，代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出a、b的值，然后即可求出a+b的值．【詳解】解：∵a是16的算術(shù)平方根，∴a=4，又∵b的算術(shù)平方根是16，∴b=256，∴a+b=4+256=260，故答案為：260．4．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知2x2?5x+1=0，則【答案】4【分析】本題考查了代數(shù)式求值，利用整體代入法是解題關(guān)鍵．由2x2?5x+1=0【詳解】解：∵2x∴2x∴6x故答案為：4．5．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知∶2x2?5x?11=0【答案】?24【分析】本題考查整式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握整式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先由2x2?5x?11=0，由2x2【詳解】解：∵2∴2原式=2x=?2=?=?11?13=?24．??題型03整式的相關(guān)概念1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）若單項(xiàng)式?3x2y的系數(shù)是m，次數(shù)是n，則mnA．9 B．3 C．?3 D．?9【答案】D【分析】本題考查單項(xiàng)式，根據(jù)單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)可得m、n的值，進(jìn)而可得mn的值．解題的關(guān)鍵是掌握單項(xiàng)式的相關(guān)定義．【詳解】解：∵單項(xiàng)式?3x2y的系數(shù)是?3∴m=?3，n=3，∴mn=?3×3=?9，∴mn的值為?9．故選：D．2．（2024·云南楚雄·一模）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：x3，?4x5，9x7，?16A．?1n?1n2C．?1n?1n+12【答案】B【分析】本題考查了數(shù)字的變化類，分別從符號(hào)、系數(shù)與指數(shù)三個(gè)方面找規(guī)律，再計(jì)算即可．【詳解】解：解：∵x3?4x9x?16x……由上可知，第n個(gè)單項(xiàng)式是：?1n+1故選：B．3．（2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）多項(xiàng)式a2+4abA．三次三項(xiàng)式 B．二次三項(xiàng)式 C．三次二項(xiàng)式 D．二次二項(xiàng)式【答案】A【分析】本題考查多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)和次數(shù)，根據(jù)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)為單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)，次數(shù)為最高項(xiàng)的次數(shù)，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：多項(xiàng)式a2故選A．4．（2024·江西九江·三模）若關(guān)于x，y的多項(xiàng)式x2?2x【答案】6【分析】本題考查了多項(xiàng)式的系數(shù)，根據(jù)題意直接列式1?2+●=5，即可求解．【詳解】解：由題意得：1?2+●=5，解得：●=6，故答案為：6．??題型04整式的加減1．（2024·重慶渝北·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，將邊長(zhǎng)為m的正方形紙片剪去兩個(gè)小矩形，得到一個(gè)“2”的圖案，如圖2所示，再將剪下的兩個(gè)小矩形拼成一個(gè)新的矩形，如圖3所示，則新矩形的周長(zhǎng)可表示為（

）A．2m?4n B．2m?3n C．4m?8n D．4m?6n【答案】C【分析】本題考查了列代數(shù)式，整式的加減運(yùn)算等知識(shí)．正確表示新矩形的長(zhǎng)和寬是解題的關(guān)鍵．由題意知，剪下的兩個(gè)小矩形的長(zhǎng)為m?n，寬為m?3n2，則新矩形的長(zhǎng)為m?n，寬為m?3n【詳解】解：由題意知，剪下的兩個(gè)小矩形的長(zhǎng)為m?n，寬為m?3n2∴新矩形的長(zhǎng)為m?n，寬為m?3n，∴新矩形的周長(zhǎng)可表示為2m?n故選：C．2．（2024·河南周口·三模）如果單項(xiàng)式：2xym與12x【答案】1【分析】此題考查同類項(xiàng)定義，根據(jù)兩個(gè)單項(xiàng)式的和仍為單項(xiàng)式可得2xym與12xn【詳解】解：∵2xym與∴2xym與m=2,n=1，∴?nm故答案為：1．3．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）在“點(diǎn)燃我的夢(mèng)想，數(shù)學(xué)皆有可衡”數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)活動(dòng)中，“智多星”小強(qiáng)設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)：對(duì)依次排列的兩個(gè)整式m，n按如下規(guī)律進(jìn)行操作：第1次操作后得到整式串m，n，n?m；第2次操作后得到整式串m，n，n?m，?m；第3次操作后…其操作規(guī)則為：每次操作增加的項(xiàng)，都是用上一次操作得到的最末項(xiàng)減去其前一項(xiàng)的差，小強(qiáng)將這個(gè)活動(dòng)命名為“回頭差”游戲．則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項(xiàng)之和是．【答案】2n【分析】本題考查了整式的加減．先逐步操作前幾次，找到規(guī)律，再計(jì)算即可．【詳解】解：第1次操作后得到整式串m，n，n?m；第2次操作后得到整式串m，n，n?m，?m；第3次操作后得到整式串m，n，n?m，?m，?n；第4次操作后得到整式串m，n，n?m，?m，?n，?n+m；第5次操作后得到的整式串m，n，n?m，m，?n，?n+m，m；第6次操作后得到的整式串m，n，n?m，?m，?n，?n+m，m，n；第7次操作后得到的整式串m，n，n?m，?m，?n，?n+m，m，n，n?m；??????歸納可得：以上整式串每六次一循環(huán)，∵2023÷6=337???1，∴第2023次操作后得到的整式中各項(xiàng)之和與第1次操作后得到整式串之和相等，∴這個(gè)和為m+n+n?m=2n，故答案為：2n．4．（2024·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）在計(jì)算題：“已知，M=□，N=2x2?4x+3求2M?N”時(shí)，嘉琪把“2M?N”看成“M?2N(1)求整式M；(2)若x≠12，請(qǐng)比較2M與【答案】(1)3x(2)2M>N，理由見解析．【分析】本題考查了整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意列出關(guān)系式，去括號(hào)合并即可確定出N．（2）寫出確定的2M?N，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵M(jìn)?2N=?x2+4x?4∴M=?x（2）2M>N，理由：∵M(jìn)=3x2?4x+2∴2M?N=23∵x≠1∴2x?12∴2M>N．5．（2024·河北秦皇島·一模）已知整式a2+ab?★ab?b2?5(1)則★所表示的數(shù)字是多少？(2)嘉淇說該代數(shù)式的值一定是正的，你認(rèn)為嘉淇的說法對(duì)嗎？說明理由．【答案】(1)★=3(2)嘉淇的說法是正確的，理由見解析．【分析】（1）把a(bǔ)=3，b=?2代入整式得9?6?（2）把（1）中所得的結(jié)果代入整式，化簡(jiǎn)后再利用完全平方公式即可求解；本題考查了整式的運(yùn)算，完全平方公式，掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：將a=3，b=?2代入a29?6?即3+6★+9=30，解得★=3；（2）解：嘉淇的說法是正確的，理由如下：由（1）求得的結(jié)果可得該整式為a2∵a?b2∴a?b2∴嘉淇的說法是正確的．??題型05冪的混合運(yùn)算1．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）下列運(yùn)算中，與2a2b?A．2b?2ab2 B．?8a2+b【答案】A【分析】本題考查了同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、合并同類項(xiàng)、積的乘方，根據(jù)同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、合并同類項(xiàng)、積的乘方的運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：2aA、2b?2abB、?8a2和C、?2a2D、?2故選：A．2．（2020·四川樂山·中考真題）已知3m=4，32m?4n=2．若9nA．8 B．4 C．22 D．【答案】C【分析】逆用同底數(shù)冪的乘除法及冪的乘方法則．由32m?4n【詳解】∵32m?4n依題意得：4x2=2∴4x∴x=故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法，以及冪的乘方運(yùn)算，關(guān)鍵是會(huì)逆用同底數(shù)冪的乘除法進(jìn)行變形．3．（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測(cè)）a32【答案】2【分析】先根據(jù)冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)同底數(shù)冪的除法進(jìn)行計(jì)算，最后合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：a===2故答案為：2a【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．4．（2024·廣東江門·一模）計(jì)算：(1)2024+(2)?a【答案】(1)2(2)5【分析】本題主要考查了整式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)混合運(yùn)算；（1）先計(jì)零指數(shù)冪，化簡(jiǎn)二次根式，負(fù)整數(shù)冪，代入三角函數(shù)值，再計(jì)算加減即可；（2）先計(jì)算積的乘方和冪的乘方，再計(jì)算同底數(shù)冪的乘法，最后合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）解：原式=1?3=1?3+4=2；（2）解：原式=?==5a??題型06整式的乘除1．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（）A．2m2m+1C．m2n?2mn【答案】C【分析】本題主要考查單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、冪的運(yùn)算、合并同類項(xiàng)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、積的乘方、合并同類項(xiàng)及同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則逐一判斷即可．【詳解】解：A、2mB、(?3mC、m2D、m6故選：C．2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知一臺(tái)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度為1.2×109次/秒，這臺(tái)計(jì)算機(jī)9×10A．10.8×1012 B．1.08×1014 C．【答案】D【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法，單項(xiàng)式的乘法以及同底數(shù)冪的乘法．根據(jù)題意列出代數(shù)式，再根據(jù)單項(xiàng)式的乘法法則以及同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：計(jì)算機(jī)工作9×101.2×==10.8×=1.08×10故選：D．3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）若m×4x2y2=12A．4x?3y B．?4x+3y C．4x+3y D．?4x?3y【答案】B【分析】本題考查了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，根據(jù)一個(gè)因數(shù)等于積除以另一個(gè)因數(shù)，即可解答．【詳解】解：∵m×4x∴m=12故選：B．4．（2023·陜西西安·二模）先化簡(jiǎn)，再求值：x+2yx?2y+x+2y2?2xy【答案】x+y，?3【分析】先利用完全平方公式，平方差公式與單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則去掉括號(hào)，然后再合并同列項(xiàng)計(jì)算，最后代入x，y計(jì)算即可．【詳解】解：x+2yx?2y===x+y，當(dāng)x=5，y=?8時(shí)，原式=5+?8【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法則．5．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為m，寬為n的矩形（m>n）．用7張圖1中的小矩形紙片，按圖2的方式無空隙不重疊地放在大矩形內(nèi)，未被覆蓋的部分用陰影表示．若大矩形的長(zhǎng)是寬的32(1)求m與n的關(guān)系；(2)若圖2中，大矩形的面積為18，求陰影部分的面積．【答案】(1)m=4n(2)26【分析】本題考查列代數(shù)式、整式的加減、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、代數(shù)式求值，看懂圖形，正確列出代數(shù)式是解答的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)圖形，用m、n表示出矩形的長(zhǎng)、寬，再根據(jù)長(zhǎng)和寬的關(guān)系可得結(jié)論；（2）根據(jù)圖形，用m、n表示出大矩形的面積，進(jìn)而求得n2【詳解】（1）解：由題意，大矩形的長(zhǎng)為m+5n，寬為m+2n，∵大矩形的長(zhǎng)是寬的32∴m+5n=3化簡(jiǎn)，得m=4n；（2）解：∵大矩形的面積為m+2nm+5n=m∴16n解得n2∴陰影部分的面積為18?7mn=18?28n??題型07利用乘法公式變形求解1．（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）已知a+b=7,ab=6，則(a?b)2?6(b?a)+9=【答案】4或64/64或4【分析】先根據(jù)完全平方公式求出a?b的值，再將要求的代數(shù)式利用完全平方公式變形，最后代入求值即可．本題考查了代數(shù)式求值，完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵a+b=7,∴即a∵ab=6,∴∵∴∴∴∴a?b=±5,∴==當(dāng)a?b=5時(shí)，原式=5+3當(dāng)a?b=?5時(shí)，原式=?5+3綜上，a?b2故答案為：4或64．2．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）若x1，x2是方程x【答案】2024【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，若x1，x2是一元二次方程ax根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x【詳解】解：∵x1，x∴x1+x∴x1故答案是：2024．3．（2024·浙江寧波·二模）已知a?b=b?c=?1，a2+b2【答案】1【分析】本題考查完全平方公式，根據(jù)a?b=b?c=?1，推出a?c=?2，求出a?b2+b?c【詳解】解：∵a?b=b?c=?1，∴a?c=a?b+b?c=?1?1=?2，∴a?b=2∵a∴1+1+4=2×∴ab+bc+ac=1故答案為：134．（2024·河南安陽·模擬預(yù)測(cè)）閱讀與思考：若m+n=1，mn=?6，則由完全平方公式a+b2=a已知1x+1y=3【答案】5【分析】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是關(guān)鍵，根據(jù)完全平方公式得出1x【詳解】解：∵1x∴1==9?4=5．??題型08乘法公式的應(yīng)用1．（2024·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）閱讀材料：例：求代數(shù)式2x解：2x可知：當(dāng)x=?1時(shí)，2x2+4x?6根據(jù)上面的方法可求多項(xiàng)式a2+b【答案】5【分析】本題考查配方法求多項(xiàng)式的最值，讀懂題意，利用完全平方公式配方將多項(xiàng)式化為a?22【詳解】解：a=a=a?2∵a?2∴多項(xiàng)式a2+b故答案為：5．2．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）探究活動(dòng)：（1）如圖①，可以求出陰影部分的面積是（寫成兩數(shù)平方差的形式）；（2）如圖②，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，面積是（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）；（3）比較圖①，圖②陰影部分的面積，可以得到公式．知識(shí)運(yùn)用：（4）用合理的方法計(jì)算：7.52【答案】（1）a2?b2；（2）a+b【分析】本題考查了平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形的面積差即可求解；（2）分別表示出陰影部分的長(zhǎng)和寬，由面積公式就可求出面積即可；（3）根據(jù)陰影部分的面積相等建立等式即可；（4）根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)陰影部分的面積=大正方形的面積?小正方形的面積，即a2故答案為：a2（2）解：由圖可知矩形的長(zhǎng)是a+b，寬是a?b，所以面積是a+ba?b故答案為：a+ba?b（3）解：根據(jù)陰影部分面積相等可得：a2故答案為：a2（4）解：7.5===5×10×1.6=80．3．（2024·河北石家莊·二模）現(xiàn)有如圖1所示的甲、乙、丙三種卡片，卡片的邊長(zhǎng)如圖所示a>b.如圖2，用1張甲、1張乙和2張丙卡片可以拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的正方形，用兩種方式表示該正方形面積可以得到等式：a+b2【發(fā)現(xiàn)】（1）如圖3，嘉淇用這三種卡片拼成一個(gè)長(zhǎng)為2a+b，寬為a+2b的矩形，仿照例子寫出一個(gè)關(guān)于a，b的等式；（2）嘉淇還發(fā)現(xiàn)拼成矩形所需卡片的張數(shù)和整式的乘法計(jì)算結(jié)果中各項(xiàng)的系數(shù)有關(guān).根據(jù)嘉淇的發(fā)現(xiàn)，若要用這三種卡片拼成一個(gè)長(zhǎng)為a+2b，寬為a+b的矩形，不畫圖形，試通過計(jì)算說明需要丙種卡片多少張？【應(yīng)用】（3）現(xiàn)用甲種卡片1張，乙種卡片4張，丙種卡片m張（m為正整數(shù)），拼成一個(gè)矩形，直接寫出m所有可能的值.

【答案】（1）2a+ba+2b【分析】此題考查多項(xiàng)式的乘法與圖形的面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.（1）由圖3，用兩種方法表示矩形的面積，即可得到答案；（2）由a+2ba+b=a（3）甲卡片面積為a2，系數(shù)為1，乙種卡片4張，面積為4b2，系數(shù)為4，丙種卡片m張，即ab【詳解】（1）嘉淇用這三種卡片拼成一個(gè)長(zhǎng)為2a+b，寬為a+2b的矩形，則面積表示為2a+ba+2b，還可以看作2張甲、2張乙和4張丙卡片拼成的，則面積表示為2∴2a+ba+2b（2）由題意可知矩形的面積為a+2ba+b∵每張丙種卡片的面積為ab，∴需要丙種卡片3張；（3）甲種卡片1張，乙種卡片4張，丙種卡片m張（m為正整數(shù)），拼成一個(gè)矩形，可知，甲卡片面積為a2，系數(shù)為1，乙種卡片4張，面積為4b2，系數(shù)為4，丙種卡片m張，即ab∴矩形的面積為：①a2+mab+4b②a2+mab+4b綜上可知，m所有可能的值為4或5.4．（2023·山東青島·二模）“構(gòu)造圖形解題”，它的應(yīng)用十分廣泛，特別是有些技巧性很強(qiáng)的題目，如果不能發(fā)現(xiàn)題目中所隱含的幾何意義，而用通常的代數(shù)方法去思考，經(jīng)常讓我們手足無措，難以下手，這時(shí)，如果能轉(zhuǎn)換思維，發(fā)現(xiàn)題目中隱含的幾何條件，通過構(gòu)造適合的幾何圖形，將會(huì)得到事半功倍的效果，下面介紹兩則實(shí)例：實(shí)例一：勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之…，在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如實(shí)例圖一），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．他利用直角邊為a和b，斜邊為c的四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的圖形（如實(shí)例圖一），由S大正方形=4S直角三角形+

實(shí)例二：歐幾里得的《幾何原本》記載，關(guān)于x的方程x2+ax=b2的圖解法是：畫Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a2，AC=

根據(jù)以上閱讀材料回答下面的問題：(1)如圖1，請(qǐng)利用圖形中面積的等量關(guān)系，寫出甲圖要證明的數(shù)學(xué)公式是______．乙圖要證明的數(shù)學(xué)公式是______；

(2)如圖2，利用歐幾里得的方法求方程x2

(3)如圖3，已知⊙O，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，連接CO，設(shè)DA=a，BD=b，請(qǐng)利用圖3證明：a+b2

【答案】(1)完全平方公式，平方差公式(2)2(3)證明過程見解析【分析】（1）利用面積法解決問題即可；（2）如圖2，由勾股定理求得AB的長(zhǎng)，即可求得AD的長(zhǎng)，即可解決問題；（3）如圖3，證明△ACD～△CBD，可得CD2=AD?BD【詳解】（1）解：由題意可得：S甲=a+b∴a+b2S乙=a∴a2=a?b∴甲圖要證明的數(shù)學(xué)公式是完全平方公式，乙圖要證明的數(shù)學(xué)公式是平方差公式，故答案為：完全平方公式，平方差公式；（2）解；如圖，由題意可得：x2∴BC=42=2，AC=2∴AB=22+∴方程x2+4x?4=0的一個(gè)正根為：

（3）解：連接AC、BC，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠BCD+∠CBD=90°，∴∠CAB=∠BCD，又∵∠ADC=∠CDB=90°，∴△ACD～△CBD，∴CDBD=AD∵DA=a，BD=b，∴CD=ab在Rt△COD中，OC∴OC2≥C又∵OC=a+b∴a+b2

【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式、平方差公式、勾股定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，理解題意，學(xué)會(huì)利用面積法解決問題，學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．??題型09整式的化簡(jiǎn)求值-直接代入法1．（2024·廣東汕頭·一模）已知1?a+2b?12=0，則【答案】?3【分析】本題考查了算術(shù)平方根以及平方的非負(fù)性，已知字母的值求代數(shù)式的值，據(jù)此列式1?a=0，2b?1=0，算出a，【詳解】解：∵1?a+∴1?a=0，∴a=1，則2a+4b?7=2×1+4×1故答案為：?3．2．（2024·青海西寧·二模）先化簡(jiǎn)，再求值：(x?2y)2+2x?yx+y?3x【答案】2xy+2y2【分析】本題主要考查了整式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則和運(yùn)算公式是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)完全平方公式、平方差公式以及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)完成化簡(jiǎn)，然后將x=2，y=?1代入求值即可．【詳解】解：原式==2xy+2y當(dāng)x=2，y=?1時(shí)，原式=2×2×=?4+2=?2．3．（2024·吉林長(zhǎng)春·三模）先化簡(jiǎn)，再求值：x+2y2?x+2yx?2y÷4y【答案】x+2y，5【分析】本題考查整式的混合運(yùn)算及化簡(jiǎn)求值，先根據(jù)混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再代入求解即可．【詳解】解：x+2y====x+2y，當(dāng)x=1，y=5?124．（2024·廣東東莞·一模）求代數(shù)式2x?y2【答案】2y2【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算?化簡(jiǎn)求值，絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．先利用完全平方公式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，然后把x，y的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：2=2(=2=2y∵x?3∴x?3=0，x+y=0，解得：x=3，y=?3，∴當(dāng)x=3，y=?3時(shí)，原式=2×(?3)??題型10整式的化簡(jiǎn)求值-整體代入法1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知a2+3ab=5，則(a+b)(a+2b)?2b【答案】5【分析】本題考查整式的化簡(jiǎn)求值，把要求的式子展開化簡(jiǎn)后，利用整體思想求值即可．【詳解】∵a2∴(a+b)(a+2b)?2b故答案為：5．2．（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）若b+a=3，則9?6a+a2?【答案】0【分析】本題考查了完全平方公式以及已知式子的值，求代數(shù)式的值，先整理9?6a+a2?b2【詳解】解：9?6a+==∵b+a=3∴a?3=?b把a(bǔ)?3=?b代入a?32得?b故答案為：03．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)m滿足m?12+(m?2)2=3【答案】1【分析】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算、代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，正確運(yùn)用整式的混合運(yùn)算法則對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形成為解題的關(guān)鍵．由m?12+(m?2)2=3可得m【詳解】解：∵m?12∴m2?2m+1+m∴m?1m?2故答案為1．4．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx?3=0的一個(gè)根是x=1，則代數(shù)式2027?a?b【答案】2024【分析】此題考查了一元二次方程的解和代數(shù)式求值，根據(jù)一元二次方程解的定義得到a+b=3，再整體代入即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx?3=0∴a+b?3=0，則a+b=3，∴2027?a?b=2027?故答案為：2024??題型11整式的混合運(yùn)算1．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）下列運(yùn)算正確的是（

）A．a(chǎn)+12=aC．a(chǎn)+1+a?1=2a【答案】C【分析】本題考查整式的乘法公式及加減運(yùn)算，根據(jù)完全平方公式和平方差公式及整式加減運(yùn)算法則逐一計(jì)算判斷即可．【詳解】解：A．a(chǎn)+12B．a(chǎn)?12C．a(chǎn)+1+D．a(chǎn)+1a?1故選：C．2．（2024·廣東廣州·二模）已知T=2a+3b(1)化簡(jiǎn)T；(2)若a，b互為相反數(shù)，求T的值．【答案】(1)a(2)0【分析】本題主要考查整式的化簡(jiǎn)以及求值，熟練掌握平方差公式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的規(guī)則是解題的關(guān)鍵．（1）利用平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式規(guī)則展開后，合并同類項(xiàng)即可；（2）根據(jù)a，b互為相反數(shù)，得b=?a，代入第（1）問化簡(jiǎn)的式子即可求解．【詳解】（1）T===4=（2）∵a，b互為相反數(shù)，∴b=?a，∴T=a3．（2024·河北邯鄲·二模）數(shù)學(xué)課上，老師給出一個(gè)整式ax2+bx?x+1x?1（其中a，(1)甲同學(xué)給出一組數(shù)據(jù)，最后計(jì)算結(jié)果為x+12，請(qǐng)分別求出甲同學(xué)給出的a，b(2)乙同學(xué)給出了a=5，b=?4，請(qǐng)按照乙同學(xué)給出的數(shù)值說明該整式的結(jié)果為非負(fù)數(shù)．【答案】(1)a=2，b=2(2)證明見解析【分析】本題考查了整式混合運(yùn)算，熟練掌握整數(shù)的混合運(yùn)算步驟，特別是公式法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得出ax（2）代入化簡(jiǎn)，然后配方成完全平方式證明即可．【詳解】（1）解：由題意，得：ax化簡(jiǎn)，得：ax即a?1x∴a?1=1，且b=2，∴a=2，b=2；（2）當(dāng)a=5，b=?4時(shí)，a=a?1=4=2x?12即該整式的結(jié)果為非負(fù)數(shù)．4．（2024·河北張家口·三模）如圖1，2，約定：上方相鄰兩代數(shù)式之和等于這兩代數(shù)式下方箭頭共同指向的代數(shù)式．(1)求代數(shù)式M；(2)嘉嘉說，無論x取什么值，M的值一定大于N的值，嘉嘉的說法是否正確？請(qǐng)通過計(jì)算說明．【答案】(1)x(2)嘉嘉的說法正確，理由見解析；【分析】本題考查的是整式的混合運(yùn)算，平方差公式的應(yīng)用，理解題意是關(guān)鍵；（1）根據(jù)加法的意義列式計(jì)算即可；（2）先求解N，再計(jì)算M?N與0比較大小，從而可得答案．【詳解】（1）解：由題意可得：M=2=2=x（2）嘉嘉的說法正確；理由如下：由題意可得：N===x∵M(jìn)?N===1>0，∴M>N．??題型12判斷因式分解的正誤1．（2024·安徽阜陽·模擬預(yù)測(cè)）下列因式分解正確的是（

）A．x2+1=x+1C．2x2?2=2【答案】C【分析】根據(jù)因式分解的定義及方法逐項(xiàng)分析即可．本題考查了因式分解，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能再分解為止．【詳解】解：選項(xiàng)A，B中的等式不成立；選項(xiàng)C中，2xD選項(xiàng)中，多項(xiàng)式x2故選C．2．（2022·河北·一模）下列關(guān)于4a+2的敘述，錯(cuò)誤的是（

）A．4a+2的次數(shù)是1 B．4a+2表示a的4倍與2的和C．4a+2是多項(xiàng)式 D．4a+2可因式分解為4(a+1)【答案】D【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的項(xiàng)、次數(shù)及多項(xiàng)式的因式分解的條件即可得出答案．【詳解】解：A.4a+2的次數(shù)是1，故答案正確；B.4a+2表示a的4倍與2的和，故答案正確；C.4a+2是多項(xiàng)式，故答案正確；D.4a+2進(jìn)行因式分解為：2(2a+故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式項(xiàng)、次數(shù)及多項(xiàng)式的因式分解，熟知多項(xiàng)式的項(xiàng)和次數(shù)，多項(xiàng)式可因式分解的條件是解題的關(guān)鍵．3．（2024·河北秦皇島·一模）對(duì)于①2x?xy=x2?y，②x?32=A．都是因式分解 B．都是乘法運(yùn)算C．①是因式分解，②是乘法運(yùn)算 D．①是乘法運(yùn)算，②是因式分解【答案】C【分析】此題考查了因式分解和整式乘法的概念，熟練掌握有關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)因式分解和整式乘法的有關(guān)概念，對(duì)式子進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①2x?xy=x2?y②x?32故選：C．4．（2023·河北石家莊·二模）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見互逆運(yùn)算，例如加法和減法互為逆運(yùn)算，乘法和除法互為逆運(yùn)算，分解因式和整式乘法也是互逆運(yùn)算．請(qǐng)回答下列問題：(1)①a(2)小紅是一名密碼編譯愛好者，在她的密碼手冊(cè)中，有這樣一條信息：a?b，x?y，【答案】(1)②③(2)我愛四十【分析】（1）根據(jù)因式分解的定義即可求解；（2）觀察式子特點(diǎn)，首先提取公因式將待求式變形，接下來根據(jù)平方差公式進(jìn)行分解因式，將結(jié)果與已知中所表示的意義相結(jié)合即可解答本題．【詳解】（1）解：②③（2）解：提取公因式，利用平方差公式得：x2所以對(duì)應(yīng)的四個(gè)字可能是“我愛四十”．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解法的應(yīng)用，掌握公式法分解因式是解題的關(guān)鍵．??題型13因式分解1．（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測(cè)）把a(bǔ)2b?2abA．ba2?2ab+b2 B．a(chǎn)2【答案】C【分析】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．原式分解因式得到結(jié)果，即可做出判斷．【詳解】解：原式=b(=b(a?b)故選：C2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）把多項(xiàng)式3a2b?12ab+12b【答案】3b【分析】題目主要考查利用提公因式法及公式法進(jìn)行因式分解，熟練掌握因式分解方法是解題關(guān)鍵．先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．【詳解】解：3a故答案為：3ba?23．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知x+3x?2+xx?2可因式分解成(ax+b)(2x+c)，其中a，b，c【答案】?1【分析】本題考查因式分解，將(x+3)(x?2)+x(x?2)進(jìn)行因式分解后，求出a,b,c的值，代入代數(shù)式計(jì)算即可．【詳解】解：∵x+3x?2又x+3x?2+xx?2∴a=1,b=?2,c=3，∴(a+b)c4．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）用兩種不同的方法計(jì)算：a+22【答案】2a+4【分析】本題考查了完全平方公式，提公因式法進(jìn)行因式分解等知識(shí)．熟練掌握完全平方公式，提公因式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方公式，提公因式法進(jìn)行因式分解，求解作答即可．【詳解】解：方法一：a+2==2a+4．方法二：a+2==2a+4．??題型14因式分解的應(yīng)用1．（2024·山西長(zhǎng)治·模擬預(yù)測(cè)）在現(xiàn)今“互聯(lián)網(wǎng)+”的時(shí)代，密碼與我們的生活已經(jīng)緊密相連，密不可分，而諸如“123456”、生日等簡(jiǎn)單密碼又容易被破解，因此利用簡(jiǎn)單方法產(chǎn)生一組容易記憶的密碼就很有必要了．有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式a4?b4因式分解的結(jié)果是a?ba+ba2+b2，若取a=8，b=8時(shí)，則各個(gè)因式的值是：a?b=0，a+b=16，a2+b【答案】111213【分析】本題考查了綜合提公因式和公式法進(jìn)行因式分解．熟練掌握綜合提公因式和公式法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．由題意知，27a【詳解】解：27a當(dāng)a=4，b=1時(shí)，3a?b=12?1=11，3a=12，3a+b=12+1=13，∴密碼為111213，故答案為：111213．2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）定義：若4n3?3n?2（n正整數(shù)，且0<n<500）等于兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的乘積，則稱n為“彗星數(shù)”．則“彗星數(shù)”n的最小值為【答案】5485【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解一元二次方程-公式法，解題關(guān)鍵在于讀懂題意，理解新定義．4n3?3n?2(n為正整數(shù))等于兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的乘積，設(shè)較小的正奇數(shù)為m【詳解】解：∵4n3?3n?2設(shè)較小的正奇數(shù)為m，則另一個(gè)正奇數(shù)為m+2(m>0)，∴4n∴m利用求根公式得：m=4n3∴當(dāng)m=4n3∵4n∴m=4∵m為正奇數(shù)，∴m為整數(shù)，∴n?1也必須為整數(shù)，為偶數(shù)，令2p=n?1，p∴n=4p∵4>0∴拋物線開口向上，且對(duì)稱性為y軸，當(dāng)p>0時(shí)，n隨p的增大而增大，∵p為正整數(shù)∴當(dāng)p=1時(shí)，n有最小值為n=4p2∵當(dāng)p=10時(shí)，n=401(不符合題意，舍去)，當(dāng)p=11時(shí)，n=485，當(dāng)p=12時(shí)，n=577，∵0<n<500，∴當(dāng)p=11時(shí)，n的最大值是485，∴“彗星數(shù)”n的最小值為5，最大值為485．故答案為：5，485．3．（2024·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b，c為△ABC的三邊，且滿足a2c2【答案】直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形，理由見解析【分析】此題考查了勾股定理的逆定理、因式分解、等腰三角形的定義，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．首先把等式的左右兩邊分解因式，再考慮等式成立的條件，從而判斷△ABC的形狀．【詳解】解：∵a2∴a4∴a4∴a2∴a2∴a2∵a+b>0，則解得：a2+b即△ABC為直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．4．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）有一列數(shù)：4，12，20，…．這些正整數(shù)都能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，我們把這樣的正整數(shù)稱為“好數(shù)”．如：第1個(gè)數(shù)：4=2第2個(gè)數(shù)：12=4第3個(gè)數(shù)：20=6…(1)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k和2k?2（其中k取大于1的整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“好數(shù)”是4的倍數(shù)嗎？請(qǐng)通過計(jì)算加以說明？(2)2024是“好數(shù)”嗎？請(qǐng)通過計(jì)算判斷，如果是，它是第幾個(gè)“好數(shù)”；如果不是，寫出小于它的最大“好數(shù)”．【答案】(1)是，理由見解析(2)不是，2020【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用、解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)，掌握“好數(shù)”的定義成為解題的關(guān)鍵．（1）因式分解2k2?2k?22可得（2）令42k?1=2024,解得：k=253.5.易得2024不是“好數(shù)”，再取k=253,代入【詳解】（1）解:這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“好數(shù)”是4的倍數(shù),理由如下：2k2∵2k?1為奇數(shù),∴由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“好數(shù)”為4的倍數(shù).（2）解：令42k?1=2024,解得：∵253.5不為整數(shù)，∴2024不是“好數(shù)”.取k=253,代入42k?1∴小于2024的最大“好數(shù)”是2020．??題型15判斷整式運(yùn)算或因式分解的錯(cuò)誤步驟1．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）下面是小華同學(xué)計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．（1）計(jì)算：(2a?3b)(2a+3b)．解：原式=(2a)（2）計(jì)算：(2a?3b)(a+3b)．解：原式=2a任務(wù)一：在上述解題過程中，（1）中所利用的公式是乘法公式中的________．（填“完全平方公式”或“平方差公式”）任務(wù)二：請(qǐng)判斷小華（2）的解答是否正確，若錯(cuò)誤，請(qǐng)直接寫出（2）中計(jì)算的正確答案．任務(wù)三：計(jì)算：(2a?3b)2【答案】任務(wù)一：平方差公式；任務(wù)二：不正確，2a2+3ab?9【分析】本題考查了平方差公式，完全平方公式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算和掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．任務(wù)一：根據(jù)解題過程，可以判斷①中所利用的公式是乘法公式中的平方差公式；任務(wù)二：