2024-2025學年高中數(shù)學第一章立體幾何初步1.5.2平行關(guān)系的性質(zhì)學案含解析北師大版必修2

PAGE5．2平行關(guān)系的性質(zhì)學問點一直線與平面平行的性質(zhì)定理[填一填][答一答]1．若直線a∥平面α，如何在平面α內(nèi)找一條直線與a平行？提示：依據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，只需過a作一平面與平面α相交，則交線與a平行．2．若a∥α，過a與α相交的平面有多少個？它們與α的交線相互之間有什么關(guān)系？提示：過a與平面α相交的平面有多數(shù)個，它們與α的交線相互平行．3．一條直線平行于一個平面，則該直線平行于這個平面內(nèi)的隨意一條直線嗎？提示：一條直線平行于一個平面，它可以與平面內(nèi)的多數(shù)條直線平行，但不能與平面內(nèi)的隨意一條直線平行．這條直線與平面內(nèi)的隨意一條直線可能平行，也可能異面．學問點二平面與平面平行的性質(zhì)[填一填][答一答]4．兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的隨意一條直線必平行于另一個平面嗎？提示：肯定平行于另一個平面．因為兩個平面平行，則兩平面無公共點，即一個平面內(nèi)的直線和另一個平面沒有公共點，由線面平行的定義可知，直線與平面平行．5．假如α∥β，aα，那么如何在平面β內(nèi)作出與a平行的直線？提示：利用面面平行的性質(zhì)定理，可在平面β內(nèi)任取一點A，然后作出A和直線a所確定的平面γ，確定平面β和γ的交線b，則a∥b.6．若α∥β，aα，bβ，則a與b肯定平行嗎？為什么？提示：不肯定，直線a，b可能平行，也可能異面．1．解讀直線與平面平行的性質(zhì)定理(1)作用：證明直線與直線平行．可簡述為“若線面平行，則線線平行”．(2)用該定理推斷直線a與b平行時，必需具備三個條件：①直線a和平面α平行，即a∥α；②平面α和β相交，即α∩β＝b；③直線a在平面β內(nèi)，即aβ.以上三個條件缺一不行．2．對線面平行性質(zhì)定理的兩種說明(1)一條直線b與一個平面α平行，則過b的任何平面與α的交線都與直線b平行，即b可以和α內(nèi)多數(shù)條直線平行．(2)一條直線b與一個平面α平行，則b不能與α內(nèi)的全部直線平行，即在平面α內(nèi)，除了與b平行的直線外，其余每條直線與b都是異面直線．3．對面面平行性質(zhì)定理的理解(1)面面平行的性質(zhì)定理的條件有三個：①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.三個條件缺一不行．(2)定理的實質(zhì)是由面面平行得線線平行，其應用過程是構(gòu)造與兩個平行平面都相交的一個平面，由其結(jié)論可知定理可用來證明線線平行．(3)面面平行的性質(zhì)定理的推證過程應用了平行線的定義．4．線與面、面與面平行性質(zhì)定理的綜合應用(1)線與面、面與面平行的性質(zhì)定理的主要作用是證明線線平行問題．而在空間平行的判定與證明時，應留意線與線、線與面、面與面平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，這也是對基礎(chǔ)學問的駕馭程度和綜合實力的提升體現(xiàn)，應敏捷把握．(2)線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化過程可總結(jié)如下：類型一線面平行的性質(zhì)定理【例1】求證：若平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個平面，則另一條也平行于這個平面．【思路探究】要證線面平行，只需在已知平面內(nèi)找到一條與這條直線平行的直線．可通過線面平行的性質(zhì)去找與這條直線平行的直線．【證明】已知：如圖所示，a∥b，a∥α，bα.求證：b∥α.證明：如圖所示，過a作平面β，交平面α于直線c.∵a∥α，aβ，α∩β＝c，∴a∥c.又∵a∥b，∴b∥c.又∵cα，bα，∴b∥α.規(guī)律方法此命題可以當作直線與平面平行的性質(zhì)運用，也可當作證明直線和平面平行的判定定理運用，在做解答題和證明題時，若運用它，則需寫出此命題的證明過程，做選擇題、填空題時可干脆運用．如圖，已知E，F(xiàn)分別是菱形ABCD邊BC，CD的中點，EF與AC交于點O，點P在平面ABCD之外，M是線段PA上一動點，若PC∥平面MEF，試求PMMA的值．解：如右圖，連接BD交AC于點O1，連接OM，因為PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，所以PC∥OM，所以eq\f(PM,PA)＝eq\f(OC,AC)，在菱形ABCD中，因為E，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點，所以eq\f(OC,O1C)＝eq\f(1,2).又AO1＝CO1，所以eq\f(PM,PA)＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,4)，故PMMA＝13.類型二面面平行的性質(zhì)【例2】如圖，已知平面α∥β，P?α且P?β，過點P的直線m與α，β分別交于A，C，過點P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長．【解】因為AC∩BD＝P，所以經(jīng)過直線AC與BD可確定平面PCD，因為α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以eq\f(PA,AC)＝eq\f(PB,BD)，即eq\f(6,9)＝eq\f(8－BD,BD).所以BD＝eq\f(24,5).規(guī)律方法應用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟已知平面α∥平面β，點A，C∈α，點B，D∈β，直線AB與CD交于點S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的長．解：(1)若AB∩CD＝S位于平面α，β中間[如下圖(1)]，連接AC，BD.∵AB∩CD＝S，∴AB，CD確定平面γ.∵γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，∴AC∥BD，∴△ACS∽△BDS，∴eq\f(CS,DS)＝eq\f(AS,BS)，即eq\f(CS,34－CS)＝eq\f(8,9)，解得CS＝16.(2)當AB∩CD＝S位于平面α，β同側(cè)[如上圖(2)]，∵AB∩CD＝S，∴AB，CD確定平面γ.∵γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，∴AC∥BD，∴△SCA∽△SDB，∴eq\f(SA,SB)＝eq\f(SC,SD)，即eq\f(8,9)＝eq\f(SC,SC＋34)，解得SC＝272.綜上可知，CS的長為16或272.類型三平行的相互轉(zhuǎn)化【例3】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1，BC1上分別有點E，F(xiàn)，且B1E＝C1F.求證：EF∥平面【思路探究】要證EF∥平面ABCD，需在平面ABCD內(nèi)找尋一條直線與EF平行，而平面ABCD內(nèi)現(xiàn)有的直線與EF均不平行，所以要設(shè)法將須要的直線作出來．【證明】證法一：如圖1所示，分別過E，F(xiàn)作EM∥BB1，F(xiàn)N∥CC1分別交AB，BC于點M，N，連接MN.∵BB1∥CC1，∴EM∥FN.∵B1E＝C1F，AB1＝BC1，∴AE＝BF由EM∥BB1得eq\f(AE,AB1)＝eq\f(EM,BB1)，由FN∥CC1，得eq\f(BF,BC1)＝eq\f(FN,CC1)，∴EM＝FN，∴四邊形EFNM是平行四邊形，∴EF∥MN.又∵MN平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.證法二：如圖1所示．過E作EG∥AB交BB1于G，連接GF，則有eq\f(B1E,B1A)＝eq\f(B1G,B1B).又∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴eq\f(C1F,C1B)＝eq\f(B1G,B1B)，∴FG∥B1C1∥BC.又∵EG∩FG＝G，AB∩CB＝B，∴平面EFG∥平面ABCD.又∵EF平面EGF，∴EF∥平面ABCD.證法三：如圖2所示．在平面BCC1B1內(nèi)延長B1F交BC(或其延長線)于點P，連接AP，∵BP∥B1C1，∴eq\f(C1F,FB)＝eq\f(B1F,FP).又∵B1E＝C1F，B1A＝C1∴eq\f(C1F,FB)＝eq\f(B1E,EA)，∴eq\f(B1E,EA)＝eq\f(B1F,FP).∴在△APB1中，EF∥AP.又∵EF平面ABCD，AP平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.規(guī)律方法此題證明的關(guān)鍵是依據(jù)直線與平面平行的判定定理找尋平面ABCD內(nèi)與直線EF平行的直線，本例的證明過程反映出解題中作協(xié)助平面的重要性．如圖所示，兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求證：MN∥平面BCE.證明：證法一：如圖，作MP∥AB交BC于P，NQ∥AB交BE于Q.∴MP∥NQ，∵AM＝FN，∴MP＝eq\f(\r(2),2)MC＝eq\f(\r(2),2)BN＝NQ.∴MP綊NQ，則四邊形MNQP為平行四邊形，∴MN∥PQ.∵MN平面BCE，PQ平面BCE，∴MN∥平面BCE.證法二：如圖所示，連接AN并延長，交BE的延長線于G，連接CG，∵AF∥BG，∴eq\f(AN,NG)＝eq\f(FN,NB)＝eq\f(AM,MC)，∴MN∥CG，∵MN平面BCE，CG平面BCE，∴MN∥平面BCE.類型四平行關(guān)系的綜合應用【例4】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM＝求證：MN∥平面AA1B1B.【思路探究】eq\x(作過MN與平面ABB1A1平行的一個平面)→eq\x(證明該平面與平面ABB1A1平行)→eq\x(得結(jié)論)【證明】如圖，作MP∥BB1，交BC于點P，連接NP，∵MP∥BB1，∴eq\f(CM,MB1)＝eq\f(CP,PB)，∵BD＝B1C，DN＝CM∴B1M＝BN∴eq\f(CM,MB1)＝eq\f(DN,NB)，∴eq\f(CP,PB)＝eq\f(DN,NB)，∴NP∥CD∥AB.∴平面MNP∥平面AA1B1B.∴MN∥平面AA1B1B.規(guī)律方法直線和平面的平行問題，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為直線和直線的平行問題，而直線和直線的平行問題也可以轉(zhuǎn)化為直線與平面的平行問題，要作出命題的正確轉(zhuǎn)化，就必需熟記線面平行的定義、判定定理和性質(zhì)定理．如圖，已知S是正三角形ABC所在平面外的一點，且SA＝SB＝SC，SG為△SAB上的高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點，試推斷SG與平面DEF的位置關(guān)系，并賜予證明．解：SG∥平面DEF.證明：證法一：如圖，連接CG交DE于點H，連接FH.∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中點，且DH∥AG，∴H為CG的中點．∵FH是△SCG的中位線，∴FH∥SG.又SG平面DEF，F(xiàn)H平面DEF，∴SG∥平面DEF.證法二：∵EF為△SBC的中位線，∴EF∥SB.∵EF平面SAB，SB平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F，∴平面SAB∥平面DEF，又∵SG平面SAB，∴SG∥平面DEF.類型五探究性問題【例5】如右圖所示，要在呈空間四邊形形態(tài)的撐架上安裝一塊矩形太陽能吸光板，矩形EFGH的四個頂點分別在空間四邊形ABCD的邊上．已知AC＝a，BD＝b，則E，F(xiàn)，G，H在什么位置時，吸光板的吸光量最大？【思路探究】本題是空間線、面平行關(guān)系與實際問題相結(jié)合的條件開放性探究題，解題的關(guān)鍵是理解好題意，將線、面平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型求解．【解】使吸光板的吸光量最大，即要使得矩形的面積最大．設(shè)EH＝x，EF＝y(tǒng)，∵EH∥FG，EH平面ABD，F(xiàn)G?平面ABD，∴FG∥平面ABD.又FG平面BCD，平面BCD∩平面ABD＝BD，∴FG∥BD.同理可證EF∥HG∥AC.則eq\f(AE,AB)＝eq\f(EH,BD)＝eq\f(x,b)，eq\f(BE,BA)＝eq\f(EF,AC)＝eq\f(y,a)，兩式相加得eq\f(AE,AB)＋eq\f(BE,AB)＝eq\f(x,b)＋eq\f(y,a)＝1，①矩形EFGH的面積S＝xy，②由①②得S＝－eq\f(a,b)x2＋ax(0<x<b)，當x＝－eq\f(a,－\f(2a,b))＝eq\f(b,2)時，S取最大值，為eq\f(ab,4)，此時y＝eq\f(a,2).故當E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，AD的中點時，吸光板的吸光量最大．規(guī)律方法解答這類問題的思路是：把結(jié)論看成已知進行逆推，探究結(jié)論成立所需的條件．如右圖，在四棱錐P－ABCD中，PA＝AB，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝eq\f(1,2)AD，在棱PD上是否存在一點E，使CE∥平面PAB？若存在，請確定點E的位置，若不存在，請說明理由．解：在棱PD上存在一點E，使CE∥平面PAB.如圖，過點C作CF∥AB交AD于點F，過點F作EF∥AP交PD于點E，連接CE.∵CF∥AB，EF∥PA，CF∩EF＝F，PA∩AB＝A，∴平面EFC∥平面PAB.又∵CE平面EFC，∴CE∥平面PAB.∵BC＝eq\f(1,2)AD，AF＝BC，∴F為AD的中點，∴E為PD的中點．故棱PD上存在點E，且E為PD的中點，使CE∥平面PAB.——易錯警示系列——證明平行關(guān)系因推理不嚴密致誤【例6】如右圖所示，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1上的點，且AE＝C1F.求證：四邊形EBFD【錯解】因為平面A1ADD1∥平面B1BCC1，D1E＝平面A1ADD1∩平面BFD1E，BF＝平面B1BCC1∩平面BFD1E，所以D1E∥FB.同理可得D1F∥EB所以四邊形EBFD1是平行四邊形．【錯因分析】錯解中盲目地認為E，B，F(xiàn)，D1四點共面，由已知條件并不能說明這四點共面，同時條件AE＝C1F【正解】在棱BB1上取一點G，使得B1G＝C1F＝AE，連接A1G，GF，則GF綊B1C1綊A1D1，所以四邊形GFD1A1為平行四邊形，所以A因為A1E＝AA1－AE，BG＝B1B－B1G，所以A1E綊BG所以四邊形EBGA1為平行四邊形，所以A1G綊EB，所以D1F綊所以四邊形EBFD1為平行四邊形．如圖，四邊形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD.若AF∥DE，DE＝3AF，點M在線段BD上，且BM＝eq\f(1,3)BD，求證：AM∥平面BEF.證明：延長EF、DA交于點G，如圖所示．因為AF∥DE，DE＝3AF，所以eq\f(GA,GD)＝eq\f(AF,DE)＝eq\f(1,3)，因為BM＝eq\f(1,3)BD，所以eq\f(BM,BD)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(BM,BD)＝eq\f(GA,GD)＝eq\f(1,3)，所以AM∥GB，又AM平面BEF，GB平面BEF，所以AM∥平面BEF.一、選擇題1．假如直線a∥平面α，bα，那么a與b的關(guān)系是(B)A．相交B．不相交C．平行D．異面解析：a與b平行或異面，但不能相交．2．若直線a∥平面α，直線b⊥直線a，則直線b與平面α的位置關(guān)系是(D)A．b∥α B．bαC．b與α相交 D．以上均有可能解析：b與α的位置關(guān)系是平行、相交或在α內(nèi)．3．若不在同始終線上的三點A，B，C到平面α的距離相等，則(B)A．平面α∥平面ABCB．△ABC中至少有一邊平行于平面αC．△ABC中至多有兩邊平行于平面αD．△ABC中只可能有一邊與平面α相交解析：若三點在平面α的同側(cè)，則平面α∥平面ABC，有三邊平行于α.若一點在平面α的一側(cè)，另