2025中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：二次根式（思維導(dǎo)圖+10考點(diǎn)+4種題型+難度分層練）解析版

第一章數(shù)與式

第04講二次根式

（思維導(dǎo)圖+10個(gè)考點(diǎn)+4種題型+難度分層練）

考情透視目標(biāo)導(dǎo)航..............................................................................2

知識(shí)導(dǎo)圖思維導(dǎo)航..............................................................................2

考點(diǎn)突破考法探究..............................................................................3

重點(diǎn)考點(diǎn)一二次根式的相關(guān)概念............................................................3

重點(diǎn)考點(diǎn)二二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)..........................................................4

重點(diǎn)考點(diǎn)三二次根式的運(yùn)算................................................................5

題型精研考向洞悉..............................................................................6

第一部分：常考考點(diǎn)講練........................................................................6

考點(diǎn)1:二次根式有意義的條件..............................................................6

考點(diǎn)2：二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)..............................................................8

考點(diǎn)3：最簡(jiǎn)二次根式.......................................................................9

考點(diǎn)4：二次根式的乘除法..................................................................11

考點(diǎn)5：分母有理化........................................................................12

考點(diǎn)6：同類二次根式......................................................................14

考點(diǎn)7：二次根式的加減法..................................................................16

考點(diǎn)8：二次根式的混合運(yùn)算...............................................................17

考點(diǎn)9：二次根式的化簡(jiǎn)求值...............................................................20

考點(diǎn)10：二次根式的應(yīng)用...................................................................21

第二部分：高頻題型洞悉.......................................................................28

題型1：求二次根式中的參數(shù)...............................................................28

題型2：已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù)...........................................................29

題型3：分母有理化........................................................................30

題型4：比較二次根式的大小...............................................................32

分層訓(xùn)練鞏固提升.............................................................................35

基礎(chǔ)夯實(shí)訓(xùn)練.............................................................................35

能力拔高訓(xùn)練.............................................................................40

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

中考中，對(duì)二次根式的考察主要

二次根式的相關(guān)概念了解二次根式、最簡(jiǎn)二次根式的概念

集中在對(duì)其取值范圍、化簡(jiǎn)計(jì)算等方

面，其中取值范圍類考點(diǎn)多出選擇題、

掌握二次根式的性質(zhì)，再根據(jù)二次根式的性

填空題形式出現(xiàn)，而化簡(jiǎn)計(jì)算則多以

二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)

質(zhì)化簡(jiǎn)

解答題形式考察.此外，二次根式還常

和銳角三角函數(shù)、實(shí)數(shù)、其他幾何圖

了解二次根式(根號(hào)下僅限于數(shù))力口、減、

形等結(jié)合出題，難度不大，但是也多

二次根式的運(yùn)算乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的四則

屬于中考必考題.

運(yùn)算

知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航

二二欠根式的概念：一Wt,我們把形如Va(“)的式子叫做二次根

\式，7”稱為二次根號(hào)，二欠根號(hào)下的數(shù)叫做被開方數(shù).)

、最簡(jiǎn)二角艮式：開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的

二次根式的相關(guān)概念

因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.

同類二雄式的概念：二次根式化成最簡(jiǎn);欠根式后，若被開方數(shù)相

同，貝肱幾個(gè)二次根式就是同類:欠根式.

被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即讓0

雙重非負(fù)性-------

二次根式的值是非負(fù)數(shù)，即VaNO

I~①(何2=ag?0)

—(3二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)

a(a>0)

(二次根式)0(a=0)

(-a(?<0)

即任意?個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值

③VS=忖V5(aNO.bNO)

④[=第(a^O.b>0)

yjbvt>

乘法法則:兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.即：Vab

=Va?Vb(a>0,b>0)

除法法則：兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變即Va/

Vb=V(a/b)(a>0,b>0).

二次根式的運(yùn)算力野法;型一1一化、二找、三合并)

「分母有理化方法

混合運(yùn)算順度會(huì)方、再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里的(或先去

掉括號(hào)).

考點(diǎn)突破?考法探究

重點(diǎn)考點(diǎn)一二次根式的相關(guān)概念

國(guó)充實(shí)縣礎(chǔ)知識(shí)精沮

二次根式的概念：一般地，我們把形如6（a20）的式子叫做二次根式，“廠”稱為二次根號(hào)，二次根號(hào)

下的數(shù)叫做被開方數(shù).

最簡(jiǎn)二次根式：開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最

簡(jiǎn)二次根式.

同類二次根式的概念：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類二次

根式.

廉）高顓曷錯(cuò)把握維〒

1.二次根式定義中規(guī)定，任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根都是二次根式，不需要看化簡(jiǎn)后的結(jié)果，如：V4

-V9都是二次根式.

2.二次根式有意義的條件：當(dāng)a叁0時(shí)，即被開方數(shù)大于或等于0,二次根式歷有意義.

3.在關(guān)于代數(shù)式有意義的問題中，要注意二次根式（被開方數(shù)大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有

意義的綜合運(yùn)用.

4.最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：

①開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不應(yīng)含有根號(hào)）；

②不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為L(zhǎng)

［補(bǔ)充］含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、（x+y）\x'Zxy+y,等.

5.幾個(gè)同類二次根式在沒有化簡(jiǎn)前，被開方數(shù)可以完全互不相同，如：魚、限電是同類二次根式.

技巧點(diǎn)撥方法歸納

解決二次根式有無意義的關(guān)鍵：

1.如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是非

負(fù)數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零.

判斷同類二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)被開方數(shù)是否相同來加以判斷，

要注意同類二次根式與根號(hào)外的因式無關(guān).

重點(diǎn)考點(diǎn)二二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)

m夯實(shí)目礎(chǔ)卻浪隔議

雙重非負(fù)性①被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即a》0；

②二次根式的值是非負(fù)數(shù)，即

性質(zhì)

①(網(wǎng)2=a(a>0)

(a(a>0)

②=|a|=<0(a=0)

其它性質(zhì)1—a(a<0)

即任意一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值

③=y/a9\(b(a>0,b>0)

④斤第(a?。,b>0)

二次根式的化簡(jiǎn)方法：

1）利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)；

2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)?府=仿?方Ca>0,b>0）,

羋（a>0,b>0）

y/b

化簡(jiǎn)二次根式的步驟：

1）把被開方數(shù)分解因式；

2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把各因式（或因數(shù)）積的算術(shù)平方根化為每個(gè)因式（或因數(shù)）的算術(shù)平方

根的積；

3）化簡(jiǎn)后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2.

?fl窿^易錯(cuò)把握細(xì)〒

1.根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)時(shí)，歷前無“-”，6化簡(jiǎn)出來就不可能是一個(gè)負(fù)數(shù).

2.利用二次根式性質(zhì)時(shí)，如果題目中對(duì)根號(hào)內(nèi)的字母給出了取值范圍，那么應(yīng)在這個(gè)范圍內(nèi)對(duì)根式進(jìn)行化

簡(jiǎn)，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應(yīng)注意對(duì)題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的

取值范圍顯現(xiàn)出來，在允許的取值范圍內(nèi)進(jìn)行化簡(jiǎn).

3.化簡(jiǎn)后的最后結(jié)果應(yīng)為最簡(jiǎn)二次根式，并且分母中不含二次根式.

?技15點(diǎn)提方法歸納

1.二次根式化簡(jiǎn)的結(jié)果一定是被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)中的每一個(gè)因式或因數(shù)都開不盡.

2.如果被開方數(shù)是分式或分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)），先利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式或分?jǐn)?shù)的形式，然后

利用分母有理化化簡(jiǎn).

3.如果被開方數(shù)是整式或整數(shù)，先將它分解因式或分解因數(shù)，然后把開方開得盡的因式或因數(shù)開方，從而將

式子化簡(jiǎn).

重點(diǎn)考點(diǎn)三二次根式的運(yùn)算

M夯實(shí)旦礎(chǔ)卻深嶂血

乘法法則：兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.即：4ab=4a*4b（a>0,b>0）.

除法法則：兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.即：親=Jj（a20,b>0）.

加減法法則：先把各個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并.

【口訣】一化、二找、三合并.

分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過程.

【分母有理化方法】

1）分母為單項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是分母本身帶根號(hào)的部分.即：白*=叵

ya7a?7aa

2）分母為多項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分.

即：_^.=—恒電—Va+VK

y/a-y/b（y/a-y/b'）（y/a+Vb'）a-b

混合運(yùn)算順序：先乘方、再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里的（或先去掉括號(hào)）.

窿^易錯(cuò)把握細(xì)〒

1.在使用=VaeVfo（a>0,b>0）時(shí)一定要注意aNO,b>0的條件限制.

2.在使用r=JI（a20,b>0）時(shí)一定要注意aNO,b>0的條件限制.

7b7b

3.合并被開方數(shù)相同的二次根式與合并同類項(xiàng)類似，將被開方數(shù)相同的二次根式的“系數(shù)”相加減，被開

方數(shù)和根指數(shù)不變.

4.二次根式加減混合運(yùn)算的實(shí)質(zhì)就是合并被開方數(shù)相同的二次根式，被開方數(shù)不同的二次根式不能合并.

5二次根式進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，根號(hào)外的系數(shù)因式必須為假分?jǐn)?shù)形式.

6.在二次根式的混合運(yùn)算中，乘方公式和實(shí)數(shù)的運(yùn)算律仍然適用。而且運(yùn)算結(jié)果應(yīng)寫成最簡(jiǎn)二次根式的形

式.

?技巧點(diǎn)撥方法歸納

二次根式乘除混合運(yùn)算的方法與整式乘除混合運(yùn)算的方法相同，整式乘除法的一些法則、公式在二次根式

乘除法中仍然適用.在運(yùn)算時(shí)要明確運(yùn)算符號(hào)和運(yùn)算順序.若被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù),則要先將其化為假分?jǐn)?shù).

二次根式的加減與整式的加減相比，可將被開方數(shù)相同的二次根式看作整式加減中的同類項(xiàng)進(jìn)行合并.另外

有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，都適用于二次根式的運(yùn)算.

題型精研?考向洞悉

第一部分：?？伎键c(diǎn)講練

考點(diǎn)1:二次根式有意義的條件

【例1】（2024?梁溪區(qū)校級(jí)模擬）若二次根式57有意義，則x的取值范圍是（）

A.x.OB.x>0C.5D.x<5

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式有意義的條件可得5-X..0,再解即可.

【規(guī)范解答】解：由題意得：5-x.O,

解得：%,5,

故選：C.

【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

【變式1]（2023?清江浦區(qū)校級(jí)模擬）使7T工有意義的x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）

A.-10123

------1__I——I——L

B.-10123

C.-10123

D.-10123

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式有意義的條件，要使有意義，則X-2..O,據(jù)此求出x的取值范圍，判斷

出使H點(diǎn)有意義的x的取值范圍如何在數(shù)軸上表示即可.

【規(guī)范解答】解：：有意義，

x—2..0,

解得X..2

--1-1-1IA

.?.使有意義的尤的取值范圍在數(shù)軸上表示為一10123

故選：B.

【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，解答此題的關(guān)鍵是要明確：二次根式中的被開方數(shù)

是非負(fù)數(shù).

【變式2]（2024?沐陽縣校級(jí)三模）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是%>-2.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0,就可以求解.

【規(guī)范解答】解：?.?代數(shù)式）：有意義，

A/X+2

x+2>0,

解得x>-2.

故答案為：x>-2.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了二次根式有無意義的條件的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式以及二次根式

有無意義的條件.

【變式3］（2024?揚(yáng)中市二模）使式子J4-x有意義的x的取值范圍是—茗,4_.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于或等于0,列不等式求解.

【規(guī)范解答】解：使式子有意義，

則4一%..0,即兀，4時(shí).

則x的取值范圍是兀,4.

【考點(diǎn)評(píng)析】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì).概念：式子G（a.O）叫二次根式.性質(zhì)：二次根式中的

被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義.

考點(diǎn)2：二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)

【例2】（2024?宿遷三模）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（x—y）-=X2—y2B.3）。=—3C.3a+4a=7。-D.2a3+a3=3a3

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、合并同類項(xiàng)的方法、完全平方式進(jìn)行解題即可.

【規(guī)范解答】解：A、（尤-y）2=V一2孫+V，故該項(xiàng)不正確，不符合題意；

B、盧^=3,故該項(xiàng)不正確，不符合題意；

C>3a+4a=7a,故該項(xiàng)不正確，不符合題意；

D、2a3+a3=3a3,故該項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、合并同類項(xiàng)、完全平方式，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解題

的關(guān)鍵.

【變式1］（2022?吳中區(qū)模擬）實(shí)數(shù)a,6在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)必+|。+6|結(jié)果為（）

III.

ba0

A.2a-bB.-2a-bC.-bD.3b

【思路點(diǎn)撥】利用二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)即可.

【規(guī)范解答】解：由題意：b<a<0,

.\a<0,a+b<0.

Ja2+1tz+Z?|

=—a—a—b

=-2。一b,

故選：B.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，絕對(duì)值的意義，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，利用二次根式的性質(zhì)，

絕對(duì)值的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2024?海門區(qū)一模）用一個(gè)工的值說明""=/'是錯(cuò)誤的，則x的值可以是-2（答案不唯一）.

【思路點(diǎn)撥】直接利用二次根式的性質(zhì)，進(jìn)而得出符合題意的答案.

【規(guī)范解答】解：：=x”是錯(cuò)誤的，

的值可以是-2（答案不唯一）.

故答案為：-2（答案不唯一）.

【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式3】.（2021?蘇州自主招生）若化簡(jiǎn)H-x|的結(jié)果為2x-5,則x的取值范圍是_啜*4_

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)x的取值化簡(jiǎn)絕對(duì)值和二次根式的性質(zhì)分析.

【規(guī)范解答】解：1-x|-8x+16

=\l-x\-/x-4）2

=2x-5,

則11—尤|-J（九-4）2=x—1+x—4,

即1一兀,0,x-4?0,

解得啜k4.

【考點(diǎn)評(píng)析】此題難點(diǎn)不是根據(jù)龍的取值化簡(jiǎn)絕對(duì)值和二次根式，而是由絕對(duì)值和二次根式得化簡(jiǎn)值求x的

取值范圍.所以要求對(duì)絕對(duì)值的代數(shù)定義和二次根式的性質(zhì)熟練、靈活掌握.

考點(diǎn)3：最簡(jiǎn)二次根式

【例3】（2023?梁溪區(qū)校級(jí)二模）下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）

A.A/20B.72C.AD.^/O2

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐個(gè)判斷即可.

【規(guī)范解答】解：A.而=2行，即被開方數(shù)中含有能開得盡方的因式，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不

符合題意;

B.也是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；

C.J|=1V2,即被開方數(shù)中含有分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.屈=二,即被開方數(shù)中含有分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，注意：滿足以下兩個(gè)條件：①被開方數(shù)中的因式是整式,

因數(shù)是整數(shù)，②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因式或因數(shù)，像這樣的二次根式叫最簡(jiǎn)二次根式.

【變式1］（2021?海州區(qū)校級(jí)一模）下列式子中，為最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.4B.72C.A/4D.A/12

【思路點(diǎn)撥】利用最簡(jiǎn)二次根式定義判斷即可.

【規(guī)范解答】解：A、原式=變，不符合題意；

2

3、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；

C、原式=2,不符合題意；

D、原式=2百，不符合題意;

故選：B.

【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵.

【變式2］（2022?射陽縣校級(jí)一模）下列二次根式中是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

C.A/12D.唬

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)

或因式，結(jié)合選項(xiàng)求解即可.

【規(guī)范解答】解：A、同是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；

B、出瀉,故￡不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；

C、A/12=2V3,故厄不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意;

D、唬=2應(yīng)，故場(chǎng)不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意.

故選：A.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵在于掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念，對(duì)各選項(xiàng)

進(jìn)行判斷.

【變式3](2017?邳州市校級(jí)模擬)若二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，則最小的正整數(shù)a=2.

【思路點(diǎn)撥】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否

同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是.

【規(guī)范解答】解：二次根式二？是最簡(jiǎn)二次根式，則最小的正整數(shù)4=2,

故答案為：2.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義.根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：

被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

考點(diǎn)4：二次根式的乘除法

【例4】(2024?南通)計(jì)算用xj；的結(jié)果是()

A.9B.3C.36D.y/3

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)所給算式進(jìn)行計(jì)算即可.

【規(guī)范解答】解：亞義/=<27義;=囪=3.

故選：B.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了二次根式的乘除法及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟知二次根式的乘法法則是解

題的關(guān)鍵.

【變式1](2024?姑蘇區(qū)校級(jí)二模)下列計(jì)算正確的是()

A.(a3)2=a>B.(xy2)3=xy6C.(-2Z?2)2=-4Z?4D.(^)2=a

【思路點(diǎn)撥】A.根據(jù)察的乘方法則進(jìn)行計(jì)算，然后判斷即可；

B.C選項(xiàng)均根據(jù)積的乘方和基下乘方法則進(jìn)行計(jì)算，然后判斷即可；

D.根據(jù)二次根式的定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，然后判斷即可.

【規(guī)范解答】解：A.「(/y此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意;

3.?J(xy2)3=x3y6,...此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.?.?(-2/)2=4凡.?.此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意;

(y)？=a(a..O),.?.此選項(xiàng)的計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意;

故選：D.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了整式和二次根式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握積的乘方法則、塞的乘方

法則和二次根式的性質(zhì).

【變式2］（2024?淮安）計(jì)算：78x^1=2.

【思路點(diǎn)撥】本題需先對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可求出結(jié)果.

【規(guī)范解答】解：忌左,

=2友」應(yīng)，

2

=2.

故答案為：2.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了二次根式的乘除法，在解題時(shí)要能根據(jù)二次根式的乘法法則，求出正確答案

是本題的關(guān)鍵.

【變式3］（2023?海州區(qū)校級(jí)二模）使得二三有意義的尤的取值范圍是x>2

yJx-2

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式，解不等式得到答案.

【規(guī)范解答】解：由題意得：X-2>0,

解得：x>2,

故答案為：x>2.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0是解

題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)5：分母有理化

【例5】（2024?玄武區(qū)二模）下列各數(shù)中，與2+石的積為有理數(shù)的是（）

A.2y/3B.2+73C.-2+GD.-2-^3

【思路點(diǎn)撥】利用二次根式乘法法則判斷即可.

【規(guī)范解答】解：V（2+^）（-2+73）=-4+3=-1,

.?.與2+6的積為有理數(shù)的是-2+^/3,

故選：C.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題了二次根式的乘法，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式1］（2024?秦淮區(qū)校級(jí)模擬）計(jì)算贅一國(guó)的結(jié)果是

0

【思路點(diǎn)撥】原式各項(xiàng)化為最簡(jiǎn)后，合并同類二次根式即可得到結(jié)果.

【規(guī)范解答】解：原式=2近-2b=0,

故答案為：0.

【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了二次根式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【變式2］（2022?鎮(zhèn)江二模）（1）計(jì)算：指+3COS30°+（-3TX」=；

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)的值、負(fù)整數(shù)指數(shù)哥的意義即可求出答案.

（2）根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則以及乘除運(yùn)算法則即可求出答案.

【規(guī)范解答】解：⑴原式=^+3x@+（-3）x在

23

=出+空一也

2

_34

~~T,

（2）原式二i—空匚“m+D

a（a+2）（〃-2）

a+1

=1------

a—2

a—2—a—1

a—2

_3

~~a-2,

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查分式的加減運(yùn)算法則、乘除運(yùn)算法則、特殊角的銳角三角函數(shù)的值、負(fù)整數(shù)指數(shù)塞

的意義，本題屬于基礎(chǔ)題型.

【變式3］（2021?徐州模擬）計(jì)算:

2

(1)+1tan45°-應(yīng)|+(3.14-%)°+2—2；

72

x2+2x+1x

(2)

%2—1X~1

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)、特殊角的銳角三角函數(shù)的值、零指數(shù)塞的意義以及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕

的意義.

（2）根據(jù)分式的減法運(yùn)算法則即可求出答案.

【規(guī)范解答】解：（1）原式=一行+|1-夜l+1+工

=-行+后-1+1+工

4

~4'

（2）原式:.+1）2..........—

（%-1）（X+1）x-1

_x+1X

X—1X—1

x+1-x

x-l

1

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查二次根式的性質(zhì)、特殊角的銳角三角函數(shù)的值、零指數(shù)幕的意義以及負(fù)整數(shù)指數(shù)事

的意義、分式的混合運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

考點(diǎn)6：同類二次根式

【例6】（2024?濱湖區(qū)校級(jí)一模）下列各組二次根式中，化簡(jiǎn)后是同類二次根式的是（）

A.血與4B.也與后C.e與&?D.屏與07

【思路點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式，比較被開方數(shù)，相同即可.

【規(guī)范解答】解：A.a=20與6,被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，不符合題意；

B.及與叵=2屈,被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，不符合題意；

C.與岳,被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，不符合題意；

D.岳=5g與07=3百，被開方數(shù)相同，是同類二次根式，符合題意；

故選：D.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了同類二次根式，掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式1］（2023?廣陵區(qū)校級(jí)四模）下列二次根式中與也是同類二次根式的是（）

A.-712B.RC.gD.718

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)同類二次根式的定義，逐一判斷即可解答.

【規(guī)范解答】解：V712=2^,

JiE與應(yīng)不是同類二次根式，

故A不符合題意;

B、?.

...Jl與血不是同類二次根式,

故5不符合題意；

.?.Jg與應(yīng)不是同類二次根式,

故C不符合題意；

D、?：718=3A/2,

:.屈與近是同類二次根式,

故。符合題意；

故選：D.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了同類二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2021?江都區(qū)校級(jí)模擬）下列二次根式中與若是同類二次根式的是（）

A.712B.J|C.J|D.-718

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)同類二次根式的定義進(jìn)行選擇即可.

【規(guī)范解答】解：A、屈=2百，與/是同類二次根式，故正確；

B、J|=*，與G不是同類二次根式，故錯(cuò)誤；

。、庭*與G不是同類二次根式，故錯(cuò)誤；

D、a=3應(yīng)，與A不是同類二次根式，故錯(cuò)誤；

故選：A.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了同類二次根式，掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式3］（2024?無錫模擬）寫一個(gè)二次根式，使它與虛是同類二次根式，這個(gè)二次根式可以是近（答

案不唯一）.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)同類二次根式的定義即可求得答案.

【規(guī)范解答】解：瓜=2五,

則血的同類二次根式為友,

故答案為：72（答案不唯一）.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查同類二次根式，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵.

【變式4］（2023?鹽都區(qū)三模）若最簡(jiǎn)二次根式向二方與30是同類二次根式，則a=_T_.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的被開方數(shù)相同，可得答案.

【規(guī)范解答】解：由最簡(jiǎn)二次根式Tik與3虛是同類二次根式，得

l—a=2.

解得a=—lj

故答案為：-1.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同的二次

根式稱為同類二次根式.

考點(diǎn)7：二次根式的加減法

【例7】（2024?工業(yè)園區(qū)模擬）下列計(jì)算正確的是（）

A.—3+l=YB.5/12-5/3=3C.x10^x2=x8D.x（x-l）=x2-l

【思路點(diǎn)撥】分別根據(jù)二次根式的加減法，同底數(shù)幕的除法法則，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行解

答即可.

【規(guī)范解答】解：A、3+1=-2,原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、712-73=273-73=73,原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、》1°+/=尤8,正確，符合題意；

D、x（x-l）=x2-x,原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是二次根式的加減法，同底數(shù)暴的除法法則，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，熟知以上

知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式1］（2024?泗陽縣模擬）計(jì)算：72-^8=_-A/2_.

【思路點(diǎn)撥】原式化簡(jiǎn)后，合并即可得到結(jié)果.

【規(guī)范解答】解：原式=0-2&=-0.

故答案為：-叵

【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了二次根式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【變式2］（2023?如東縣一模）計(jì)算07-3??；的結(jié)果是_2下一

【思路點(diǎn)撥】先把各二次根式化為最減二次根式，再合并同類項(xiàng)即可.

【規(guī)范解答】解：原式=34-若

=2上.

故答案為：20.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根

式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變是解答此題的關(guān)鍵.

【變式3】（2。24?浦口區(qū)校級(jí)三模）計(jì)算通的結(jié)果是—苧

【思路點(diǎn)撥】先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)形式，然后合并同類二次根式即可.

【規(guī)范解答】解：原式=+展

=2血+,

V2

=2&+述

2

_7四

—,

2

故答案為：逆.

2

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握如何把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根

式.

考點(diǎn)8：二次根式的混合運(yùn)算

【例8】（2024?新北區(qū)一模）下列計(jì)算正確的是（）

A.（應(yīng)）。=點(diǎn)B.2.73+373=576C.%=4魚D.（2A/3-2）=6-2^

【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)零指數(shù)幕，二次根式的加法法則，二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算,

再得出選項(xiàng)即可.

【規(guī)范解答】解：A.（72）°=1,故本選項(xiàng)不符合題意；

B.26+36=56，故本選項(xiàng)不符合題意;

C.曲=2近，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.A/3(2A/3-2)=^X2^-A/3X2=6-2A/3,故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算和零指數(shù)幕，能靈活運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解

此題的關(guān)鍵.

【變式1](2024?玄武區(qū)一模)計(jì)算JTi-華的結(jié)果是也.

色——

【思路點(diǎn)撥】先算除法，化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式.

【規(guī)范解答】解：原式=30-杼

=342-242

=^2；

故答案為：A/2.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式相關(guān)的運(yùn)算法則.

【變式2](2024?祁江區(qū)校級(jí)三模)(1)計(jì)算：(-1)2-|^-2|+V27-tan300；

3x-4<2x+1

(2)解不等式組：5X+3

----->x

I2

【思路點(diǎn)撥】(1)先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)按照解一元一次不等式組的步驟進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【規(guī)范解答】解：(1)(-1)2-1A/3-21+A/27-tan30°

=--(2-^)+3A/3X^

93

=--2+^+3

9

9

[3x-4-2x+l①

⑵惇'

解不等式①得：x<5,

解不等式②得：x>-l.

.?.原不等式組的解集為：-l<x<5.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了解一元一次不等式組，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地

進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【變式3](2024?惠山區(qū)三模)計(jì)算：

1

(1)-3)°-A/4-tan600+(-2)-；

(2)(x+3)(x-3)-(x-2>.

【思路點(diǎn)撥】(1)先根據(jù)零指數(shù)塞，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則，特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)

實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)先根據(jù)平方差公式及完全平方公式分別計(jì)算出各數(shù)，再合并同類項(xiàng)即可.

【規(guī)范解答】解:(1)(%-3)。-"tan60。+(-2尸

=1-2x73--

2

=1-2A/3--

2

=--2A/3；

2

(2)(X+3)(X-3)-(X-2)2

=x2-9-(x2+4-4x)

=x2—9—x2—4+4x

=4x—13.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，零指數(shù)塞，負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉的運(yùn)算法則，特殊角的三角函

數(shù)值，熟知二次根式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵.

【變式4](2024?常熟市模擬)計(jì)算：(出一1)。+(；尸一囪.

【思路點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn)，然后計(jì)算加減法即可.

【規(guī)范解答】解：(A/3-1)0+(1)-2-A/9

=1+4-3

=2.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算、零指數(shù)累、負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的

關(guān)鍵.

考點(diǎn)9：二次根式的化簡(jiǎn)求值

【例9】（2023?灌云縣校級(jí)模擬）閱讀下面的文字后，回答問題:

小強(qiáng)和小芳解答題目：先化簡(jiǎn)下式，再求值：a+y/l-2a+a2,其中a=9時(shí)，得出了不同的答案.

小強(qiáng)的解答是：原式=a+J(1-a)?=a+(1-a)=1；

小芳的解答是：原式=a+=<2—（1—a）=2<2—1=2x9—1=17.

請(qǐng)你判斷，解答正確的是（）

A.小強(qiáng)B.小芳

C.小強(qiáng)和小芳D.小強(qiáng)與小芳均錯(cuò)誤

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的性質(zhì)：療=|。|，可得答案.

【規(guī)范解答】解:原式=a+=2?-l=2x9-l=17,

,小芳的解答正確,

故選：B.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟記二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式1］（2024?無錫模擬）已知天=百-1,則代數(shù)式V一人-3的值為_-8_.

X

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的乘法法則求出利用分母有理化求出工，代入原式計(jì)算得到答案.

X

【規(guī)范解答】解：=

j__1括+1g+1

X2=(73-1)2=3-273+1=4-2^,

73-1-(73+1)(73-1)-2

AX3=X2-X=（4-2A/3）（A/3-1）=4^-4-6+2A/3=6>/3-10,

貝?。萦?-4x-3=6百-10-4（石-l）-4x立里=6百-10-4代+4-2括-2=-8,

尤2

故答案為：-8.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2023?邳州市一模）（1）先化簡(jiǎn)，再求值：（4一工）十巴匚，其中。=且-1;

aa2

（2）ifM|-21+A/9-20210-2sin30°.

【思路點(diǎn)撥】（1）先計(jì)算分式的混合運(yùn)算，再將字母的值代入計(jì)算;

（2）分別計(jì)算絕對(duì)值，算術(shù)平方根，零次基及代入三角函數(shù)值，再計(jì)算加減法.

【規(guī)范解答】解：（1）原式="」?'=。+1,

aa-1

當(dāng)4=近一1時(shí)，

2

原式=走-1+1=走；

22

（2）|-21+^-2021°-2sin30°

=2+3-l-2xl

2

=4-1

=3.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握分式混合運(yùn)算法則及零次基，三角函數(shù)

值及實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式3】（2022?泗洪縣一模）已知：。=逐+2,Z?=A/5-2,求（a+AX”？+62-。6）的值.

【思路點(diǎn)撥】首先把原式化為（。+6）［（。-6）2+。句，把。=有+2,6=6-2代入原式計(jì)算即可.

【規(guī)范解答】解：原式=（。+6）［（。-6）2+。句，

當(dāng)。=君+2,6=石一2時(shí)，

原式=2指x（16+l）

=34也.

【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，熟練掌握平方差公式及配方法

在整式中的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)10：二次根式的應(yīng)用

［例10］（2023?蘇州模擬）如圖，一塊正方形地磚的圖案是由4個(gè)全等的五邊形和1個(gè)小正方形組成的，

已知小正方形的面積和五邊形的面積相等，并且圖中線段。的長(zhǎng)度為癡-2,則這塊地磚的面積為（