2025中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：實數(shù)及其運算（講義）（解析版）

第01講實數(shù)及其運算（講義）【3大考點16大題型】

知識網(wǎng)絡(luò)

題型1實數(shù)的相關(guān)概念辨析

題型2實數(shù)與數(shù)軸

題型3用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)

題型4估算無理數(shù)

題型5實數(shù)的大小比較

題型6平方根、立方根及非負(fù)性的性質(zhì)

題型7實數(shù)的簡單運算

［題型8數(shù)的簡便運算

考點二實數(shù)的運算）題型9實數(shù)的混合運窠；

題型10實數(shù)的實際應(yīng)用

題型11實數(shù)計算中的規(guī)律問題

/題型12二次根式有意義的條彳釘

題型13二次根式的值）

考點三二次根式卜Y題型14二次根式的混合運笆）

題型15復(fù)合二次根式的化簡）

.題型16二次根式的實際應(yīng)用）

新考向:新考法）

新考向:新趨勢）

特色專項練

新考向:新情境）

■

新考向:跨學(xué)科）

中考真題練

1.實數(shù)的分類

分法一：

”正有理數(shù)

有限小數(shù)或

有理數(shù)30

無限循環(huán)小數(shù)

、負(fù)有理數(shù)

實數(shù)

正無理數(shù)

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無理數(shù)

分法二:

'正實數(shù)

實數(shù)0

負(fù)實數(shù)

2.實數(shù)的相關(guān)概念

(1)數(shù)軸:規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。

(2)相反數(shù)

代數(shù)定義：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。

幾何定義：在數(shù)軸上原點的兩旁，離開原點距離相等的兩個點所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)。

一般地，。和-a互為相反數(shù)。。的相反數(shù)是0。

a=-a所表示的意義是：一個數(shù)和它的相反數(shù)相等。很顯然，a=0o

(3)絕對值

定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)。的點與原點的距離叫做數(shù)。的絕對值，記作同。

一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。

即:如果a>0,那么⑷=a；

如果a=0,那么|a|=0；

如果a<0,那么間=-ao

。=間所表示的意義是：一個數(shù)和它的絕對值相等。很顯然，a>0o

(4)倒數(shù)

定義：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。即：如果。與b互為倒數(shù)，則有。6=1,反之亦成立。

a」所表示的意義是：一個數(shù)和它的倒數(shù)相等。很顯然，。=±1。

a

(5)科學(xué)記數(shù)法

定義：把一個大于10的數(shù)表示成axlO"的形式(其中a大于或等于1且小于10,〃是正整數(shù))，這種記

數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法。小于-10的數(shù)也可以類似表示。

用科學(xué)記數(shù)法表示一個絕對值大于10的數(shù)時，〃是原數(shù)的整數(shù)數(shù)位減1得到的正整數(shù)。

用科學(xué)記數(shù)法表示一個絕對值小于1的數(shù)(axlO-)時，"是從小數(shù)點后開始到第一個不是0的數(shù)為止

的數(shù)的個數(shù)。

(6)近似數(shù)

一般地，一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個數(shù)近似到哪一位，也叫做精確到哪一位。精確到十

分位——精確到0.1；精確到百分位——精確到0.01；…。

3.平方根、算術(shù)數(shù)平方根和立方根

平方根

如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的平方根(或二次方根)。

正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；。的平方根是0;負(fù)數(shù)沒有平方根。

算術(shù)平方根

正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作

正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。

立方根

如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的立方根(或a的三次方根)。

一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；零的立方根是零。

4.實數(shù)的大小比較

(1)數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

(2)求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，a—b>0=a>b;a—b=0=a=b;a—b<0?a<b;

(3)求商比較法：設(shè)a、b是兩正實數(shù)，『1=a>b；卜0a=b；*loa<b；

(4)絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則|a|>|b|oa>b；

(5)平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則a2>b2=a<b.

典例分析1

【題型1實數(shù)的相關(guān)概念辨析】

【例1】(2024?黑龍江大慶?中考真題)下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是()

A.|-2024|^-2024B.2024和募

C.|一2024|和2024D.一2024和七

【答案】A

【分析】本題考查相反數(shù).根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，結(jié)合絕對值的意義逐項判斷即可.

【詳解】解：A、|-2024|=2024和-2024互為相反數(shù)，故A選項符合題意；

B、2024和焉互為倒數(shù)，故B選項不符合題意；

C、1-20241=2024和2024不互為相反數(shù)，故C選項不符合題意；

D、-2024和高;不互為相反數(shù)，故D選項不符合題意；

故選：A.

【變式1-1]（2024?四川雅安?中考真題）將-2,it,0,V2,3.14這6個數(shù)分別寫在6張同樣的卡片上，

從中隨機抽取1張，卡片上的數(shù)為有理數(shù)的概率是.

【答案】|

【分析】本題考查概率的求法與運用，有理數(shù)與無理數(shù)的識別，一般方法：如果一個事件有引種可能，而且

這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)加種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）='.先根據(jù)無理數(shù)的定義

n

得到取到有理數(shù)的有-2,三,0,3.14這4種結(jié)果，再根據(jù)概率公式即可求解.

【詳解】解：將-2,3n，0,V2,3.14這6個數(shù)分別寫在6張相同的卡片上，字面朝下隨意放在桌上，任

取一張，有6種等可能結(jié)果，其中取到有理數(shù)的有-2,]0,3.14這4種結(jié)果，

所以取到有理數(shù)的概率為:=

63

故答案為：

【變式1-2]（2024?山東威海?中考真題）一批食品，標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為每袋454g.現(xiàn)隨機抽取4個樣品進行檢測，

把超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)用正數(shù)表示，不足的克數(shù)用負(fù)數(shù)表示.那么，最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（）

A.+7B.-5C.-3D.10

【答案】C

【分析】本題考查了絕對值的意義，正負(fù)數(shù)的意義，直接利用正負(fù)數(shù)的意義以及絕對值的意義可得最接近標(biāo)

準(zhǔn)是哪一袋.

【詳解】解：：超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)用正數(shù)表示，不足的克數(shù)用負(fù)數(shù)表示.

??-|-3|<|-5|<|+7|<|10|

?1,最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是-3

故選：C.

【變式1-3]（2024?山東淄博?中考真題）下列運算結(jié)果是正數(shù)的是（）

A.3TB.-32C.-|-3|D.-V3

【答案】A

【分析】題考查了正數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運算，絕對值的化簡，乘方，算術(shù)平方根的意義，熟練掌握

運算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)哥的運算，絕對值的化簡，乘方，算術(shù)平方根的意義計算選擇即可.

【詳解】解：A、3T=（是正數(shù)，符合題意；

B、-32=-9是負(fù)數(shù)，不符合題意；

C、-|-3|=一3是負(fù)數(shù)，不符合題意；

D、-百是負(fù)數(shù)，不符合題意；

故選：A.

【題型2實數(shù)與數(shù)軸】

【例2】（2024?山東德州?中考真題）實數(shù)a,b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所，下列結(jié)論正確的是（）

ab

-1012

A.|a|>\b\B.a+b<0

C.a+2〉6+2D.|a—1]>|6-11

【答案】D

【分析】本題主要考查了數(shù)軸與實數(shù)的運算法則，掌握實數(shù)與數(shù)軸的基本知識是解題的關(guān)鍵.根據(jù)點在數(shù)軸

上的位置，判斷數(shù)的大小關(guān)系，不等式的性質(zhì)及絕對值的意義判斷出式子的大小即可.

【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸得a<0<1<6,

|CJ|<a+b>0,a+2<b+2,|a—1|>|b—1|）

故選：D.

【變式2-1]（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）實數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則J（a—b）2_

（6-a—2）的化簡結(jié)果是（）

ItII??1A

-3-2-1012

A.2B.2a-2C.2-2bD.-2

【答案】A

【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，二次根式的性質(zhì)和絕對值的化簡法則，根據(jù)數(shù)軸可得3<a<-2,

0<b<l,,再利用二次根式的性質(zhì)和絕對值的化簡法則，化簡計算即可.

【詳解】解：由數(shù)軸知：3<a<-2,0<6<1,

/.a—h<0,

.*?J(a—b)2—(b-CL-2)

=|a—h|—(/7—a—2)

=-(a—h)—(h—a—2)

=-a+b—b+a+2

=2,

故選：A.

【變式2-2](2024.河北.中考真題)如圖，有甲、乙兩條數(shù)軸.甲數(shù)軸上的二點A,B,。所對應(yīng)的數(shù)依次為

-4,2,32,乙數(shù)軸上的三點。，E,尸所對應(yīng)的數(shù)依次為0,x,12.

ABC

干-4232

DEF

乙0x12

(1)計算A,B,C三點所對應(yīng)的數(shù)的和，并求祭的值；

(2)當(dāng)點A與點￡>上下對齊時，點、B,C恰好分別與點E,尸上下對齊，求x的值.

【答案】(1)30,J

O

(2)x=2

【分析】本題考查的是數(shù)軸上兩點之間的距離的含義，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意是解本題的關(guān)鍵；

(1)直接列式求解三個數(shù)的和即可，再分別計算4B,4C,從而可得答案；

(2)由題意可得，對應(yīng)線段是成比例的，再建立方程求解即可.

【詳解】(1)解：：甲數(shù)軸上的三點A,B,C所對應(yīng)的數(shù)依次為—4,2,32,

二一4+2+32=30,AB=2-(-4)=2+4=6,AC=32-(-4)=32+4=36,

.AB_6_1

，—36-6；

(2)解：：點4與點。上下對齊時，點8,C恰好分別與點E,尸上下對齊，

?.?D-E---D-F,

ABAC

?X12

.?一=-9

636

解得：x=2

【變式2-3](2024?山東威海?中考真題)定義

我們把數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值.數(shù)軸上表示數(shù)a,b的點A,8之間的距離2B=

a-b(a>b).特別的，當(dāng)a20時，表示數(shù)a的點與原點的距離等于a-0.當(dāng)a<0時，表示數(shù)a的點與原

點的距離等于0-a.

應(yīng)用

如圖，在數(shù)軸上，動點A從表示-3的點出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運動.同時，動點8

從表示12的點出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運動.

AB

—?-------------1------------------------------------------------------1——>

-3O12

(1)經(jīng)過多長時間，點A,8之間的距離等于3個單位長度？

(2)求點A,B到原點距離之和的最小值.

【答案】⑴過4秒或6秒

(2)3

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，絕對值的意義等知識，解題的關(guān)鍵是：

(1)設(shè)經(jīng)過尤秒，則A表示的數(shù)為-3+久，2表示的數(shù)為12—2%,根據(jù)“點4,2之間的距離等于3個單位

長度”列方程求解即可；

(2)先求出點A,B到原點距離之和為|—3+0+|12-2劃，然后分x<3,3WxW6,%>6三種情況討論,

利用絕對值的意義，不等式的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)經(jīng)過x秒，則A表示的數(shù)為-3+x,B表示的數(shù)為12-2x,

根據(jù)題意，得|12—2x—(—3+x)|=3,

解得x=4或6,

答，經(jīng)過4秒或6秒，點A,B之間的距離等于3個單位長度；

(2)解：由(1)知：點A,2到原點距離之和為|—3+幻+|12—2幻，

當(dāng)工<3時，|一3+幻+|12—2幻=3—x+12—2%=15—3x,

Vx<3,

.*.15-3%>6,BP|-3+x|+|12-2x|>6,

當(dāng)3WxW6時，|-3++|12-2x|=x-3+12-2x=9-x,

V3<%<6,

A3<9-x<6,即3W|-3+x|+|12-2x|<6,

當(dāng)x>6時，1-3+%|+|12-2x|=%-3+2x-12=3x-15,

Vx>6,

.*.3x-15>3,即|-3+x|+|12—2久|>3,

綜上，|—3+x\+112—2x\>3,

.?.點A,B到原點距離之和的最小值為3.

【題型3用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)】

【例3X2024?山東濟南?中考真題）截止2023年底，我國森林面積約為3465000000畝，森林覆蓋率達(dá)到24.02%,

將數(shù)字3465000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0,3465X109B.3.465x109C.3.465X108D.34.65X108

【答案】B

【分析】此題主要考查了科學(xué)記數(shù)法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax的形式，其中l(wèi)W|a|<10,”為整

數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，w的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)

原數(shù)絕對值大于等于10時，”是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，”是負(fù)數(shù).

根據(jù)科學(xué)記數(shù)法定義，這里a=3.465,n=9.

【詳解】3465000000=3.465x109.

故選：B.

【變式3-1］（2024?山東威海?中考真題）據(jù)央視網(wǎng)2023年10月11日消息，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國科學(xué)院

量子創(chuàng)新研究院與上海微系統(tǒng)所、國家并行計算機工程技術(shù)研究中心合作，成功構(gòu)建了255個光子的量子

計算原型機“九章三號”，再度刷新了光量子信息的技術(shù)水平和量子計算優(yōu)越性的世界紀(jì)錄.“九章三號”處理

高斯玻色取樣的速度比上一代“九章二號”提升一百萬倍，在百萬分之一秒時間內(nèi)所處理的最高復(fù)雜度的樣

本，需要當(dāng)前最強的超級計算機花費超過二百億年的時間.將“百萬分之一”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1x10-5B.1x10-6c.lx］.。-D.1x10-8

【答案】B

【分析】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù)，一般形式為ax

10~n,其中l(wèi)W|a|<10,n為整數(shù).

【詳解】解：百萬分之一=-="1。-6.

故選：B.

【變式3-2］（2024.山東淄博?中考真題）我國大力發(fā)展新質(zhì)生產(chǎn)力，推動了新能源汽車產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展.據(jù)

中國汽車工業(yè)協(xié)會發(fā)布的消息顯示.2024年1至3月，我國新能源汽車完成出口30.7萬輛.將30.7萬用科

學(xué)記數(shù)法表示為3.07X10B則n的值是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10幾的形式，其中1<|a|<10,〃為整數(shù),

確定”的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，”的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，

【詳解】解：30.7萬=307000=3.07X1。5,

則n=5,

故選：B.

【變式3-3]（2024?四川廣元?中考真題）2023年10月諾貝爾物理學(xué)獎授予二位“追光”科學(xué)家，以表彰他們“為

研究物質(zhì)中的電子動力學(xué)而產(chǎn)生阿秒光脈沖的實驗方法”.什么是阿秒？1阿秒是10T8秒，也就是十億分之

一秒的十億分之一.目前世界上最短的單個阿秒光學(xué)脈沖是43阿秒.將43阿秒用科學(xué)記數(shù)法表示為秒.

【答案】4.3X10T7

【分析】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為ax10-%解題的關(guān)鍵是熟知1W|a|<10.根

據(jù)題意可知，43阿秒=43xIO-*秒，再根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法表示出來即可.

【詳解】解：根據(jù)題意1阿秒是IO-，秒可知，

43阿秒=43x10T8=4.3xICT"秒,

故答案為：4.3X10-17.

【題型4估算無理數(shù)】

【例4】（2024.河北?中考真題）已知a,6,w均為正整數(shù).

（1）若n<V10<n+1,則n=；

（2）若n-1<Va<n,n<Vb<n+1,則滿足條件的a的個數(shù)總比b的個數(shù)少個.

【答案】32

【分析】本題考查的是無理數(shù)的估算以及規(guī)律探究問題，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵；

（1）由3<VTU<4即可得到答案；

（2）由n—1,n,n+1為連續(xù)的三個自然數(shù)，n—1<y/a<n,n<Vb<n+1,可得—1尸<\[a<

后<VF<V（n+1）2,再利用完全平方數(shù)之間的數(shù)據(jù)個數(shù)的特點探究規(guī)律即可得到答案.

【詳解】解：（1）：3<4,而71<n+1,

.*.n=3；

故答案為：3；

（2）?:a,b,〃均為正整數(shù).

/.n—1,n,n+1為連續(xù)的三個自然數(shù)，而ri-1<<VF<n+1,

.'.y/（n—I）2<4a<Vz?,Vn2<&<yj（ji+l）2,

觀察0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,……,

而02=0,F=i,22=4,32=9,42=16,

（n-1）2與"之間的整數(shù)有（2n-2）個，

"與（71+1）2之間的整數(shù)有2/1個，

滿足條件的a的個數(shù)總比b的個數(shù)少2n-（2n—2）=2n—2n+2=2（個）,

故答案為:2.

【變式4-1］（2024.重慶?中考真題）己知小=內(nèi)一次，則實數(shù)小的范圍是（）

A.2<m<3B.3<m<4C.4<m<5D.5<m<6

【答案】B

【分析】此題考查的是求無理數(shù)的取值范圍，二次根式的加減運算，掌握求算術(shù)平方根的取值范圍的方法是

解決此題的關(guān)鍵.先求出m=g-g=V豆，即可求出川的范圍.

【詳解】解：,.,爪=何一曰=3百一遮=2舊=值，

V3<V12<4,

3<m<4,

故選：B.

【變式4-2］（2024.重慶?中考真題）估計g（魚+百）的值應(yīng)在（）

A.8和9之間B.9和10之間C.10和11之間D.11和12之間

【答案】C

【分析】本題考查的是二次根式的乘法運算，無理數(shù)的估算，先計算二次根式的乘法運算，再估算即可.

【詳解】解：?.?g（a+V3）=2V6+6,

而4<V24=2V6<5,

.*.10<2V6+6<11,

故答案為：C

【變式4-3】（2024.江蘇鹽城?中考真題）對于整數(shù)”，定義［?。轂椴淮笥趥淖畲笳麛?shù)，例如：［J司=1,

第一次第二次

［遙］=2,［g］=3,對26進行如下操作：26-?［V26］=51［伺=2,即對26進行2次操作后變?yōu)?.若

對整數(shù)a進行2次操作后變?yōu)?,貝b的最大值為（）

A.256B.255C.81D.80

【答案】B

【分析】本題考查了估算無理數(shù)的大小，［訴］的定義，由［迎］的定義為不大于低的最大整數(shù)，熟知估算無理

數(shù)大小的方法是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、第一次W芯司=16,第二次［”司=4,故A不符合題意；

B、第一次［J西=15,第二次［詞=3,255是最大整數(shù)，故B符合題意；

C、第一次［河=9,第二次［啊=3,81不是最大整數(shù)，故C不符合題意；

D、第一次［恂］=8,第二次［傷］=2,故D不符合題意；

故選：B.

【題型5實數(shù)的大小比較】

【例5】（2024?山東?中考真題）下列實數(shù)中，平方最大的數(shù)是（）

A.3B.|C,-1D.-2

【答案】A

【分析】本題考查的是實數(shù)的大小比較，乘方運算，先分別計算各數(shù)的乘方，再比較大小即可.

【詳解】解：..甘=9,（》2=3（—1）2=1,（—2）2=4,

而工<1<4<9,

4

平方最大的數(shù)是3；

故選A

【變式5-1］（2024?山東威海.中考真題）下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.-2B.—（—2）C.——D.—V2

【答案】A

【分析】本題考查了實數(shù)的大小比較，根據(jù)實數(shù)的大小比較即可求解.

【詳解】解：一（一2）=2,

V-2<-V2<-j<-（-2）

最小的數(shù)是一2

故選：A.

【變式5-2］（2024.安徽?中考真題）我國古代數(shù)學(xué)家張衡將圓周率取值為同，祖沖之給出圓周率的一種分

數(shù)形式的近似值為彳.比較大?。篤io彳（填“>”或.

【答案】>

【分析】本題考查的是實數(shù)的大小比較，先比較兩個正數(shù)的平方，從而可得答案.

【詳解】解：??信）2=黑（沏2=10=答,

484490

而—V—，

4949

，傳￥<（畫）1

/.Vi0>y；

故答案為：>

【變式5-3]（2024?云南?中考真題）已知拋物線y=x2+bx—1的對稱軸是直線i=|.設(shè)m是拋物線y=x2

bx-1與％軸交點的橫坐標(biāo)，記M=I、

（1）求b的值；

（2）比較M與手的大小.

【答案】（l）b=-3

（2）當(dāng)M=\亙時，M>~當(dāng)M=\亙時，手.

【分析】⑴由對稱軸為直線％=-餐直接求解;

2a

（2）當(dāng)“=平時,”>手；當(dāng)"=手時,M（手.

【詳解】（1）解：.拋物線y=/+法一1的對稱軸是直線x=|,

,匕_3

??——9

2X12

b=—3；

(2)解：:??!是拋物線y=x2+bx-1與久軸交點的橫坐標(biāo),

Am2—3m—1=0,

Am2—1=3m,

/.m4—2m2+1=9m2,

m4=11m2—1,

而血2-3m+i

代入得：m4=ll(3m+1)-1=2=33m+10,

Am5=m-m4=(33m+10)m=33m2+10m=33(3m+1)+10m=109m+33,

s

.：.mM-=33---10-9-m+-3-3-33=m,

109109

Vm2—3m—1=0,

3±V13

解得:m=-------

2

3+713n...V133+V13g3、八

當(dāng)M=m=----時，M-------=----------------=->0

22222

???M呼

.,V133-V13V133-2V13/

當(dāng)M=m=手時,M-------——=--------<0n

2222

???””

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱軸公式，與X軸交點問題，解一元二次方程，無理數(shù)的大小比較，解題

的關(guān)鍵是對爪5進行降次處理.

【題型6平方根、立方根及非負(fù)性的性質(zhì)】

【例6】（2024?廣東深圳?中考真題）如圖所示，四邊形4BCD,DEFG,GHIJ均為正方形,且S正方形謝。=以

S正方形GH4=1，則正方形DEFG的邊長可以是.（寫出一個答案即可）

E—

H-i/

/DGJ

【答案】2（答案不唯一）

【分析】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，無理數(shù)的估算.利用算術(shù)平方根的性質(zhì)求得4B=CD=同，GH=

GJ=1,再根據(jù)無理數(shù)的估算結(jié)合GH<DE<CD,即可求解.

【詳解】解：：S正方形/BCD=13

：.AB=CD=V10,

正方形GH〃=1，

AGH=GJ=1,

V3<V10<4,即3<CD<4,

，正方形DEFG的邊長GH<DE<CD,即1<DEW3,

正方形DEFG的邊長可以是2,

故答案為：2（答案不唯一）.

【變式6-1］（2024?浙江寧波?中考真題）-8的立方根是.

【答案】-2

【分析】根據(jù)立方根的定義進行求解即可得.

【詳解】解：V（-2）3=-8,

/--8的立方根是-2,

故答案為-2.

【點睛】本題考查了立方根的定義，熟練掌握立方根的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2］（2024?四川成都?中考真題）若小，n為實數(shù)，且（爪+47+而再=0,貝式山+點下的值為.

【答案】1

【分析】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)平方式和算術(shù)平方數(shù)的非負(fù)數(shù)求得機、〃值，進而代值求解即可.

【詳解】解：,??（巾+4）2+Vn^5=0,

m+4=0,71—5=0,

解得巾=-4,n=5,

（m+n）2—（—4+5）2=1,

故答案為：1.

【變式6-3】（2024?湖南婁底?一模）已知x,y為整數(shù)，y=V%+1011-Vx-1012,貝！jy的最小值是.

【答案】1

【分析】本題考查了算術(shù)平方根非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及因式分解的應(yīng)用，主要利用了被開方數(shù)大于等于0.

根據(jù)被開方數(shù)大于等于。設(shè)x-1012=a?（a為非負(fù)整數(shù)），設(shè)a?+2023=爐，運用平方差公式分解因式

再計算即可得解.

【詳解】解：,：為整數(shù)，y=V%+1011-V%-1012,

Vx+1011>0,Vx-1012>0,

即％+1011>0,x-1012>0,

x>1012,

設(shè)x-1012=a2（a為非負(fù)整數(shù)），

???％=Q?+1012,

???y=Va2+2023—a,

設(shè)小+2023=b2,

y=b—a,

???2023=b2-a2,即27x119=(b+a)(b-a)或7x289=(b+a)(Z?-a),

.-.(Va=*①或｛*a=289②或巴a=2023,

lb—a=17(6—a=7(b—a—1

???b-a=17或7或1,

則y的最小值是1,

故答案為：1

考點二N實數(shù)的運算一。|

知識導(dǎo)航

1.實數(shù)的運算法則

加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對

值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；一個數(shù)同0相

加，仍得這個數(shù)。

加法運算律：①交換律a+b=b+a-,②結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c).

減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)。即：a-b=a+(-b).

乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。任何數(shù)與0相乘，都得0。

乘法運算律：①交換律a6=ba；②結(jié)合律(ab)c=a(6c)；③分配律。(6+c)=a6+ac。

除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。即：a3=a=。

兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。

2.實數(shù)的運算順序

先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。

實數(shù)范圍內(nèi)混合運算的順序：①先乘方開方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如

有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。■…

3.常見的幾種實數(shù)運算

(1)乘方

定義：求〃個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方。乘方的結(jié)果叫做事。

如：屋二〃?〃?????〃讀作〃的幾次方（皋），在〃〃中，Q叫做底數(shù)，兒叫做指數(shù)。

<__、，____j

〃個a

性質(zhì)：負(fù)數(shù)的奇次塞是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次塞是正數(shù)；正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次累都

是Oo

（2）零指數(shù)幕：a°=l（a^0）.

（3）負(fù)整數(shù)指數(shù)需V*（a/）,p為正整數(shù)）.

典例分析

【題型7實數(shù)的簡單運算】

【例7】（2024?浙江杭州?中考真題）計算下列各式，值最小的是（）

A.2x0+1-9B.2+0x1-9C.2+0-1X9D.2+0+1-9

【答案】A

【分析】根據(jù)實數(shù)的運算法則，遵循先乘除后加減的運算順序即可得到答案.

【詳解】根據(jù)實數(shù)的運算法則可得：A.2義0+1—9=—8；B.2+0x1-9=-7；C.2+0-1x9=-7；D.2+

0+1-9=-6；故選A.

【點睛】本題考查實數(shù)的混合運算，掌握實數(shù)的混合運算順序和法則是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1]（2024.內(nèi)蒙古鄂爾多斯.中考真題）計算：『+（2021—兀）。+（/—1X）—1=.

【答案】-4

【分析】根據(jù)立方根、零指數(shù)塞、負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的運算法則即可求解.

【詳解】解：原式=—2+1+（—3）

=-5+1

=—4.

故答案為：-4

【點睛】本題考查了立方根、零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、實數(shù)的混合運算等知識點，熟知上述的各種運算法

則是解題的基礎(chǔ).

【變式7-2]（2024?湖南湘西?中考真題）按照如圖的操作步驟，若輸入x的值為2,則輸出的值是—.（用

科學(xué)計算器計算或筆算）

輸入x[=>|平方|=>|乘以3]=>|減去10]=>|輸出

【答案】2

【詳解】【分析】將x=2代入程序框圖中計算即可得到結(jié)果.

【詳解】將x=2代入得：

3x22-10=12-10=2,

故答案為2.

【點睛】本題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

【變式7-3].(2024?黑龍江綏化?中考真題)定義一種新的運算：如果a豐0.則有ab=a-2+ab+\-b\,

那么(一》團2的值是()

A.-3B.5C.--D.-

42

【答案】B

【分析】根據(jù)題意列出算式，求解即可

【詳解】：a回b=a~2+ab+\—b\

11,1

2

,,(__)02=(--)-+(--)x2+|-2|

=4-1+2

=5.

故選B.

【點睛】本題考查了新定義運算、負(fù)指數(shù)幕的運算，絕對值的計算，解決本題的關(guān)鍵是牢記公式與定義，本

題雖屬于基礎(chǔ)題，但其計算中容易出現(xiàn)符號錯誤，因此應(yīng)加強符號運算意識，提高運算能力與技巧等.

【題型8數(shù)的簡便運算】

【例8】(2024?四川內(nèi)江?中考真題)對于正數(shù)尤，規(guī)定〃久)=三，例如：f(2)=魯=3

XT1ZTI3\Zz—+13

2

〃3)=景甘，苔=%計算：f島)+，島)+誦人?+嗚+屋)+，⑴+〃2)+

3

/(3)+…+1(99)+/(100)+/(101)=()

A.199B.200C.201D.202

【答案】C

I分析]通過計算f⑴=1,7(2)+/(1)=2,f(3)+fG)=2,…可以推出f(總+f島)+f閡+…+

/(1)+/(1)+/(I)+/(2)+7(3)+-+"99)+/(100)+〃101)結(jié)果.

【詳解】解：???/(1)=上==

4

〃2)=

1+2

2x33小2xq1/1\

日中R/寇力⑶"(6

/(100)==—,/(—)==—,7(100)+/(—)=2,

7v71+100101Jv10071+—101Jk77v1007

100

f島)+f島)+f(1)+?11+/(1)+/(f)+/(l)+/(2)+”3)+???+f(99)+f(100)+f(101)

=2x100+1

=201

故選：C.

【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則，找到數(shù)字變化規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.

【變式8-1](2024?河北唐山?三模)與3952+2x395x5+52相等的是()

A.(395-5)2B.(395+5)(395—5)

C.(395+5)2D.(395+10)2

【答案】C

【分析】此題考查完全平方公式進行因式分解，根據(jù)完全平方公式因式分解即可得答案.

【詳解】解：3952+2x395X5+52=(395+5)2,

故選：C.

【變式8-2](2024.河北唐山.一模)數(shù)學(xué)課上老師出一道題，用簡便方法計算2962的值，喜歡數(shù)學(xué)的小亮舉

手做出了這道題，他的解題過程如下：

2962=(300—4)2第一步

=3002-2x300x(-4)+4?第二步

=90000+2400+16第三步

=92416第四步

老師表揚小亮積極發(fā)言的同時，也指出了解題中的錯誤.

(1)你認(rèn)為小亮的解題過程中，從第步開始出錯.

(2)請你寫出正確的解題過程.

【答案】（1）二；（2）87616

【分析】（1）直接利用完全平方公式判斷得出答案；

（2）利用完全平方公式計算得出答案.

【詳解】解：（1）從第二步開始出錯；完全平方公式的中間項的-4應(yīng)該是4.

故答案為二；

（2）正確的解題過程是：2962=（300-4）2

=3002-2x300X4+42

=90000-2400+16

=87616.

【點睛】此題主要考查了完全平方公式，正確運用公式是解題關(guān)鍵.

【變式8-3］（2024?河北?中考真題）請你參考黑板中老師的講解，用運算律簡便計算:

利用運算律有時菖繼行簡便計算。

例198x12=(100-2)X12=1200-24=1176

例2-16x233+17x233=(-16+17)'233=233

(1)999x(-15)；

412

(2)999x118-+999x(--)-999x18-.

555

【答案】(1)-14985；(2)99900.

【分析】(1)根據(jù)題目中所給的規(guī)律，運用湊整法求解即可;

(2)根據(jù)題目中所給的規(guī)律，運用提同數(shù)法解決即可.

【詳解】解：(1)999x(-15)

=(1000-1)x(-15)

=15-15000

=-14985;

412

(2)999x118-+999x(--)-999x118-

555

=999x[118-4+(--1)-a181]

=999x100

=99900.

【題型9實數(shù)的混合運算】

【例9】(2024?山東濟南?中考真題)計算：V9-(TT-3.14)°+Q)1+|A/3|-2cos30°.

【答案】6

【分析】本題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)累、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)事的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)幕的性質(zhì)進行化簡，然后根據(jù)實數(shù)運算法則進

行計算即可

【詳解】解：原式=3—l+4+K-2xf=6.

【變式9-1](2024?四川廣安?中考真題)計算：g-3)°+2sin60°+|V3-2|-g)-1.

【答案】1

【分析】先計算零次幕，代入特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，計算負(fù)整數(shù)指數(shù)累，再合并即可.

【詳解】解：C—3)+2sin60°+|V3—2|—(1)

V3廠

=1+2X——F2-V3-2

=1+V3+2-V3-2

=1

【點睛】本題考查的是含特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，零次賽，負(fù)整數(shù)指數(shù)哥的含義，化簡絕對值，掌

握相應(yīng)的運算法則是解本題的關(guān)鍵.

【變式9-2](2024.河北?中考真題)有個填寫運算符號的游戲：在“1口2口6口9”中的每個口內(nèi)，填入+,—,x,

+中的某一個(可重復(fù)使用)，然后計算結(jié)果.

(1)計算：1+2-6-9；

(2)若請推算1+2義6口9=一6,請推算□內(nèi)的符號；

(3)在“1口2口6-9”的口內(nèi)填入符號后，使計算所得數(shù)最小，直接寫出這個最小數(shù).

【答案】(1)-12；(2)-；(3)-20,理由詳見解析.

【分析】(1)根據(jù)有理數(shù)的加減法法則解答即可；

(2)根據(jù)題目中式子的結(jié)果，可以得到□內(nèi)的符號；

(3)先寫出結(jié)果，然后說明理由即可.

【詳解】(1)1+2-6-9=3-6-9=-3-9=-12；

(2)V1-2X6D9=-6,，lx之義6口9=-6,二3口9=-6,口內(nèi)的符號是"-

(3)這個最小數(shù)是-20,理由：?在“1口2口6-9”的口內(nèi)填入符號后，使計算所得數(shù)最小，口2口6的結(jié)果是

負(fù)數(shù)即可，.,門口2口6的最小值是1-2x6=-11,口2口6-9的最小值是-11-9=-20,.,.這個最小數(shù)是-

20.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，明確有理數(shù)混合運算的計算方法是解答本題的關(guān)鍵.

【變式9-3】(2024.貴州.中考真題)(1)在①22,②|一2|,③(一1)°，④2X2中任選3個代數(shù)式求和；

(2)先化簡，再求值：(/—1),土，其中x=3.

2x4-2

【答案】(1)見解析(2)號，1

【分析】本題考查分式的化簡求值和實數(shù)的混合運算，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)利用實數(shù)的混合運算的法則和運算順序解題即可；

(2)先把分式的分子、分母分解因式，然后約分化為最簡分式，最后代入數(shù)值解題即可.

【詳解】(1)解：選擇①，②，③，

22+\-2\+(-1)°

=4+2+1

=7；

選擇①，②，④，

,1

22+|-2|+—x2

=4+2+1

=7；

選擇①，③，④，

1

22+(-1)°+-X2

=4+1+1

=6；

選擇②，③，④，

1

|-2|+(-l)°+-x2

=2+1+1

=4；

1

=（-1）,而而

=-x-1-

2，

當(dāng)x=3時，原式=（1=1.

【題型10實數(shù)的實際應(yīng)用】

【例10]（2024?湖南長沙.一模）五一返校上課后，為了表揚在假期依舊認(rèn)真完成數(shù)學(xué)作業(yè)的小函和小韜同

學(xué)，數(shù)學(xué)老師決定在某外賣平臺上點2杯單價都是16元的奶茶獎勵他們.從奶茶店到學(xué)校的每份訂單配送

費都為1.6元，由于數(shù)學(xué)老師是該平臺的會員，因此每單都可以使用一個平臺贈送的5元平臺紅包對每份訂

單的總價減免5元（訂單總價不含配送費，同一訂單只允許使用一個紅包）.但根據(jù)該奶茶店的優(yōu)惠活動,

當(dāng)訂單總價（不含配送費）滿30元時，5元的平臺紅包可兌換為一個7元的店家紅包，即可以給訂單總價

（不含配送費）減免7元當(dāng)數(shù)學(xué)老師同時點了2杯奶茶準(zhǔn)備下單付款時，小函同學(xué)說：“老師，我們可以換

一種下單方式，優(yōu)惠更多！”請同學(xué)們分析小函同學(xué)的下單方式，并計算出本次外賣總費用（包含配送費）

最低可為元.

【答案】25.2

【分析】分別計算兩種下單的方式，比較哪一種總費用更低即可.

【詳解】第一種下單方式為直接購買兩杯奶茶

合計費用為：16+16+1.6—7=26.6元

第二種下單方式為下兩個訂單，每個訂單買一杯奶茶

合計費用為：（16+1.6-5）x2=25.2元

故選擇第二種更劃算，最低費用為25.2元

故答案為：25.2.

【點睛】本題考查了實數(shù)運算的實際應(yīng)用，分類討論是解題的關(guān)鍵.

【變式10-1】（2024?四川達(dá)州?中考真題）生活中常用的十進制是用0~9這十個數(shù)字來表示數(shù)，滿十進一，

例：12=1x10+2,212=2x10x10+1x10+2；計算機也常用十六進制來表示字符代碼，它是用

0~9來表示0~15,滿十六進一，它與十進制對應(yīng)的數(shù)如下表：

十進制012891011121314151617

十六進制01289ABCDEF1011

例：十六進制28對應(yīng)十進制的數(shù)為2x16+11=43,10C對應(yīng)十進制的數(shù)為1x16x16+0x16+12=

268,那么十六進制中14E對應(yīng)十進制的數(shù)為（）

A.28B.62C.238D.334

【答案】D

【分析】在表格中找到字母E對應(yīng)的十進制數(shù)，根據(jù)滿十六進一計算可得.

【詳解】由題意得，十六進制中14E對應(yīng)十進制的數(shù)為：1x16x16+4x16+14=334,

故選D.

【點睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握十進制與十六進制間的轉(zhuǎn)換及有理數(shù)的混合運

算順序和運算法則.

【變式10-2】（2024.內(nèi)蒙古呼和浩特.中考真題）“書法藝求課”開課后，某同學(xué)買了一包紙練習(xí)軟筆書法，

且每逢星期幾寫幾張，即每星期一寫1張，每星期二寫2張，……，每星期日寫7張，若該同學(xué)從某年的5

月1日開始練習(xí)，至！15