北師大版八年級數(shù)學(xué)常見題型專練：認(rèn)識無理數(shù)與平方根 （6種題型） （解析版）

第04講認(rèn)識無理數(shù)與平方根（6種題型）

一、無理數(shù)

無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)

常見的無理數(shù)類型：

（1）一般的無限不循環(huán)小數(shù)，$□：1.41421356???

（2）看似循環(huán)而實(shí)際不循環(huán)的小數(shù)（有規(guī)律），如0.1010010001???（相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次加

1）；0.12345678???（連續(xù)不斷地依次寫正整數(shù)）。

（3）有特定意義的數(shù)，如：〃=3.14159265???

二、平方根和算術(shù)平方根的概念

1.算術(shù)平方根的定義

如果一個正數(shù)x的平方等于a,即必=。，那么這個正數(shù)x叫做。的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是

0）；。的算術(shù)平方根記作讀作“。的算術(shù)平方根”，。叫做被開方數(shù).

要點(diǎn)：當(dāng)式子后有意義時(shí)，。一定表示一個非負(fù)數(shù)，即行20,a>0.

2.平方根的定義

如果f=a,那么x叫做。的平方根（也叫二次方根）。求一個數(shù)。的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.平方與開

平方互為逆運(yùn)算.a（。20）的平方根的符號表達(dá)為土&（a?0）,其中&是。的算術(shù)平方根.

三、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系

1.區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：土G和

2.聯(lián)系：

（1）平方根包含算術(shù)平方根；

（2）被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；

（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0.

要點(diǎn)：

（1）正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，其中正的那個叫它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒有平方根.

（2）正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一個平方根.因此，我們可以

利用算術(shù)平方根來研究平方根.

四、平方根的性質(zhì)

aa>0

=\a\=<0a=0

-aa<Q

(&)=a(a>0)

五、平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動規(guī)律

被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.例如:

J62500=250,7625=25,A/625=2.5,Jo.0625=0.25.

一/【考點(diǎn)剖析】

題型一：無理數(shù)的概念

例1.下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是()

qoTT

A.-6.94B.—C.0D.—

72

【解答】解：4-6.94是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；

8、型是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；

7

c、。是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；

D、2L是無理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意.

2

故選：D.

【變式】在3.14,2旦，-1.5,m罵中，是無理數(shù)的數(shù)是n.

137

【解答】解：在3.14,2旦，-1.5,n,卷■中，是無理數(shù)的數(shù)是IT.

137

故答案為：K.

題型二、平方根和算術(shù)平方根的概念

例2、若2m—4與—1是同一個正數(shù)的兩個平方根，求加的值.

【答案與解析】

解：依題意得2加一4=—(3m—1),解得機(jī)=1；二機(jī)的值為1.

【變式1】下列說法錯誤的是()

A.5是25的算術(shù)平方根B.1是1的一個平方根

C.(—4)2的平方根是一4D.0的平方根與算術(shù)平方根都是0

【答案】C；

A.因?yàn)楹?5,所以本說法正確；

B.因?yàn)橥罦I=±1,所以1是1的一個平方根說法正確；

C因?yàn)椤?（—4『=±而=±4,所以本說法錯誤；

D.因?yàn)橥罜=0,=0,所以本說法正確；

【變式2】判斷下列各題正誤，并將錯誤改正：

（1）—9沒有平方根.（）

（2）716=±4.（）

（3）（―\）2的平方根是±，.（）

24

（4）——是一的算術(shù)平方根.（）

525

【答案】V；X；V；X,

提示：（2）716=4；（4）2是士的算術(shù)平方根.

525

【變式3】已知2。-1與一a+2是根的平方根，求刑的值.

【答案】2a—1與一a+2是機(jī)的平方根，所以2a—1與一a+2相等或互為相反數(shù).

解:①當(dāng)2a—1=—a+2時(shí)，a=1,所以機(jī)=（2a—=（2x1—1）~=1

②當(dāng)2a—1+（—a+2）=0時(shí)，a=-l,所以（2a—=[2x（—1）—=（—3y=9

例3、填空：

（1）—4是的負(fù)平方根.

（2）、上表示的算術(shù)平方根，J-1-

V16----V16

‘工的算術(shù)平方根為

(3)

81

(4)若J^=3,則％=，若=3,則％=

【答案與解析】（1）16；⑵⑶!（4）9；+3

1643

【變式1】下列說法中正確的有():

③3是9的平方根.②9的平方根是3.

③4是8的正的平方根.④-8是64的負(fù)的平方根.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B；

提示：①④是正確的.

【變式2】亞的平方根是.

【答案】土3.

解：因?yàn)閬?9,9的平方根是±3,所以答案為±3.

例4.x為何值時(shí)，下列各式有意義？

(1)yjX2；(2)Jx—4；(3)y/x+1+A/1—x；(4)).

x-3

【答案與解析】

解：(1)因?yàn)閒之o,所以當(dāng)X取任何值時(shí)，正都有意義.

(2)由題意可知：%-4>0,所以x?4時(shí)，病N有意義.

(3)由題意可知：<解得：—所以—lWxWl時(shí)/—+1+J1—x有意義.

l-x>0

(4)由題思可知：\,解得％21且%W3.

x—3w0

\1X—1

所以當(dāng)且無w3時(shí)^——有意義.

x-3

【變式11使代數(shù)式有意義的％的取值范圍是

【答案】X，—1；

【解析】X+1N0,解得xN—1

【變式2］已知6=4j3a—2+2^2—3a+2,求工+」的算術(shù)平方根.

ab

3tz-2>0,,21131c

【答案】解：根據(jù)題意，得《貝!=—，所以Z7=2,—I—=—I—=2,

2so.3ab22

.?.4+工的算術(shù)平方根為、口+工=0.

abNab

題型三、平方根的運(yùn)算

例5、求下列各式的值.

(1)A/252-242.A/32+42；⑵—.

【答案與解析】

解：(1)1252—242.)32+42=聞.后=7x5=35；

(2)J20---7036--^/900=J—--xO.6--x3O=--0.2-6=-1.7.

V435V4352

題型四、利用平方根解方程

例6、求下列各式中的x值，

(1)169x2=144(2)(x-2)2-36=0.

【答案與解析】

解：(1)169x2=144,

_144

X2=---，

169

(2)(x-2)2-36=0,

(x-2)=36,

x-2二±^/§^,

x-2二±6,

?*.x=8或x=-4.

【總結(jié)升華】本題考查了平方根，注意一個正數(shù)的平方根有兩個，他們互為相反數(shù).

【變式1】求下列各式中的X.

(1)%2-361=0;(2)(%+1)2=289；

(3)9(3X+2)2-64=0

【答案與解析】

解：(1)x"—361=0

/.%2=361

x=±A/361=±19

(2)V(x+1)2=289

x+1=±J289

%+1=±17

x=16或％=—18.

(3)V9(3X+2)2-64=0

?,>(3X+2)2

Q

3x+2=i-

3

2T14

x=—=----

99

【變式2】求x的值：1(x-2)2=4.

9

【答案】解：：工(x-2)2%

9

?.(x-2)2=36,

/.X-2=6或x-2=-6,

解得：xi=8,x2=-4.

題型五、平方根的綜合應(yīng)用

例7.若x,y為實(shí)數(shù),且滿足-]+ly-[|二0,求J4J+4xy+y2的值.

【答案與解析】

解:l-v^TT+iy4l=0,

._i、,」

??XY——fy———,

42

貝IJ原式=小義1]+4x；xg+出=(+?=L

【變式1】若，1+廳萬=。,求必。"+/。12的值.

【答案】

解：由&-1+77m=0,得/-1=0,y+l=0,即1=土1,y=-l.

①當(dāng)X=l,y=—1時(shí)，必°"+f2012=12011+(—1)2012=2.

②當(dāng)X=—1,y=—1時(shí)，鏟"+產(chǎn)2=(—1嚴(yán)1+(—1嚴(yán)2=0.

【變式2】已知。2=[6,|-b|=3,解下列問題：

(1)求a-b的值；

(2)若|o+b|=a+b,求o+b的平方根.

【解答】解：(1)Va2=16,|-b|=3,

?"=±4,b=±3.

???當(dāng)o=4,b=3,貝U。-b=4-3=1；

當(dāng)o=4,b=-3,貝Io-b=4-(-3)=7；

當(dāng)a=-4,b=3,貝！)a-b=-4-3=-7；

當(dāng)a=-4,b=-3,貝！Ja-b=-4-(-3)=-1.

綜上：o-b=±l或±7.

(2)V|a+b|=a+b9

a+fa^O.

a+b—1或7.

???當(dāng)a+b=l時(shí)，o+b的平方根為±1；

當(dāng)a+b=7時(shí)，o+b的平方根為土

綜上：a+b的平方根為±1或土五.

例8、小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm-的長方形紙片

使它長寬之比為3:2,請你說明小麗能否用這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片.

【答案與解析】

解：設(shè)長方形紙片的長為3x(x>0)cm,則寬為依題意得

3x-2x=300.6x2=300.x2=50.

x>0,x-A/50.

長方形紙片的長為3回

50>49,V50>7.

...3750>21,即長方形紙片的長大于20c〃z.

由正方形紙片的面積為400cm2,可知其邊長為20c〃z,

二長方形的紙片長大于正方形紙片的邊長.

答：小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片.

【變式1】如圖，長方形內(nèi)兩個相鄰正方形的面積分別為6和9.

(1)小正方形的邊長在哪兩個連續(xù)的整數(shù)之間？并說明理由.

(2)求陰影部分的面積.

69

【解答】解：(1)???小正方形的面積為6,

.??小正方形的邊長為

V4<6<9,

.,.2<V6<3,

小正方形的邊長在2和3之間；

(2)陰影部分的面積=(3-JQ)=3A/6-6.

【變式2】小波想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長方形紙

片，使長方形的長寬之比為3：2.

⑴請你幫小波求出長方形紙片的長與寬；

(2)小波能用這塊正方形紙片裁出符合要求的紙片嗎？請說明理由.

【答案】⑴長方形紙片的長為150cm,寬為10血cm

(2)不能，理由見詳解

(1)解：設(shè)長方形的長為3xcm,則寬為2xcm,

根據(jù)題意得3x-2x=300,

解得尤=5上或x=-5夜（不合題意，舍去），

貝l3x=15&cm,2x=10底cm.

答：長方形紙片的長為150cm,寬為10五cm；

（2）

小波不能用這塊正方形紙片裁出符合要求的紙片，理由如下：

???正方形的面積為400cm2,

邊長為20cm,

50cm>20cm，

，不能剪出符合要求的紙片.

題型六：平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動規(guī)律

例9.觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問題：

（1）V2?1.414,A/200?14.14,720000?141.4,......

歷盛0.1732,73?1.732,5/300?17.32,......

由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向移動______位.

（2）已知VI?土3.873,VL5-1.225,貝U々;y/0A5?.

【答案】（1）兩;右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右（左）移三位，其立方根的小

數(shù)點(diǎn)向右（左）移動一位；（4）-0.01

【詳解】解：（1）1.414,7200^14.14,V20000?141.4,……

A/0X）3?0.1732,若"732,A/300?17.32,……

由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向右移動一位.

故答案為：兩；右；一；

（2）已知上a3.873,VL5?1.225,貝U7^5?42.25；Vo?15?0.3873；

故答案為：12.25；0.3873；

【變式】如果115.62=3.9522,則3156200=；4=39.522,貝Ux=；

【分析】根據(jù)立方根和算術(shù)平方根的定義找出他們之間的規(guī)律即可得出答案.

【解答】解：如果415.62=3.9522,則“156200=395.22,?=39.522,則x=1562；

故答案為:395.22,1562；

【過關(guān)檢測】

選擇題（共10小題）

1.（2022秋?禪城區(qū)校級期末）下列各數(shù)中是無理數(shù)的是（）

A-2PB-0.33333

C.0D.-0.1010010001

【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義（無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)）逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：A、211是無理數(shù)，則此項(xiàng)符合題意；

B、0.3333a是無限循環(huán)小數(shù)，屬于有理數(shù)，則此項(xiàng)不符合題意；

C、0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，則此項(xiàng)不符合題意；

D、-0.1010010001是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，則此項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了無理數(shù)，熟記無理數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

2.（2023?韓城市一模）9的算術(shù)平方根是（）

A.3B.-3C.±3D.土M

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可.

【解答】解：9的算術(shù)平方根是3,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查算術(shù)平方根的求解，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?東營區(qū)校級三模）J正的算術(shù)平方根是（）

A.4B.2C.±4D.±2

【分析】利用算術(shù)平方根的意義解答即可.

【解答】解：；行=4,4的算術(shù)平方根為2,

的算術(shù)平方根是2,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了算術(shù)平方根的意義，熟練掌握算術(shù)平方根的意義是解題的關(guān)鍵.

4.（2023春?雷州市校級期中）若|X-3I+Vy+4=0,則（x+y）?的值為（）

A.-1B.-2C.2D.1

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)”兩個非負(fù)數(shù)相加和為0,這兩個非負(fù)數(shù)的值都為0"解出X、y的值，再把

x、y的值代入求解.

【解答】解：根據(jù)題意得：卜一3二0,

ly+4=0

解得：產(chǎn)3,

ly=-4

貝!j（x+y）2=（-1）2=1.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：有限個非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個加數(shù)也必為零.

5.（2022秋?濟(jì)南期末）己知實(shí)數(shù)x,y滿足lx-31+Q工=0,則代數(shù)式（y-%）2。18的值為（）

A.1B.-1C.2018D.-2018

【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x,y的值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：由題意得，X-3=0,y-2=0,

解得x=3,y=2.

所以原式=（2-3）2018=1.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟知幾個非負(fù)數(shù)之和等于0時(shí)，各項(xiàng)都等于0是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?常德三模）小五的平方根是（）

A.4B.±4C.±2D.2

【分析】根據(jù)平方根的定義，求數(shù)。的平方根，也就是求一個數(shù)無，使得了=a,則x就是。的平方根,

由此即可解決問題.

【解答】解:V16=4,4的平方根是±2.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了平方根的定義.注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0;負(fù)

數(shù)沒有平方根.

7.（2023春?寶山區(qū)期末）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示：當(dāng)輸入的數(shù)是324時(shí)，輸出的結(jié)果等于（）

A.3B.18C.3^2D.3^3

【分析】根據(jù)數(shù)值轉(zhuǎn)換器流程18,18的算術(shù)平方根是輸出結(jié)果可確定選項(xiàng).

【解答】解：強(qiáng)=18,18不是無理數(shù)，

...再輸入18的算術(shù)平方根，718=372，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，一個正數(shù)的正的平方根叫作這個數(shù)的算術(shù)平方根.

8.（2022秋?成都期末）若無，y為實(shí)數(shù)，且（尤-1）?與府音互為相反數(shù)，則/+/的平方根為（）

A.±V3B.V5c.±5D.±V5

【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出尤，y的值，進(jìn)而利用平方根的定義得出答案.

【解答】解：：（尤-1）2與符音互為相反數(shù)，

（x-1）2+V3y-6=0,

.*.%-1=0,3y-6=0,

解得：x=l,y=2,

貝h2+y2=12+22=5,

故x2+y2的平方根為：土病.

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及平方根的定義，正確得出x,y的值是解題關(guān)鍵.

9.（2023春?八步區(qū)期中）己知。的平方根是±3,則。的值是（）

A.±3B.3C.±9D.9

【分析】根據(jù)平方根的定義進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：：±「=±3,

.*.（2=9.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查平方根的定義，如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)就是a的平方根.

2

10.（2022秋?永定區(qū)期末）若實(shí)數(shù)尤、y、z滿足心歷+（j-3）+|2+6|=0,則孫z的算術(shù)平方根是（）

A.36B.±6C.6D.土娓

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程求出x、y、z的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)算術(shù)平方根的定

義解答.

【解答】解：由題意得，x+2=0,y-3=0,z+6=0,

解得x=-2,y=3,z=-6,

所以，孫z=（-2）X3X（-6）=36,

所以，孫z的算術(shù)平方根是6.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個非負(fù)數(shù)都為0.

二.填空題（共6小題）

11.（2022秋?大豐區(qū)期末）若+（1-y）2=0,則孫的平方根=±2.

【分析】非負(fù)數(shù)之和等于0時(shí)，各項(xiàng)都等于0,由此即可計(jì)算.

【解答】解：7X-4+（1-y）2=0,

.'.X-4=0,1-y=0,

.*.x=4,y=l,

???孫=4,

.?.孫的平方根是±2.

故答案為：±2.

【點(diǎn)評】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握：非負(fù)數(shù)之和等于0時(shí)，各項(xiàng)都等于0.

12.（2023春?赤坎區(qū)校級期中）若一正數(shù)的兩個平方根分別是。-7和3a-1,則這個正數(shù)是25.

【分析】根據(jù)正數(shù)的平方根有兩個，且互為相反數(shù)列出方程，求出方程的解得到。的值，即可確定出這

個正數(shù).

【解答】解:根據(jù)題意得：7+3°-1=0,

解得：＜2=2,

則這個正數(shù)為（2-7）2=25.

故答案為：25.

【點(diǎn)評】此題考查了平方根，熟練掌握平方根的定義是解本題的關(guān)鍵.

13.（2022秋?桂平市期末）若J不歷+（n-3）2=0，則m"的值是-8.

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、偶次方的非負(fù)性求出小、w的值，再代入計(jì)算即可.

【解答】解：Cn-3）2=0,,Viii+2^0,（H-3）220,

m+2=0,n-3=0,

解得m=-2,〃=3,

???那=(-2)3-8,

故答案為：-8.

【點(diǎn)評】本題考查算術(shù)平方根、偶次方的非負(fù)性，掌握算術(shù)平方根、偶次方的非負(fù)性是正確解答的前提.

14.（2023?迎江區(qū)校級二模）臣的平方根是±5.

81—9―

【分析】如果一個數(shù)的平方等于。，這個數(shù)就叫做。的平方根，由此即可得到答案.

2

【解答】解：???（+立）=空，

81

...空的平方根是±$.

819

故答案為：±5.

9

【點(diǎn)評】本題考查平方根，關(guān)鍵是掌握平方根的定義.

15.（2023春?建陽區(qū)期中）已知|x+l|+4y-5=0,則Yx+y=2.

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【解答】解：根據(jù)題意得：x+l=0,y-5=0,

解得x=-by=5,

Vx+y=V-l+5=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個非負(fù)數(shù)的和等于0,則每一個算式都等于0列式是解題的

關(guān)鍵.

16.（2023春?南昌縣期中）若（2%-4）2+V4y+4=0,則x+2v=0.

【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x、y的值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：：（2尤-4）2+V4y+4=0,

'.2x-4=0,4y+4=0,

解得x=2,y=-1,

.,.原式=0.

故答案為：0.

【點(diǎn)評】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即任意一個數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的絕對值相加

和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0.

三.解答題（共11小題）

17.(2023春?涼州區(qū)期中)已知。的平方根為土3,仍的算術(shù)平方根為2.

(1)求a,b的值；

(2)求a+26的平方根.

【分析】(1)直接利用平方根的定義以及算術(shù)平方根的定義分析得出答案;

(2)直接利用平方根的定義分析得出答案.

【解答】解：(1)的平方根為±3,。。的算術(shù)平方根為2,

>?〃=9,ob—4,

(2)'：a=9,

9

a+2b=9+2X&=9+旦=毀，

999

?..a+2b的平方根為：土樽=±等.

【點(diǎn)評】此題主要考查了算術(shù)平方根以及平方根，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

18.(2023春?莊浪縣校級期中)若一個正數(shù)的平方根分別為30+1和4-2a,求這個正數(shù).

【分析】根據(jù)這兩個平方根互為相反數(shù)，列式計(jì)算即可.

【解答】解：3。+1+4-2。=0,

解得。=-5,

3a+l=3X(-5)+1=-14,

則這個正數(shù)為(-14)2=196.

【點(diǎn)評】本題考查了平方根的概念.注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù).

19.(2023?大冶市一模)求下列各式中尤的取值：

(1)2?-8=0.

(2)4(2尤-1)2=9.

【分析】(1)根據(jù)平方根的定義，即可解答；

(2)先把方程進(jìn)行整理，再利用平方根定義開平方即可求出尤的值.

【解答】解：(1)27-8=0,

2/=8,

/=4,

x=±2,

??xi=2,xi=12；

(2)4⑵-1)2=9,

⑵-1)2=2

4

【點(diǎn)評】本題考查了平方根，解決本題的關(guān)鍵是熟記平方根的定義.

20.（2023春?海滄區(qū)校級期中）現(xiàn)有一塊面積為25M2的正方形紙片，李明同學(xué)想沿這塊正方形邊的方向

裁出一塊面積為12加2的長方形紙片，使它的長和寬之比為3：2,他能裁出嗎？請說明理由.

【分析】設(shè)長方形紙片的長是3尤而，寬是2xdm,得到3尤?2x=12,求出得到長方形紙片的長是

3x=3近,由正方形紙片的面積是25而2,得到正方形紙片的邊長是5加，即可解決問題.

【解答】解：他能裁出符合要求的長方形紙片，理由如下：

設(shè)長方形紙片的長是3xdm,寬是2xdm,

由題意得：3x>2x=12,

長方形紙片的長是3x=3近,

:正方形紙片的面積是25M2,

正方形紙片的邊長是5dm,

3^f2dm<5dm,

他能裁出符合要求的長方形紙片.

【點(diǎn)評】本題考查算術(shù)平方根，關(guān)鍵是由算術(shù)平方根的定義，求出長方形紙片的長.

21.（2023春?路橋區(qū)期中）小波想用一塊面積為400平方分米的正方形布料，裁剪出一塊面積為300平方

分米的長方形布料.

（1）正方形布料的邊長為20分米;

（2）小波能沿著邊的方向裁下長寬之比為3：2的長方形嗎？請說明理由.

【分析】（1）根據(jù)工料的面積，利用算術(shù)平方根定義求出邊長即可；

（2）工人師傅不能直接裁下長寬之比為3：2的長方形，理由為：設(shè)長方形的長與寬分別為3尤分米，2x

分米，根據(jù)工件的面積求出尤的值，判斷即可.

【解答】解：（1）根據(jù)題意得：T400=20,

則正方形工料的邊長為20分米；

（2）工人師傅不能直接裁下長寬之比為3：2的長方形，理由為:

設(shè)長方形的長寬分別為3x分米、2x分米,

根據(jù)題意得：3x*2x—300,

整理得：?=50,

解得：x=V50，

.*.3X=3V50>20,2%=2\（50，

則工人師傅不能直接裁下長寬之比為3：2的長方形.

故答案為：20.

【點(diǎn)評】此題考查了算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解本題的關(guān)鍵.

22.（2023?六安模擬）判斷下面各式是否成立

①腐=2舟②娓嘯③唇

探究：（1）你判斷完上面各題后，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？并猜想：J福=」俱—

（2）用含有"的代數(shù)式將規(guī)律表示出來，說明”的取值范圍，并給出證明.

【分析】（1）利用已知得出小若=胃者，即可得出命題正確，同理即可得出其他正確性;

（2）利用（1）的方法，可以得出規(guī)律，并加以證明即可.

【點(diǎn)評】此題主要考查了平方根的性質(zhì)，利用已知得出數(shù)字之間的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.

23.(2023春?房縣期中)喜歡探索數(shù)學(xué)知識的小明遇到一個新的定義：對于三個正整數(shù)，若其中任意兩個

數(shù)乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“和諧組合”，其結(jié)果中最小的整數(shù)稱為“最小算術(shù)平方

根”，最大的整數(shù)稱為“最大算術(shù)平方根”.例：1,4,9這三個數(shù)，"1X4=2,41X9=3,^4X9=

6,其結(jié)果分別為2,3,6,都是整數(shù)，所以1,4,9二個數(shù)稱為“和諧組合”，其中最小算術(shù)平方根是2,

最大算術(shù)平方根是6.

(1)請證明2,18,8這三個數(shù)是“和諧組合”，并求出最小算術(shù)平方根和最大算術(shù)平方根.

(2)已知9,a,25三個數(shù)是“和諧組合”，且最大算術(shù)平方根是最小算術(shù)平方根的3倍，求a的值.

【分析】(1)對于三個正整數(shù)，若其中任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“和諧

組合”，其結(jié)果中最小的整數(shù)稱為“最小算術(shù)平方根”，最大的整數(shù)稱為“最大算術(shù)平方根”；

(2)分三種情況討論：①當(dāng)9WW25時(shí)，②當(dāng)aW9<25時(shí)，③當(dāng)9<254時(shí)，分別依據(jù)“和諧組合”

的定義進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：(1)：:2乂18=6,.2X8=4,-18X8=12,

：.2,18,8這三個數(shù)是“和諧組合”，

...最小算術(shù)平方根是4,最大算術(shù)平方根是12.

(2)分三種情況討論：

①當(dāng)9WaW25時(shí)，V25a=3V9a，

解得。=0(不合題意)；

②當(dāng)0《9<25時(shí)，>9X25=3演,

解得。=至(不合題意)；

9

③當(dāng)9<25Wa時(shí)，V25a=3V9X25,

解得a=81,

綜上所述，a的值為81.

【點(diǎn)評】本題主要考查了算術(shù)平方根，一般地，如果一個正數(shù)尤的平方等于a,即/=a,那么這個正數(shù)

x叫做。的算術(shù)平方根.

24.（2023春?陵城區(qū)期中）如圖，長方形ABC。的面積為360cH2,長和寬的比為3：2,在此長方形內(nèi)沿著

邊的方向能否并排截出兩個面積均為147c毋的圓（n取3）,請通過計(jì)算說明理由.

AB

—一—、——?

?X、、/,、、

/、/、

\?'?

?、/、/1c

【分析】根據(jù)長方形的長寬比設(shè)長方形的長。C為3XC7W,寬AD為2xcm,結(jié)合長方形ABCZ）的面積為

360c:/,即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，從而得出的長，再根據(jù)圓的面積

公式以及圓的面積為147CM?,即可求出圓的半徑，從而可得出兩個圓的直徑的長度，將其與的長進(jìn)

行比較即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)長方形的長。C為3尤cwt,寬AD為2xcm.

由題意，得3x?2x=360,解得：?=60,

Vx>0,

**-x=V60?

BC—2yf^Qcm.

?圓的面積為147c"P,設(shè)圓的半徑為

.?.11，=147,解得：r=7.

.?.兩個圓的直徑總長為28c/〃.

V3^600764=3X8=24,

不能并排裁出兩個面積均為147cm2的圓.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程、圓的面積以及實(shí)數(shù)大小比較，解題的關(guān)鍵是求出圓的半徑以及長

方形的長.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決