北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)常見題型專練：實(shí)數(shù)（4種題型）（原卷版）

第07講實(shí)數(shù)(4種題型)

O【知識(shí)梳理】

一.實(shí)數(shù)

(1)實(shí)數(shù)的定義：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù).

(2)實(shí)數(shù)的分類：

按定義分：

、詡「有理數(shù)：有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)［4無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

按與0的大小關(guān)系分：

'正有理數(shù)

正數(shù)＜

、正無(wú)理數(shù)

實(shí)數(shù)0

，負(fù)有理數(shù)

負(fù)數(shù)＜

、負(fù)無(wú)理數(shù)

二.實(shí)數(shù)的性質(zhì)

(1)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)絕對(duì)值的概念與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣.實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值就是在數(shù)軸上這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與

原點(diǎn)的距離.

(2)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值：正實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值是它本身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，。的絕對(duì)值是0.

(3)實(shí)數(shù)。的絕對(duì)值可表示為同={a"NO)-a(a＜0),就是說(shuō)實(shí)數(shù)。的絕對(duì)值一定是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即

|a|N0.并且有若|x|=a(。20),則尤=±a.

實(shí)數(shù)的倒數(shù)

乘積為1的兩個(gè)實(shí)數(shù)互為倒數(shù)，即若。與b互為倒數(shù)，則必=1；反之，若必=1,則。與b互為倒數(shù)，這

里應(yīng)特別注意的是0沒有倒數(shù).

三.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的關(guān)系

(1)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；反之，數(shù)軸上的任意一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).數(shù)軸上的任一點(diǎn)表示

的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無(wú)理數(shù).

(2)在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)在原點(diǎn)的兩旁，并且兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，實(shí)數(shù)。的絕對(duì)值就是在

數(shù)軸上這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.

（3）利用數(shù)軸可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點(diǎn)

左側(cè)，絕對(duì)值大的反而小.

我們嘗試用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示正.

由前面的學(xué)習(xí)，我們知道兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形可以拼成一個(gè)面積為2的正方形465,它的邊長(zhǎng)為行.觀

察正方形/及力,可知它的一邊是一個(gè)直角三角形的斜邊，這個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)都是1.

這樣，就在數(shù)軸上確定一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示后.

要點(diǎn)：每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，而且這些點(diǎn)是唯一的；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)

實(shí)數(shù).數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

四.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又

可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方.

（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加

減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.

另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”

1.運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、塞的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三角

函數(shù)值的計(jì)算以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等.

2.運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，

無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算.

3.運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.

二」【考點(diǎn)剖析】

實(shí)數(shù)（共7小題）

1.（2022秋?大田縣期中）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)：-1,牛石，O.p-3.14,J麗，（-\歷）2,

3

1.010010001

(1)無(wú)理數(shù)：｛??

(2)負(fù)實(shí)數(shù)：｛

(3)整數(shù)：｛______________________???}

(4)分?jǐn)?shù)：｛______________________…}

2.（2022秋?城陽(yáng)區(qū)期中）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi):

刻兩，4而，3.1011,0.3737737773-（相鄰兩個(gè)3之間7的個(gè)數(shù)逐次

加1).

（1）整數(shù)集合｛-｝;

（2）分?jǐn)?shù)集合｛-｝；

（3）無(wú)理數(shù)集合｛…｝.

3.（2023春?凱里市校級(jí)期中）把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的大括號(hào)：

-2.4,n,2.022,-0.15,0,-10,-1.1010010001-.

3

整數(shù)集合：｛｝;負(fù)分?jǐn)?shù)集合：｛）;

正實(shí)數(shù)集合：｛｝;無(wú)理數(shù)集合：｛｝.

4.（2022秋?黑山縣期中）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：

5.（2022秋?渾南區(qū)月考）將下列數(shù)按要求分類，并將答案填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi):

1—,-0.25,2.3,如^,0,?-2,日，近；

423

負(fù)實(shí)數(shù)集合｛…｝；

有理數(shù)集合｛…｝;

無(wú)理數(shù)集合｛?,?｝.

6.（2022秋?浚縣期中）把下列各實(shí)數(shù)填在相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)；

4,-|-3|,0,宇，-3.1,泥，1.1010010001-

整數(shù)：{};

分?jǐn)?shù)：{};

無(wú)理數(shù)：{};

負(fù)數(shù)：{}.

7.（2023春?東莞市月考）把下列各數(shù)填到相應(yīng)的集合內(nèi)（只填序號(hào)）：

①2?；②-/③壯④0.54：⑤0.1：；⑥?；⑦0；⑧-23；⑨（V7）2;⑩0.3020020002…（相

39

鄰兩個(gè)2之間0的個(gè)數(shù)逐次加一）

有理數(shù)集合：{-}.

無(wú)理數(shù)集合：{-}.

正實(shí)數(shù)集合：{-}.

負(fù)實(shí)數(shù)集合：{-}.

二.實(shí)數(shù)的性質(zhì)（共6小題）

8.（2023春?仙游縣校級(jí)期中）遙-2的相反數(shù)是（）

A.-0.236B.娓+2C.2-75D.-2+^/5

9.（2023?泗縣校級(jí)模擬:）-心的倒數(shù)是（)

B.近

A.MC.-日D.

33

10.（2023春?晉安區(qū)期中）在下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（)

A.-3與?B.|-3|與-上C.1-a|與-遙D.3與［(-3)2

3

11.（2023春?景縣期中）-y的絕對(duì)值是（)

A.-4B.4C.-2D.2

12.（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）已知正數(shù)。的兩個(gè)平方根分別是2x-3和1-尤，近瓦■與多麗有互為相

反數(shù)，求a+2b的值.

13.（2022秋?蘇州期中）小明在學(xué)完立方根后研究了如下問(wèn)題：如何求出-50653的立方根？他進(jìn)行了如下

步驟:

①首先進(jìn)行了估算：因?yàn)?（）3=1000,10（）3=1000000,所以知50653是兩位數(shù);

②其次觀察了立方數(shù)：/=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729；

猜想力50653的個(gè)位數(shù)字是7;

③接著將50653往前移動(dòng)3位小數(shù)點(diǎn)后約為50,因?yàn)椋?27,43=64,所以病演的十位數(shù)字應(yīng)為3,

于是猜想力50653=37,驗(yàn)證得：50653的立方根是37；

④最后再依據(jù)“負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)”得到t-50653=-37,同時(shí)發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則

這兩個(gè)數(shù)的立方根也互為相反數(shù)；反之也成立.

請(qǐng)你根據(jù)小明的方法和結(jié)論，完成下列問(wèn)題：

⑴力-117649=----------------；

（2）若知i-2x+我=0,貝壯=-------；

已知力x-2+2=x，且刎y-1與m-2x互為相反數(shù)，求x，y的值.

三.實(shí)數(shù)與數(shù)軸（共7小題）

14.（2023春?上思縣期中）如圖，點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是（）

A.MB.-V3C.娓D.-V5

15.（2023春?長(zhǎng)沙期中）如圖，3,丁五在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C,3,點(diǎn)C是A8的中點(diǎn)，則點(diǎn)A表示

的數(shù)是（）

oACB

03舊

A.-VT1B.3-VTlC.Vil-3D.6-VT1

16.（2023春?東莞市校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)E表示的數(shù)為（）

17.（2023春?鄭城縣期中）如圖，實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：|a-料|=（

a

|I.1|I?

-10123

A.-a-^2B.a+^2C.A/2-aD.a-V2

18.（2022秋?濟(jì)南期末）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A,B,其中A表示的數(shù)為-2,8表示的數(shù)為2,AB表示A,8兩

點(diǎn)之間的距離.若在數(shù)軸上存在一點(diǎn)C,使得AC+8C=w,則稱點(diǎn)C為點(diǎn)A,8的““節(jié)點(diǎn)”.例如圖1

所示，若點(diǎn)C表示的數(shù)為0,有AC+BC=2+2=4,則稱點(diǎn)C為點(diǎn)A,B的“4節(jié)點(diǎn)”

（1）若點(diǎn)C為點(diǎn)A,2的“"節(jié)點(diǎn)”，且點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為-3,則“=；

（2）若點(diǎn)D為點(diǎn)A,8的“4、門節(jié)點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。在數(shù)軸上表示的數(shù)為;

（3）若點(diǎn)E在數(shù)軸上（不與A,8重合），滿足A,E兩點(diǎn)之間的距離是B,E兩點(diǎn)之間的距離的6倍，

且點(diǎn)E為點(diǎn)A,8的“〃節(jié)點(diǎn)”，求"的值.

ACB

―i----------1------------i-----------1-----------

-2-1012

圖1

AB

—i--------1----------1---------1---------

-2-1012

備用圖

19.（2021秋?綏寧縣期末）如圖1,這是由8個(gè)同樣大小的立方體組成的魔方，體積為64.

（1）求出這個(gè)魔方的棱長(zhǎng).

（2）圖中陰影部分是一個(gè)正方形ABC。，求出陰影部分的面積及其邊長(zhǎng).

（3）把正方形ABCD放到數(shù)軸上，如圖2,使得A與-1重合，那么D在數(shù)軸上表示的數(shù)

20.（2023春?雷州市校級(jí)期中）如圖，一只螞蟻從點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右爬了2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)8,點(diǎn)A表示

設(shè)點(diǎn)8所表示的數(shù)為小.

（1）實(shí)數(shù)m的值是；

（2）求|加+1|+|1|的值；

（3）在數(shù)軸上還有C、D兩點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)c和d,且有|2c+@與底工互為相反數(shù)，求2c-3d的平

方根.

AB

1.11.1?A

-2-1012

四.實(shí)數(shù)的運(yùn)算（共7小題）

21.（2023?大安市四模）計(jì)算：e）7+（兀韭）。=—?

22.（2022秋?滄州期末）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m,n,定義一種詞m*n=mn+n+m,則（4+2^^）*（4-2^5）

=()

A.-4B.4C.-4遙D.4代

23.（2023春?長(zhǎng)垣市期末）計(jì)算:&舊

24.（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)一模）計(jì)算：|一3|+（1）0-爪?

25.（2023春?東莞市期中）計(jì)算：打一2）+（7）2023.

26.（2023?金安區(qū)校級(jí)三模）計(jì)算：^+|73-1|+1^27-

22

27.(2023春?利川市期中)計(jì)算：(_2)+^64+7(-2)+|1-V3I-

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

2TC

1.（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）在實(shí)數(shù)0,6,-3.14,丁-0.1010010001...（每?jī)蓚€(gè)1之

間依次多1個(gè)0）,（乃-3.14）°這8個(gè)實(shí)數(shù)中，無(wú)理數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.（2022秋?八年級(jí)單元測(cè)試）-27的立方根與81的平方根的和是（）

A.6B.0C.6或—12D.0或6

3.（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）已矢口〃="b=2,c=石，貝IJ。、b、c的大小關(guān)系是（）

A.b>a>cB.a>c>bC.a>b>cD.b>c>a

4.（2022秋?甘肅蘭州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在實(shí)數(shù)兀，君,14141中，無(wú)理數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.（2023春?廣東汕頭?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形A3CE）的邊AD在數(shù)軸上，若點(diǎn)A與數(shù)軸上表示數(shù)-I

的點(diǎn)重合，點(diǎn)。與數(shù)軸上表示數(shù)-3的點(diǎn)重合，AB=l,以點(diǎn)A為圓心以對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧與數(shù)軸

負(fù)半軸交于一點(diǎn)E,則點(diǎn)E表示的數(shù)為（）

A.-75B.1-^/5C.-1-75D.-1-73

6.（2022春?八年級(jí)單元測(cè)試）在數(shù)軸上，下列各數(shù)所表示的點(diǎn)在表示2的點(diǎn)右側(cè)的數(shù)是（）

A.5/2B.5/3C.D.y/s

7.（2023秋?江蘇淮安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）關(guān)于舊的敘述錯(cuò)誤的是（）

A.是無(wú)理數(shù)B.在數(shù)軸上存在表示風(fēng)的點(diǎn)

C.岳=貶+邪D.V13>3

8.（2023秋?河北石家莊?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在數(shù)軸上標(biāo)有。，A,B,C,。五個(gè)點(diǎn)，根據(jù)圖中各點(diǎn)

所表示的數(shù)，判斷也應(yīng)該在下列線段的（）

OABCD

-023~3^6~~5^8~

A.上B.AB±.C.8C上D.CDh

9.（2023春?江西南昌?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在下列四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.73B.-A/6C.75D.-72

10.（2022秋?遼寧沈陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，輸入帆=2及，則輸出的數(shù)為（）

/輸入加/~?平方------—是---------------J輸出/

開方<一乘2<—否

A.8B.16C.32D.64

二、填空題

11.（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）在下列數(shù)中：-石，1.732,卜四，1-42,0.643,-（-1）2"（〃為正

整數(shù)），4+0.有理數(shù)是;無(wú)理數(shù)是.

12.（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）把下列各數(shù)的標(biāo)號(hào)填在相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)：①2,②T，③2力，④

25%,?0.25555...,⑥-0.040040004…（每?jī)蓚€(gè)4多一個(gè)0）.

（1）有理數(shù)集合：｛）;

（2）無(wú)理數(shù)集合：｛｝.

13.（2023?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）小華編寫了一個(gè)程序：輸入尤一立方根-算術(shù)平方根-2,則x為一.

14.（2023春.遼寧.八年級(jí)期末）計(jì)算：（-1）°+|1-^|=.

15.（2023春?廣西南寧?八年級(jí)統(tǒng)考期中）若。，b為實(shí)數(shù)，且卜+2|+^/^=0,則（a+by02'的值是

16.（2022秋?八年級(jí)單元測(cè)試）存的相反數(shù)是.應(yīng)-2的絕對(duì)值是.

17.（2022秋廣東清遠(yuǎn)?八年級(jí)校聯(lián)考期中）若5/T萬(wàn)+（4-y『=0,則而=.

18.（2022秋.吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察下列依次排列的一列數(shù)，母,2,娓,2母,

回，…,按這個(gè)規(guī)律寫出第w個(gè)數(shù)：（第w個(gè)數(shù)）.

19.（2023春?安徽?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A、B、C分別為數(shù)軸上的三點(diǎn)，且AB=3C,若點(diǎn)8對(duì)應(yīng)的實(shí)

數(shù)為1,點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為近，則點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為.

ABC

?illa

O173

三、解答題

20.（2023春?福建泉州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：（乃-2023）°-莊+1工

-1

21.（2023春?云南昭通?八年級(jí)?？计谀┯?jì)算：-（-2022）+（兀-3.14）°+啦7+（-1

22.（2022秋?山東青島?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里:

22_______.Jr

—s/12?0,—,yJ—125,0.1010010001--?,\]102>0.3,-不

有理數(shù)集合：｛｝；

無(wú)理數(shù)集合：｛｝；

負(fù)實(shí)數(shù)集合：｛｝.

23.（2023?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，AABC是張大爺?shù)囊粔K小菜地，已知8是AASC中AB邊上的

高，AC^5,CD=4,BC=3AD,求2。的長(zhǎng).（結(jié)果保留根號(hào)）

24.（2022春?八年級(jí)單元測(cè)試）觀察下列各式:

i+4+4=i+---=i-；i+^+4=i+---=i-?

I2221222232