北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題：與根的判別式有關(guān)的兩種考法（解析版）

專題05與根的判別式有關(guān)的兩種考法

類型一、參數(shù)位置的問題

例1.（二次項(xiàng)含參）關(guān)于X的方程（，〃-1）*+2彳+m-1=0,只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則相的值等于（）

A.0,2B.1,2C.0,-2,1D.0,2,1

【答案】D

【分析】方程（機(jī)-l）f+2x+1=0,只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則有兩種情況，二次項(xiàng)系數(shù)為0,一次項(xiàng)系數(shù)不

為0；二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

【詳解】方程（〃-1）/+2*+機(jī)-1=0,只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，有兩種情況：

①當(dāng)機(jī)-1=0時(shí)，即機(jī)=1時(shí)，方程為2x=0,

x=0.

故機(jī)=1時(shí)，g（m-l）x2+2x+m-l=0,只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

②當(dāng)m-1W0時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解需滿足：△=（）.

即22-4（/?Z-1）2=0.

解得：m=0或帆=2.

綜上所述，機(jī)的值等于0,2,1時(shí)，方程（機(jī)-l）f+2x+7”-1=0,只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是分一次方程與二次方程兩種情況討論.

例2.（二次項(xiàng)不含參）關(guān)于尤的方程2d_〃a+機(jī)-3=0根的情況是（）

A.沒有實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

【答案】B

【分析】利用判別式和一元二次方程的根的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解:根據(jù)題意得，A=;（-/n）2-4x2x（m-3）=（w-4）2+8>0,

則關(guān)于x的方程2/一如+小一3=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與判別式的關(guān)系，熟練掌握A>0,一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根；A=0,一元二次方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；A<0,一元二次方程無實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練1】若關(guān)于x的方程"2-x-l=0有實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍是（）

1111

A.kN—B.kN—且％W0C.k4—D.k4—且左wO

4444

【答案】A

【詳解】解：當(dāng)仁0時(shí)，方程化為解得元二-1；

當(dāng)時(shí)0時(shí)，根據(jù)題意得/=(-1)2-4kx(-1)>0,解得整且時(shí)0,

4

綜上所述，々的取值范圍為之

4

故選：A.

【變式訓(xùn)練2】已知一元二次方程("3)/+23+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則上的值是

【答案】4

【分析】運(yùn)用根的判別式求參數(shù)即可.

【詳解】解：???一元二次方程(％-3)f+2x+l=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

：.A=b2-4ac=22-4(k-3)=0,整理得，16-4左=0,解得，k=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程中根據(jù)根的情況求參數(shù)，掌握根的判別式求參數(shù)的計(jì)算方法是解題的

關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3】已知關(guān)于x的一元二次方程Y-2M+布-4=0.

(1)求證：該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)選擇一個(gè)機(jī)的值，使得方程至少有一個(gè)正整數(shù)根，并求出此時(shí)方程的根.

【答案】(1)證明見解析

(2)當(dāng)〃?=0時(shí)，方程的根是占=2,%=-2(答案不唯一)

【分析】(1)根據(jù)根的判別式A>0即可證明；

(2)先根據(jù)方程至少有一個(gè)正整數(shù)根，求出機(jī)>Y,在此范圍內(nèi)取力=0,即可求出方程的根.

【詳解】(1)A=(~2m)2-4xlx(；772-4)=-4m2+16=16>0,

.??該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2),/A=(-2/ra)2-4x1x-4)=W-4m2+16=16,

.2m土\/l62m±4,

??x=------------=---------=m±4.

22

???方程至少有一個(gè)正整數(shù)根,

m+4>0.

?,?根>T.

當(dāng)m=0時(shí)，一元二次方程一一2如+〃/_4=0可化為三一4=0,

解得：玉=2,%=-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式以及一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程根的判別式與一元

二次方程的根的情況之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練4】若方程》2-2》-加+1=0沒有實(shí)數(shù)根，試判斷方程產(chǎn)-(根+2■+2根+1=0根的情況并說明理

由.

【答案】方程*-(機(jī)+2)x+2a+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，理由見解析

【分析】由方程f—(〃z+2)龍+2機(jī)+1=0沒有實(shí)數(shù)根，可求出〃?<0,進(jìn)而可得出方程公一(〃1+2)龍+2機(jī)+1=0

的根的判別式A>0,然后根據(jù)判別式的意義得出結(jié)論.

【詳解】解：方程/一(加+2)X+2加+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

理由：?.?方程x2-2x-〃z+l=0沒有實(shí)數(shù)根，

A=(-2)2-4xlx(-m+l)<0,

解得：m<0,

方程x?—("?+2)x+2"?+l=0的根的判別式A=[―(〃z+2)]-4xlx(2〃z+l)=nr—4m>0,

/.方程f—(加+2)x++1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式的意義，牢記“①當(dāng)A〉。時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△=()時(shí)，

方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)A<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.

類型二、分情況討論(是否是二次方程)

例1J〃為何值時(shí)，關(guān)于x的方程s2+(2相+3)》+(m+5)=0有唯一的根，并求這個(gè)根.

597

【答案】當(dāng)機(jī)=0時(shí)，兀=一￡；當(dāng)根=7時(shí)，％=一不

383

【詳解】解：①當(dāng)根=0時(shí)，原方程是一元一次方程，

3x+5=0,解得冗=-；；

②當(dāng)加加時(shí)，原方程是一元二次方程，

9

由題意知，=(2m+3)9-4m(m+5)=0,解得機(jī)=7,

AO

Q914Q7

：.-x2+—x+—=0,解得％=——；

8483

57

綜上所述，該方程的根為x=或》=-].

例2.(不需要討論)關(guān)于的一元二次方程6^+云+°=0(°片0)：①若6=o+c,則方程必有兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)根；②若b=3a+2c,則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.正確的是()

【答案】②

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷即可.

222

【詳解】解：?A=/7-4ac=(a+c)-4ac=(a-C)>0,則方程有兩個(gè)不相等或相等的實(shí)數(shù)根，即①錯(cuò)誤；

@A=b2-4ac=(3a+2c)2-4ac=9a2+4c2+8ac=4(a+c)2+5a2>0,則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故②正確.故答案為②.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，當(dāng)判別式大于。時(shí)，有兩個(gè)不同的實(shí)根；當(dāng)判別式等

于0時(shí)，有兩個(gè)相同的實(shí)根；當(dāng)判別式小于。時(shí)，無實(shí)根.

【變式訓(xùn)練1】已知，關(guān)于x的一元二次方程-履2+?一2=0.

(1注取何值時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？

(2)如果此方程的一個(gè)根為x=-l,求上的值和另一個(gè)根.

【答案】(1)左>2時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)4=-6,另一個(gè)根為g

【解析】⑴解：：a=-左，6=4,c=-2,

/.6?—4ac=4?—4x(—左)x(-2)=16-8k.

16-8%〉0,解得%>2

所以，當(dāng)左>2時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)解：把x=—1代入原方程得：—4—4—2=0,解得：k=—6.

設(shè)另一個(gè)根為巧，則-以馬=亭-2=-：1，即1所以方程的另一個(gè)根為I：.

6333

【變式訓(xùn)練2]已知關(guān)于x的一元二次方程￡-Qk+l)x+2左=0.

(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)記該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為無1和%若以再，％，3為三邊長的三角形是直角三角形，求左的值.

【答案】(1)見解析；(2)也或叵.

2

【解析】（1）證明：-.A=[-（2^+1）]2-4X2^=4左2+1+4左一8左=4左2—4左+1=（2左一Ip..。，

,無論左取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（2）解：「公一（2左+l）x+2左=0,.1（x—2左）（x—1）=0.X[=2k,x2=1.

以再，%2,3為三邊長的三角形是直角三角形，.?">（）.

當(dāng)3為斜邊時(shí)，則（2左y+F=32,解得左=a.

當(dāng)然為斜邊時(shí)，則（2左y=F+32,解得女=巫.

2

綜上所述，%的值為血或半.

【變式訓(xùn)練3】已知關(guān)于x的方程/+2彳_“+1=0沒有實(shí)數(shù)根，試判斷關(guān)于>的方程/+砂+a=1實(shí)數(shù)根

的情況，并說明理由.

【答案】一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.理由見解析.

【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程封+2工-。+1=0沒有實(shí)數(shù)根，求出。的求值范圍；再表示關(guān)于）的方程

222

y+ay+a=l,A2=a-4（a-l）=（a-2）,即可判斷該方程根的情況.

【詳解】解：???方程/+2尤-q+l=0沒有實(shí)數(shù)根，

A1=4—4（—a+1）=4av0,

/.a<0,對(duì)于關(guān)于>的方程：/+3+。=1,

A2=a2—4（a-1）=（Q-2）2,

a<0,

.?.（4-2）2>0,即4>o,

方程y2+做+a=I一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式與根的情況之間的關(guān)系是

解題關(guān)鍵.

課后作業(yè)

1.關(guān)于龍的一元二次方程加2爐-4771X=T的根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.根的情況與實(shí)數(shù)機(jī)的取值有關(guān)

【答案】B

【分析】把方程化為一般式，然后計(jì)算判別式的值，即可得到解答.

【詳解】解：???方程化為一般式為病尤2一4恤+4=0，

則A=（—4m）2—4x4xm2=16m2—16m2=0,

.??方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程根的判別式的求法及應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

2.已知心》，c為常數(shù)，點(diǎn)尸（a,c）在第四象限，則關(guān)于尤的一元二次方程依?+法+。=（）的根的情況為（）

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.無法判定

【答案】B

【分析】由點(diǎn)P（a,c）在第四象限，可得。>0,c<0,可得A=〃-4oc>0,從而可得答案.

【詳解】解：：點(diǎn)尸（a,c）在第四象限，

<7>0,C<0,

二方程以2+法+C=0的判另U式A=/—4ac>0,

，方程加+6x+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，一元二次方程根的判別式，熟記第四象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)

為：（+,-）以及根的判別式的含義是解本題的關(guān)鍵.

3.己知關(guān)于x的一元二次方程f-（機(jī)+3.+3〃?=0,若等腰三角形的其中一邊為4,另兩邊是這個(gè)方程的

兩根，則優(yōu)的值為（）

A.3B.4C.3或4D,不能確定

【答案】C

【分析】分兩種情況：當(dāng)腰為4時(shí)，當(dāng)?shù)诪?時(shí)，解方程即可得到結(jié)論.

【詳解】解：當(dāng)腰為4時(shí)，

把x=4代入x?-（M+3）X+3〃Z=0得，

16—4,九一12+3/%=0,

解得m=4；

當(dāng)?shù)诪?時(shí)，貝|方程*一（〃?+3）%+3m=0有兩相等的實(shí)數(shù)根，

A=Z?2—4ac=（7〃+3）2—4x3m=0,

-3『=0,

解得m=3,

綜上所述，力的值為4或3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義、解一元二次方程以及根的判別式：一元二次方程

癥+法+。=0（力0）的根與A=〃_4ac有如下關(guān)系：當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=（）時(shí)，

方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，若直線丫=-》+左不經(jīng)過第三象限，則關(guān)于x的方程1一彳一左=o的實(shí)數(shù)根的情況

為（）

A.無實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.無法確定

【答案】C

【分析】由直線解析式求得詹0,然后確定/的符號(hào)即可.

【詳解】解:直線y=-x+左不經(jīng)過第三象限，

>0,

.-.A=（-1）2-4X（-^）=l+4k>l,

關(guān)于x的方程1-x-左=0的實(shí)數(shù)根的情況為有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，根的判別式：一元二次方程分2+bx+c=0（aw。）的根與A=62-4OC

有如下關(guān)系：當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<（）時(shí)，

方程無實(shí)數(shù)根.

5.已知關(guān)于x的一元二次方程無2+6x+c=0的一個(gè)根是x=l，則方程尤2+6尤-c=0的根的情況是（）

A.沒有實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.有一個(gè)根是x=l

【答案】C

【分析】先將尤=1代入—+6x+c=0中求出c=-7,貝U一元二次方程f+6尤一c=0化為X2+6X+7=0,然

后計(jì)算此方程的根的判別式的值，再根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況.

【詳解】解：把x=l代入/+6x+c=0得l+6+c=0,解得c=—7,

則一元二次方程d+6x-c=0化為爐+6了+7=0，

?A=6'—4xlx7=8>0,

一元二次方程d+6x-c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：C.

［點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式:一元二次方程ax1+bx+c=0（a豐0）的根與A=/-4℃有如下關(guān)系：當(dāng)A>0

時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<（）時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

6.若x=l是一元二次方程62—汝+2=0（。*0）的一個(gè)根，那么方程辦2+6x+2=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有一個(gè)根是尸-1

C.沒有實(shí)數(shù)根D,有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

【答案】B

【分析】先將x=l代入以2-服+2=0（。二0）中得到。-3+2=0,再根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解

即可得出結(jié)論.

【詳解】解：；x=l是一元二次方程ox?-6尤+2=0（。*0）的一個(gè)根，

■■a-6+2=0,即Z?=a+2,

對(duì)于方程at?+6x+2=0，

A=Z?2-4ax2=（a+2）—8a=（a-2）NO,

方程ax2+6x+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)A、C、D錯(cuò)誤，不符合題意；

當(dāng)x=-l時(shí)，ax2+bx+2=a-b+2=0，即x=-l是方程ax?+法+2=0的一個(gè)根，故選項(xiàng)B正確，符合題

意，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解和根的判別式，解答的關(guān)鍵是理解一元二次方程的解的意義，掌握

一元二次方程辦2+云+C=0根的情況與根的判別式A=62_4m的關(guān)系：當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的

實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

7.關(guān)于x的方程/+（相_1口一根=。（其中冊(cè)是實(shí)數(shù)）一定有實(shí)數(shù)根嗎？為什么？

【答案】一定有；理由見解析

【分析】根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：關(guān)于X的方程*+(〃Ll)x-機(jī)=。中，

a=1,b—m—1,c=~m,

△=Zr2—4ac—(m—1)"—4x(—m)=(m+1)2>0,

.??方程一定有實(shí)數(shù)根.

【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程加+云+°=0("0)的根與八=廿_4*有如下關(guān)系：當(dāng)

A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<()時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

8.己知關(guān)于x的一元二次方程幺-(?-3)%-加=0.

(1)求證：無論加為何值，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)如果方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根為。，求另一個(gè)實(shí)數(shù)根.

【答案】(1)證明過程見詳解

⑵方程的另一個(gè)實(shí)數(shù)根為x=-3

【分析】(1)運(yùn)用根的判別式即可求解；

(2)把一個(gè)實(shí)數(shù)根為0代入方程，可求出優(yōu)的值，再根據(jù)解一元二次方程的方法即可求解.

【詳解】(1)證明：關(guān)于x的一元二次方程公-(加一3)1一加=0中，。=1,6=-(九-3)=3-=,

：.A=b2-4ac=(3-m)2,整理得,A=-2m+9=(m-1)2+8>0,

.?.無論機(jī)為何值，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)解：：方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根為0,

02-(m-3)x0-m=0,解得，m=0,

原方程得，X2+3X=