北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：一元一次方程（知識(shí)歸納+題型突破）（解析版）

第五章元一次方程

課標(biāo)要求

（1）經(jīng)歷從具體問題中的數(shù)量相等關(guān)系，列出方程的過程，體會(huì)并認(rèn)識(shí)到方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效

的數(shù)學(xué)模型；

（2）了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本變形及在解方程中的作用；

（3）會(huì)解一元一次方程，并經(jīng)歷和體會(huì)解方程中“轉(zhuǎn)化”的過程和思想。了解一元一次方程解法的一般步

驟，并能正確、靈活應(yīng)用；

（4）會(huì)根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出一元一次方程并求解，能根據(jù)問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)所得結(jié)果是否合

理；

（5）通過實(shí)踐與探索，經(jīng)歷”問題情境一一建立數(shù)學(xué)模型一一解釋、應(yīng)用與拓展”的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)建模

思想，提高分析和解決實(shí)際問題的能力；

（6）在學(xué)習(xí)和探索一元一次方程的解法和應(yīng)用中，通過自主學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)合作意識(shí)。

基礎(chǔ)知識(shí)歸納

知識(shí)點(diǎn)1一元一次方程

1.概念：只含一個(gè)未知數(shù)（元）且未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程；

標(biāo)準(zhǔn)式：ax+b=O（x是未知數(shù)，a^b是已知數(shù)，且aWO）；

2.方程的解：使方程等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值

知識(shí)點(diǎn)2等式的性質(zhì)

等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；

如果a=b,那么a土c=b±c;

等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等;

如果a=b,那次么ac=bc;

-a二一b

如果a=b,c*0,那么cc.

知識(shí)點(diǎn)3含參一元一方程

1、次數(shù)含參：主要考察一元一次方程定義

2、常數(shù)項(xiàng)含參：求解一個(gè)常數(shù)項(xiàng)含參的一元一次方程，依然采用常規(guī)的五步法解題

3、解已知或可求：將解代入?yún)?shù)方程，求出參數(shù)

知識(shí)點(diǎn)4解一元一次方程

解一元一次方程的步驟：

1.去分母

兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母

2.去括號(hào)

(1)先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)

(2)乘法分配律應(yīng)滿足分配到每一項(xiàng)

注意：特別是去掉括號(hào)，符合變化

3.移項(xiàng)

(1)定義：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊，不含有未知數(shù)的項(xiàng)移到另一邊；

(2)注意：①移項(xiàng)要變符號(hào)；②一般把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到左邊，其余項(xiàng)移到右邊.

4.合并同類項(xiàng)

(1)定義：把方程中的同類項(xiàng)分別合并，化成“ax=b”的形式(。中0)；

(2)注意：合并同類項(xiàng)時(shí)，把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母不變.

5.系數(shù)化為1

(1)定義：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)a,得x=-

a;

(2)注意：分子、分母不能顛倒

知識(shí)點(diǎn)5：一元一次方程的應(yīng)用

【題型1和、差、倍、分問題】

【題型2行程問題】

距離=速度?時(shí)間

【題型3工程問題】

工作量=工效X工時(shí)

工程問題常用等量關(guān)系：先做的+后做的=完成量

【題型4順?biāo)嫠畣栴}】

順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度；

順?biāo)嫠畣栴}常用等量關(guān)系：順?biāo)烦?逆水路程

【題型5商品利潤(rùn)問題】

售價(jià)=定價(jià)；利潤(rùn)率=銷售J1成本義100%利潤(rùn)問題常用等量關(guān)系：售價(jià)-進(jìn)價(jià)=利潤(rùn)

成本

【題型6分配問題】

【題型7配套問題】

【題型8數(shù)字與日歷問題】

【題型9方案選擇問題】

【題型10分段計(jì)費(fèi)問題】

【題型11隧道或過橋問題】

【題型12幾何圖形問題】

重要題型

【題型1方程及一元一次方程的定義】

【典例1-11下列各式中，是方程的是（）

A.7x-4=3xB.4x-6C.4+3=7D.2x<5

【答案】A

【解答】解：A、7x-4=3x是方程；

B、4x-6不是等式，不是方程；

C、4+3=7沒有未知數(shù)，不是方程；

D、2xV5不是等式，不是方程；

故選：A.

【典例1-2］下列方程中是一元一次方程的是（）

A.工___^=1B.4^=24C.x+y=80D-白+2=6

60702x

【答案】A

【解答】解：A.方程工-旦=1是一元一次方程，故本選項(xiàng)符合題意;

6070

B.方程4/=24是一元二次方程，不是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.方程x+y=80是二元一次方程，不是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意;

D.方程上+2=6是分式方程，不是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意.

2x

故選：A.

【變式1-1】下列式子中，是一元一次方程的是（）

A.x+l=OB.x2-x=OC.x+y=1D.A-2=1

【答案】A

【解答】解：4、含有一個(gè)未知數(shù)且最高次數(shù)為1的等式，故符合題意；

3、含未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)為2,故不符合題意；

C、含有兩個(gè)未知數(shù)，故不符合題意；

。、該式子是分式方程，故不符合題意；

故選：A.

【變式1-1］在下列方程中，是一元一次方程的是（）

A.2孫=4B.1C.2x=0D.x+y=2

【答案】C

【解答】解：A.是二元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.未知數(shù)的最高次數(shù)2次，不是一元一次方程，故本選項(xiàng)不合題意；

C.是一元一次方程，故本選項(xiàng)符合題意；

D.是二元一次方程，故本選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

【題型2利用一元一次方程的定義求值】

【典例2】若（加-2）d"i=5是關(guān)于x的一元一次方程，則機(jī)的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【解答】解：由題意可知：卜-2#0,

Ilm|-l=l

解得：m=-2,

故選：A.

【變式2-1］若方程（a-2）卅7=a+3是關(guān)于x的一元一次方程，則。的值是（）

A.2B.-2C.±2D.±1

【答案】B

【解答】解：由題意得：\a\-1—1,且a-2WO,

解得a=-2.

故選：B.

【變式2-2］已知關(guān)于x的方程3-（機(jī)+1）=0是一元一次方程，則機(jī)的值為（）

A.1B.-1

C.1或-1D.以上結(jié)果均不正確

【答案】A

【解答】解：根據(jù)題意，得|詞=1且m+lWO.

解得m—1.

故選：A.

【題型3方程的解】

【典例3】已知x=3是關(guān)于x的方程ax+2x-3=0的解，則a的值為（）

A.-1B.-2C.-3D.1

【答案】A

【解答】解：將x=3代入方程得：30+2X3-3=0,

解得：a=-1.

故選：A.

【變式3-1］已知x=-3是方程ax-6=a+10的解，則a=-4.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：把x=-3代入方程ax-6=a+10,

得：-3a~6=。+10,

解方程得：。=~4.

故填：-4.

【變式3-2］如果x=-1是方程x+a=3的解，則a=4.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：把x=l代入方程，

得：-l+a=3,

解得：a—4.

故答案為：4.

【變式3-3］若2是方程2a-3x=2的解，則a=4.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：把x=2代入方程，得2a-6=2,

解得a=4.

故答案為：4.

【題型4利用等式的性質(zhì)變形】

【典例4】下列變形中，不正確的是（）

A.若a-3=6-3,則a=6B.若ac=6c,則

C.若a=。，貝lJa-3=6-3D.若包上，則a=b

cc

【答案】B

【解答】解：4、若a-3=。-3,則。=。，故A不符合題意；

B、若ac=0c（cWO）,則a=。，故3符合題意；

C、若a=。，則a-3=。-3,故C不符合題意；

D、若包上，則。=6,故。不符合題意；

CC

故選：B.

【變式4-1】運(yùn)用等式性質(zhì)進(jìn)行的變形，不一定成立的是（）

A.如果a=b,那么ac=bc

B.如果a=。，那么3-2a=3-2。

C.如果/=2a,那么a=2

D.如果包上，那么4a=3。

34

【答案】C

【解答】解：A.符合性質(zhì)2,該變形成立，故A不符合題意；

B.符合性質(zhì)1、性質(zhì)2,該變形成立，故8不符合題意；

C.不符合性質(zhì)2,等式兩邊同時(shí)除以a,當(dāng)。不為零時(shí)，該變形才成立，故C符合題意;

D.符合性質(zhì)2,該變形成立，故。不符合題意；

故選：C.

【變式4-2】下列運(yùn)用等式性質(zhì)正確的是（）

A.如果a=。，那么a+c=6-c

B.如果ac=Z?c,那么a=6

C.如果包=上，那么a=b

cc

D.如果/=那么q=6

【答案】C

【解答】解：根據(jù)等式的基本性質(zhì)1和等式的基本性質(zhì)2可知：

A,B,。都不符合題意，

C符合題意，

故選：C.

【變式4-31下列說法正確的是()

A.如果那么a+c=6-c

B.如果a=6,那么ac=6c

C.如果。=6,那么一?―一^

X2-11X2-1

D.如果。=-0,那么屆+戶＞0

【答案】B

【解答】解：A.如果。=。，那么a+c=A+c或。-c=0-c,故A不正確；

B.如果a=6,那么ac=0c,故3正確；

C.如果%2-1=0,那么一--=~--不成立，故C不正確；

X2-11X2-11

D.如果。=-。=0,那么屆+戶＞0不成立，故。不正確.

故選：B.

【題型5方程的解中遮擋問題】

【典例5】下面是一個(gè)被墨水污染過的方程：2x-l=3x+W,答案顯示此方程的解是％=

2

1,被墨水遮蓋的是一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)常數(shù)是()

A.1B.-1C.-1D.1

22

【答案】D

【解答】解：.?"=-1是方程的解，

A2X(-1)-1=3X(-1)+■,

2

解得?=2.

2

故選：D

【變式5-1】下面是一個(gè)被墨水污染過的方程：2x-l=lx-?,答案顯示此方程的解是％=

22

5,被墨水遮蓋的是一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)常數(shù)是（）

3

A.2B.-2C.1D.-1

22

【答案】B

【解答】解：設(shè)被墨水遮蓋的常數(shù)是a,

根據(jù)題意得：10

326

解得：a=-2.

故選：B.

【變式5-2］下面是一個(gè)被墨水污染過的方程：2x」=3x+?，答案顯示此方程的解是x=l,

3

被墨水遮蓋的是一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)常數(shù)是（）

A.5B.-5C.二D.1

33

【答案】C

【解答】解：。口是方程2x」=3x+■的解，

3

.?.2」=3+?，

3

?.■=-1,

3

故選：C.

【變式5-3】下面是一個(gè)被墨水污染過的方程：2x-1=3x+★，答案顯示此方程的解是x=-1,

2

被墨水遮蓋的是一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)常數(shù)是（）

A.1B.-1C.-1D.1

22

【答案】D

【解答】解：設(shè)被墨水遮蓋的常數(shù)為/,

將x=-1代入方程，得-2--=-3+3

2

解得f=l.

2

即這個(gè)常數(shù)是」.

2

故選：D.

【題型6解一元一次方程】

【典例6]解方程：

(1)3x+5=4x+l；

【答案】(1)尤=4；

(2)x=--.

3

【解答】解：(1)原方程移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：-x=-4,

系數(shù)化為1得：x=4；

(2)原方程去分母得：7x-2x+40=2x-16,

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：3x=-56,

系數(shù)化為1得：%=-因.

3

【變式6-1】解方程：

(1)5x+3=-2x-11；(2)2x+l=-5x-2一.

63

【答案】⑴尤=2；

⑵x=W.

4

【解答】解：(1)5x+3=-2x-11,

移項(xiàng)，得5x+2x=-11-3,

合并同類項(xiàng)，得7x=-14,

系數(shù)化成1,得x=-2；

(2)2x+l=]_5x-2,

63

去分母，得2x+l=6-2(5x-2),

去括號(hào)，得2x+l=6-10x+4,

移項(xiàng)，得2x+10x=6+4-1,

合并同類項(xiàng)，得12x=9,

系數(shù)化成1,得左=旦.

4

【變式6-2】解方程：

(1)3(2x-7)=1-(x+8)；

(2)3X+5=2X-1

23

【答案】(1)x=2；

⑵x=-".

5

【解答】解：(1)3(2尤-7)=1-(x+8),

6x-21=l-x-8

6x+x=-7+21,

7x=14,

x=2；

(2)3X+5=2x-l,

23

3(3x+5)=2(2x-1),

9x+15=4x-2,

9x-4x=-2-15,

5x=-17,

【變式6-3]解下列方程：

(1)3(x-1)+5(x-1)=16.(2)3x7_[=5X-7.

46

【答案】(1)尤=3；

(2)x=-1.

【解答】解：(1)3(x-1)+5(x-1)=16,

去括號(hào)，得3x-3+5x-5=16,

移項(xiàng)，得3x+5x=16+3+5,

合并同類項(xiàng)，得8x=24,

系數(shù)化成1,得x=3；

(2)3.x-1_I=5X-7,

46

去分母，得3(3x-l)-12=2(5x-7),

去括號(hào)，得9x-3-12=lQx-14,

移項(xiàng)，得9x-10x=-14+3+12,

合并同類項(xiàng)，得-尤=1,

系數(shù)化成1,得x=-l.

【題型7根據(jù)兩個(gè)一元一次方程的解之間的關(guān)系求參數(shù)】

【典例7】若2(a+3)的值與-5互為相反數(shù)，則a的值為()

A.B.J-C.」D.5

222

【答案】C

【解答】解：(a+3)的值與-5互為相反數(shù)，

：.2(a+3)+(-5)=0,

.\a=--,

2

故選：C.

【變式7-1］若多項(xiàng)式3x+5與5x-7的值相等，則x的值為()

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【解答】解：???多項(xiàng)式3x+5與5x-7的值相等，

/.3x+5=5%-7,

移項(xiàng)，可得：3x_5x=-7-5,

合并同類項(xiàng)，可得：-2x=-12,

系數(shù)化為1,可得：x=6.

故選：A.

【變式7-21當(dāng)尸-4時(shí),代數(shù)式2x-1的值與代數(shù)式3x+3的值相等.

【答案】-4.

【解答】解：2x-l=3x+3,

3x-2x—-1-3,

.,.x=~4,

...當(dāng)x=-4時(shí)，代數(shù)式2x-1的值與代數(shù)式3x+3的值相等.

故答案為：-4.

【變式7-3］若代數(shù)式3a+l的值與代數(shù)式3(?-1)的值互為相反數(shù)，則。=_工

-3

【答案】1.

3

【解答】解：根據(jù)題意得：3?+1+3(?-1)=0,

去括號(hào)得：3〃+1+3。-3=0,

移項(xiàng)得：3+3〃=3-1,

合并同類項(xiàng)得：6〃=2,

系數(shù)化為1得：a=l.

3

故答案為：1.

3

【題型8錯(cuò)解一元一次方程的問題】

【典例8］某同學(xué)解方程3x-1=口了+3時(shí)，把口處數(shù)字看錯(cuò)后解得x=-2,那么他把口處看

成了()

A.4B.-4C.5D.-5

【答案】C

【解答】解：依題意，得

3X(-2)-1=(-2)X口+3,即(-2)X口=-10,

解得：口=5.

故選：C.

【變式8-1】某同學(xué)在解方程5x-l=?x+3時(shí)，把■處的數(shù)字看錯(cuò)了，解得x=-4,則該同

3

學(xué)把■看成了()

A.3B.-3C.-8D.8

【答案】D

【解答】解：設(shè)■處的數(shù)字為a,

把％=-2代入方程5x-l=ax+3中得：

3

-20-1=-8+3,

33

&=3+1+型，

33

4a=32

33

a=8,

故選：D.

【變式8-2】同學(xué)小明在解關(guān)于x的方程5x-4=()》時(shí)，把()處的數(shù)看錯(cuò)，得錯(cuò)

解x=T,則小明把()處看成了9.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：設(shè)()內(nèi)的數(shù)為。，

則錯(cuò)解得方程為5x-4=ax,

根據(jù)題意，將x=_1代入得：-5-4=-a,

解得：a=9,

故答案為：9.

【題型9一元一次方程的解在新定義中運(yùn)用】

【典例9】新定義：如果兩個(gè)一元一次方程的解互為相反數(shù)，就稱這兩個(gè)方程為“友好方程”，

如：方程2x=6和3x+9=0為“友好方程”.

(1)若關(guān)于x的方程3x+m=0與方程2x-6=4是“友好方程”，求機(jī)的值.

(2)若某“友好方程”的兩個(gè)解的差為6,其中一個(gè)解為小求〃的值.

【答案】(1)15；(2)±3.

【解答】解：(1)方程2x-6=4解為x=5,

???關(guān)于x的方程3^+m=0與方程2x-6=4是“友好方程”，

，關(guān)于x的方程3x+m=Q的解為x=-5,

A3X(-5)+m=0,

??771=15；

(2)?.?某“友好方程”的一個(gè)解為〃，

???“友好方程”的另一個(gè)解為-〃，

.*.77-(-〃)=6或-"-"=6,

.,.n=3或n=-3.

."=±3.

【變式9-1】定義一種新運(yùn)算③：。＜8)。=4。+0,試根據(jù)條件回答問題

(1)計(jì)算：2(g)(-3)=5；

(2)若x(8)(-6)=30x,請(qǐng)求出x的值；

(3)這種新定義的運(yùn)算是否滿足交換律，若不滿足請(qǐng)舉一個(gè)反例，若滿足，請(qǐng)說明理由.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)根據(jù)題意得：2(g)(-3)=8-3=5；

故答案為：5；

(2)由題意得4x-6=3X4+x,

移項(xiàng)、合并得3x=18,

解得x=6；

（3）不滿足交換律，

反例如：201=9,102=6,顯然2?1W1G）2.

【變式9-2］對(duì)有理數(shù)a,6規(guī)定新運(yùn)算※的意義是：a^b=a+2b,則方程3佟尸2-x的解是

（）

A.1B.3C.-3D.」

33

【答案】A

【解答】解：：蟀。=。+2。，且3xXx=2-x,

=

3x+2x2-x9

移項(xiàng)，可得：3%+2%+%=2,

合并同類項(xiàng)，可得：6x=2,

系數(shù)化為1,可得：X=l.

3

故選:A.

【變式9-3】新華商店店慶促銷，有一種新型書包，原價(jià)每個(gè)x元，第一次降價(jià)打八折，第二

次降價(jià)每個(gè)又減10元，經(jīng)兩次降價(jià)后售價(jià)為70元.則所列方程是（）

A.70-0.8x=10B.0.08%-10=70

C.0.8x-10=70D.x-0.8x-10=70

【答案】C

【解答】解：根據(jù)題意得：0.8%-10=70.

故選：C.

【變式9-4】新定義一種運(yùn)算規(guī)定=-瓦若2^x=x^2,則x的值為2.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：,??^☆6=aA+a-。，2表x=x*l,

2x+2-x=2x+x-2,

整理，可得：2尤=4,

解得x=2.

故答案為：2.

【變式9-5】新定義一種運(yùn)算符號(hào)“規(guī)定xAy=xy+x2-3y,已知2△m=6,則m的值為—

2.

【答案】-2.

【解答】解：由題意，得2m+4-3加=6,

-m—2,

解得m=-2.

故答案為：-2.

【題型10和、差、倍、分問題】

【典例10］某班舉行了“慶祝建黨90周年知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，班長(zhǎng)安排張小明購(gòu)買獎(jiǎng)品，如圖

兩幅圖是張小明買回獎(jiǎng)品時(shí)與班長(zhǎng)的對(duì)話情況:

買了兩種不同的筆記本共40

本，單價(jià)分別是5元和3元，我

領(lǐng)了3007L,現(xiàn)在找回68元。

算了一下，不伺

圖1能找回68元錢!

班長(zhǎng)

張小明

呀!原耒我把自己口袋里的13元一

起當(dāng)作找回的錢了。

圖2

張小明班長(zhǎng)

請(qǐng)根據(jù)圖1、圖2的信息、，解答下列問題:

（1）張小明買了兩種筆記本各多少本？（說明：要求列一元一次方程解決問題）

（2）請(qǐng)你解釋為什么班長(zhǎng)說不可能找回68元錢.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）設(shè)買x本5元的筆記本，則買（40-%）本8元的筆記本,

依題意得，5x+8(40-x)=300-68+13,

解得x=25,

貝！!40-x=15(本).

答：張小明買了5元的筆記本25本，8元的筆記本15本;

（2）設(shè)買x本5元的筆記本，則買（40-x）本8元的筆記本,

根據(jù)題意，得5x+8（40-x）=300-68,

解得x=毀，

3

毀不是整數(shù)，

3

故不能找回68元.

【變式10-11A種飲料比3種飲料單價(jià)少1元，小峰買了2瓶A種飲料和3瓶5種飲料，一

共花了13元，如果設(shè)A種飲料單價(jià)為x元/瓶，那么下面所列方程正確的是()

A.2(尤-1)+3x=13B.2(x+1)+3x=13

C.2x+3(x+1)=13D.2x+3(x-1)=13

【答案】C

【解答】解：設(shè)A種飲料單價(jià)為x元/瓶，則8種飲料單價(jià)為(x+1)元，

根據(jù)小峰買了2瓶A種飲料和3瓶8種飲料，一共花了13元，

可得方程為：2x+3(x+1)=13.

故選：C.

【變式10-2］方方同學(xué)用50元錢去購(gòu)買筆記本和彩色水筆共20件，已知每本筆記本4元，每

支彩色水筆2元，設(shè)方方同學(xué)買了x本筆記本，則()

A.2x+4(20-x)=50B.2(20-x)+4x=50

C.2x+4(50-x)=20D.2(50-x)+4x=20

【答案】B

【解答】解：???方方同學(xué)購(gòu)買筆記本和彩色水筆共20件，且購(gòu)買了x本筆記本，

???購(gòu)買了(20-x)支彩色水筆.

根據(jù)題意得：2(20-x)+4x=50.

故選：B.

【變式10-3】青驕課堂2023年禁毒知識(shí)競(jìng)賽答題，共設(shè)20道選擇題，要求每題必答，每答對(duì)

一題得5分，答錯(cuò)一題扣1分，小新一共得了82分，他答對(duì)了17道題.

【答案】17.

【解答】解：設(shè)小新答對(duì)了x道題，則答錯(cuò)(20-x)道題，

根據(jù)題意得：5%-(20-%)=82,

解得：x=17,

???小新答對(duì)了17道題.

故答案為：17.

【題型11行程問題】

【典例n】甲、乙兩列火車分別從A、§兩城同時(shí)相向開出，當(dāng)兩車相遇后，又繼續(xù)前進(jìn)，甲

車行了全程的2時(shí)，乙車恰好行了全程的烏.這時(shí)兩車相距364km.A、B兩城相距多少千

35

米？

【答案】A、3兩城相距780千米.

【解答】解：設(shè)43兩城相距x千米，

根據(jù)題意得2%+占-x=364,

35

解得尤=780,

答：A、B兩城相距780千米.

【變式H-1】甲地到乙地的高鐵開通后，運(yùn)行時(shí)間由原來(lái)的3.5小時(shí)縮短至1小時(shí)，運(yùn)行里程

縮短了40千米.已知高鐵的平均速度比普通列車的平均速度每小時(shí)快200千米，求高鐵的

平均速度.

【答案】高鐵的平均速度為296人加/小

【解答】解：設(shè)高鐵的平均速度為戒加力，

由題意得：x+40=3.5（x-200）,

解得：x=296,

答:高鐵的平均速度為296m力.

【變式11-2】甲乙兩地相距900千米，一列快車從甲地出發(fā)勻速開往乙地，速度為120千米/

時(shí)：快車開出30分鐘時(shí)，一列慢車從乙地出發(fā)勻速開往甲地，速度為90千米時(shí).設(shè)慢車

行駛的時(shí)間為x小時(shí)，快車到達(dá)乙地后停止行駛，根據(jù)題意解答下列問題.

（1）當(dāng)快車與慢車相遇時(shí)，求慢車行駛的時(shí)間；

（2）當(dāng)兩車之間的距離為315千米時(shí)，求快車所行的路程.

【答案】（1）慢車行駛的時(shí)間為4小時(shí)；

（2）當(dāng)兩車之間的距離為315千米時(shí)，快車所行的路程為360千米或720千米.

【解答】解：（1）由題意得，

120（x+0.5）+90x=900,

解得：x=4,

慢車行駛的時(shí)間為4小時(shí)；

（2）①兩車相遇前相距315千米，

120(x+0.5)+90x=900-315,

解得：尤=2.5,

此時(shí)快車行駛的路程：120X(2.5+0.5)=360(千米)；

②兩車相遇后相距315千米，

120(x+0.5)+90x=900+315,

解得：x=5.5,

此時(shí)快車行駛的路程：120X(5.5+0.5)=720(千米)；

③當(dāng)快車到達(dá)乙地，快車行駛了7.5小時(shí)，慢車行駛了7小時(shí)，7義90=630>315,此種情

況不存在；

當(dāng)兩車之間的距離為315千米時(shí)，快車所行的路程為360千米或720千米.

【變式11-31兩輛汽車同時(shí)從相距300千米的兩地相對(duì)開出，2小時(shí)后相遇.已知兩輛車的速

度比是2：3,求較慢的一輛車每小時(shí)行駛多少千米？

2小時(shí)2小時(shí)

30()千米

【答案】較慢的一輛車每小時(shí)行駛60千米.

【解答】解：設(shè)較慢的一輛車每小時(shí)行駛x千米，

???兩輛車的速度比是2：3,

???較快的一輛車每小時(shí)行駛千米，

2

根據(jù)題意得2(x+3x)=300,

2

解得x=60,

答：較慢的一輛車每小時(shí)行駛60千米.

【題型12工程問題】

【典例12】整理一批圖書，由一個(gè)人做要40小時(shí)完成，現(xiàn)計(jì)劃由一部分人先做4小時(shí)，然

后增加2人與他們一起做8小時(shí)，完成這項(xiàng)工作.假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)先

安排多少人工作？

【答案】應(yīng)先安排2人工作.

【解答】解：設(shè)應(yīng)先安排X人工作，

根據(jù)題意得：至+8（x+22=i

4040

化簡(jiǎn)可得：2+三2=1,

105

即：x+2（x+2）=10

解可得：x=2

答：應(yīng)先安排2人工作.

【變式12-1】學(xué)校舉辦一年一屆的科技文化藝術(shù)節(jié)活動(dòng)，需制作一塊活動(dòng)展板，請(qǐng)來(lái)甲和乙兩

名工人.已知甲單獨(dú)完成需要4天，乙單獨(dú)完成需要6天.

（1）兩個(gè)人一起做需要2.4天完成;

（2）現(xiàn)由乙先做1天，再由兩個(gè)人一起做，還需要多少天可以完成這項(xiàng)工作？

【答案】（1）2.4；（2）2.

【解答】解：（1）14-（1+1）=14-_§_=2.4（天）.

4612

答：兩個(gè)人一起做，需要2.4天可以完成.

故答案為2.4；

（2）設(shè)乙先做1天，再兩人一起做，還需x天完成這項(xiàng)工作，

由題意可得：91+三=1,

64

解得：x=2.

答：還需2天可以完成這項(xiàng)工作.

【變式12-2】某公司需要粉刷一些相同的房間，經(jīng)調(diào)查3名師傅一天粉刷8個(gè)房間，還剩40m2

刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9個(gè)房間；每名師傅比徒弟一天多刷30療的墻面.

（1）求每個(gè)房間需要粉刷的面積；

（2）該公司現(xiàn)有36個(gè)這樣的房間需要粉刷，若只聘請(qǐng)1名師傅和2名徒弟一起粉刷，需

要幾天完成？

【答案】（1）每個(gè)房間需要粉刷的面積為50小；

（2）需要6天完成.

【解答】解：（1）設(shè)每個(gè)房間需要粉刷的面積為x/,

由題意得：8x-40-9x=30>

35

解得：x=50,

???每個(gè)房間需要粉刷的面積為50m2,

答：每個(gè)房間需要粉刷的面積為50m2；

（2）每名徒弟一天粉刷的面積為：9'50=90（加2）,

5

每名師傅一天粉刷的面積為：8X50-40=120（m2）,

3

...3ax50=6（天），

120+90X2

答：需要6天完成.

【題型13順?biāo)嫠畣栴}】

【典例13】?jī)杉茱w機(jī)從同一機(jī)場(chǎng)同時(shí)出發(fā)反向而飛，甲飛機(jī)順風(fēng)飛行，乙飛機(jī)逆風(fēng)飛行.已

知兩飛機(jī)在無(wú)風(fēng)的速度都是500千米每小時(shí)，風(fēng)速是?千米每小時(shí).

（1）甲、乙飛機(jī)飛行時(shí)的速度分別是多少？

（2）3小時(shí)后兩機(jī)的行程分別是多少？

（3）求3小時(shí)后兩機(jī)相距多遠(yuǎn)？

（4）3小時(shí)后，甲飛機(jī)比乙飛機(jī)多航行多少千米？

【答案】（1）甲飛機(jī)飛行時(shí)的速度為（500+a）千米/小時(shí)，乙飛機(jī)飛行時(shí)的速度為（500-a）

千米/小時(shí);

（2）甲飛機(jī)3小時(shí)后飛行的路程為：3（500+a）=（1500+3。）千米，乙飛機(jī)3小時(shí)后飛

行的路程為：3（500-a）=（1500-3a）千米；

（3）3小時(shí)后兩機(jī)相距為3000千米；

（4）3小時(shí)后，甲飛機(jī)比乙飛機(jī)多航行6a千米.

【解答】解：（1）???甲飛機(jī)順風(fēng)飛行，乙飛機(jī)逆風(fēng)飛行，

???甲飛機(jī)飛行時(shí)的速度為（500+a）千米/小時(shí)，乙飛機(jī)飛行時(shí)的速度為（500-a）千米/小

時(shí)；

（2）根據(jù)（1）中寫出的甲、乙飛機(jī)飛行時(shí)的速度，

則甲飛機(jī)3小時(shí)后飛行的路程為：3（500+a）=（1500+3。）千米，乙飛機(jī)3小時(shí)后飛行的

路程為：3（500-a）=（1500-3。）千米；

（3）,兩架飛機(jī)從同一機(jī)場(chǎng)同時(shí)出發(fā)反向而飛，

，3小時(shí)后兩機(jī)相距為：1500+30+1500-3a=3000（千米）；

（4）3小時(shí)后，甲飛機(jī)比乙飛機(jī)多航行的距離為：（1500+3。）-（1500-3?）=6a（千米）.

【變式13-11一架飛機(jī)在A,3兩城市之間飛行，風(fēng)速為20初通，順風(fēng)飛行需要8丸，逆風(fēng)飛

行需要8.5江求無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的飛行速度和A,3兩城市之間的航程.

【答案】無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的飛行速度為660切皿，A,3兩城市之間的航程為5440hn.

【解答】解：設(shè)無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的飛行速度為狄加/力，

由題意得：8(x+20)=8.5(x-20),

解得：x=660,

貝！J8(x+20)=8X(660+20)=5440,

答：無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的飛行速度為660fon//z,A,3兩城市之間的航程為5440hw.

【變式13-2］在風(fēng)速為24kmih的條件下，一架飛機(jī)順風(fēng)從A機(jī)場(chǎng)飛到B機(jī)場(chǎng)要用2.8萬(wàn)，它逆

風(fēng)飛行同樣的航線要用3兒求

(1)無(wú)風(fēng)時(shí)這架飛機(jī)在這一航線的平均航速；

(2)兩機(jī)場(chǎng)之間的航程是多少？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)設(shè)無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速是x千米/時(shí)，

依題意得：2.8X(x+24)=3X(x-24),

解得：x=696.

答：無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速是696千米/時(shí).

(2)由(1)知，無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速是696千米/時(shí)，則

3X(696-24)=2016(千米).

答：兩機(jī)場(chǎng)之間的航程是2016千米.

【變式13-31一架飛機(jī)在兩城之間飛行，風(fēng)速為24千米/時(shí).順風(fēng)飛行需要2小時(shí)，逆風(fēng)飛行

需要3小時(shí)，求無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的速度.

【答案】120千米/時(shí).

【解答】解：設(shè)無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的速度為x千米/時(shí)，根據(jù)題意得：

(x+24)X2=(x-24)X3,

解得：x=120.

答:無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的速度為120千米/時(shí).

【變式13-41一架飛機(jī)在兩城之間飛行，風(fēng)速為24千米/小時(shí)，順風(fēng)飛行需2小時(shí)，逆風(fēng)飛行

需要3小時(shí).

（1）求無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的飛行速度；

（2）求兩城之間的距離.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）設(shè)無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的飛行速度為x千米/小時(shí)，由題意得

2（x+24）=3（%-24）

解得：x=120

答：無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的飛行速度是120千米/時(shí)；

（2）2（x+24）=288千米

答：兩城之間的距離是288千米.

【題型14商品利潤(rùn)問題】

【典例14］某商店購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的節(jié)能燈共100只，購(gòu)進(jìn)100只節(jié)能燈的進(jìn)貨款恰好

為2600元，達(dá)兩種節(jié)能燈的進(jìn)價(jià)、預(yù)售價(jià)如表：（利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）

型號(hào)進(jìn)價(jià)（元/只）預(yù)售價(jià)（元/只）

甲型2025

乙型3540

（1）求該商店購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的節(jié)能燈各多少只？

（2）在實(shí)際銷售過程中，商店按預(yù)售價(jià)將購(gòu)進(jìn)的全部甲型號(hào)節(jié)能燈和部分乙型號(hào)節(jié)能燈售

出后，決定將剩下的乙型號(hào)節(jié)能燈打九折銷售，兩種節(jié)能燈全部售完后，共獲得利潤(rùn)380

元，求乙型號(hào)節(jié)能燈按預(yù)售價(jià)售出了多少只.

【答案】（1）購(gòu)進(jìn)甲種型號(hào)的節(jié)能燈60只，購(gòu)進(jìn)乙種型號(hào)的節(jié)能燈40只；

（2）乙型節(jié)能燈按預(yù)售價(jià)售出的數(shù)量是10只.

【解答】解：（1）設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)甲種型號(hào)的節(jié)能燈x只，則可以購(gòu)進(jìn)乙種型號(hào)的節(jié)能燈（100

-%）只，

由題意可得：20x+35（100-%）=2600,

解得：x=60,100-60=40（只），

答：該商店購(gòu)進(jìn)甲種型號(hào)的節(jié)能燈60只，購(gòu)進(jìn)乙種型號(hào)的節(jié)能燈40只；

（2）設(shè)乙型節(jié)能燈按預(yù)售價(jià)售出的數(shù)量是y只，

由題意得60X（25-20）+（40-35）y+（40-y）X（40X90%-35）=380,

解得：y=10,

答：乙型節(jié)能燈按預(yù)售價(jià)售出的數(shù)量是10只.

【變式14-11一件大衣按其進(jìn)價(jià)提高50%后標(biāo)價(jià).由于季節(jié)原因，現(xiàn)以標(biāo)價(jià)的七折售出，結(jié)

果仍盈利18元.這件上衣的進(jìn)價(jià)是多少元？（提示：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）

【答案】360.

【解答】解：設(shè)這件上衣的進(jìn)價(jià)為x元，

由題意得，

70%?（1+50%）x-x=18,

解之得，

x=36Q,

答：這件上衣的進(jìn)價(jià)是360元.

【變式14-21一臺(tái)手機(jī)進(jìn)價(jià)是2800元，按照標(biāo)價(jià)3400元的九折出售；一塊電子手表進(jìn)價(jià)是

600元，按照標(biāo)價(jià)的八折出售，結(jié)果每臺(tái)手機(jī)的利潤(rùn)比每塊手表的利潤(rùn)多140元，問手表的

標(biāo)價(jià)是多少元？

【答案】900.

【解答】解：設(shè)每塊手表的標(biāo)價(jià)為x元，根據(jù)題意得：

3400X90%-2800-（80%x-600）=140,

0.8x=720,

解得：尤=900,

答：每塊手表的標(biāo)價(jià)為900元.

【變式14-3］我校七年級(jí)社會(huì)實(shí)踐小組去某商場(chǎng)調(diào)查商品的銷售情況，了解到該商場(chǎng)以每條

80元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)了某品牌褲子500條，并以每條120元的價(jià)格銷售了400條，商場(chǎng)準(zhǔn)備采

取促銷措施，將剩下的褲子降價(jià)銷售.

（1）前400條褲子的利潤(rùn)是多少元？

（2）當(dāng)每條褲子降價(jià)多少元時(shí)，銷售完這批褲子正好達(dá)到盈利45%的預(yù)期目標(biāo)？

【答案】（1）16000元；

（2）當(dāng)每條褲子降價(jià)20元時(shí)，銷售完這批褲子正好達(dá)到盈利45%的預(yù)期目標(biāo).

【解答】解：（1）由題意可得，

前400條褲子的利潤(rùn)是：（120-80）X400

=40X400

16000（元）,

答：前400條褲子的利潤(rùn)是16000元;

（2）設(shè)當(dāng)每條褲子降價(jià)x元時(shí)，銷售完這批褲子正好達(dá)到盈利45%的預(yù)期目標(biāo)，

由題意可得：（120-X-80）X（500-400）+16000=500X80X45%,

解得x=20,

答：當(dāng)每條褲子降價(jià)20元時(shí)，銷售完這批褲子正好達(dá)到盈利45%的預(yù)期目標(biāo).

【題型15分配問題】

【典例15】《九章算術(shù)》中“盈不足術(shù)”有這樣的問題：“今有共買羊，人出六，不足四十五；

人出八，不足三.問人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”題意是：若干人共同出資買羊，每人出6元，

則差45元；每人出8元，則差3元.求人數(shù)和羊價(jià)各是多少？設(shè)買羊人數(shù)為x人，則根據(jù)

題意可列方程為（）

A.6x+45=8x+3B.6x+45=8x-3

C.6x-45=8x+3D.6x-45=8x-3

【答案】A

【解答】解：設(shè)買羊人數(shù)為x人，則根據(jù)題意可列方程為6x+45=8x+3.

故選：A.

【變式15-1】我國(guó)明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》中有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每

人7兩，還剩4兩；若每人9兩，還差8兩.問銀子共有幾兩？設(shè)銀子共有x兩，則可列

方程為（）

A.7x+4=9x-8B.7x-4=9x+8C.D.

7979

【答案】D

【解答】解：???銀子共有x兩，每人7兩，還剩4兩，

...分銀子的人共三匹人；

7

,銀子共有x兩，每人9兩，還差8兩，

...分銀子的人共萬(wàn)軍人.

9

又.?.分銀子的人數(shù)不變，

???可列方程組三哇=三軍.

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故選：D.

【變式15-2】近年來(lái)，網(wǎng)購(gòu)的蓬勃發(fā)展方便了人們的生活.某快遞分派站現(xiàn)有包裹若干件需

快遞員派送，若每個(gè)快遞員派送10件，還剩6件；若每個(gè)快遞員派送12件，還差6件，

設(shè)該分派站有x名快遞員，則可列方程為（）

A.10%-6=12x+6B.10x+6=12x-6

Qx-6_x+6Dx+6_x6

【答案】B

【解答】解：設(shè)該分派站有x名快遞員，則可列方程為：

10x+6=12x-6.

故選：B.

【變式15-31某學(xué)校有x間男生宿舍和y個(gè)男生，若每間宿舍住8個(gè)人，則還多4個(gè)人無(wú)法

安置；若每間宿舍安排10個(gè)人，則還多6張空床位，據(jù)此信息列出方程，下列4個(gè)方程中

正確的是（）

?8x-4=10x+6；②③ZtlH；@8x+4=10x-6.

810810

A.①③B.②④C.①②D.③④

【答案】B

【解答】解：按照男生人數(shù)不變列出方程8x+4=10x-6；

按照男生宿舍間數(shù)不變列出方程

810

???正確的方程是②④.

故選：B.

【變式15-4】為了阻斷新冠疫情傳播，疫情居家期間，居民購(gòu)買的蔬菜包由志愿者統(tǒng)一派送.若

每位志愿者派送8個(gè)蔬菜包，則少5個(gè)；若每個(gè)志愿者派送6個(gè)，則剩下4個(gè)未送，設(shè)安

排x個(gè)志愿者派送，則下面所列方程中正確的是（）

A.8x-5=6x+4B.8x+5=6x+4C.8x+5=6x-4D.8x-5=6x-4

【答案】A

【解答】解：由題意可得：8x-5=6x+4,

故選：A.

【題型16配套問題】

【典例16】某車間為提高生產(chǎn)總量，在原有16名工人的基礎(chǔ)上，新調(diào)入若干名工人，使得調(diào)

整后車間的總?cè)藬?shù)是調(diào)入工人人數(shù)的3倍多4人.

（1）求調(diào)入多少名工人；

(2)在(1)的條件下，每名工人每天可以生產(chǎn)240個(gè)螺栓或400個(gè)螺母，1個(gè)螺栓需要2

個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套，應(yīng)該安排生產(chǎn)螺栓和螺母的工人各多少名？

【答案】(1)調(diào)入6名工人；

(2)10名工人生產(chǎn)螺栓，12名工人生產(chǎn)螺母，可使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套.

【解答】解：(1)設(shè)調(diào)入x名工人，

根據(jù)題意得：16+x=3x+4,

解得x=6,

???調(diào)入6名工人；

(2)由(1)知，調(diào)入6名工人后，車間有工人16+6=22(名)，

設(shè)y名工人生產(chǎn)螺栓，則(22-y)名工人生產(chǎn)螺母，

???每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套，

.\240yX2=400(22-y),

解得y=10,

：.22-y=22-10=12,

答：10名工人生產(chǎn)螺栓，12名工人生產(chǎn)螺母，可使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套.

【變式16-1】現(xiàn)用90立方米木料制作桌子和椅子，已知一張桌子配4張椅子，1立方米木料

可做5張椅子或1張桌子，要使桌子和椅子剛好配套.設(shè)用x立方米的木料做桌子，則依

題意可列方程為()

A.4%=5(90-x)B.5x=4(90-x)

C.x=4(90-x)X5D.4xX5=90-%

【答案】A

【解答】解：設(shè)用x立方米的木料做桌子，則用(90-x)立方米的木料做椅子，

依題意，得：4x=5(90-x).

故選：A.

【變式16-2】某車間有28名工人生產(chǎn)螺絲和螺母,每人每天生產(chǎn)1200個(gè)螺絲或1800個(gè)螺母，

現(xiàn)有x個(gè)工人生產(chǎn)螺絲，恰好每天生產(chǎn)的螺母和螺絲按2：1配套.為求x,可列方程()

A.1200%=1800(28-x)B.2X1200%=1800(28-%)

C.2X1800=1200(28-x)D.1800%=1200(28-%)

【答案】B

【解答】解：?.?該車間有28名工人生產(chǎn)螺絲和螺母，且有尤個(gè)工人生產(chǎn)螺絲，

...有(28-x)個(gè)工人生產(chǎn)螺母，

又?.?每人每天生產(chǎn)1200個(gè)螺絲或1800個(gè)螺母，且恰好每天生產(chǎn)的螺母和螺絲按2：1配套,

.,.2X1200%=1800(28-x).

故選：B.

【題型17數(shù)字與日歷問題】

【典例17］觀察下列三行數(shù)：

-24-8-16-3264...(D

-1-2-4-8-1632...②

0'6-6'18-3066...③

(1)第①行數(shù)中的第九個(gè)數(shù)為(-2)〃(用含〃的式子表示)；

(2)取每行數(shù)的第n個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和能否等于-318?如果能，求出n的值；如果不

能，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖，用一個(gè)長(zhǎng)方形方框框住六個(gè)數(shù)，左右移動(dòng)方框，若方框中的六個(gè)數(shù)之和為-156,

求方框中左上角的數(shù).

【答案】(1)(-2)?；

(2)7；

(3)64.

【解答】解：(1)第一行中，從第二個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的比為-2,

???第”個(gè)數(shù)為：-2X(-2)nl=(-2)

(2)設(shè)第一行的第〃個(gè)數(shù)為x,則：x+L+(%+2)=-318

2

x=-128=(-2)7

答：n=7時(shí)滿足題意；

(3)設(shè)方框中左上角的數(shù)為x,

則：x+(-2x)+A%+(-x)+(x+2)+