導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（15種題型）-2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型專項(xiàng)復(fù)習(xí)（解析版）

第05講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(15種題型)

題型一：利用導(dǎo)數(shù)證明或求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)

1.(2023春?甘肅天水?高三校考開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=lnx-f+已-4彳.

⑴當(dāng)”=1時(shí)，求函數(shù)〃力的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)W0在定義域內(nèi)恒成立，求a的取值范圍.

【答案】⑴〃尤)的單增區(qū)間為(0,1),單減區(qū)間為。,內(nèi)).

⑵[1,+?).

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；

(2)利用分離參數(shù)法得到a-22半一x,(x>0)恒成立.令g(無(wú))=邛一x,(無(wú)>0),禾！|用導(dǎo)數(shù)求出g(x)a,

即可求出。的取值范圍.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=lnx-d+(2-a)x的定義域?yàn)?0,+功.

當(dāng)a=l時(shí)，/(J；)=lnx-x2+x.

導(dǎo)函數(shù)r(x)=-J(x-l)(2尤+1).

令解得：0<%<1；令/'("<0,解得：x>l.

所以函數(shù)〃x)的單增區(qū)間為(0,1),單減區(qū)間為(L+s).

(2)因?yàn)樵诙x域內(nèi)恒成立，所以。一22用-x,(x>0)恒成立.

令g(x)=/-x,(x>0),只需a-22g(%)1mx.

g(x)的導(dǎo)函數(shù)/⑴=匕亭工.

令g<x)=0,解得:x=l.

列表得：

X(0,1)1(1,+co)

1

g'(x)+-

g(x)單增極大值單減

所以g（x）a=g（l）=T

所以。-22-1.

解得：a>l.

所以。的取值范圍為［1,+8）.

2.（2023?陜西?西安市西光中學(xué)校聯(lián)考一模）己知函數(shù)/（x）=,+lnx,其中。為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底

數(shù).

（1）當(dāng)。=-1時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

⑵若外司在區(qū)間（0,e］上的最大值為2,求。的值.

【答案】⑴函數(shù)〃x）增區(qū)間為（0,1）,減區(qū)間為（L+8）

⑵a=e

【分析】（1）確定函數(shù)定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論。的取值范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，結(jié)合題意，求得。的值.

【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8）

當(dāng)a=_］時(shí)，f（x）=］nx-x,/'（x）=--l=^-^,

令制或>。得，0<^<1；令/'（X）<。得，尤>1或x<0,結(jié)合定義域得x>l,

二函數(shù)增區(qū)間為（0,1）,減區(qū)間為（L-）;

/C、\11a+X

（2）/（%）=-+-=——

axax

①當(dāng)a>0時(shí)，尤>0,.?.函數(shù)〃x）在（0,e］上是增函數(shù)，

??"（x）M=〃e）=2，.?._|+1=2,，a=e符合題意；

②當(dāng)a<0且-a<e時(shí)，令/'（x）=0得尤=一。,

2

X-CL(-a,e)

廣⑺+0-

“X)增函數(shù)極大值減函數(shù)

???〃%)2=?=2,，T+ln(—。)=2，4不符合題意,舍去；

③若—a'e,即aW-e時(shí)，在(0,e)上＞0,

A/⑺在(0,e)上是增函數(shù)，故“X)在(0,e］上的最大值為111ax=/(e)=-|+l=2,

a=e不符合題意，舍去，

綜合以上可得。=e.

3.(2023?山東?濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在AABC中，AB=2AC,D是邊BC上一點(diǎn),

ZCAD=2ZBAD.

(1)若/A4C=,,求黑的值；

4CD

(2)若AC=1,求的取值范圍.

【答案】(1塔=0

3

【分析】(1)首先求出/B4。、ACAD,再在△AB。、^ACD.中分別利用正弦定理計(jì)算可得;

(2)設(shè)NB4Z)=a,則NC4Z)=2a,ABAC=3a,由面積公式表示出川,、＞^AACD?即可得到

sin3a=A￡)(sina+sinacosa),從而得到AD=4cos"-1,令l+cosa=/，貝(JA￡)=4/+3-8,設(shè)

1+COS6Zt

/⑺=書+：—8利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出/⑺的值域，即可得解.

3兀

【詳解】(1)解：由/R4C=丁，ZCAD=2ZBAD

4f

7T

可得N3AD=—,ZCA￡＞=^.

42

在△ABD中，由正弦定理得3打=,‘in?AD；

sinB

在AACD中，由正弦定理得co=四型尹2；

sinC

3

sinC_AB

在AABC中，由正弦定理得

sinBAC

.71

BDsinZBADsinCSinJAB42r-

所以——=--------------=——----=——x2=<2.

.兀

CDsinZCADsinBsin—AC2

2

(2)解：由AC=1,得AB=2.

^ZBAD=a,貝!|/C4D=2(z,ZBAC=3a,

所以S4ABe=1AB-ACsinZBAC=sin3a,SAABD=gAB?ADsinABAD=ADsina,

S^ACD=AC-ADsinACAD=ADsinacosa,貝Usin3tz=AD(sina+sinacose),

故A。sin3asinacos2?+cos?sin2a4cos1

sina+sinacosasina+sincrcosa1+cosa

3

設(shè)l+cosa=,,貝！JAD=4zH-----8.

t

jr3

因?yàn)?<NBAC<7i,所以0<a<“貝!

設(shè)/(。二書+彳一8,-</<2,貝|/?)=4_白.

因?yàn)楫?dāng)卜<2時(shí)，r⑺>0,所以函數(shù)/⑺在區(qū)間上單調(diào)遞增.

因?yàn)?圖=0,〃2)=|,所以0</⑺<|,

故AD的取值范圍為[o]}

4.(2023?山東濰坊?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=e"T]nx,g(x)=x2—x.

⑴討論〃x)的單調(diào)性;

(2)證明:當(dāng)無(wú)?0,2)時(shí),/(%)<§(%).

【答案】⑴函數(shù)在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增

(2)證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可得出答案；

(2)當(dāng)xe(O,2)口寸，/(x)<g(x),即證翳在x?0,2)上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/(x)=g的

單調(diào)區(qū)間，再利用導(dǎo)數(shù)比較在x?0,2)時(shí)，Inx和x-l的大小，即可得證.

4

【詳解】(1)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?0,+功，

y'(x)=eA-1lm:+--=ex-1^lnx+—,

iB/z(x)=lnx+‘，則〃(%)=工一-y=

XXXX

所以當(dāng)0<x<l時(shí)，〃(尤)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,

當(dāng)x>l時(shí)，//(x)>0,函數(shù)Mx)單調(diào)遞增,

所以〃(x?Ml)=l，

所以f(x)=ei1n%+￡|>0,

所以函數(shù)〃x)在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增；

(2)原不等式為exTlruWx2—x=Mx—l),即焉,

即證24W在xe(°，2)上恒成立，

設(shè)/(x)=下,則“x)=Gj『=h，

所以，當(dāng)光<1時(shí)，r(x)>o,/⑺單調(diào)遞增；當(dāng)％>1時(shí),r(x)<o,/(x)單調(diào)遞減,

所以/(%)</⑴=：,

令(%)=Inx-x+1,f(%)=--1=---,

當(dāng)Ovxvl時(shí)，f(x)>0,(%)單調(diào)遞增;當(dāng)％>1時(shí)，t(x)<0,￡(%)單調(diào)遞減,

所以，(X)max=，(1)=。,所以InxWX—l,

InX<1/\/\ITIYr—1

且在無(wú)?0,2)上有,所以可得到/(lnx)W/(x-l),即匹4官了,

JL1\XCC

所以在x?0,2)時(shí),有〃x)4g(x)成立.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，考查了轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理

能力，有一定的難度.

5.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=asinbx-2尤+tanx(0Vx<]

⑴若。=6=1,判斷〃x)的單調(diào)性;

5

(2)當(dāng)6=2時(shí)，不等式〃x)ZO恒成立，求正實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)/(力單調(diào)遞增

71—2

(2)亍，+8

【分析】(1)求解導(dǎo)函數(shù)/(X),對(duì)f'(X)進(jìn)行分解變形得廣()_結(jié)合余弦

函數(shù)的取值范圍確定尸(X)的符號(hào)，即可得函單調(diào)性;

(2)求解導(dǎo)函數(shù)(⑺，得尸⑺=4acos4x-(2a+2)cosr+l,令〃=c0s2Mo<〃41),設(shè)

cosX

g(?)=W-(2a+2)M+l=4彳〃-((a-￡](a>0),分類討論判斷g(")的符號(hào)，從而確定函數(shù)/(x)的

單調(diào)性，再滿足了(k*20,即可求得正實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)若。=6=1,貝IJ/(x)=sinx-2x+tanx]oVx<T],

所以

1Y5z

2cosx————cosx

32cosx-cosx-l^(cosx-l)2)4r

/'(x)=cosx-2+—\—cosx-2cosx+1

cosXcos2%cos2Xcos2X

當(dāng)xw時(shí)，OvcosxWl,所以cosx-l<0,1cosx—g]e0,；貝”cosx-g]一;<0,

則r(x”o恒成立，所以〃尤)在o,5上單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)。=2時(shí)，/(x)=〃sin2x-2x+tanx0Wx<—,所以

4〃cos4x-(2〃+2)cos2x+1

f'(x)=2acos2X-2H---------=4acos2x-2a-2-\---------

cosxcosxcos2x

2

因?yàn)?(x)NO恒成立，即〃x)1111nz0,^M=COSX(0<M<1),設(shè)

1

g(w)=4au2—(2a+2)〃+1=4u------(a>0),

2a

①若。(出

,即a>l,當(dāng)pl時(shí)，g(")>0,當(dāng)時(shí)，g(")<0,記

17i-..1?o1,口7L7L

—=cosx,貝！Ja——2,0<cosx<一,4W—<x,<一,

2ay2cos玉]242

6

所以當(dāng)xe時(shí)，＞0,當(dāng)時(shí)，/（%）＜0,

所以〃x）在0，：］上單調(diào)遞增，在［?，為］上單調(diào)遞減，在玉上單調(diào)遞增,

所以/（力向,二加以/9）,/（石）｝,易知當(dāng):時(shí)，tan玉＞占，

sin2x

所以/(%)="sin2x-2x+tanx1-2項(xiàng)+tan玉=2(tan七一)>0,

xxx2cos2再

又〃0）=0,所以〃力而力。，所以〃x絲o恒成立，即滿足題意.；

②若;=；,即。=1,則8（〃）=4/“」［20在（0』上恒成立，

2I2j

即當(dāng)xe0總時(shí)，廣（上0恒成立，所以?。┰?）上單調(diào)遞增，

所以“力.二/⑼二。，所以〃x絲0恒成立，即。=1滿足題意.

即g＜a＜l,當(dāng)五,1時(shí)，g（〃）＞0,當(dāng)"〈萬(wàn),工J時(shí),

③若再＜1,g⑺<0,記

I］兀

-—=cos2X2,貝|j—vcos2/v1，0＜X?＜—,

所以當(dāng)xe［O,X2）ug，3時(shí)，/?勾＞0,當(dāng)了€卜與時(shí)，尸（力＜0,

所以〃x）在［0,々）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在匕,野上單調(diào)遞增,

11

所以“無(wú)）1nin=而

因?yàn)榱?=asinT-T+l=a+l一T，〃°）=°，所以當(dāng)”+1-?2。，即時(shí)，

/（“扁=〃°）=°，所以“X）20恒成立，即學(xué)滿足題意；

當(dāng)。+1甘＜0,即:＜。＜卜1時(shí)，/（x）mm=/W＜0,不滿足題意，即:＜。＜91不滿足題意.

乙乙乙\'/乙乙

④若421即0＜awg,當(dāng)時(shí)，g（M）＞0；當(dāng)時(shí)，g（u）＜0,

2a

即當(dāng)xe%］時(shí)，f（x）＜0,當(dāng)時(shí)，

所以外可在0，：］上單調(diào)遞減，在《，力上單調(diào)遞增，

當(dāng)xe］o,￡|時(shí)，/（x）＜/（0）=0,不滿足題意，即不滿足題意.

7

jr—2?

綜上，正實(shí)數(shù)a的取值范圍為［亍,+“)

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)極值與最值與導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，屬于難題.解決本題的關(guān)鍵是，在含有三

角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題中，需要利用三角函數(shù)圖象性質(zhì)分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)從而確定函數(shù)的單調(diào)性與最

值，在本題中由于尸(x)="a-s'尤-(2a+2)cos,x+1,需令〃=8$240<"41),引入新函數(shù)

cosX

g(M)=4au2-(2?+2)?+1=>0),結(jié)合二次函數(shù)與余弦函數(shù)的取值范圍分段處理導(dǎo)數(shù)

符號(hào)與函數(shù)最值問題，從而得正實(shí)數(shù)。的取值范圍.

6.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=e，(lnx+l),/⑺是〃尤)的導(dǎo)函數(shù).

⑴討論函數(shù)/(尤)的單調(diào)性;

(2)設(shè)a?0,若函數(shù)尸(同=尸(。b+05—1)-1在(0,2)上存在小于1的極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)/(無(wú))在(0,+8)上單調(diào)遞增;

⑵I和)

【分析】(1)求導(dǎo)得到尸(x)=e[ln尤+[+],令g(x)=inx+J,證明g(x"g(l)=l,即得函數(shù)的

單調(diào)性；

(2)求導(dǎo)得至Uk⑺二辦2r1,再對(duì)。分a=0,a<0求函數(shù)的極值即得解.

【詳解】⑴由題意，知的定義域?yàn)?。,+8),廣(x)=e(lnx+；+l).

令g(x)=lnx+L則g，(x)==!■,

XX

g'(l)=0,且當(dāng)尤e(o,l)時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，g'(x)>0,

g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在。,內(nèi))上單調(diào)遞增，

Vxe(0,+oo),g(%)>g(l)=l,從而Vxe(0,+co),/々x)>0,

在(0,+s)上單調(diào)遞增.

(2)由題意，得/(x'ulnxHFa(尤—1),xe(0,2),=+；"--.

XX

①當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)(x)=Inx+g=g(%),尸(%)=g'(x).

8

由⑴知，尸(1)=0,且當(dāng)xe(o,l)時(shí)，F(xiàn)(x)<0；當(dāng)xe(l,2)時(shí)，F(xiàn)(x)>0,

.?.歹(x)僅在x=l處取得極小值，且極小值為不符合題意.

②當(dāng)a<0時(shí)，令//("=依2+xT,貝！|/=l+4a.

(i)若A=l+4a40,即aW-；,則Vxe(0,2),//(x)<0,所以尸'(x)4O恒成立，此時(shí)歹(x)無(wú)極值，不

符合題意.

(ii)若A=l+4a>0,即一;<。<0,貝M(x)圖象的對(duì)稱軸為苫=一5>2,所以〃⑺在(0,2)上單調(diào)遞

增.

V/z(l)=a<0,/7(2)=4?+1>0,由函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理得，在(1,2)上存在唯一的實(shí)數(shù)耳，使得

/?(內(nèi))=0,從而尸'(玉)=0,

且當(dāng)xe(o,%)時(shí)，/z(x)<0,從而〃(x)<0；當(dāng)xe(%,2)時(shí),/i(x)>0,從而尸(x)>0.

/.網(wǎng)力在(0,編上單調(diào)遞減，在(占,2)上單調(diào)遞增，

F(x)僅在x=再處取得極小值，極小值為F(x1).

???*x)在(0,不)上單調(diào)遞減，且1<否<2,.?.網(wǎng)菁)<—1)=1,符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)0的取值范圍為

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題有兩個(gè)關(guān)鍵，其一，第一問利用了二次求導(dǎo)，其二，第二問，利用了隱零

點(diǎn)，這些都是求解導(dǎo)數(shù)問題常見到的題型，要理解掌握靈活運(yùn)用.

7.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=(xT)e—ar-l,g(x)=(x-l)lnx-bx-l

(1)若a=l,6=2,試分析和g(x)的單調(diào)性與極值；

⑵當(dāng)。=6=1時(shí)，g(x)的零點(diǎn)分別為耳，巧；尤3，匕，從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)證明.(若全

選則按照第一個(gè)給分)

求證：①In馬+In%:；

②e^T<世上+2.

2

【答案】(1)結(jié)論見解析;

(2)證明見解析.

9

【分析】⑴求函數(shù)〃尤)，g(x)的導(dǎo)函數(shù)函(X),g'(x),再求析(x)=0,g'(x)=O的解,分區(qū)間研究函數(shù)

〃元)，g(x)的單調(diào)性和極值；

(2)①不妨設(shè)占<%，當(dāng)<匕，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定西,馬的范圍，再證明

三=e*',X4=e*2,要證明Inw+ln%〈宗篇，只需證明玉+苫2<1,即可完成證明；

②同①可以證明W=e\%=e*,要證明浮)<幺產(chǎn)+2只需證明e'-ln”+4)<l-ln2,其中玉+%=乙

再利用導(dǎo)數(shù)證明e'-ln(f+4)求其最大值，并證明最大值小于l-ln2即可.

【詳解】(1)由已知/(x)=(x-l)e*—x-l,該函數(shù)的定義域?yàn)?力,轉(zhuǎn))，

所以r(x)=e*+(x-l)e*—l=xeX-l,

當(dāng)x<o時(shí)，r(x)<。，

令=xe*-10),所以〃'(x)=e*+xex=ex(x+1),

所以〃(x)>0,所以函數(shù)網(wǎng)力=旎工-1在[0,+s)上單調(diào)遞增，

又力(0)=-1<0,Ml)=e—l>0,

所以存在彳=毛e(O，l)，使得〃(三)=0,

當(dāng)xe[0,X5)時(shí)，/?(%)<0,當(dāng)xe(x5，+oo)時(shí),A(x)>0,

所以當(dāng)天€(-8,%)時(shí)，r(x)<。，函數(shù)〃尤)在(f°,%)上單調(diào)遞減，

當(dāng)了?毛，+°°)時(shí)，>0,函數(shù)“X)在(三，"°)上單調(diào)遞增，

又了'優(yōu))=0,其中無(wú)56=1,

所以工=%為函數(shù)“X)的極小值點(diǎn)，極小值為

X5

函數(shù)f(x)沒有極大值點(diǎn)；

由已知g(x)=(%-l)lnx-2%-l,該函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),

X—11

所以g'(%)=lnxd------2=Inx----1,

10

設(shè)夕=1f貝U0'(％)=—I—>0,

所以函數(shù)/(尤)=lnx-1在(0,+。)單調(diào)遞增，

x

又0(e)=」<0,0?)=2—4―1>0,

ee

所以存在尤=%，/已卜紜)，使得。(%)=足尤6=。，

X6

當(dāng)0<x</時(shí)，。(x)<0,當(dāng)時(shí)，0(x)>0,

所以當(dāng)。<X</時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(0,%)上單調(diào)遞減,

當(dāng)了>%時(shí)，g'(x)>o,函數(shù)g(x)在(％內(nèi))上單調(diào)遞增，

又g'(%)=0,

所以x=%為函數(shù)g(元)的極小值點(diǎn)，極小值為-%1,

X6

函數(shù)g(x)沒有極大值點(diǎn)，

(2)①由⑴可得，函數(shù)〃x)=(x-l)e-x-l在(―,當(dāng))上單調(diào)遞減,

函數(shù)f(x)在(尤5，+°°)上單調(diào)遞增，犬=%€(°，1)，且工5夕=1,

32

X/(-2)=--+l>0,/(-l)=—<0,/(l)=-2,/(2)=e2-3>0,

ee

所以函數(shù)/(%)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)玉<々，

則石￡(—2,—1),x2G(1,2),

當(dāng)b=l時(shí)，g(%)=(%-l)lnx-尤-1,該函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),

所以g'(%)=ln%+^^-l=lnx-‘,

xx

設(shè)//(%)=In%—,貝?。荨?%)=—I—^->0,

所以函數(shù)4(%)=lnx-,在(0,+8)單調(diào)遞增，

又4(1)=一1<0,//(2)=ln2-1=|ln4-1>0,

所以存在x=%7，七?1,2),使得4(%7)=1口％7—■-=0,

當(dāng)0<%<工7時(shí)，〃(1)v0,當(dāng)1>工7時(shí)，

11

所以當(dāng)。<X<七時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(0,毛)上單調(diào)遞減，

當(dāng)了>尤7時(shí)，g，(x)>0,函數(shù)g(x)在(土,")上單調(diào)遞增，

g(ef=l>0,g(eT)=-2e-<0,

g(e)=e-l-e-l=-2<0,g(e2)=e2-3>0,

所以函數(shù)g(x)=aT)lnx-xT有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)與<%，

2-12

貝Ue~<x3<e,e<x4<e,

因?yàn)閄3為g(x)的零點(diǎn)，所以(電-1)山電-與-1=0,

令I(lǐng)n%%,則退=或，

所以卜一力--1=0,

所以e(-l)T-l=0,所以f=lnw為函數(shù)〃x)=(尤的零點(diǎn)，

又一2<1口七<一1,所以玉=ln%3，同理可得乙二皿/，

所以七=e*9%=e*,

要證明Inw+ln%〈卓，只需證明%+%〈券，

只需證明為+兀2<1'

而％x2e(l,2),所以西+工2<1,

所以

②同①可得函數(shù)/(力="-1)3-％-1有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)其較小零點(diǎn)為4,

因?yàn)椤?2)=->1>0,“一1.5)=。,一5],

因?yàn)閑3<2.83<25,故￡<5,所以〃一㈠)=0.5(1-<0

/(1.5)=0.5e15-2.5=0.5(e15-5)<0,/(2)=e2-3>0,

則不?-2,-1.5),/e(1.5,2),

函數(shù)g(%)=(%-l)ln%-%-1有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)其較小零點(diǎn)為元3，貝"3=爐,%4=匕巧，

12

要證明e&'T＜工產(chǎn)+2,只需證明T＜卜〔七遑+2］,

只需證明e'z_l＜ln［七三+2）設(shè)為+9=入貝

只需證明e'—l〈如（f+4）-如2,

只需證明eJln（7+4）＜l—ln2,

設(shè)尸（/）=e'—ln（7+4）,-g＜f＜g，

則尸（，）=e'一匕，

設(shè)G（'）=e「匕，則G（'）=e'+號(hào)

>0,

所以函數(shù)G（r）=eJ「g即函數(shù)在］；』上單調(diào)遞增,

_￡_21449-4e八

所以______、(]

e49___49e_____'

所以分'⑺＞0

所以P（/）=eJln（/+4）在上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)時(shí)，尸（。＜尸［；］=1一In］,

乙乙\乙J乙

13-33

e2-l-21n-<2.892-l-21n-=0.7-21n-,

222

)5|fl^ei-ln|-(l-ln2)<2(0.35-ln|<1(2-51n1

因?yàn)閑?<2.72?=7.3984,所以2<51n|,

所以e5_ln|-(l-ln2)<|[2—51n|]<0,

所以e'—ln(f+4)<l-如2,

所以浮尸＜5±^+2

2

【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一般考慮先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定

零點(diǎn)的范圍.

8.（2023?陜西咸陽(yáng)?武功縣普集高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考一模）已知函數(shù)〃尤）=、W（xeR）.

13

⑴求“X）的單調(diào)區(qū)間；

⑵若對(duì)于任意的XJo，』，了⑺之履恒成立，求證：k<—.

【答案】⑴遞增區(qū)間為（2E-：2E+￡|（ZeZ）；遞減區(qū)間為（2版+：,2也+亳（左eZ）

（2）證明見解析

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

⑵由題知竽2近對(duì)于任意的xe[嗚恒成立，進(jìn)而分x=0時(shí)和xe[og

時(shí)兩種情況討論求解即可.

cosx+—

【詳解】（1）解：,，（、cosx-sinxI4

令則cos（x+3>0,即2far-]<x+巳<2far+]（笈eZ）,

解得的遞增區(qū)間為（2版-手,2E+j伏eZ）；

令/則cos[x+]]<0,即2E+]<x+：<2E+，（keZ）,

解得?。┑倪f減區(qū)間為（2版+/2版+爸（ZeZ）.

所以，〃x）的遞增區(qū)間為12fai-g,2E+：（eZ）,遞減區(qū)間為12E+：,2E+乎）僅eZ）

（2）證明：因?yàn)椋瑢?duì)于任意的xe。弓，“力士履恒成立,

所以，詈出對(duì)于任意的川叼恒成立,

當(dāng)％=0時(shí)，左ER；

、【//八兀L_L7,sinx

當(dāng)xe0,彳時(shí)，k<——,

I2」xe"

令g(x)=*,9嗚，

，/、cosx—sinx—xsinx

所以，g(x)=-------k--------.

^/z(x)=xcosx-sinx-xsinx,,

所以，”(X)=-xsinx-sinx-xcosx<0在上恒成立,

所以，/I⑴在［。弓上單調(diào)遞減，

14

所以，A(X)</3(O)=O,即/⑴<0在上恒成立

所以，g(x)在[()$上單調(diào)遞減，

所以,

,22

所以,k<---<—

5兀e

7ie2

2

綜上，k<—.

Tie

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問解題的關(guān)鍵在于分離參數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題.

9.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)“無(wú))=(尤2-2依+.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若討論函數(shù)”力的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】(1)增區(qū)間為(o,j和。,包)，減區(qū)間為1J

(2)答案見解析

【分析】(1)當(dāng)a=l時(shí)，求得廣(x)=2(x-l)(lnx+l),利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)

的增區(qū)間和減區(qū)間；

(2)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/(X)的單調(diào)性，對(duì)實(shí)數(shù)。的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論.

【詳解】⑴解：當(dāng)。=1時(shí)，/(.x)=(x2-2x)lnx+|x2,該函數(shù)的定義域?yàn)?0,+功，

/r(x)=(2x-2)lnx+(x-2)+x=2(x—l)(lnx+l),

由r(x)<0可得由可得0<x<：或X>1.

故當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)〃司的增區(qū)間為(0,，和(1,+8),減區(qū)間為

(2)解：函數(shù)“X)的定義域?yàn)?0,+動(dòng)，

(x)=(2x-2a)lnx+(x-2a)+x=2(x-a)(lnx+l),

由廣⑺=0,得玉=J,x2=a[a>^],

15

由/(%)<?？傻?<%<〃由D>0可得0<%<：或X>a.

所以，函數(shù)“X)的增區(qū)間為(。,+8),減區(qū)間為

所以，函數(shù)/(x)的極大值為/［：］=嚶=>。，

極小值為/(〃)=；

a?—Q?ina—Q2I—Inci\

(2)

當(dāng)0<x<，時(shí)，/(x)=xlnxfx+^pla

令夕=——----la,其中0<x<」,

21nxe

lnx-1(21nx-l)(lnx+l)即函數(shù)p(x)在(o,9上單調(diào)遞增,

貝|J"(%)=1+>0,

2(lnx)22(lnx)2

1

故當(dāng)0<x<』時(shí)，p(x)<p——2。<0,

ee

此時(shí)，/(x)=xlnx［x+萬(wàn)篇-2a］>0,所以/(x)在［o,］上不存在零點(diǎn);

①當(dāng)五時(shí)，/(a)=a2Q-lnaKo,此時(shí)函數(shù)/(x)無(wú)零點(diǎn)；

②當(dāng)a=八時(shí)，〃。)=0,此時(shí)函數(shù)〃x)只有一個(gè)零點(diǎn);

③當(dāng)a>血時(shí)，/(?)<0,f(2o)=la2>0,

則/(x)在g,與(a,內(nèi))上各有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，⑴當(dāng)工<。<八時(shí)，f(x)在(0,+動(dòng)上不存在零點(diǎn);

e

(ii)當(dāng)”=五時(shí)，〃x)在(0,+8)上存在一個(gè)零點(diǎn)；

(iii)當(dāng)a>/時(shí)，〃x)在(0,+8)上存在兩個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：

(1)直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖

象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形

結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問題；

(3)參變量分離法：由/(x)=0分離變量得出a=g(x),將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線丫=。與函數(shù)y=g(x)的

圖象的交點(diǎn)問題.

16

10.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)="*：4),其中aeR且awO.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在實(shí)數(shù)%,使得〃毛)=尤。，則稱與為函數(shù)〃尤)的“不動(dòng)點(diǎn)”求函數(shù)〃x)的“不動(dòng)點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；

(3)若關(guān)于x的方程/(7(%))=有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

【答案】(1)/(力的單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為(-3,y)；

(2)答案見解析；

3

(3)〃<0且Qw—r.

e

【分析】(1)直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)記f("=三一a(xw-4),禾U用導(dǎo)數(shù)得尸(x)在(f,-4)和(-4,+8)上均單調(diào)遞增.記

/z(x)=xe=a(x+4),對(duì)“分“>0,“<0討論，結(jié)合零點(diǎn)定理求函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；

(3)記G(x)=裳，利用(1)得出G(x)的單調(diào)性和值域，然后分。>0和。<0兩種情況，結(jié)合(2)中

不動(dòng)點(diǎn)的范圍對(duì)/(/(x))-〃x)=0進(jìn)行分析即可

Y-4-4

【詳解】(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(尤)=丁，定義域?yàn)镽.

_LQ

尸(x)=-Vg,令/⑺=0,得》=一3.

當(dāng)x<-3時(shí)，/?了)>0；當(dāng)x>-3時(shí)，//(x)<0.

所以〃x)的單調(diào)增區(qū)間為(~,-3),單調(diào)減區(qū)間為(-3,+功.

(2)函數(shù)”力的不動(dòng)點(diǎn)即為方程f(x)-x=0的根，即方程尤=0的根.

e

口小，一口、EQ(X+4),,，0?(x+4)xex

顯然，x=-4不是方程--------x=0的根，所以---------x=0<=>---------a=0.

exexx+4

x，/、(x+2)2ex/、/、

記小力=二re一-a(x^-4),因?yàn)槭?町=匕一^>0(當(dāng)且僅當(dāng)x=—2取等號(hào))，所以尸(無(wú))在(f,T)

x+4Ix+4j

和(-4,+8)上均單調(diào)遞增.

由二優(yōu)―〃(x+4),，己介(%)=光爐_.(%+4).

'7x+4

①當(dāng)〃>0時(shí),

17

(i)當(dāng)％￡(—8,—4)時(shí)，7i(—4)=<0,〃］一4——|=?—4——jeae+—>0

eIaeJ\ae)e

(可設(shè)g(%)=gr(x)=(x+l)ex,

當(dāng)?！?一8,—1),g'(%)<0；當(dāng)了￡(一1,+8),g\x)>0；

???g(x)在(-0o,T)單調(diào)遞減，在(一1,+8)單調(diào)遞增，所以8(%)=心”之且(-1)二一：)，

存在"￡(-OO,T)，使得力(6)=0，即存在唯一代(F,-4)使得/(。)=0;

(ii)當(dāng)無(wú)￡(T,+oo)時(shí)，/z(0)=Tav0,/z(4a)>4a(4a+l)-a(4a+4)=12a2>0

(設(shè)/?(x)=e%-x-l,.\y(x)=ex-l,

當(dāng)x￡(-oo,0),p，(x)<0;當(dāng)x￡(0,+oo),pf(x)>0;

???P(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，在(-00,0)單調(diào)遞減，

p(x)>p(0)=0,ex>x+1),存在G?0,+oo),使得"(q)=0,即存在唯一G￡(。,內(nèi))使得MLN。.

②當(dāng)〃<0時(shí)，

(i)當(dāng)Xe(-8,-4)時(shí)，F(xiàn)(同=三一a>0無(wú)零點(diǎn)；

(ii)當(dāng)xe(T,心)時(shí)，因?yàn)闉?0)=-4°>0,〃(一4)=［<0,存在/。<與⑼，使得〃&)=(),即存在

唯一務(wù)e(-4,+<?)使得尸&)=0.

綜上所述，

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)〃尤)有兩個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)飛，t2.當(dāng)4<。時(shí)，函數(shù)〃x)有一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)飛.

Y-L/|

(3)記G(x)=h，由(1)知，

當(dāng)xe(Yo,T］時(shí),函數(shù)G(x)單調(diào)遞增，且G(x)e(yo,0］；

當(dāng)x?T,-3)時(shí)，函數(shù)G(尤)單調(diào)遞增，且G(x)e(0,e3)；

當(dāng)xe(-3,內(nèi))時(shí)，函數(shù)G(x)單調(diào)遞減，且當(dāng)x趨向于無(wú)窮時(shí)，y=e，的增長(zhǎng)速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于一次函數(shù)的增長(zhǎng)

速率，則G(x)?0,e3).

當(dāng)。>0,由(2)知

〃/(x))-/(x)=°o/(x)=4(其中論{1,2}).

18

由/&)=0=。=〃］，代入得上苧=生尹.

(+4exe"

因?yàn)?e(-叫Y),所以此時(shí)營(yíng)=『只有一個(gè)解；

因?yàn)榕c?0,也)，所以此時(shí)?=g有兩個(gè)解，

故〃/(")-〃x)=0共有三個(gè)解，不滿足題意；

當(dāng)〃<0,由(2)知

，(/(力一/⑴=。?！?)、

由/&)=。=>。=把彳，代入得土二=竺±,

A

?0+4ee'。

當(dāng)務(wù)=-3時(shí)，=1=中只有一個(gè)解尤=一3,不滿足題意，此時(shí)a=-g；

ee°e

務(wù)武工-3)U(-3,-O)時(shí)，袈=嚀1共有兩個(gè)解，滿足題意，

綜上所述，當(dāng)。<0且。/-彳時(shí)方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根.

e

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的零點(diǎn)問題，常用的方法：(1)方程法(直接解

方程得解)；(2)圖象法(直接分析函數(shù)的圖象得解)；(3)方程+圖象法(令〃尤)=0得到g(x)=/7(x),分

析g(x)M(x)的圖象得解).

11.(2023?福建福州?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(x)=(x+l)lnx—辦+a.

(1)若。=2,試判斷了(X)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

⑵若x>lJ(x)>0恒成立.

①求。的取值范圍：

②設(shè)4,=—1+—］+—；+???+《，國(guó)表示不超過尤的最大整數(shù).求［1。%］.(參考數(shù)據(jù)：ln2?0.69)

n+1n+2n+32n

【答案】(1)“尤)為(0,+8)上的增函數(shù)，證明見解析

(2)①ae(T?,2］；②當(dāng)”=1或2時(shí)，［10%］=5；當(dāng)〃之3時(shí)，［104］=6

【分析】(1)求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可得出函數(shù)的單調(diào)性；

(2)①x>l,/(x)>0恒成立，只要/(x)1rfli>0即可，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，從而可得出答案；

19

②先利用作差法判斷%=」7+—二+—二+…的單調(diào)性，然后結(jié)合①中的結(jié)論求出為的范圍，再根

n+1n+2n+32n

據(jù)［x］的定義即可得解.

【詳解】(1)/'(%)=lnx+--l(x>0),

ifi^(x)=lnx+—-1,貝!Jg'(x)=g1x—1

所以xe(O,l),g，(x)<O,所以g(x)單調(diào)遞減;

xe(l,-H?),g,(x)>0,所以g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)血n=g(l)=。，所以g(x)NO,即r(x)NO,且僅有(⑴=0,

所以〃x)為(0,+功上的增函數(shù)；

(2)@f'(x\=\wc+—+\-a,

X

1Y_1

令〃(x)=ln_xH---\-X-a,貝！|〃'(無(wú))=——,

則xe(1,網(wǎng),〃⑺>。,所以網(wǎng)力單調(diào)遞增，

所以火力>〃(1),即/。)>"1)=2”,

①當(dāng)a42時(shí)，所以“X)為遞增函數(shù),

所以〃x)>〃l)=0,滿足題意；

②當(dāng)a>2時(shí)，-(1)=2—a<0,尸(e")=l+±>0,

尸(x)有唯一零點(diǎn)七,且看e(l,e"),

則xe。,/)時(shí)，r(x)<0,〃x)單調(diào)遞減，

所以■/■(毛)</。)=。，不合題意，舍去，

綜上，(?e(-oo,2］；

737

②經(jīng)計(jì)算：%=0.5,%=五￡(0.5,0.6),a3=—e(0.6,0.7),

111

因?yàn)?+i-q-----1------>0,所以數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增,

2〃+12n+2n+12〃+12n+2

所以，當(dāng)〃=1或2時(shí)，0.5<an<0.6,

20

當(dāng)〃23時(shí)，an>a3>0.6,

當(dāng)。=2時(shí)，由①可知，此時(shí)〃尤）＞0,即22（1）（/川

X+1

今2(1)‘，則》=2左+1,則有:<In2k+\

X+1k2k—1k2k-l

令左二〃+L〃+2,???,2〃，

則有/l+￡+…+(<ln2〃+32〃+54n+l4n+l