2025年牛津譯林版高三數(shù)學下冊階段測試試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年牛津譯林版高三數(shù)學下冊階段測試試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共7題，共14分)1、已知命題p：2和8的等比中項是4；命題q：平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差等于常數(shù)2a（|F1F2|＜2a）的點的軌跡是雙曲線，則下列命題為真命題的是（）A.p∧qB.￢p∧qC.p∧￢qD.￢p∧￢q2、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點，則異面直線EF和BC1所成的角是（）A.60°B.45°C.90°D.120°3、已知向量=（2，4），向量=（x，3），且，則x的值是（）A.6B.-6C.9D.124、設(shè)函數(shù)f（x）=x3-3ax+b（a＞0），則（）A.x=是f（x）的極大值B.x=-是f（x）的極大值C.x=是f（x）的極大值點D.x=-是f（x）的極大值點5、若，則sin2θ=（）A.B.C.D.6、設(shè)p：|x|＜1；q：則p是q的（）

A.充分不必要條件。

B.必要不充分條件。

C.充分必要條件。

D.既不充分也不必要條件。

7、已知F1、F2分別為雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點．過F2作雙曲線的漸近線的垂線，垂足為P，則|PF1|2-|PF2|2=（）A.4a2B.4b2C.3a2+b2D.a2+3b2評卷人得分二、填空題(共7題，共14分)8、若函數(shù)y=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期是，則ω=____．9、在△ABC中，已知∠A=60°，且=，則tanC=____．10、△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a，b，c成等比數(shù)列，則cosB的最小值____．11、【題文】若則=__________；12、【題文】①（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，已知圓C經(jīng)過點圓心為直線與極軸的交點，則圓C的極坐標方程是____；

②(不等式選做題)已知關(guān)于x的不等式的解集為則實數(shù)的取值范圍是____．13、若非零向量a鈫?b鈫?

的夾角為銳角婁脠

且|a鈫?||b鈫?|=cos婁脠

則稱被“同余”，若b鈫?

被a鈫?

“同余”，則a鈫?鈭?b鈫?

在b鈫?

方向上的投影為______．14、設(shè)函數(shù)f(x)=鈭?ex(2x+1)鈭?ax+a

其中a>鈭?1

若存在唯一的整數(shù)x0

使得f(x0)>0

則實數(shù)a

的取值范圍是______．評卷人得分三、判斷題(共7題，共14分)15、判斷集合A是否為集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．16、函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]是奇函數(shù)．____（判斷對錯）17、已知函數(shù)f（x）=4+ax-1的圖象恒過定點p，則點p的坐標是（1，5）____．（判斷對錯）18、已知函數(shù)f（x）=4+ax-1的圖象恒過定點p，則點p的坐標是（1，5）____．（判斷對錯）19、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，則5∈A．____．20、空集沒有子集．____．21、任一集合必有兩個或兩個以上子集．____．評卷人得分四、證明題(共3題，共18分)22、如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=．

（1）證明：CD⊥平面PAC；

（2）求四棱錐P-ABCD的體積．23、設(shè)x＞0，y＞0，z＞0，且x2+y2+z2=1．

（Ⅰ）求證：xy+yz+xz≤1；

（Ⅱ）求（）2的最小值．24、如圖；在直角梯形PBCD中，PB∥DC，DC⊥BC，點A在邊PB上，AD∥BC，PB=3BC=6，現(xiàn)沿AD將△PAD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．

（Ⅰ）當CD=BC時；證明：直線BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）當三棱錐P-ABD的體積取得最大值時，求平面PBD與平面PCD所成銳二面角的余弦值．評卷人得分五、作圖題(共4題，共16分)25、畫底面邊長為2cm、高為3cm的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的直觀圖．26、已知a＞0，x，y滿足約束條件，若變量x的最大值為6，則變量y的取值范圍為____．27、用平面向量的方法證明：

（1）三角形三條高交于一點；

（2）三角形三條中線交于一點；

（3）三角形三條中垂線交于一點．28、設(shè)a∈[0，2]，b∈[0，4]，則函數(shù)f（x）=x2+2ax+b在R上有兩個不同零點的概率為____．評卷人得分六、綜合題(共2題，共4分)29、如圖；四棱錐P-ABCD的俯視圖是菱形ABCD，頂點P的投影恰好為A．

（1）求證：BD⊥PC；

（2）若AC=2a，BD=4a，四棱錐P-ABCD的體積V=2a3，求PC的長．30、橢圓+=1（a＞0）的焦點在x軸上，則它的離心率的最大值為____．參考答案一、選擇題(共7題，共14分)1、D【分析】【分析】先判斷出p，q的真假，從而判斷出復合命題的真假即可．【解析】【解答】解：命題p：2和8的等比中項是4或-4；

故p是假命題；

命題q：平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差等于常數(shù)2a（|F1F2|＜2a）的點的軌跡是雙曲線；

平面內(nèi)與兩定點距離之差絕對值為常數(shù)的點的軌跡是雙曲線；這個常數(shù)必須小于兩點的距離，此時是雙曲線；

故q是假命題；

故￢p∧￢q是真命題；

故選：D．2、A【分析】【分析】建立空間直角坐標系，利用向量的夾角公式即可得出．【解析】【解答】解：如圖所示，設(shè)AB=2；

則A（2，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），C1（0；2，2），E（2，1，0），F(xiàn)（2，2，1）．

∴=（-2，0，2），=（0；1，1）；

∴===；

∴=60°．

∴異面直線EF和BC1所成的角是60°．

故選：A．3、B【分析】【分析】根據(jù)向量垂直的關(guān)系進行求解即可．【解析】【解答】解：∵；

∴；即2x+3×4=0；

解得x=-6；

故選：B．4、D【分析】【分析】求出導數(shù)，令它為0，求出單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間，從而判斷．【解析】【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x3-3ax+b（a＞0）；

∴f′（x）=3x2-3a；

令f′（x）=0，則x=±；

f′（x）＞0，得x＞或x＜-，f（x）單調(diào)遞增；f′（x）＜0，得-＜x＜；f（x）單調(diào)遞減．

∴x=-是f（x）的極大值點，x=是f（x）的極小值點；

故選D．5、C【分析】【分析】把要求的式子先利用正弦的二倍角公式變形；然后除以1，將1用同角三角函數(shù)關(guān)系代換，利用齊次式的方法化簡；

可求出所求．【解析】【解答】解：若，則sin2θ====；

故選C．6、B【分析】

由：|x|＜1；得：-1＜x＜1；

由得：-1＜x＜0；

因為-1＜x＜1時不一定有-1＜x＜0；而-1＜x＜0時一定有-1＜x＜1；

所以p是q的必要不充分條件．

故選B．

【解析】【答案】把命題p和命題q中的x的范圍解出；根據(jù)解出的x的范圍之間的關(guān)系，判斷p與q的互推情況．

7、A【分析】解：設(shè)雙曲線-=1的一條漸近線方程為y=x；

F2（c，0）到漸近線的距離為d=|PF2|==b；

cos∠POF2===

在△POF1中，|PF1|2=|PO|2+|OF1|2-2|PO|?|OF1|?cos∠POF1

=a2+c2-2ac?（-）=3a2+c2；

則|PF1|2-|PF2|2=3a2+c2-b2=4a2；

故選：A．

求出雙曲線的一條漸近線方程，運用點到直線的距離公式，求得|PF2|=b；運用余弦函數(shù)的定義和余弦定理，計算即可得到所求值．

本題考查距離的平方差，注意運用雙曲線的漸近線方程和點到直線的距離公式，同時考查余弦定理的運用，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．【解析】【答案】A二、填空題(共7題，共14分)8、略

【分析】【分析】由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期為，可得結(jié)論．【解析】【解答】解：函數(shù)y=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期是=；則ω=6；

故答案為：6．9、略

【分析】【分析】由條件利用正弦定理可得4sinB=3cosC，即4sin（120°-C）=3sinC，化簡求得tanC=的值．【解析】【解答】解：△ABC中，已知∠A=60°，且=，∴4b=3c；由正弦定理可得4sinB=3cosC；

即4sin（120°-C）=3sinC，即4（cosC+sinC）=3sinC，即2cosC=sinC，求得tanC==2；

故答案為：2．10、略

【分析】【分析】由已知得cosB==，當且僅當a=c時，cosB取最小值．【解析】【解答】解：∵△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a，b；c成等比數(shù)列；

∴b2=ac；

cosB==；

∴當且僅當a=c時，cosB取最小值．

故答案為：．11、略

【分析】【解析】由已知得：x-y=y，即x=y，故=．【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

試題分析：（1）把極坐標形式化為直角坐標系形式，∵點∴x=∴點P（1，1）．

∵直線展開為∴y?令y=0，則x=1，∴直線與x軸的交點為C（1，0）．

∴圓C的半徑r=|PC|=1．∴圓C的方程為：（x-1）2+y2=1，展開為：x2-2x+1+y2=1，化為極坐標方程：ρ2-2ρcosθ=0；即ρ=2cosθ．

∴圓C的極坐標方程為：ρ=2cosθ．

（2）由得所以函數(shù)y=的圖象總在函數(shù)y=x-2圖象的上方，所以-2a<2,解得a<-1.

考點：極坐標方程與普通方程的互化【解析】【答案】（1）（2）13、略

【分析】解：根據(jù)題意，設(shè)向量a鈫?b鈫?

的夾角為銳角婁脠

若b鈫?

被a鈫?

“同余”，則有|b鈫?||a鈫?|=cos婁脠

隆脿a鈫??b鈫?=|a鈫?||b鈫?|cos婁脠=b鈫?2

隆脿(a鈫?鈭?b鈫?)?b鈫?=a鈫??b鈫?鈭?b鈫?2=b鈫?2鈭?b鈫?2=0

則a鈫?鈭?b鈫?

在b鈫?

方向上的投影為(a鈫?鈭?b鈫?)鈰?b鈫?|b鈫?|=0

．

故答案為：0

．

根據(jù)題意，寫出b鈫?

被a鈫?

“同余”的表達式；再根據(jù)平面向量投影的定義計算即可．

本題考查平面向量的數(shù)量積運算以及向量投影的計算問題，掌握“同余”的定義是解題的關(guān)鍵．【解析】0

14、略

【分析】解：g(x)=鈭?ex(2x+1)y=ax鈭?a

由題意知存在唯一的整數(shù)x0

使得g(x0)

在直線y=ax鈭?a

的上方；

隆脽g隆盲(x)=鈭?ex(2x+1)鈭?2ex=鈭?ex(2x+3)

隆脿

當x<鈭?32

時，g隆盲(x)>0

當x>鈭?32

時，g隆盲(x)<0

隆脿

當x=鈭?32

時，g(x)

取最大值2e鈭?32

當x=鈭?2

時，g(鈭?2)=3e鈭?2

當x=鈭?1

時，g(鈭?1)=1e

直線y=ax鈭?a

恒過定點(1,0)

且斜率為a

故鈭?a鈭?a<g(鈭?1)=1e

且鈭?2a鈭?a鈮?g(鈭?2)=3e鈭?2

解得：a>鈭?12e

且a鈮?鈭?1e2

綜上，a隆脢(鈭?12e,鈭?1e2]

故答案為：(鈭?12e,鈭?1e2].

設(shè)g(x)=ex(2x鈭?1)y=ax鈭?a

問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x0

使得g(x0)

在直線y=ax鈭?a

的上方，求導數(shù)可得函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得鈭?a鈭?a<g(鈭?1)=1e

且鈭?2a鈭?a鈮?g(鈭?2)=3e鈭?2

解關(guān)于a

的不等式組可得．

本題考查導數(shù)和極值，涉及數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．【解析】(鈭?12e,鈭?1e2]

三、判斷題(共7題，共14分)15、√【分析】【分析】根據(jù)子集的概念，判斷A的所有元素是否為B的元素，是便說明A是B的子集，否則A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5?B，∴A不是B的子集；

（3）B=?；∴A不是B的子集；

（4）A；B兩集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案為：√，×，×，√．16、×【分析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義進行判斷即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定義域不關(guān)于原點對稱；

故函數(shù)y=sinx不是奇函數(shù)；

故答案為：×17、√【分析】【分析】已知函數(shù)f（x）=ax-1+4，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出其過的定點．【解析】【解答】解：∵函數(shù)f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴點P的坐標為（1；5）；

故答案為：√18、√【分析】【分析】已知函數(shù)f（x）=ax-1+4，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出其過的定點．【解析】【解答】解：∵函數(shù)f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴點P的坐標為（1；5）；

故答案為：√19、×【分析】【分析】判斷5與集合A的關(guān)系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5?Z；所以5∈A錯誤．

故答案為：×20、×【分析】【分析】根據(jù)空集的性質(zhì)，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根據(jù)題意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；則原命題錯誤；

故答案為：×．21、×【分析】【分析】特殊集合?只有一個子集，故任一集合必有兩個或兩個以上子集錯誤．【解析】【解答】解：?表示不含任何元素；?只有本身一個子集，故錯誤．

故答案為：×．四、證明題(共3題，共18分)22、略

【分析】【分析】（1）由PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD可證明PA⊥CD，在△ACD中，由已知可得AC2+CD2=AD2；即CD⊥AC，又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，從而證明CD⊥平面PAC．

（2）先求S四邊形ABCD=AB×AC=，從而由VP-ABCD=S四邊形ABCD×PA，即可求解．【解析】【解答】（本小題滿分12分）

解：（1）證明：∵PA⊥平面ABCD；CD?平面ABCD

∴PA⊥CD（2分）

在△ACD中，AD=2，CD=1，AC=；

∴AC2+CD2=AD2

∴∠ACD=90°；即CD⊥AC（4分）

又PA∩AC=A；PA?平面PAC，AC?平面PAC；

∴CD⊥平面PAC（6分）

（2）∵S四邊形ABCD=AB×AC=（9分）

∴VP-ABCD=S四邊形ABCD×PA=（12分）23、略

【分析】【分析】（Ⅰ）利用重要不等式x2+y2≥2xy；通過同向不等式可加性，直接求證：xy+yz+xz≤1；

（Ⅱ）利用≥2z2；≥2y2；≥2x2，推出（）2的不等關(guān)系，利用已知條件即可求出表達式的最小值．【解析】【解答】解：（Ⅰ）證明：因為x2+y2≥2xy；

y2+z2≥2yz；

x2+z2≥2xz；

所以x2+y2+z2≥xy+yz+xz；

故xy+yz+xz≤1；

當且僅當x=y=z時取等號；（6分）

（Ⅱ）因為≥2z2；≥2y2；≥2x2

所以+≥x2+y2+z2=1；

而（）2=++2（x2+y2+z2）≥3

所以（）2≥3；當且僅當x=y=z時取等號；

故當x=y=z=時，（）2的最小值為3．（14分）24、略

【分析】【分析】（Ⅰ）當CD=BC時；四邊形ABCD是正方形，連結(jié)AC；BD，則BD⊥AC，再推導出PA⊥AD，從而BD⊥PA，由此能證明BD⊥平面PAC．

（Ⅱ）設(shè)DC=t，t∈（0，6），則PA=6-t，以A為原點，AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面PBD與平面PCD所成銳二面角的余弦值．【解析】【解答】證明：（Ⅰ）在直角梯形PBCD中，AD∥BC，AB∥DC，DC⊥BC，

當CD=BC時；四邊形ABCD是正方形；

連結(jié)AC；BD；則BD⊥AC；

∵平面PAD⊥平面ABCD；

平面PAD∩平面ABCD=AD；PA⊥AD；

PA?平面ABCD；故BD⊥PA；

又AC∩PA=A；∴BD⊥平面PAC．

解：（Ⅱ）設(shè)DC=t；t∈（0，6），則PA=6-t；

由（Ⅰ）知VP-ABD=≤=3，

當6-t=t；即t=3時取等號，此時AP=AB=DC=3．

如圖；以A為原點，AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系；

則B（3；0，0），D（0，2，0），P（0，0，3），C（3，2，0）；

設(shè)=（x；y，z）是平面PCD的一個法向量；

∵=（3，0，0），=（0；-2，3）；

∴，取z=2，得=（0；3，2）；

設(shè)=（a，b；c）是平面PBD的法向量；

∵=（-3，2，0），=（0；-2，3）；

∴，取c=2，得=（2；3，2）；

設(shè)平面PBD與平面PCD所成銳二面角為θ；

則cosθ===．

∴平面PBD與平面PCD所成銳二面角的余弦值為．五、作圖題(共4題，共16分)25、略

【分析】【分析】根據(jù)斜二側(cè)畫法作圖．【解析】【解答】解：（1）建立空間直角坐標系B1-xyz；

（2）在x軸上作線段B1C1=2cm，在y軸上作線段B1A1=1cm；

（3）過C1作y軸的平行線，過A1作x軸的平行線，使得兩條平行線交于D1點；

（4）分別過A1，B1，C1，D1作z軸的平行線，使得A1A=B1B=C1C=D1D=3cm．

（5）連結(jié)AB，BC，CD，AD，則ABCD-A1B1C1D1就是要做的直觀圖．26、略

【分析】【分析】由約束條件作出可行域，求得使變量x取得最大值的a值，再求出圖中A，B的縱坐標，則答案可求．【解析】【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立；解得A（2a，-a）；

聯(lián)立，解得B（）；

由圖可知；變量x的最大值為2a=6，即a=3．

變量y的取值范圍為[-a，]=[-3，]．

故答案為：．27、略

【分析】【分析】（1）作圖，在△ABC中，作高線AH⊥BC，BH⊥AC，連接CH，只要證明CH⊥AB．即證明?=0；

（2）作圖；在△ABC中，設(shè)D；E、F分別為BC、AC、AB的中點，BE與AD的交點為G，證明CG與CF共線即可；

（3）作圖，設(shè)=，=，=；推出?=0即可．【解析】【解答】證明：（1）如圖；在△ABC中；

作高線AH⊥BC；BH⊥AC，連接CH，只要證明CH⊥AB．

∵AH⊥BC；BH⊥AC；

∴=0，?=0；

∴?（+）=0，?（+）=0．

∴?-?=0；

∴?=0；

∴CH⊥AB，

故三角形三條高交于一點；

（2）在如圖；在△ABC中，設(shè)D；E、F分別為BC、AC、AB的中點，BE與AD的交點為G；

設(shè)=，=；則=-，=-=-；

設(shè)=x，則=-=x-=（-1）+；

∵與共線；

∴=，解得，x=；

∴=-=-；

∴=-=（-）=；

∴CG與CF共線；即G在CF上；

故三角形三條中線交于一點