2024年高考數(shù)學(xué)（上海卷）真題詳細(xì)解讀及評(píng)析

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一文化考試上海數(shù)學(xué)科目考試結(jié)束后，市教育考試院邀請(qǐng)相關(guān)專(zhuān)家對(duì)試卷進(jìn)行了評(píng)析。專(zhuān)家一致認(rèn)為：試卷依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)確定考試內(nèi)容，立足基礎(chǔ)、梯度合理，以學(xué)科核心素養(yǎng)為考查目標(biāo)，注重考查考生的綜合能試卷結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定，內(nèi)容分布合理，包含預(yù)備知識(shí)、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)等主題內(nèi)容。在填空題、選擇題和解答題中，均含有相當(dāng)數(shù)量的基礎(chǔ)題，只要考生掌握數(shù)學(xué)基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)和通性通法即可進(jìn)行解答。如填空題和選擇題中對(duì)集合、函數(shù)、向量、三角、復(fù)數(shù)和成對(duì)數(shù)據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)等基本概念的考查，對(duì)二項(xiàng)式定理、全概率公式等基本定理和公式應(yīng)用的考查，以及在解答題中對(duì)立體幾何中線面角和解析幾何中離心率等基本計(jì)算的考查，均體現(xiàn)了試卷注重考查基礎(chǔ)二、聚焦核心素養(yǎng)，凸顯學(xué)科價(jià)值試卷以適切的問(wèn)題情境為載體，突出核心素養(yǎng)導(dǎo)向，同時(shí)適應(yīng)數(shù)字化學(xué)習(xí)的需要，考查考生通過(guò)數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)屬性及獲取有價(jià)值信息并進(jìn)行定量分析的意識(shí)和能力。如填空題中海面上貨船和燈塔的位置關(guān)系問(wèn)題，考查考生運(yùn)用解三角形的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。選擇題以沿海地區(qū)氣溫與海水表層溫度的統(tǒng)計(jì)關(guān)系為切入點(diǎn)，將重視科學(xué)素養(yǎng)、關(guān)注生態(tài)環(huán)境納入考生視野。解答題通過(guò)考生學(xué)業(yè)成績(jī)與體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)的有關(guān)問(wèn)題，考查考生的數(shù)據(jù)分析能力，并引導(dǎo)考生在追求優(yōu)秀學(xué)業(yè)成績(jī)的同時(shí)適當(dāng)進(jìn)行體育鍛煉，注重全面發(fā)展。樹(shù)立正確的價(jià)值觀。又如填空題中的概率問(wèn)題，引導(dǎo)考生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用三、關(guān)注關(guān)鍵能力，培育思維品質(zhì)試卷注重?cái)?shù)學(xué)工具價(jià)值和理性精神的引領(lǐng)，在解三角形、概率、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)的考查中，與現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)要求考生熟悉數(shù)學(xué)語(yǔ)言，真正理解試題中的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，充分運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析，通過(guò)切實(shí)的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理、分析才能得出答案。填空題中的復(fù)數(shù)問(wèn)題，入口寬泛、方法多元，同時(shí)體現(xiàn)了復(fù)數(shù)的本質(zhì)：一個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)際上是平面上的一點(diǎn)。在解題時(shí)既可以看作復(fù)數(shù)的一元方程，也可以看作實(shí)數(shù)的二元方程組。又如函數(shù)解答題考查考生理解新概念，以及在此基礎(chǔ)上綜合運(yùn)用函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)、單23年高考的二項(xiàng)式定理這樣的出法比較少見(jiàn)，但不難理解。兩個(gè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)合并也比較顯然。24年高考的在“集合A中任意兩個(gè)元素的乘積均為偶數(shù)”設(shè)置了一些小障礙，之后求無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位正偶數(shù)，屬于常見(jiàn)問(wèn)題。第11題23年高考在理解實(shí)際問(wèn)題題意上很簡(jiǎn)單，求函數(shù)解析式也很簡(jiǎn)單。難點(diǎn)在于求函數(shù)最值的技巧，計(jì)算量不24年高考在理解實(shí)際問(wèn)題題意上也很容易，但條件比較多，0A⊥OB容易被忽視。難點(diǎn)在于：①需要設(shè)角，通過(guò)解三角形的相關(guān)知識(shí)，得到關(guān)于角的方程；②數(shù)據(jù)非常難看，在計(jì)算過(guò)程中就需要近似才能比較順利地執(zhí)行后續(xù)計(jì)算，而最終結(jié)果精確到0.1°,且涉及角和三角比的轉(zhuǎn)化，這就導(dǎo)致中間過(guò)程需要至少精確到0.001才會(huì)有安全感，頻繁敲擊計(jì)算器，抄錄數(shù)據(jù)，會(huì)給考生帶來(lái)很大的心理壓力。第12題24年高考是需要探索的數(shù)列題，如果對(duì)于“等比數(shù)列”或者“指數(shù)函數(shù)”的性質(zhì)(主要指：當(dāng)?shù)讛?shù)>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)不止嚴(yán)格增，且增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，以至于有“指數(shù)爆炸”的特點(diǎn))比較熟悉，在經(jīng)過(guò)n=1,n=2,n=3的探索后，比較容易找到解題關(guān)鍵。耗時(shí)稍多(考慮探索的耗時(shí)),思維難度中等偏低。在構(gòu)思完大方向后，處理不等式恒成立的難度中等。計(jì)算難度偏低。第15題23年的題屬于23年高考的一個(gè)亮點(diǎn)，非常優(yōu)質(zhì)，重思維(動(dòng)態(tài)想象),輕計(jì)算?？忌梢钥縿?dòng)態(tài)想象能力連蒙帶猜排除所有錯(cuò)誤選項(xiàng)，也可以嚴(yán)謹(jǐn)用分類(lèi)討論完成。24年的題審題稍有障礙，“任意”“存在”的邏輯要清晰，當(dāng)然本題中的描述相當(dāng)基礎(chǔ)。最大的障礙在于考法比較偏門(mén)，大多數(shù)同學(xué)應(yīng)該沒(méi)有在高三下遇到過(guò)類(lèi)似問(wèn)題，至多只遇到過(guò)其降維形式“平面向量”的版本，并做了就忘。背景方面，雖然背景是空間向量的“向量共面的充要條件”,但實(shí)際上想到這個(gè)背景對(duì)于解題也并無(wú)幫助。如果能看懂題意，還是比較簡(jiǎn)單的，只需將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)，解方程即可。第16題23年的曲線相關(guān)的新定義比較少見(jiàn)，理解難度中等。計(jì)算難度中等。在構(gòu)思完大方向后，求取值范圍非常簡(jiǎn)單，甚至可以目測(cè)。24年的函數(shù)型新定義比較常規(guī)，理解難度中等，各選項(xiàng)證明和舉反例的難度中等偏下，也就模擬考抽象函數(shù)水平。第18題23年有一個(gè)分母不為0的小陷阱24年的定義域要求更明顯，這樣的考核更合理一些，希望同學(xué)們不要看到二次方程有解就只想到△≥0。第19題23年的概率題，(1)是一些基本概型問(wèn)題；(2)則有以下難點(diǎn)①題干較長(zhǎng)，記憶題干要點(diǎn)的障礙；②求概率時(shí)需要分類(lèi)討論，車(chē)模根據(jù)外觀和內(nèi)飾的顏色有2×2的表格，較為復(fù)雜，分類(lèi)容易混亂；屬于中等偏上難度。24年的統(tǒng)計(jì)題，唯一的障礙在于表格數(shù)據(jù)較多，抄寫(xiě)和計(jì)算都比較麻煩，這題思維難度放到二?？即蠖嘀荒馨才旁?9(1)。難度較低。第20題23年的題以設(shè)點(diǎn)為基礎(chǔ)進(jìn)行研究，對(duì)于一些無(wú)腦設(shè)線的考生來(lái)說(shuō)會(huì)比較怪。涉及過(guò)拋物線上任意兩點(diǎn)的直線方程，當(dāng)然即使不知道這個(gè)結(jié)論，也只是會(huì)增加一些計(jì)算障礙。求點(diǎn)和邊長(zhǎng)的計(jì)算較為簡(jiǎn)單。不等式恒成立的處理也較為簡(jiǎn)單。設(shè)置了一個(gè)A,P兩點(diǎn)不重合帶來(lái)的定義域小陷阱，很容易忽視。24年的題是典型的設(shè)線，對(duì)于習(xí)慣設(shè)線的考生來(lái)說(shuō)比較友好。設(shè)線有y=k(x+2)和x=my-2兩種形式，后者處理本題較為簡(jiǎn)單。這里還是按照教材中介紹的前者，即點(diǎn)斜式進(jìn)行難度分析。斜率k不存在的情況需要考慮并計(jì)算，相對(duì)麻煩。斜率k存在的情況，結(jié)論式翻譯的計(jì)算相對(duì)常規(guī)，中等難度，容易得到k,b的等量關(guān)系。根據(jù)該等量關(guān)系得到b的取值范圍難度中等。設(shè)置了一個(gè)二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0帶來(lái)的舍根難度加大。第21題23年的題解題關(guān)鍵在于“構(gòu)造函數(shù)后判斷符號(hào)”,思維難度中等，計(jì)算難度低，中等難度。24年的題解題關(guān)鍵在于“得到無(wú)法求出的駐點(diǎn)”,因?yàn)橛谐浞值奶崾?，思維難度中等，計(jì)算難度低，中等難度。題號(hào)題型考查點(diǎn)每題4分，共24分填空補(bǔ)集、分段函數(shù)、一元二次不等式、函數(shù)奇偶性、平面向量、二項(xiàng)每題5分，共30分填空拋物線的定義、全概率公式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算、排列組合與集合的性質(zhì)、解三角形、數(shù)列每題5分，共18分成對(duì)數(shù)據(jù)相關(guān)分析、三角函數(shù)的周期性、空間向量、函數(shù)的性質(zhì)14分14分對(duì)數(shù)函數(shù)、等差數(shù)列【答案】√314分概率統(tǒng)計(jì)：(1)分層抽樣；(2)頻率分布表求平均數(shù)；(18分18分導(dǎo)數(shù)一、了解上海高考數(shù)學(xué)的考試大綱，明確備考重點(diǎn)上海高考數(shù)學(xué)考試大綱是備考的“導(dǎo)航儀”。我們要認(rèn)真研究大綱，了解考試范圍、題型及分值分布，從而明確備考重點(diǎn)。對(duì)于考試大綱中提到的內(nèi)容，我們腦海里要能浮現(xiàn)出對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)、難點(diǎn)、重點(diǎn)等，如果還不熟的，要針對(duì)性地去查漏補(bǔ)缺。如果考試大綱中沒(méi)有提到的內(nèi)容，就不用去特別準(zhǔn)備?？傮w來(lái)說(shuō)，這幾年上海高考數(shù)學(xué)的大綱變化不會(huì)很大。二、建立自己個(gè)性化的上海高考數(shù)學(xué)知識(shí)體系，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)高考數(shù)學(xué)涉及多個(gè)模塊，建立完整的知識(shí)體系至關(guān)重要。從現(xiàn)在開(kāi)始，對(duì)照大綱，梳理各模塊知識(shí)點(diǎn)，確保掌握基礎(chǔ)概念、定理和公式。同時(shí)，通過(guò)做題鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高運(yùn)用能力。三、反復(fù)練習(xí)真題，突破重點(diǎn)難點(diǎn)面對(duì)高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)，我們需要進(jìn)行有針對(duì)性的專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練、重點(diǎn)年突破?？梢苑磸?fù)做近年來(lái)的高考真題，找出命題趨勢(shì)和規(guī)律，針對(duì)性地解決自己的薄弱環(huán)節(jié)。一、填空題(本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分)【答案】(-1,3)【解析】由題可知，展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和是(1+1)n=32,所以n=5,該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式是Tr+1=7.已知拋物線y2=4x上有一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為9,那么P到x軸的距離為【解析】設(shè)P坐標(biāo)為(x?,yo),P到準(zhǔn)線的距離為9,即xo+1=9,xo=8,代入拋物線方程，可得yo=8.某校舉辦科學(xué)競(jìng)技比賽，有A、B、C3種題庫(kù)，A題庫(kù)有5000道題，B題庫(kù)有4000道題，C題庫(kù)有3000道題.小申已完成所有題，他A題庫(kù)的正確率是0.92,B題庫(kù)的正確率是0.86,C題庫(kù)的正確率是0.72.現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是9.已知虛數(shù)z,其實(shí)部為1,且,則實(shí)數(shù)m為【答案】2【解析】設(shè)z=1+bi(b≠0),10.設(shè)集合A中的元素皆為無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位正整所以集合元素個(gè)數(shù)最大值為256+72+1=329種.11.已知A在0正東方向，B在0的正北方向，0到A、B距離相等，∠BTO=16.5°,∠ATO=37°,則∠BOT=.(精確到0.1度)【答案】7.8°12.等比數(shù)列{an}首項(xiàng)a?>0,q>1,記In={x-ylx,y∈[a?,az]u[an,an+1]},若對(duì)任意正整數(shù)n,【答案】[2,+0]【解析】由題不妨設(shè)x>y,若x,y均在[a?,a?],則有x-y∈[0,a?-a?]二、選擇題(本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分)【答案】C14.下列函數(shù)f(x)的最小正周期是2π的是() 立的是()三、解答題(本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分)17.如圖為正四棱錐P-ABCD,0為底面ABCD的中心.(1)若AP=5,AD=3√2,求△POA繞PO旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；(2)若AP=AD,E為PB的中點(diǎn)，【答案】(1)12π;(2)"因?yàn)锳D=3√2,所以A0=OD=OB=0C=3,因?yàn)锳P=5,所以PO=√AP2-AO2=4,所以△POA繞OP旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是以3為底面半徑，4為高的圓錐，AB=√2a,則AO=0D=OB=0C=a,PO=√AP2-AO2=a,故BD=(-2a,0,0),AC=(0,2a,0),設(shè)直線BD與面AEC所成角為θ,因?yàn)?8.若f(x)=logax(a>0,a≠1).【解析】(1)由y=f(x)過(guò)(4,2)可得loga4=2,則4=a2=a=±2,又a>0,故a=2,因?yàn)閒(x)=log?x在(0,+)上是嚴(yán)格增函數(shù)，f(2x-2)<f(x)=0<2x-2<x=1<x<2,所以解集為(1,2).又,故在(0,+)上，時(shí)間范圍531總數(shù)①提出原假設(shè)H?:成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)無(wú)關(guān)。20.雙曲線1,(b>0),A?,A?為左P、Q,且點(diǎn)P在第一象限，因?yàn)閍2+b2=c2,所以b2=3,所以b=√3(負(fù)舍).