2024年高考數(shù)學(xué)（新高考Ⅱ卷）真題詳細(xì)解讀及評析

2024年新高考IⅡ卷數(shù)學(xué)試題在貫徹黨的二十大精神、立德樹人的教育理念下，展現(xiàn)出了多方面的創(chuàng)新和特色。以下是對試題特點的詳細(xì)分析：一、試卷結(jié)構(gòu)設(shè)計精巧，題型豐富多樣新高考II卷數(shù)學(xué)試題在結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了精心設(shè)計，通過選擇題和非選擇題兩大板塊的有機(jī)結(jié)合，全面考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力。選擇題部分涵蓋了單項選擇和多項選擇，不僅檢驗了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握程度，還考察了他們的解題速度和判斷能力。非選擇題部分則包括填空題、解答題、證明題等多種題型，這些題目更加注重學(xué)生的解題思路和方法的運(yùn)用，有助于全面展示學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力。二、題目難度適中，具有挑戰(zhàn)性整體而言，新高考IⅡ卷數(shù)學(xué)試題的難度適中，既不會過于簡單導(dǎo)致學(xué)生失去挑戰(zhàn)的樂趣，也不會過于復(fù)雜而超出學(xué)生的能力范圍。部分題目設(shè)計得相當(dāng)巧妙，需要學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識的同時，能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行推理和分析。這種設(shè)計有助于激發(fā)學(xué)生的思維潛能，培養(yǎng)他們的解題能力和探索精神。三、突出數(shù)學(xué)學(xué)科特點，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識考查新高考II卷數(shù)學(xué)試題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，強(qiáng)化了對基礎(chǔ)知識的考查。試題內(nèi)容涵蓋了高中數(shù)學(xué)的主要知識點，包括代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計等各個領(lǐng)域。通過對這些知識點的深入考查，試題旨在幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力。四、注重關(guān)鍵能力測試，推動學(xué)生全面發(fā)展除了對基礎(chǔ)知識的考查外，新高考IⅡ卷數(shù)學(xué)試題還注重對學(xué)生關(guān)鍵能力的測試。這些能力包括邏輯思維能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及創(chuàng)新思維能力等。通過設(shè)計具有挑戰(zhàn)在試題設(shè)計中，新高考IⅡ卷數(shù)學(xué)試題充分貫徹了立德樹人的教育理念，強(qiáng)調(diào)了德育的重綜上所述，2024年新高考II卷數(shù)學(xué)試題在試卷結(jié)構(gòu)、題目難度、學(xué)科特點以及德育導(dǎo)向2024年新高考IⅡ卷數(shù)學(xué)試題在多個方面展現(xiàn)出了顯著的改革與創(chuàng)新。以下是對其特點的具體分析：新高考II卷數(shù)學(xué)試題在結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了調(diào)整，減少了部分題目的數(shù)量，這一變化為學(xué)生預(yù)新高考II卷數(shù)學(xué)試題的難度分布相對合理，既立足基礎(chǔ)，又有一定區(qū)分度。除了最后一題的最后一問難度稍高外，其他題目的難度相對適中，這一設(shè)計有助于滿足不同水平學(xué)生的需求，既能讓大部分學(xué)生得到基本分?jǐn)?shù)的保障，又能選拔出具有潛力的優(yōu)秀學(xué)生。同時，試題在題型設(shè)置上呈現(xiàn)出多樣化趨勢，通過增加不確定性和融合跨章節(jié)知識點，考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力和問題解決能力。這種設(shè)計有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實踐能力，提升他們的綜合素質(zhì)。四、德育導(dǎo)向與立德樹人的體現(xiàn)新高考II卷數(shù)學(xué)試題在貫徹德育導(dǎo)向方面做得十分出色。試題通過融入家國情懷、愛國情操等德育元素，引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的價值觀和人生觀。同時，試題還注重培養(yǎng)學(xué)生的世界眼光和時代意識，引導(dǎo)他們關(guān)注社會發(fā)展和科技進(jìn)步，增強(qiáng)社會責(zé)任感和創(chuàng)新精神。這種德育導(dǎo)向不僅有助于提升學(xué)生的綜合素質(zhì)，還有利于推動學(xué)校教育的改革和創(chuàng)新。綜上所述，新高考II卷數(shù)學(xué)試題在試卷結(jié)構(gòu)、命題風(fēng)格、難度分布以及德育導(dǎo)向等方面都展現(xiàn)出了顯著的改革與創(chuàng)新。這些變化不僅有助于更全面地評價學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力，還有利于推動基礎(chǔ)教育的提質(zhì)增效和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力?？疾辄c15單選題復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)模的計算2535已知向量的模長，通過向量的垂直關(guān)系，計算向量的模45統(tǒng)計55圓錐曲線65函數(shù)二次函數(shù)與余弦函數(shù)的交點問題，考查偶函也可轉(zhuǎn)化為零點問題7585函數(shù)分析對數(shù)函數(shù)的符號，分類討論，通過轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)96多選題正弦型函數(shù)的零點、最值、周期、對稱軸6圓錐曲線直線與圓相切；三點共線問題；線段垂直判斷；線段相等時動點個數(shù)6函數(shù)三次方型函數(shù)的零點、最值、對稱軸、對稱中心，拐點結(jié)論5填空題數(shù)列等差數(shù)列求和5同角公式，恒等變換，角的范圍確定，弦化切5統(tǒng)計列舉法表示樣本空間求三角形的內(nèi)角；求三角形的周長導(dǎo)數(shù)求切線方程；通過極值求參數(shù)取值范圍投籃比賽問題，對立事件、獨(dú)立事件的概率公式，分布列及期望圓錐曲線與數(shù)列雙曲線與等比數(shù)列綜合考查，求交點，證明等比數(shù)列2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題A.0B.1C.√2A.p和q都是真命題B.P和【詳解】因為(b-2a)1b,所以(b-又因為d=1,a+26=2,所以1+4a-b+4B2=1+62=4,從而6據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是()B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間【分析】計算出前三段頻數(shù)即可判斷A;計算出低于1100kg的頻數(shù)，再計算比例即可判斷B;根據(jù)極差計【詳解】對于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知，6+12+18=36<50,所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯對于B,畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34,所以低于1100kg的稻田占比對于C,稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200-900=300,最小為1150-950=200,故C正確；對于D,由頻數(shù)分布表可得，畝產(chǎn)量在[1050,1100]的頻數(shù)為100-(6+12+18+24+10)=30,中點M的軌跡方程為()A.-1B.C.因為h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cosx=h(x),則h(x)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知h(x)的零點只能為0,即h(0)=a-2=0,解得a=2,若a=2,則h(x)=2x2+1-cosx,x∈(-1,1),又因為2x2≥0,1-cosx≥0當(dāng)且僅當(dāng)x=0時可得h(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立，即h(x)有且僅有一個零點0,所以a=2符合題意；7.已知正三棱臺ABC-A?B?C的體積為,AB=6,A?B?=2,則A?A與平面ABC所成角的正切值為()【分析】解法一：根據(jù)臺體的體積公式可得三棱臺的高,做輔助線，結(jié)合正三棱臺的結(jié)構(gòu)特,進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺ABC-A?B?C?補(bǔ)成正三棱錐P-ABC,A?A與平面ABC所成角即為PA與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得Vp-ABc=18,進(jìn)而可求正三棱錐P-ABC的高，即可得結(jié)果.【詳解】解法一：分別取BC,B?C?的中點D,D?,則AD=3√3,AD?=√3,可知設(shè)正三棱臺ABC-A?B?C?的為h,則如圖，分別過A,D?作底面垂線，垂足為M,N,設(shè)AM=x,則AA,DN=AD-AM-MN=2√3-x,結(jié)合等腰梯形BCC?B?可得解法二：將正三棱臺ABC-A?B?C?補(bǔ)成正三棱錐P-ABC,則A?A與平面ABC所成角即為PA與平面ABC所成角，8.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)In(x+b),若f(x)≥0,則a2+b2的最小值為()則當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以a2+b2的最小值為關(guān)鍵點點睛：分別求x+a=0、In(x+b)=0的根，以根和函數(shù)定義域為臨界，比較大小分類討論，結(jié)合符號性分析判斷.二、多選題,A.f(x)與g(x)有相同的零點B.f(x)與g(x)有相同的最大值C.f(x)與g(x)有相同的最小正周期D.f(x)與g(x)的圖像有相同的對稱軸【答案】BC【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個選項即可.【詳解】A選項，令f(x)=sin2x=0,解得,k∈Z,顯然f(x),g(x)零點不同，A選項錯誤；B選項，顯然f(x)max=g(x)max=1,B選項正確；C選項，根據(jù)周期公式，f(x),g(x)的周期均為t,C選項正確；D選項，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)f(x)的對稱軸滿足,k∈Z,g(x)的對稱軸滿足,k∈Z,顯然f(x),g(x)圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.10.拋物線C:y2=4x的準(zhǔn)線為l,P為C上的動點，過P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B,則()A.l與DA相切C.當(dāng)|PB|=2時，PA⊥ABD.滿足IPAHPBI的點P有且僅有2個【答案】ABD【分析】A選項，拋物線準(zhǔn)線為x=-1,根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項，P,A,B三點共線時，先求出P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長；C選項，根據(jù)|PB|=2先算出P的坐標(biāo)，然后驗證kpAkAB=-1是否成立；D選項，根據(jù)拋物線的定義，|PB|=|PF|,于是問題轉(zhuǎn)化成P|A|=|PF|的P點的存在性問題，此時考察AF的中垂線和拋物線的交點個數(shù)即可，亦可直接設(shè)P點坐標(biāo)進(jìn)行求解.【詳解】A選項，拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為x=-1,◎A的圓心(0,4)到直線x=-1的距離A(0,4),F(1,0),AF中點AF中垂線的斜率于是AF的中垂線方程為：與拋物線y2=4x聯(lián)立可得y2-16y+30=0,△=162-4×30=136>0,即AF的中垂線和拋物線有兩個交點，方法二：(設(shè)點直接求解)△=162-4×30=136>0,則關(guān)于t的方程有兩個解，11.設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3ax2+1,則()C.存在a,b,使得x=b為曲線y=fD.存在a,使得點(1,f(1))為曲【分析】A選項，先分析出函數(shù)的極值點為x=0,x=a,根據(jù)零點存在定理和極值的符號判斷出f(x)在(-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一個零點；B選項，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項，假設(shè)存在這樣的a,b,使得x=b為f(x)的對稱軸，則f(x)=f(2b-x)為恒等式，據(jù)此計算判斷；D選項，若存在這樣的a,使得(1,3-3a)為f(x)的對稱中心，則f(x)+f(2-x)=6-6a,據(jù)此進(jìn)行計算判斷，亦可利用拐點結(jié)論直接求解.故x∈(-,0)u(a,+o)時f'(x)>0,則f(x)在x=0處取到極大值，在x=a處取到極小值，則f(O)f(a)<0,根據(jù)零點存在定理f(x)在(0,a)上有一個零點，又f(-1)=-1-3a<0,f(2a)=4a3+1>0,則f(-1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0,x∈(0,+00)時f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，此時f(x)在x=0處取到極小值，B選項錯誤；C選項，假設(shè)存在這樣的a,b,使得x=b為f(x)的對稱軸，即存在這樣的a,b使得f(x)=f(2b-x),即2x3-3ax2+1=2(2根據(jù)二項式定理，等式右邊(2b-x)3展開式含有x3的項為2C3(2b)°(-x)3=-2x3,于是等式左右兩邊x3的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的a,b,使得x=b為f(x)的對稱軸，C選項錯誤；D選項，方法一：利用對稱中心的表達(dá)式化簡f(1)=3-3a,若存在這樣的a,使得(1,3-3a)為f(x)的對稱中心，f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a方法二：直接利用拐點結(jié)論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點，f(x)=2x3-3ax2+1,f'(x)=6x2-6ax,f",于是該三次函數(shù)的對稱中心即存在a=2使得(1,f(1))是f(x)的對稱中心，D選項正確.結(jié)論點睛：(1)f(x)的對稱軸為x=b?f(x)=f(2b-x);(3)任何三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d都有對稱中心，對稱中心是三次函數(shù)的拐點，對稱中心的橫坐標(biāo)是f"(x)=0的解，即是三次函數(shù)的對稱中心三、填空題12.記S,為等差數(shù)列{a}的前n項和，若a?+a=7,3a,+a?=5,【答案】95【分析】利用等差數(shù)列通項公式得到方程組，解出a,d,再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.【詳解】因為數(shù)列a,為等差數(shù)列，則由題意解得13.已知α為第一象限角，β為第三象限角，tanα+tanβ=4,tanatanB=√2+1,則sin(a+β)=_【答案】【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得tan(a+β)=-2√2,再縮小α+β的范圍，最后結(jié)合同角的平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【詳解】法一：由題意得,則α+β∈((2m+2k)π+π,(2m+2k)π+2π),k,又因為tan(a+β)=-2√2<0,法二：因為α為第一象限角，β為第三象限角，則cosa>0,cosβ<0,則sin(α+β)=sinacosβ+cosasinβ=cosacosβ(tanα+14.在如圖的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果，即可求解.【詳解】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，所每種選法可標(biāo)記為(a,b,c,d),a,b,c,d分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，則所有的可能結(jié)果為：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,3(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33所以選中的方格中，(15,21,33,43)的4個數(shù)之和最大，為15+21+33+43=112.故答案為：24;112【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選，利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果.2B,求ABC的周長.【分析】(1)根據(jù)輔助角公式對條件sinA+√3cosA=2進(jìn)行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三(2)先根據(jù)正弦定理邊角互化算出B,然后根據(jù)正弦定理算出b,c即可得出周長.【詳解】(1)方法一：常規(guī)方法(輔助角公式)方法二：常規(guī)方法(同角三角函數(shù)的基本關(guān)系)4cos2A-4√3cosA+3=0?(2cosA-√3)2=0,解得,又A∈(0,π),故方法四：利用向量數(shù)量積公式(柯西不等式)根據(jù)向量的數(shù)量積公式，a.b=|a|b|cos(a,b)根據(jù)向量共線條件，而,得到16.已知函數(shù)f(x)=e*-ax-a3.【詳解】(1)當(dāng)a=1時，則f(x)=e*-x-1,f'(x)=e?-1,可得f(1)=e-2,f'(1)=e-1,即切點坐標(biāo)為(1,e-2),切線斜率k=e-1,若a>0,令f'(x)>0,解得x>Ina;令f'(x)<0,解得x<Ina;若f(x)有極小值，則f'(x)=e*-a有零點，令f'(x)=e*-a=0,可得e*=a,令f'(x)<0,解得x<Ina;則f(x)有極小值f(lna)=a-alna-a3,無極大值，符合題意，可知g(a)在(0,+0)內(nèi)單調(diào)遞增，且g(1)=0,不等式a2+Ina-1>0等價于g(a)>g(1),【分析】(1)由題意，根據(jù)余弦定理求得EF=2,利用勾股定理的逆定理可證得EFIAD,則EF⊥PE,EF⊥DE(2)由(1),根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明PE⊥ED,建立如圖空間直角坐標(biāo)系E-xyz,利用【詳解】(1)由AB=8,AD=5√3,AE=號AD.AF=AB,得AE=2√3,AF=4,又∠BAD=30°,在△AEF中，所以AE2+EF2=AF2,則AE⊥EF,即EF⊥AD,所以EF⊥PE,EF⊥DE,又PEDE=E,PE、DEc平面PDE,所以EF⊥平面PDE,又PDc平面PDE,故EFIPD;(2)連接CE,由∠ADC=90°,ED=3√3,CD=3,則得EC2+PE2=PC2,所以PE⊥EC,又ECNEF=E,EC、EFc平面ABCD,所以PE⊥ED,則PE,EF,ED兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系E-xyz,則E(0,0,0),P(0,0,2√3),D(0,3√3,0),C(3,3√3,0),F(由F是AB的中點，得B(4,2√3,0),設(shè)平面PCD和平面PBF的一個法向量分別為n=(x?,y?,z?),m=(x?,y?,Z?),則令y?=2,x?=√3,得x?=0,z?=3,y?=-1,z?=1,所以n=設(shè)平面PCD和平面PBF所成角為θ,則即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值為18.某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊進(jìn)入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p,乙每次投中的概率為q,各次投中與否相互獨(dú)立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.(2)假設(shè)0<p<q,(i)為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽?(ii)為使得甲、乙，所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽?【分析】(1)根據(jù)對立事件的求法和獨(dú)立事件的乘法公式即可得到答案；(2)(i)首先各自計算出局=[1-(1-p3]g3,P=[1-(1-q3].p3,