中考數(shù)學(xué)三輪沖刺培優(yōu)訓(xùn)練專題22開放探究型壓軸大題（解析版）

一、解答題1．（2023春·陜西延安·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE．將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α(1)問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)α=0°時(shí)，AEBD=______；②當(dāng)α=180°時(shí)，(2)拓展探究試判斷：當(dāng)0°≤α<360°時(shí)，AEBD(3)問題解決△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BD的長(zhǎng)______．【答案】(1)①5；②5(2)沒有，證明見解析(3)滿足條件的BD的長(zhǎng)為355【分析】（1）①當(dāng)α=0°時(shí)，在Rt△ABC中，勾股定理，可求AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出的AEBD的值；②當(dāng)α=180°時(shí)，可得AB∥DE，然后根據(jù)ACAE=（2）首先判斷出ECA=∠DCB，再根據(jù)ECDC=AC（3）分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）解：①當(dāng)α=0°時(shí)，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=A∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，∴CE=AE=12AC=∴AE故答案為：5；②如圖，當(dāng)α=180°時(shí)，可得AB∥DE，∵AC∴AE故答案為：5；（2）解：如圖，當(dāng)0°≤α<360°時(shí)，AEBD∵ECD=∠ACB，∴ECA=∠DCB，∵EC∴△ECA∽△DCB，∴AE（3）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，在Rt△BCE中，CE=5，BC=2∴BE=E∴AE=AB+BE=5，∵AE∴BD=5如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，在Rt△BCE中，CE=5，BC=2∴BE=E∴AE=4?1=3，∵AE∴BD=3綜上所述，滿足條件的BD的長(zhǎng)為355或【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．2．（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）點(diǎn)E是矩形ABCD邊AB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），在矩形ABCD外作Rt△ECF其中∠ECF＝90°，過點(diǎn)F作FG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接DF交CG于點(diǎn)H．(1)發(fā)現(xiàn)如圖1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想線段DH與HF的數(shù)量關(guān)系是______(2)探究如圖2，若AB＝nAD，CF＝nCE，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．(3)拓展在（2）的基礎(chǔ)上，若FC的延長(zhǎng)線經(jīng)過AD的三等分點(diǎn)，且AD＝3，AB＝4，請(qǐng)直接寫出線段EF的值【答案】(1)DH=HF；(2)DH=HF仍然成立，見解析；(3)552【分析】（1）證明ΔGCF≌ΔBEC(AAS)，得BC=GF，則CD=GF，則證Δ（2）證ΔFCG∽ΔCEB，則GFBC=FCCE（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知得n=ABAD=【詳解】（1）DH=HF，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，AB=AD，∴四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ABC=∠EBC=∠BCD=90°，∵FG⊥BC，∠ECF=90°，∴CD//GF，∠CGF=∠ECF=∠EBC=90°，∴∠GCF+∵∠BCE+∴∠GCF=在ΔGCF和Δ∠GCF=∴ΔGCF≌∴BC=GF，∴CD=GF，∵CD//GF∴∠HDC=∵∠HCD=在ΔHCD和Δ∠HDC=∴ΔHCD≌∴DH=HF，故答案為DH=HF，（2）DH=HF仍然成立，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，F(xiàn)G⊥BC，∠ECF=90°，∴∠CGF=∠ECF=∠EBC=90°∴∠FCG+∵∠BCE+∴∠FCG=∴ΔFCG～∴GFBC∴四邊形ABCD是矩形，AB=nAD，∴CDBC∴GFBC∴GF=CD，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥BC，∵FG⊥BC，∴CD//FG，∴∠HDC=∠HFG，∠HCD=∠HGF，在ΔHCD和Δ∠HDC=∴ΔHCD≌∴DH=HF，（3）如圖所示，延長(zhǎng)FC交AD于R，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=4，AD=BC=3，∠RDC=90°，RD//CH，∵AB=nAD，CF=nCE，∴n=AB∴CF=4分兩種情況：①當(dāng)AR=1∵AD=3，∴AR=1，DR=2，在RtΔCR=D∵RD//CH，DH=HF，∴RC=CF=25∴CE=3由勾股定理得：EF＝CF②當(dāng)DR=13ADDC=4，CF=RC=17∴CE=3由勾股定理得：∴EF=C綜上所說，若射線FC過AD的三等分點(diǎn)，AD=3，AB=4，則線段EF的長(zhǎng)為552或【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑是10，A，B為⊙O外兩點(diǎn)，AB＝22．給出如下定義：平移線段AB，使平移后的線段A′B′成為⊙O的弦（點(diǎn)A′，B′分別為點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線段AA′長(zhǎng)度的最小值成為線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”．(1)如圖1，⊙O中的弦P1P2、P3P4是由線段AB平移而得，這兩條弦的位置關(guān)系是______；在點(diǎn)P1，P2，P3，P4中，連接點(diǎn)A與點(diǎn)______的線段長(zhǎng)度等于線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”；(2)若點(diǎn)A（0，7），B（2，5），線段AA′的長(zhǎng)度是線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為_____；(3)如圖2，若A，B是直線y＝﹣x+6上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”為d，則d的最小值是_____；請(qǐng)你在圖2中畫出d取得最小值時(shí)的示意圖，并標(biāo)記相應(yīng)的字母．【答案】(1)平行，P2(2)（1，3）(3)2，圖見解析【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，可以得到AB//P1P2//P3（2）根據(jù)定義和（1）提示，可以知道，平移AB，使對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在圓上，即在圓上滿足AB//A'B'，AB=A'B'，這樣的A'B'只有兩條，分別切位于圓心兩側(cè)，根據(jù)題意畫出草圖，可以得到如圖1的位置，線段AA'是線段AB到⊙O的優(yōu)距離，利用A和B坐標(biāo)，求出直線AB解析式，從而得到直線A'B'的比例系數(shù)k=?1，同時(shí)可以得到ΔAOM為等腰直角三角形，因?yàn)锳'B'=22，過O作OH⊥A'B'，利用垂徑定理和勾股定理，求出OH=22（3）由（2）可知，AB經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在圓上，AB//A'B'，AB=A'B'，符合條件的A'B'只有兩條，并且位于O點(diǎn)兩側(cè)，如圖2，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)AA'⊥AB時(shí)，d最小，過O作OH⊥A【詳解】（1）解：∵AB平移得到P1∴AB//P同理，AB//P∴P由圖可得，連接點(diǎn)A與點(diǎn)P2的線段長(zhǎng)度等于線段AB到⊙O故答案為：平行，P2（2）解：如圖1，過B作BG⊥y軸于G，則G0,5∴AG=BG=2，∠GAB=∠GBA=45°，∴AB=2設(shè)直線AB為y=kx+7，代入點(diǎn)B，得k=?1，∴直線AB為y=?x+7，設(shè)直線AB交x軸于M，∵BG⊥y軸，∴BG//x軸，∴∠AMO=∠GBA=45°，由（1）可得，平移AB，使對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在⊙O上，此時(shí)AB//A'B這樣的對(duì)應(yīng)線段有兩條，分別位于圓心O點(diǎn)兩側(cè)，所以當(dāng)A'在如圖位置時(shí)，線段AA'的長(zhǎng)度是AB過O作OH⊥A'B'，分別交A'B'∵A∴∠OHB∴∠TOM=90°?∠AMO=45°，連接A'∵OH⊥A∴A在RtΔA'過H作HE⊥x軸于E，∵sin∴HE=OE=2，∴H2,2∵AB//A∴設(shè)直線A'B'為y=?x+m，代入點(diǎn)H∴直線A'B'設(shè)A'a,?a+4，過A'作A在RtΔA'∴a∴a=1或a=3，∵?10∴a=1，∴A故答案為：1,3；（3）解：由（2）可知，AB經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在圓上，AB//A'B符合條件的A'B'如圖2，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)AA'⊥AB∵AB//A'B∴四邊形AA∵AA∴平行四邊形AA∴A令x=0，則y=?x+6=6，∴N0,6同理，M6,0∴OM=ON=6，∴Δ過O作OH⊥A'B'，分別交A'B'于H∴A在RtΔA'∵AB//A∴∠OTM=∠OHB∴OT⊥MN，又ΔMON∴OT=1∴HT=OT?OH=2∵A'A⊥AB∴AA又AB//A∴四邊形A'∴d=AA即d的最小值為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊三角形和勾股定理，垂徑定理，能根據(jù)特殊三角形和勾股定理，垂徑定理求解相關(guān)的線段和角度，是解決此類問題的關(guān)鍵．4．（2023春·全國·八年級(jí)期中）如圖1，在矩形ABCD中，AB=a，BC=6，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)沿射線BC方向移動(dòng)，作△PAB關(guān)于直線PA的對(duì)稱△PAB′．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PB′與CD相交于點(diǎn)M，連接AM，若∠PAM=45°，請(qǐng)直接寫出∠B′AM和∠DAM的數(shù)量關(guān)系；（2）在（1）的條件下，請(qǐng)求出此時(shí)a的值：（3）當(dāng)a=8時(shí)，①如圖3，當(dāng)點(diǎn)B′落在AC上時(shí)，請(qǐng)求出此時(shí)PB的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出△PCB′是直角三角形時(shí)PB的長(zhǎng)度．【答案】（1）∠B'AM=∠DAM；（2）a=6；（3）①93；②PB的長(zhǎng)度為8或【分析】（1）證明Rt△MAD≌Rt△MAB′(AAS)，即可得到∠B′AM=∠DAM；（2）由Rt△MAD≌Rt△MAB′(AAS)，得到AD=AB′=AB=a，即可求得a=6；（3）①利用勾股定理求出AC，在Rt△PB′C中利用勾股定理即可解決問題；②分三種情形分別求解即可，如圖2-1中，當(dāng)∠PCB′=90°時(shí)．如圖2-2中，當(dāng)∠PCB′=90°時(shí)．如圖2-3中，當(dāng)∠CPB′=90°時(shí)，利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=∠BAD=90°，∵△PAB′與△PAB關(guān)于直線PA的對(duì)稱，∴△PAB≌△PAB′，∴AB′=AB，∠AB′P=∠B=90°，∠B′AP=∠BAP，∵∠PAM=45°，即∠B′AP+∠B′AM=45°，∴∠DAM+∠BAP=45°，∴∠DAM=∠B′AM，∵AM=AM，∴Rt△MAD≌Rt△MAB′(AAS)，∴∠B′AM=∠DAM；（2）∵由（1）知：Rt△MAD≌Rt△MAB′，∴AD=AB′=AB=a，∵AD=BC=6，∴a=6；（3）①在Rt△ABC中，∠ABC=90°，由勾股定理得：AC=AB2設(shè)PB=x，則PC=6?x，由對(duì)稱知：PB′=PB=x，∠AB′P=∠B=90°，∴∠PB′C=90°，又∵AB′=AB=8，∴B′C=2，在Rt△PB′C中，PC2∴(6?x)2=22+x2，解得：x=93即PB=93②∵△PAB′與△PAB關(guān)于直線PA的對(duì)稱，∴△PAB≌△PAB′，∴AB′=AB，∠AB′P=∠B=90°，PB′=PB，設(shè)PB′=PB=t，如圖2-1中，當(dāng)∠PCB'=90°，B'在CD上時(shí)，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=90°，AB′=AB=CD=8，AD=BC=6，∴DB′=A∴CB′=CD?DB′=8?27，在Rt△PCB'中，∵B'P2=PC2+B'C2，∴t2=(8?27)2+(6?t)2，∴t=32?87如圖2-2中，當(dāng)∠PCB'=90°，B'在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，在Rt△ADB'中，DB′=A∴CB′=8+27，在Rt△PCB'中，則有：(8?27)2+(t?3)2=t2，解得t=32+87如圖2-3中，當(dāng)∠CPB'=90°時(shí)，∵∠B=∠B′=∠BPB′=90°，AB=AB′，∴四邊形AB'PB為正方形，∴BP=AB=8，∴t=8，綜上所述，PB的長(zhǎng)度為8或32+873或【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．5．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接DE．(1)如圖1，猜想△ADE是什么三角形？______________；（直接寫出結(jié)果）(2)如圖2，點(diǎn)D在射線CB上（點(diǎn)C的右邊）移動(dòng)時(shí)，證明∠BCE+∠BAC=180°．(3)點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，△DEC的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在．請(qǐng)求出△DEC周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)等邊三角形(2)見解析(3)存在，4+2【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可證△ABD≌△ACESAS，得到∠OCD=∠OAE=60°（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，△ABD≌△ACE，則△DEC的周長(zhǎng)=DE+CE+DC=BD+CD+DE，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，△DEC的周長(zhǎng)=BC+DE，當(dāng)D在線段BC上，且DE最小時(shí)，△DEC的周長(zhǎng)最小，由此即可求解．【詳解】（1）解：等邊三角形，∵點(diǎn)D是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到AE，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠ADE=∠AED=1∴△ADE是等邊三角形，故答案為：等邊三角形．（2）解：等邊三角形，如圖2中，設(shè)AD交CE于點(diǎn)O．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠DAE=60°，AD=AE，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，∴∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∴△ABD≌△ACESAS∴∠ADB=∠AEC，∵∠COD=∠AOE∴∠OCD=∠OAE=60°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACO=60°+60°=120°，∵∠BAC=60°，∴∠BCE+∠BAC=180°．（3）解：點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，△DEC的周長(zhǎng)存在最小值，最小值為4+23理由：如圖3中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，△ABD≌△ACE，∴CE=BD，則△DEC的周長(zhǎng)=DE+CE+DC=BD+CD+DE，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，△DEC的周長(zhǎng)=BC+DE，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，△DEC的周長(zhǎng)=BD+CD+DE>BC+DE，∴△DEC的周長(zhǎng)≥BC+DE，∴當(dāng)D在線段BC上，且DE最小時(shí)，△DEC的周長(zhǎng)最小，∵△ADE為等邊三角形，∴DE=AD，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD的值最小，AD的最小值為23∴△DEC的周長(zhǎng)的最小值為4+23【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合，掌握旋轉(zhuǎn)中角與邊的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖1，已知正方形AFEG與正方形ABCD有公共頂點(diǎn)A，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上(AG<AD).(1)如圖2，正方形AFEG繞A點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)，DG和BF的數(shù)量關(guān)系是_____________，位置關(guān)系是_______________；(2)如圖3，正方形AFEG繞A點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)，求CEDG的值以及直線CE和直線DG(3)如圖4，AB=8，點(diǎn)N在對(duì)角線AC上，CN=22，將正方形AFEG繞A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<360°)，點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作MH∥DG交EC于點(diǎn)H；在旋轉(zhuǎn)過程中，線段NH的長(zhǎng)度是否變化？如果不變，請(qǐng)直接寫出NH【答案】(1)DG=BF，DG⊥BF；(2)CEDG=2(3)不變，線段NH是一個(gè)定值，NH=22【分析】（1）如圖所示，過點(diǎn)P作PB∥DG交DC于點(diǎn)P，證明△DAG≌△BAF，進(jìn)而得出DG=BF，∠ADG=∠ABF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出（2）連接AE，證明△ADG∽△ACE，得出CEDG=2，∠ADG=∠ACE，延長(zhǎng)DG、CE交于點(diǎn)O（3）過點(diǎn)M作MN'⊥AC，得出CN=CN'，即可證明MN⊥NC，設(shè)∠ADG=θ，則∠GDC=90°?θ，連接AE，過點(diǎn)M作MO⊥DC交AC于點(diǎn)O，證明△ADG∽△ACE，得出∠ADG=∠ACE=θ【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)P作PB∥DG交DC于點(diǎn)∵正方形AFEG與正方形ABCD，∴AG=AF,AD=AB,∠DAB=∠GAF=90°，∴∠DAG+∠GAB=∠GAB+∠BAF=90°，∴∠DAG=∠BAF，∴△DAG≌△BAF，∴DG=BF，∠ADG=∠ABF，∵PB∥∴∠CDG=∠CPB，即90°?∠ADG=90°?∠PCB=∠PBA，又∵∠ADG=∠ABF，∴∠PBA+∠ADG=∠PBA+∠ABF=90°，∴BF⊥PB，∴BF⊥DG，∴DG和BF的數(shù)量關(guān)系是相等(DG=BF)，位置關(guān)系是垂直(DG⊥BF)，故答案為：DG=BF，DG⊥BF；（2）連接AE，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠CAE=在Rt△AEG和RtAGAE=cos45°=22，∴AGAE∴△ADG∽△ACE，∴DG∴CEDG=∵△ADG∽△ACE，∴∠ADG=∠ACE，延長(zhǎng)DG、CE交于點(diǎn)O，∵∠DPO=∠CPA，∴∠DOC=∠DAC=45°（3）∵AB=8，點(diǎn)M是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在對(duì)角線AC上，CN=22∴MC=4,∠MCN=45°,過點(diǎn)M作MN在Rt△MCN'∴CN=C即點(diǎn)N,N∴MN⊥NC，∴∠MNC=90°設(shè)∠ADG=θ，則∠GDC=90°?θ，∵M(jìn)H∥DG∴∠HMC=90°?θ，如圖所示，連接AE，過點(diǎn)M作MO⊥DC交AC于點(diǎn)O，∴MO∴∠MOC=∠DAC=45°，∴△MOC是等腰直角三角形，又∵M(jìn)N⊥OC，∴MN=NC=NO，∵ADAC=AG∴△ADG∽△ACE，∴∠ADG=∠ACE=θ，∴∠MCH=45°+θ，∴∠MHC=180°?∠HMC?∠HCM=180°?90°?θ∴∠MOC=∠MHC=45°，∴M,C,H,O四點(diǎn)共圓，∴線段NH是一個(gè)定值，NH=CN=22．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，四點(diǎn)共圓，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·全國·八年級(jí)期中）如圖1，D、E、F是等邊三角形ABC中不共線三點(diǎn)，連接AD、BE、CF，三條線段兩兩分別相交于D、E、F．已知AF=BD，(1)證明：EF=DF；(2)如圖2，點(diǎn)M是ED上一點(diǎn)，連接CM，以CM為邊向右作△CMG，連接EG．若EG=EC+EM，CM=GM，∠GMC=∠GEC，證明：(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，若CD⊥AD，GD=4，請(qǐng)問在△ACD內(nèi)部是否存在點(diǎn)P使得P到【答案】(1)見解析(2)見解析(3)存在，4【分析】（1）可先推出∠CAF=∠ABD，再證△ACF≌（2）在EF上截取EN=EM，連接MN，可推出△EMN是等邊三角形，可證△NCM≌△EGM，然后推出（3）先求得AD=833，將△DPC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△DQG，連接AG，可得△PDQ是等邊三角形，于是AP+PD+CP=AP+PQ+QG，故當(dāng)A、P、Q、G共線時(shí)，AP+PD+CP【詳解】（1）證明：如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB，∠ACB=60°，∴∠CAF+∠DAB=60°，∵∠EDF=60°，∴∠DAB+∠ABD=60°，∴∠CAF=∠ABD，∴在△ACF和△BAD中，AC=AB∠CAF=∠ABD∴△ACF≌△BAD（SAS∴∠DAB=∠ACF，∠CAF=∠ABD，CF=AD，同理可證：△ACF≌△CBE，∴CE=BD=AF，CF=AD=BE，∴EF=DF；（2）證明：如圖2，由（1）知，EF=DF，∴△DEF是等邊三角形，∴∠DEF=60°，在EF上截取EN=EM，連接MN，∵EG=EC+EM，∴CN=CE+EN=CE+EM=EG，∴△EMN是等邊三角形，∴∠CNM=60°，∵∠GMC=∠GEC，∴∠NCM=∠EGM，∴在△NCM和△EGM中CN=∴△NCM≌△EGM（SAS∴∠MEG=∠CNM=60°，∴∠CEG=180°?∠MEG?∠FED=60°，∴∠GME=∠GEC=60°，∵CM=GM，∴△CMG是等邊三角形，∴CG=CM；（3）解：如圖3，由（1）（2）知，△DEF和△CDG是等邊三角形，∵GD=4，∴∠CFD=60°∵CD⊥AD，∴∠CDF=90°，∴在Rt△CDF中，將△DPC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△DQG，連接AG，∴AD=DQ，CP=QG∴△PDQ是等邊三角形，∴PD=PQ，∴AP+PD+CP=AP+PQ+QG，∴當(dāng)A、P、Q、G共線時(shí)，AP+PD+CPA最小值為AG，作GH⊥AD于H，∴∠CDG=60°，∴∠GDH=∠CDF?∠CDG=30°，∴在Rt△DGH中，GH=sin∠GDH?DG=∴AH=AD+DH=8∴在Rt△AGH中，AG=∴AP+PD+CP的最小值是43【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和應(yīng)用等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是掌握“費(fèi)馬點(diǎn)”模型及“截長(zhǎng)補(bǔ)短”等題型．8．（2023春·重慶南岸·九年級(jí)重慶市珊瑚初級(jí)中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）已知△ABC為等邊三角形，D是邊AB上一點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，連接BE．(1)如圖1，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F，若∠ABF=15°，BF=6，求AF(2)如圖2，將△BEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AGC，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)H，使得CH=BD，連接AH交CG于點(diǎn)N，猜想線段CE，GN，DE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，AB=8，點(diǎn)H是BC上一點(diǎn)，且BD=2CH，連接DH，點(diǎn)K是AC上一點(diǎn)，CK=AD，連接DK，BK，將△BKD沿BK翻折到△BKQ，連接CQ，當(dāng)△ADK的周長(zhǎng)最小時(shí)，直接寫出△CKQ的面積．【答案】(1)AF=3(2)CE=DE+2GN，理由見解析(3)△CKQ的面積=43【分析】（1）作FJ⊥BC于J，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得BJ=FJ=3（2）延長(zhǎng)CG到點(diǎn)I，使GI=DE，連接AI，過點(diǎn)H作HM∥AG，交CG于點(diǎn)M，先后證明△BCD≌△ACISAS，△IAN≌△CHNASA，（3）過D、H分別作BC的垂線，分別交AC于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，作∠KDE=60°交BC于點(diǎn)E，證明△GCH≌△DBF，推出DF=GH，BF=CH，BD=AK，再證明△BDE≌△AKD，推出BE=AD=CH，設(shè)BF=CH=a，推出DE=12a?22+16，得到當(dāng)【詳解】（1）解：作FJ⊥BC于J，∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°，∵∠ABF=15°，∴∠JBF=45°，則△JBF是等腰直角三角形，∵BF=6∴BJ=FJ=3∵tan∠ACB=∴JC=1，CF=2JC=2，∴AF=AC?CF=BJ+CJ?CF=3（2）解：CE=DE+2GN，理由如下，延長(zhǎng)CG到點(diǎn)I，使GI=DE，連接AI，過點(diǎn)H作HM∥AG，交CG于點(diǎn)∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠BCD=∠ACI，CE=CG，BE=AG，∠CBE=∠CAG，∴CD=CI，∴△BCD≌△ACISAS∴BD=AI，∠IAC=∠ABC=60°，則AI∥∴∠IAN=∠CHN，∵CH=BD，∴CH=AI，∵∠INA=∠CNH，∴△IAN≌△CHNASA∴AN=HN，∵HM∥同理，△GAN≌△MHNASA∴AG=MH，GN=MN，同理可證△HCM≌△BDE，∴CM=DE，∴CE=CG=CM+MN+GN=DE+2GN；（3）解：過D、H分別作BC的垂線，分別交AC于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，作∠KDE=60°交BC于點(diǎn)E，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠GCH=∠DBF=60°，∴GC=2CH，∵BD=2CH，∴BD=GC，∴△GCH≌△DBF，∴DF=GH，BF=CH，∵CK=AD，∴BD=AK，∵∠KDE=60°，∴∠BDK=∠BDE+60°=60°+∠AKD，∴∠BDE=∠AKD，∴△BDE≌△AKD，∴BE=AD=CH，設(shè)BF=CH=a，則CG=AK=BD=2a，HG=FD=3a，∴EF=|BF?BE|=a?∴DE=D∵△ADK的周長(zhǎng)=AD+AK+DK=AB+DE=8+DE，當(dāng)△ADK的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，DE的值最小，∴當(dāng)a=2時(shí)，DE的值最小，此時(shí)CG=AK=BD=4，即點(diǎn)G、K重合，如圖，∴△CKQ的面積=2S【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，求二次函數(shù)的最值，作出合適的輔助線，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建二次函數(shù)解決問題是解題的關(guān)鍵．9．（2023·福建三明·?？家荒＃┰诰匦蜛BCD中，連接AC，線段AE是線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，平移線段AE得到線段DF（點(diǎn)A與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E與點(diǎn)F對(duì)應(yīng)），連接BF，分別交AC，CE于點(diǎn)M，N，連接EF．(1)求證：BN=FN；(2)求∠ABF的大小；(3)若BM=x，F(xiàn)N=y，求矩形ABCD的面積（用含有x，y的式子表示）．【答案】(1)證明見解析(2)∠ABF=45°(3)S【分析】（1）連接BE，CF，根據(jù)平移的性質(zhì)，得出四邊形AEFD是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出EF=AD，EF∥AD，再根據(jù)平行公理，得出EF∥BC，再根據(jù)矩形的性質(zhì)，得出AD=BC，再根據(jù)等量代換，得出（2）延長(zhǎng)FE，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，由（1）可知EF∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠K=90°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得出∠1+∠2=90°，再根據(jù)題意，得出∠EAC=90°，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出∠1+∠3=90°，進(jìn)而得出∠2=∠3，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出AE=AC，再根據(jù)“角角邊”，得出△EKA≌△ABC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出EK=AB，AK=BC，進(jìn)而得出AK=BC=EF，再根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，得出BK=FK，進(jìn)而得出（3）根據(jù)題意，得出△ACE為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得出∠AEC=∠ACE=45°，再根據(jù)（2）得出∠ABF=∠BFK=45°，進(jìn)而得出∠ABM=∠MCN=∠EFN=45°，再根據(jù)對(duì)頂角相等，得出∠AMB=∠CMN，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等，得出∠BAM=∠MNC=∠ENF，再根據(jù)相似三角形的判定定理，得出△ABM∽△NFE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出ABBM=FNEF，進(jìn)而得出【詳解】（1）證明：如圖，連接BE，CF，∵線段AE平移得到線段DF，∴AE=DF，AE∥∴四邊形AEFD是平行四邊形，∴EF=AD，EF∥∴EF∥又∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∴EF=BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形，∴BN=FN；（2）解：延長(zhǎng)FE，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，由（1）可知：EF∥∴∠K+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠K=180°?90°=90°，∴∠1+∠2=90°，∵線段AE是線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，∴∠EAC=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，∵線段AE是線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，∴AE=AC，∵∠EKA=∠ABC=90°，∴△EKA≌△ABCAAS∴EK=AB，AK=BC，∵EF=BC，∴AK=BC=EF，∴BK=AB+AK=EK+EF=FK，∴△BKF是等腰直角三角形，∴∠ABF=∠BFK=45°；（3）解：∵△ACE為等腰直角三角形，∴∠AEC=∠ACE=45°，由（2）可知：∠ABF=∠BFK=45°，∴∠ABM=∠MCN=∠EFN=45°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BAM=∠MNC=∠ENF，∵∠ABM=∠EFN，∴△ABM∽△NFE，∴ABBM∴AB?EF=BM?FN=xy，又∵EF=BC，∴AB?EF=AB?BC=xy，∴S矩形【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)、平行公理、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、對(duì)頂角相等、相似三角形的判定與性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在正確作出輔助線，并熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．10．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·校聯(lián)考一模）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.將∠AOB繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α0°≤α<90°得到∠EOF，OE，OF分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF交OB于點(diǎn)G(1)求證：①△OEF是等腰直角三角形；②△COF∽△BFG；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，探究線段AC，EF，OG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)若AB=3BE，OE=5，求線段OG，BF【答案】(1)①見解析；②見解析(2)EF(3)53，【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠EOF=∠AOB=90°，再證明△BOE≌△COF，得到OE=OF，即可證明△OEF是等腰直角三角形；②根據(jù)三角形外角的性質(zhì)證明∠BFG=∠COF，再由∠OBC=∠OCB=45°，即可證明△COF∽△BFG；（2）先證明△OEG∽△OBE，得到OE2=OB?OG，由勾股定理得到OE=22（3）過O作OM∥BC交AB于點(diǎn)M，延長(zhǎng)OE，CB，相交于點(diǎn)N，證明△AOM∽△ABC，∠EOM=∠ENB，得到OMBC=OAAC=AMAB=12，設(shè)BE=a，則BC=AB=3BE=3a，則OM=AM=BM=32a，利用勾股定理求出a=2，進(jìn)而求出AB=32，EM=【詳解】（1）證明：①∵正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O∴AC⊥BD，OA=OB=OC=1∴∠AOB=∠BOC=90°，∠OBA=∠OBC=∠OCB=45°，由旋轉(zhuǎn)可知，∠EOF=∠AOB=90°，∴∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COFASA∴OE=OF，∴△OEF是等腰直角三角形；②∵△OEF是等腰直角三角形，∴∠OEF=∠OFE=45°，∵∠BFG+∠OFE=∠OCB+∠COF，∴∠BFG=∠COF，∵∠OBC=∠OCB=45°，∴△COF∽△BFG；（2）解：EF∵∠OEG=∠OBE=45°，∠BOE=∠EOG，∴△OEG∽△OBE，∴OE∴OE∵△OEF是等腰直角三角形，∴OE=2∵OB=1∴EF（3）解：過O作OM∥BC交AB于點(diǎn)M，延長(zhǎng)OE，CB，相交于點(diǎn)N，則OM∥BC，∴△AOM∽△ABC，∠EOM=∠ENB，∵OA=1∴OM設(shè)BE=a，則BC=AB=3BE=3a，∴OM=AM=BM=1∴EM=AB?AM?BE=1∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AMO=∠ABC=90°，∴∠OME=∠NBE=90°，∴EM∴(1∵a>0，∴a=2∴AB=32，EM=22，BE=∴OB=2∵OE∴OG=5∵△EOM∽△ENB，∴OE∴EN=2OE=25，NB=2OM=3∵∠EBN=∠FON=90°，∠N=∠N，∴△NBE∽△NOF，∴BE∵OF=OE=5∴2∴NF=52∴BF=NF?NB=52【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）【問題思考】如圖1，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線AQ，以DE為邊向右側(cè)作正方形DEFG，連接GC，直線GC與直線AQ交于點(diǎn)P，則線段AE與GC之間的關(guān)系為______．【問題類比】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD外的一點(diǎn)時(shí)，【問題思考】中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由；【拓展延伸】如圖3，點(diǎn)E是邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，【問題思考】中其他條件不變，則動(dòng)點(diǎn)P到邊AD的最大距離為______（直接寫出結(jié)果）．【答案】【問題思考】AE=GC，AE⊥GC；【問題類比】：【問題思考】中的結(jié)論成立，理由見解析；【拓展應(yīng)用】3+3【問題思考】根據(jù)“SAS”證明△DAE≌△DCG，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；【問題類比】同理證明△DAE≌△DCG，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；【拓展應(yīng)用】根據(jù)∠CPA=90°可得點(diǎn)P的運(yùn)用軌跡即為以AC為直徑的⊙O上，所以當(dāng)點(diǎn)P位于AD右側(cè)，PH⊥AD且經(jīng)過圓心O時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P到邊AD的距離最大，據(jù)此解答即可．【詳解】解：?jiǎn)栴}思考：設(shè)AQ和BC交于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都為正方形，∴∠ADC=∠EDG=90°，DA=DC,DE=DG，∴∠ADC?∠EDC=∠EDG?∠EDC，即∠ADE=∠CDG，∴△DAE≌△DCG(SAS∴AE=CG，∠DAE=∠DCG，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠DAE+∠HAB=∠DCG+∠PCH，即∠BAH=∠PCH，∵∠AHB=∠CHP，∴∠B=∠CPA=90°，即AE⊥CG，故答案為：AE=GC，AE⊥GC；問題類比：?jiǎn)栴}思考中的結(jié)論仍然成立，理由如下：設(shè)AQ和BC交于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都為正方形，∴∠ADC=∠EDG=90°，DA=DC,DE=DG，∴∠ADC?∠EDC=∠EDG?∠EDC，即∠ADE=∠CDG，∴△DAE≌△DCG(SAS∴AE=CG，∠DAE=∠DCG，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠DAE+∠HAB=∠DCG+∠PCH，即∠BAH=∠PCH，∵∠AHB=∠CHP，∴∠B=∠CPA=90°，即AE⊥CG，故答案為：AE=GC，AE⊥GC；拓展應(yīng)用：∵∠CPA=90°，∴點(diǎn)P的運(yùn)用軌跡即為以AC為直徑的⊙O上，如圖：當(dāng)點(diǎn)P位于AD右側(cè)，PH⊥AD且經(jīng)過圓心O時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P到邊AD的距離最大，∵正方形的邊長(zhǎng)為6，∴AC=62，OH=3∴OP=OC=1∴PH=OH+OP=3+32即動(dòng)點(diǎn)P到邊AD的最大距離為3+32故答案為：3+32【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及確定出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是解本題的關(guān)鍵．12．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)合肥市五十中學(xué)西校校考期中）（1）如圖1，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，連接BB（2）如圖2，在等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=3，PC=1，如果將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得出△BP'A，求（3）如圖3，將（2）題中“在等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P”改為“在等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P”，且BA=BC，PA=6，BP=4，PC=2，求∠BPC的度數(shù)．【答案】（1）45°；（2）∠BPC=150°，PP'【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)只要證明△ABB（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得△P'PB是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)即可求出PP'的長(zhǎng)，∠B（3）如圖3，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB，，與（2）類似：可得：∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，求出∠BEP=45°，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠AEP=90°，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C∴AB=AB∴∠AB故答案為：45°；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得出△BP∴AP'=CP=1∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴∠P∴△BPP∴PP∵AP∴AP∴△PP'A∴∠BPC=∠AP（3）如圖3，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB，與（2）類似：可得：AE=PC=2，BE=BP=4，∠BPC=∠AEB，∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABP+∠CBP=∠ABC=90°，∴∠BEP=∠BPE=180°?∠EBP在Rt△PBE中，由勾股定理得PE=∵AE=2，∴AE∴△APE是直角三角形，即∠AEP=90°，∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，正確作輔助線并能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行證明是解答此題的關(guān)鍵．13．（2023春·重慶合川·九年級(jí)重慶市合川中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，△ABC與△EDC為等腰直角三角形，AC=BC=6，DE=DC=2，∠ACB=∠CDE=90°，將△EDC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線(E在AC延長(zhǎng)線上)時(shí)，連接BE，過D點(diǎn)作AE的垂線交AE于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)F，求BF的長(zhǎng)；(2)如圖3，在旋轉(zhuǎn)過程中，連接AE、BE，過點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)F，請(qǐng)寫出EF與BF的數(shù)量關(guān)系并證明．(3)如圖4，在（2）的條件下，連接CF、AF，當(dāng)AF最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出△ACF的面積．【答案】(1)11(2)EF=FB，證明見解析(3)9?【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理解決問題即可．（2）結(jié)論：EF=FB．如圖3中，過點(diǎn)C作CT⊥CE交ED的延長(zhǎng)線于T，連接BT交AE于J，設(shè)AE交BC于點(diǎn)O．證明△ACE≌△BCT（SAS），推出∠CAE=∠CBT，推出∠AJB=90°，即BT⊥AE，證明BT∥DF即可．（3）如圖4中，取BC的中點(diǎn)T，連接AT，F(xiàn)T．求出AT，F(xiàn)T即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖所示，∵DC=DE，DF⊥EC，∴CG=EG，∠CGF=∠ACB=90°，∴GF∥BC，∴EF=FB，∵DC=DE=2，∠CDE=90°，∴EC=D∵BC=6,∠ECB=90°，∴BE=∴BF=12故答案為：11．（2）結(jié)論：EF=FB．理由：如圖3中，過點(diǎn)C作CT⊥CE交ED的延長(zhǎng)線于T，連接BT交AE于J，設(shè)AE交BC于點(diǎn)O，∵∠TCE=90°，∠CET=45°，∴∠CTE=∠CET=45°，∴CE=CT，∵CD⊥ET，∴DT=DE，∵∠ACB=∠TCE=90°，∴∠ACE=∠BCT，∵CA=CB，CE=CT，∴△ACE≌△BCT（SAS），∴∠CAE=∠CBT，∵∠AOC=∠BOJ，∴∠ACO=∠BJO=90°，∴∠AJB=90°，即BT⊥AE，∵DF⊥AE，∴DF∥BT，∵ED=DT，∴EF=BF．（3）如圖4中，取BC的中點(diǎn)T，連接AT，F(xiàn)T．∵DE=DC=2，∠CDE=90°，∴CE=D∵AC=6，CT=TB=3，∠ACT=90°，∴AT=A∵CT=BT，EF=FB，∴FT=1∵AF≥AT?FT，∴AF≥3∴AF的最小值為35?22∴【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．14．（2023春·湖北十堰·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M為線段AD上一點(diǎn)（不與A，D重合），在線段BD上取點(diǎn)N，使DM=DN，連接AN，CM．(1)觀察猜想：線段AN與CM的數(shù)量關(guān)系是______，AN與CM的位置關(guān)系是______；(2)類比探究：將△DMN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，請(qǐng)寫出AN與CM的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并就圖2的情形說明理由；(3)問題解決：已知AD=32，DM=3，將△DMN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)以A、D、M、N四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，直接寫出BN【答案】(1)AN=CM，AN⊥CM；(2)AN=CM，AN⊥CM，理由見解析；(3)BN=3或35【分析】（1）延長(zhǎng)CM交AN于點(diǎn)G，先證明△ABC為等腰直角三角形，再證明△ADN≌△CDMSAS（2）延長(zhǎng)AN交MC于點(diǎn)E，同（1），先證明△ABC為等腰直角三角形，再證明△ADN≌△CDMSAS（3）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得AD=CD=BD=2，再由勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)N在AB上時(shí)，點(diǎn)M在AC上時(shí)，四邊形ANDM是平行四邊形；②當(dāng)點(diǎn)N在AC上時(shí)，四邊形ADMN是平行四邊形；③當(dāng)點(diǎn)N在BC外，點(diǎn)M在AB上時(shí)，四邊形AMND是平行四邊形，分別利用勾股定理和平行四邊形的性質(zhì)求解．【詳解】（1）延長(zhǎng)CM交AN于點(diǎn)G，如圖，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∵AD⊥BC，∴AD是△ABC的中線，∴AD=CD=BD，∵∠ADC=∠NDM=90°，ND=MD，∴△ADN≌△CDMSAS∴AN=CM，∠DAN=∠DCM，∵AD⊥BC，∴∠DAN+∠AND=90°.∴∠DCM+∠AND=90°，∴在△CNG中，∠NGC=90°，∴AN⊥CM，故答案為：AN=CM，AN⊥CM；（2）AN=CM，AN⊥CM理由如下：延長(zhǎng)AN交MC于點(diǎn)E，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∵AD⊥BC，∴AD=CD，∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知∠ADC=∠NDM，∴∠ADN+∠NDC=∠NDC+∠CDM，∴∠ADN=∠CDM，∵AD=CD，ND=MD，∴△ADN≌△CDMSAS∴AN=CM，∠DAN=∠DCM，∵AD⊥BC，∴∠DAN+∠EAC+∠ACD=90°.∵∠DAN=∠DCM，∴∠EAC+∠ACD+∠DCM=90°，∴在△AEC中，∠AEC=90°，∴AN⊥CM；（3）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC為等腰直角三角形．∵AD⊥BC，AD=32∴AD=CD=BD=32∴AB=B∵DM=3，以A，D，M，N四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，①當(dāng)點(diǎn)N在AB上時(shí)，點(diǎn)M在AC上時(shí)，四邊形ANDM是平行四邊形，∴AN=DM=3，∠AND=90°．∴BN=AB?AN=3；②當(dāng)點(diǎn)N在AC上時(shí)，四邊形ADMN是平行四邊形，連接BN，∴DM=AN=3，∴BN=A③當(dāng)點(diǎn)N在BC外，點(diǎn)M在AB上時(shí)，四邊形AMND是平行四邊形，∴AM∥ND，∵DM=DN，AD=BD，∴AM=DM=BM=DN，∴∠MAD=∠ADM=∠BMN=∠ABD=∠DMN=∠MND=∠MDB=45°，∴∠BMD=∠MDN=90°，∴四邊形MBND是正方形,∴BN=DM=3．綜上所述，BN的長(zhǎng)度為3或35【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)．理解相關(guān)知識(shí)，作出輔助線，構(gòu)建三角形是解答關(guān)鍵．15．（2023·河南商丘·?？家荒＃┚C合與實(shí)踐二輪復(fù)習(xí)中，劉老師以“最值問題”為專題引導(dǎo)同學(xué)們進(jìn)行復(fù)習(xí)探究．問題模型：等腰三角形ABC，∠BAC=120°，AB=AC=2，(1)探究1：如圖1，點(diǎn)D為等腰三角形ABC底邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，則AD的最小值為______，判斷依據(jù)為______；(2)探究2：在探究1的結(jié)論下，繼續(xù)探究，作∠BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F，G分別為AE，AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求DF+FG的最小值；(3)探究3：在探究1的結(jié)論下，繼續(xù)探究，點(diǎn)M為線段CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AM，將AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AN，連接ND，求線段DN的最小值．【答案】(1)1；點(diǎn)到直線的距離垂線段最短(2)3(3)1【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD有最小值，求出AD即可；（2）作點(diǎn)G關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)G1，則點(diǎn)G1在邊AB上，連接DG1，過點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得DF+FG=DF+FG1，當(dāng)DF和FG1在同一條直線上，且（3）延長(zhǎng)AD至C1使得AC1=AC=2，連接并延長(zhǎng)C1N，交AB于點(diǎn)I，證明△NAC1≌△MACSAS，可得∠C1=∠C=30°，因?yàn)椤稀驹斀狻浚?）解：如圖，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD有最小值，∵AB=AC=2，∴∠B=∠C，∵∠BAC=120°，∠BAC+∠B+∠C=30°，∴∠B=∠C=30°，又∵AD⊥BC，∴AD=1故答案為：1；點(diǎn)到直線的距離垂線段最短．（2）解：如圖，作點(diǎn)G關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)G1，則點(diǎn)G1在邊AB上，連接DG1，過點(diǎn)D作∵點(diǎn)G、G1關(guān)于AE∴FG=FG∴DF+FG=DF+FG∵當(dāng)DF和FG1在同一條直線上，且DG∴DF+FG的最小值為DH，∵AD⊥BC，∠BAC=120°，AB=AC=2，∴∠BAD=∠CAD=1∵DH⊥AB，∴∠ADH=90°?∠BAD=30°，∴AH=1∵∠B=30°，AD⊥BC，∴AD=1∴AH=1∴在Rt△ADH中，DH=∴DF+FG的最小值為32（3）解：延長(zhǎng)AD至C1使得AC1=AC=2，連接并延長(zhǎng)C1∵AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AN，∴AM=AN，∠NAM=60°，∵∠CAD=60°，∴∠NAM?∠DAM=∠CAD?∠DAM，∴∠NAC∵在△NAC1和AN=AM∠NA∴△NAC∴∠C∵AC1=2∴DC∵△NAC1≌△MAC，∠∴點(diǎn)N在C1I上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)DN⊥C∴DN=1∴DN的最小值為12【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的最短距離、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．16．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=3．點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)（不與B，C重合），連接AD，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接CE，點(diǎn)F為(1)當(dāng)BD=2CD時(shí)，判斷四邊形CDEF的形狀，并證明．(2)點(diǎn)D在線段BC上的什么位置時(shí)，△DEF的面積最大？請(qǐng)說明理由．(3)如圖（1）中的△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到如圖（2）所示位置，得到△BD'E'，使得點(diǎn)A在直線D'E'上，連接CE'，點(diǎn)F'【答案】(1)四邊形CDEF是菱形，理由見解析(2)當(dāng)BD=2CD時(shí)，△DEF的面積最大，理由見解析(3)見解析【分析】（1）求得∠BAC=60°，則∠B=30°，證明AD是∠BAC的平分線，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及斜邊中線的性質(zhì)推出CF=FE=CD=DE，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)AC=a，CD=x，推出S△DEF（3）作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，點(diǎn)D'關(guān)于BE'的對(duì)稱點(diǎn)Ｈ，證明【詳解】（1）解：四邊形CDEF是菱形，理由如下：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°∴∠BAC=60°，則∠B=30°，∵DE⊥AB，BD=2CD∴BD=2DE=2CD，∴AD是∠BAC的平分線，則∠CAD=∠EAD=30°，∴CD=DE=1∵點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，∴CF=FE=1∴CF=FE=CD=DE，∴四邊形CDEF是菱形；（2）解：當(dāng)BD=2CD時(shí)，△DEF的面積最大，理由如下：設(shè)AC=a，CD=x，則BC=3a，AB=2a，BD=3a?x，DE=1∵點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，∴S==?3∵?3∴當(dāng)x=?a8?2×此時(shí)CD=a3=∴當(dāng)BD=2CD時(shí)，△DEF的面積最大；（3）解：作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，點(diǎn)D'關(guān)于BE'的對(duì)稱點(diǎn)則AB=A'B∴AE由題意得∠CAB=∠BD∴△A∵∠ABH=∠A∴△ABH≌△A∴AH=A∵點(diǎn)F'為A∴CF'是△A∴A'∴AE【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及斜邊中線的性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．17．（2023·福建廈門·福建省廈門第六中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接AF，CF．設(shè)(1)試用含α的代數(shù)式表示∠DCF；(2)作CG⊥AF，垂足為G，點(diǎn)G在AF的延長(zhǎng)線上，連接DG，試判斷DG與CF的位置關(guān)系，并加以證明；(3)把△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，連接BF，HF，若△HBF是等腰三角形，求【答案】(1)45°?α(2)DG∥CF，證明見解析(3)55或【分析】（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AB=BF，BE⊥AF，可求∠CBF=90°?2α，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠BCF即可得到答案；（2）通過證明A，D，G，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，可得∠AGD=∠ACD=45°，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AFB=90°?α，可得∠CFG=45°=∠DGA，可證DG∥CF；（3）由于BH≠BF，故分兩種情況：當(dāng)BH=FH由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=CH，BE=BH，∠ABE=∠CBH=α=∠FBE，AB=BC，由“ASA”可證△ABE≌△NHB，可得BN=AE=12AB，即可求解；當(dāng)BF=FH時(shí)，可證點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，則點(diǎn)E【詳解】（1）解：如圖1，連接BF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，∴AB=BF，BE⊥AF，∴∠ABE=∠EBF=α，∴∠CBF=90°?2α，∵AB=BC，AB=BF，∴BF=BC，∴∠BFC=∠BCF=180°?∠CBF∴∠DCF=∠BCD?∠BCF=45°?α；（2）解：DG∥CF，證明如下：如圖2，連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°，∠ADC=90°，∵CG⊥AF，∴∠CGA=∠ADC=90°，∴A，D，G，C四點(diǎn)共圓，∴∠AGD=∠ACD=45°，∵AB=BF，∠ABF=2α，∴∠AFB=180°?2α又∵∠BFC=45°+α，∴∠AFC=135°，∴∠CFG=45°=∠DGA，∴DG∥CF；（3）解：∵BE>AB，∴BH>BF，∴BH≠BF；如圖3，當(dāng)BH=FH時(shí)，過點(diǎn)H作HN⊥BF于N，∵將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，∴AE=CH，BE=BH，∠ABE=∠CBH=α=∠FBE，∴∠HBF=90°?α，∴∠BHN=α，∵BH=FH，HN⊥BF，∴BN=NF=12BF=又∵∠ABE=∠BHN，∴△ABE≌△NHBAAS∴BN=AE=1∴BE=A∴sinα=當(dāng)BF=FH時(shí)，∴∠FBH=∠FHB=90°?α，∴∠BFH=2α=∠ABF，∴AB∥FH，∵∠BCH=∠BAE=90°，∴∠BCH+∠BCD=180°，∴D、C、H三點(diǎn)共線∴點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，則點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，∴sina=綜上所述：sinα的值為55或【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，圓的有關(guān)知識(shí)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．18．（2023·北京海淀·清華附中?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于線段AB，點(diǎn)P和圖形G定義如下：線段AB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A'B'（A'和B'分別是A和B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），若線段AB和A'B'均在圖形(1)如圖，點(diǎn)C1,0，D①已知圖形G1：半徑為3的⊙O；G2：以O(shè)為中心且邊長(zhǎng)為6的正方形；G3：以線段OD為邊的等邊三角形．在G1，G2，G②若半徑為5的⊙O是線段CD關(guān)于點(diǎn)Tt,0的旋垂閉圖，求t(2)已知長(zhǎng)度為4的線段AB在x軸負(fù)半軸和原點(diǎn)組成的射線上，若存在點(diǎn)Q2+a,2?a，使得對(duì)半徑為2的⊙Q上任意一點(diǎn)P，都有線段AB滿足半徑為r的⊙O是該線段關(guān)于點(diǎn)P的旋垂閉圖，直接寫出r【答案】(1)①G1，G(2)r≥4+2【分析】（1）①分別在坐標(biāo)系中畫出G1，G2，G3，再畫出線段CD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的線段C'D'即可得到答案；②如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)C左側(cè)，且此時(shí)剛好點(diǎn)D'落在⊙O上時(shí)，如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)D（2）先求出點(diǎn)Q在直線y=?x+4上運(yùn)動(dòng)；設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，如圖2-1所示，連接AQ并延長(zhǎng)交⊙Q于M，點(diǎn)A繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AM=A'M，∠AMA'=90°，則AA'=2AM，由于點(diǎn)A到⊙Q上任意一點(diǎn)的距離的最大值是AP，只需要找到AQ值最小時(shí)，則此時(shí)⊙O半徑有最小值；故當(dāng)AQ與直線y=?x+4垂直時(shí)，AQ有最小值，即【詳解】（1）解：①由下圖可知，在G1，G2，G3中，線段CD關(guān)于點(diǎn)O故答案為：G1②如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)C左側(cè)，且此時(shí)剛好點(diǎn)D'落在⊙O由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得D'∵Tt∴D'∴D'∵D'在⊙O∴OD∴t2∴2t解得t=3?412如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)D右側(cè)，且此時(shí)剛好點(diǎn)C'落在⊙O由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得C'∵Tt∴C'∴C'∵C'在⊙O∴OC∴t2∴2t解得t=4，t=?3（不符合題意的值舍去）；∴當(dāng)3?412≤t≤4時(shí)，半徑為5的⊙O是線段CD（2）解：∵Q2+a∴yQ∴yQ∴點(diǎn)Q在直線y=?x+4上運(yùn)動(dòng)；∵長(zhǎng)度為4的線段AB在x軸負(fù)半軸和原點(diǎn)組成的射線上，設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，如圖2-1所示，連接AQ并延長(zhǎng)交⊙Q于P，點(diǎn)A繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AM=A∴AA∵點(diǎn)A到⊙Q上任意一點(diǎn)的距離的最大值是AP，∵A、Q都是動(dòng)點(diǎn)，∴只需要找到AQ值最小時(shí)，則此時(shí)⊙O半徑有最小值；∵點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，∴當(dāng)AQ與直線y=?x+4垂直時(shí)，AQ有最小值，即AM有最小值，∴如圖2-2所示，當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為?4，0且AQ與直線y=?x+4垂直時(shí)，AQ有最小值，即此時(shí)AB=OQ=4∴AP=4∴A∴O∴r≥4+22【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)與幾何綜合，坐標(biāo)與圖形變化——旋轉(zhuǎn)，勾股定理，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問題等等，正確畫出示意圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·四川成都·九年級(jí)四川省成都市第七中學(xué)初中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2+2ax+c經(jīng)過B1，0，(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖1，連接AC，點(diǎn)E在直線AC上方的拋物線上，連接EA，EC，當(dāng)△EAC面積最大時(shí)，求點(diǎn)(3)如圖2，連接AC、BC，在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使∠ACM=∠BCO，若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y=?x2?2x+3(2)E的坐標(biāo)為?(3)存在，M?4，【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式．再將其變?yōu)轫旤c(diǎn)式即得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由拋物線解析式可求A?3，0，即OA=3．利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式為y=x+3．設(shè)Em，?m2?2m+3?3<m<0．過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)F，則Fm（3）設(shè)Mx，?x2?2x+3．分類討論：①當(dāng)CM在CA右側(cè)時(shí)，設(shè)CM交x軸于G和②當(dāng)CM在CA左側(cè)時(shí)，設(shè)CM與x軸交于點(diǎn)N，過B作BP⊥AC于P．分別根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出點(diǎn)G和點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線【詳解】（1）解：把B1，0a+2a+c=0c=3，解得：a=?1∴拋物線的解析式為：y=?x∵y=?x∴頂點(diǎn)D?1（2）對(duì)于y=?x2?2x+3，令y=0解得：x1∴A?3∴OA=3．設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，∴?3k+b=0b=3，解得：k=1∴直線AC的解析式為y=x+3．∵點(diǎn)E在直線AC上方的拋物線y=?x∴設(shè)Em如圖，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)F，∴Fm∴EH=yE=?∴EF=y∴S=====?3∵?32<0∴當(dāng)m=?32時(shí)，△EAC面積最大，此時(shí)∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為?3（3）在拋物線上存在點(diǎn)M，使∠ACM=∠BCO，理由：設(shè)Mx分類討論：①如圖，當(dāng)CM在CA右側(cè)時(shí)，設(shè)CM交x軸于G，∵∠BCO=∠ACM，∴∠ACG=∠OCB．∵OC=OA=3，∴∠OCA=∠OAC=45°，∴∠BCM=45°．∵∠ACB=∠BCM+∠ACG，∴∠ACB=∠BGC．∵∠CBG=∠CBA，∴△BCG∽△BAC，∴BGBC∵OB=1，∴BC=10設(shè)Gt，0∴1?t10解得：t=?3∴G?設(shè)直線CG的解析式為y=ex+f，∴?32e+f=0∴直線CG的解析式為：y=2x+3，聯(lián)立y=2x+3y=?x2?2x+3，解得：∴M?4②當(dāng)CM在CA左側(cè)時(shí)，設(shè)CM與x軸交于點(diǎn)N，過B作BP⊥AC于P，如圖，∵∠OAC=45°，∴△ABP是等腰直角三角形．∵AB=OA+OB=3+1=4，∴AP=BP=2∵AC=O∴CP=AC?AP=2∵∠BCO=∠ACM，∴∠ACB=∠OCM．∵∠BPC=∠COA=90°，∴△BCP∽△NCO，∴BPNO=CP∴NO=6，∴N?6設(shè)直線NC的解析式為y=dx+n，∴?6d+n=0n=3，解得：d=∴直線NC的解析式為：y=1聯(lián)立y=12x+3y=?x∴M?綜上所述，存在點(diǎn)M，其坐標(biāo)為?4，?5或【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)一般式改為頂點(diǎn)式，二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的最值問題，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，直線與拋物線的交點(diǎn)問題等知識(shí)，為中考?jí)狠S題．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．20．（2023春·浙江寧波·九年級(jí)浙江省余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，直線y=?2x+10與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，以O(shè)B為直徑的⊙M交AB于另一點(diǎn)C，點(diǎn)D在⊙M上．分別過點(diǎn)O，B作直線CD的垂線段，垂足為E，F(xiàn)，連接OC．(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)．(2)當(dāng)點(diǎn)D在直線BC右側(cè)時(shí)，①求證：EC?CF=OE?BF；②求證：EC=DF．(3)CD與EF的距離和是否為定值？若是，請(qǐng)直接寫出定值；若不是，請(qǐng)直接寫出取到最小值時(shí)直線CD的解析式．【答案】(1)A5，0，B(2)①見解析；②見解析(3)CD與EF的距離和不是定值；直線CD的解析式為y=4【分析】（1）令x=0或y=0，可求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，作CG⊥OB于點(diǎn)G，解直角三角形求解即可；（2）①證明△OCE∽△CBF，利用相似三角形的性質(zhì)即可證明；②作MN⊥CD于點(diǎn)M，利用平行線分線段成比例證得EN=NF，再由垂徑定理得到CN=DN，即可證明結(jié)論；（3）CD與EF的距離和不是定值；當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，CD+EF=EF才取得最小值，此時(shí)EF切⊙M于點(diǎn)C，利用切線長(zhǎng)定理求得H5【詳解】（1）解：令x=0，則y=10；令y=0，則0=?2x+10，解得x=5；∴A5，0∴OA=5，OB=10，AB=5作CG⊥OB于點(diǎn)G，∵以O(shè)B為直徑的⊙M交AB于另一點(diǎn)C，∴∠BCO=90°，∵sin∠OCA=OAAB∴OC=25∵cos∠BOC=OGOC∴OG=2，∴CG=O∴C4（2）解：①∵∠BCO=90°，BF⊥CD，OE⊥CD，即∠BCO=∠BFC=∠CEO=90°，∴∠OCE=∠CBF，∴△OCE∽△CBF，∴CEBF=OE②作MN⊥CD于點(diǎn)M，則OE∥MN∥∴OMBM∴EN=NF，∵M(jìn)N⊥CD，∴CN=DN，∴EN?CN=NF?DN，即EC=DF；（3）解：隨著點(diǎn)D的變化，CD+EF也在不斷的變化，不是定值，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，CD+EF=EF才取得最小值，此時(shí)EF切⊙M于點(diǎn)C，設(shè)EF與x軸交于點(diǎn)H，由切線長(zhǎng)定理得HC=HO，∴∠HCO=∠HOC，∵∠OCA=90°，∴∠OCH+∠HCA=90°=∠HOC+∠CAH，∴∠HCA=∠HAC，∴HC=HA，∴HC=HA=HO=5∴H5設(shè)直線CD即EF的解析式為y=kx+b，∴52k+b=04k+b=2∴直線CD的解析式為y=4【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，切線長(zhǎng)定理，平行線分線段成比例定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．21．（2023春·江蘇無錫·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知A(?2，0)，B(4，0)，點(diǎn)C是在y軸的負(fù)半軸上，且△ABC的面積為9．(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為_______；(2)P是第四象限內(nèi)一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為m，tan∠PBA=3①連接AP，交線段BC于點(diǎn)D．根據(jù)題意畫出示意圖并求PDDA的值（用含m②連接CP，是否存在點(diǎn)P，使得∠BCO＋2∠PCB=90°【答案】(1)(0，?3)(2)①畫圖見解析，PDDA=4?m6；②【分析】（1）先求出AB，根據(jù)三角形的面積求出OC長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)的位置寫出坐標(biāo)即可；（2）①過點(diǎn)P作PE∥AB交直線BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥AB交x軸于點(diǎn)F，寫出點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用平行線分線段成比例解題；②過點(diǎn)C作CH∥x軸交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，延長(zhǎng)CP交x軸于點(diǎn)G，可以推出∠HCP=∠PCB，可以得到點(diǎn)G的坐標(biāo)為(9，0)【詳解】（1）解：∵A(?2，0)，B(4，0)∴AB=6，∵S∴9=1解得OC=3，∵點(diǎn)C是在y軸的負(fù)半軸上，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，?3)，故答案為：(0，?3)；（2）①過點(diǎn)P作PE∥AB交直線BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥AB交x軸于點(diǎn)F．∵P是第四象限內(nèi)一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為m，∴F(m，0)，∴BF=4?m，∵tan∠PBA=3∴PF=6?32m∴P(m，32m?6)∵PE∥AB，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(2m?4，32m?6)∵PE∥AB，∴PDDA∵B(4，0)，C(0，?3)，∴BC的解析式為y=34x?3∴PE=m?(2m?4)=4?m．∴PDDA②過點(diǎn)C作CH∥x軸交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，延長(zhǎng)CP交x軸于點(diǎn)G．∵CH∥x軸，∴∠HCO=∠COB=90°∵∠BCO＋2∴∠HCB=2∠PCB∵CH∥x軸，∴∠HCP=∴∠PCB=∴BC=BG．∵BC=5，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(9，0)．∴CG的解析式為y=13x?3把P(m，32m?6)代入y=13x?3可得【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)，平行線分線段成比例，等腰三角形的判定，一次函數(shù)的解析式，三角函數(shù)，掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2023·北京海淀·中關(guān)村中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，矩形AOBC的頂點(diǎn)B，A分別在x軸，y軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)是5，4，D為BC邊上一點(diǎn)，將矩形沿AD折疊，點(diǎn)C落在x軸上的點(diǎn)E(1)如圖1，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖2，若P是AF上一動(dòng)點(diǎn)，PM⊥AC交AC于M，PN⊥CF交CF于N，設(shè)AP=t，F(xiàn)N=s，求(3)在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)P，使△PMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)【答案】(1)D4,(2)s=?2(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)是4,2或4011,【分析】（1）設(shè)D5,a，則BD=a,CD=ED=4?a，再求出OE,BE的長(zhǎng)，在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理求出（2）延長(zhǎng)MP交OF于N'，則PN'⊥OF，先證明△ADC∽△FDB，可得BF=3，OF=8，從而得到AF=AO2+OF2=45，在Rt△BCF（3）分三種情況：①當(dāng)PM=PN時(shí)；②當(dāng)PM=MN時(shí)；當(dāng)MN=NP時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解：在矩形AOBC中，C5,4∴AC=5，設(shè)D5,a，則BD=a,CD=ED=4?a∵AE=AC=5，在Rt△AOE中，OE=∴BE=OB?OE=5?3=2，在Rt△BDE中，由勾股定理得：D∴4?a∴a=3∴D4,（2）解：如圖2，延長(zhǎng)MP交OF于N'，則P∵AC//BF，∴∠PAM=∠DFB，∵∠ACD=∠FBD=90°，∴△ADC∽△FDB，∴AC由（1）知：BD=3∴CD=4?32=∴5∴BF=3，∴AF=A在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF=∵AC=5，∴AC=CF，∴∠CAF=∠AFC，∵AC//EF，∴∠CAF=∠EFA=∠AFC，∴FA平分∠CFO，∵PN⊥CF,PN∴PN=PN∴PM+PN=PM+PN'∵∠CAF=∠CFA，∴△PFN∽△DAC，∴FN∴PN又NF=s，∴PN=1∵PA=t，∵∠PAM=∠PFN∴△APM∽△FPN∴PMPN∴s=?2（3）解：分三種情況：①當(dāng)PM=PN時(shí)，如圖3，∵∠PAM=∠PFN，∴△PAM∽△PFN，∴PA∴PA=PF，即t=45解得：t=25∴PM=2，∴P4,2②當(dāng)PM=MN時(shí)，如圖4，過M作MH⊥PN于H，PN與MC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)有PH=NH=1∵PM+PN=4，∴PM=4?1∵∠G+∠GCN=∠G+∠MPN=90°，AG∥OF，∴∠GCN=∠MPN=∠BFC，即∠MPN=∠BFC，∵∠MHP=∠CBF=90°，∴△PMH∽△FCB，∴PMPH=解得：s=48代入s=?255∴P40③當(dāng)MN=NP時(shí)，如圖5，過點(diǎn)N作NQ⊥PM于Q，∴∠NPQ=∠BFC，∵∠NQP=∠CBF=90°，∴△NQP∽△CBF，∴PN又PN=1∵PQ=1∴1∴s=40代入s=?255∴P48綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)是4,2或4011,【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，一次函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，用分類討論的數(shù)學(xué)思想和方程思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．23．（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過A0,1，B4,?1．直線AB交x軸于點(diǎn)C，P是直線AB上方且在對(duì)稱軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PD⊥AB，垂足為D(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)5PD+PE的最大值時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和5(3)將拋物線y關(guān)于直線x=3作對(duì)稱后得新拋物線y'，新拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)F，M是新拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，N是平面中任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使得以C，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)N【答案】(1)y=?(2)5PD+PE的最大值為1，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3)存在點(diǎn)N，使以C，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為N214,52+354【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將A0,1，B4,?1代入（2）先求得AB的函數(shù)表達(dá)式，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AB于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)Pm,?m2+72m+174<m<4，則Qm,?12（3）先求得點(diǎn)F的坐標(biāo)及新拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)M174,t，以C，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則需要△CFM為等腰三角形，分三種情況：CF=CM，F(xiàn)C=FM【詳解】（1）解：∵拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過A∴c=1解得：b