2024-2025學(xué)年山西省晉中市榆次區(qū)高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題合集2套（含解析）

2024-2025學(xué)年山西省晉中市榆次區(qū)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．若向量，則（

）A． B．3 C． D．3．向量，若，則（

）A． B．C． D．4．已知點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，則等于（

）A． B． C．2 D．5．已知直線平面，且的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2或 B． C．3 D．或36．在平行六面體中，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．7．已知是空間一點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且一個(gè)方向向量為，則到直線的距離為（

）A．1 B． C．2 D．38．在四棱錐中，平面，底面為矩形，.若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，此時(shí)二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線l的一個(gè)方向向量為，且l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．l的傾斜角等于 B．l在x軸上的截距等于C．l與直線垂直 D．l與直線平行10．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．向量與所成角的余弦值為C．平面AEF的一個(gè)法向量是D．點(diǎn)D到平面AEF的距離為三、填空題（本大題共3小題）12．直線，的斜率，是關(guān)于的方程的兩根，若，則實(shí)數(shù)．13．已知，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為.14．動(dòng)點(diǎn)在正方體從點(diǎn)開(kāi)始沿表面運(yùn)動(dòng)，且與平面的距離保持不變，則動(dòng)直線與平面所成角正弦值的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．在平行六面體中，設(shè)，，，分別是的中點(diǎn).(1)用向量表示；(2)若，求實(shí)數(shù)x，y，z的值.16．如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.17．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)為，且.求：(1)的長(zhǎng)；(2)直線與所成角的余弦值.18．設(shè)直線l的方程為.(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；(2)若直線l交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程.19．如圖，三棱柱中，四邊形為菱形，，，側(cè)面?zhèn)让?，在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），為棱的中點(diǎn).(1)若為線段的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：∥平面；(2)若二面角的平面角的余弦值為，且，求的值.

答案1．【正確答案】D【分析】利用斜率和傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角.【詳解】設(shè)斜率為，傾斜角為，∵，，，∴.故選D.2．【正確答案】D【分析】先求得，然后根據(jù)空間向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求得.【詳解】由于向量，，所以，故故選D.【思路導(dǎo)引】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)計(jì)算求得，再根據(jù)空間向量模的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.3．【正確答案】C【分析】利用空間向量平行列出關(guān)于的方程組，解之即可求得的值.【詳解】因?yàn)椋?，由題意可得，所以則.故選C.【思路導(dǎo)引】根據(jù)題目條件列出關(guān)于的方程組，解方程組即可得到答案.4．【正確答案】A【分析】由點(diǎn)關(guān)于某坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征以及兩點(diǎn)距離公式即可求解.【詳解】點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，所以.故選A.5．【正確答案】A【分析】由直線平面，所以求解.【詳解】因?yàn)橹本€平面，所以或.故選A.【思路導(dǎo)引】由線面平行可得直線的方向向量與平面的法向量垂直，即，利用空間向量垂直的坐標(biāo)公式即可得到答案.6．【正確答案】C【分析】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)結(jié)合空間向量基本定理求解即可.【詳解】因?yàn)槠叫辛骟w中，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，所以．故選C．7．【正確答案】C【分析】運(yùn)用空間點(diǎn)到線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】由題知，，，則到直線的距離為.故選C.8．【正確答案】C【分析】由線面垂直的性質(zhì)與判定可證得平面，進(jìn)而得到，設(shè)，，，利用勾股定理可得關(guān)于的方程，由方程有且僅有一個(gè)范圍內(nèi)的解，由求得的值；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，；設(shè)，，，，，，，即，關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)范圍內(nèi)的解，對(duì)稱軸為，，解得：，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，軸平面，平面的一個(gè)法向量；設(shè)平面的法向量，則令，解得：，，，，由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.故選C.9．【正確答案】CD【分析】由直線的方向向量可求得直線的斜率，從而可求出直線的傾斜角和直線方程，依次判斷即可.【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為()，則，所以，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，令，則，所以在軸上的截距為，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，所以，所以與直線垂直，所以C正確；因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率也為，且兩直線截距不等，故兩直線平行，所以D正確.故選CD.10．【正確答案】ABD【分析】由空間向量的基本定理和空間基底逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則此方程無(wú)解，所以，，不共面，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則此方程無(wú)解，所以，，不共面，故B正確；對(duì)于C，，所以，，共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則此方程無(wú)解，所以，，不共面，故D正確.故選ABD.11．【正確答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，利用空間向量表示出，進(jìn)而求出；B選項(xiàng)，利用空間向量夾角公式求解；C選項(xiàng)，利用數(shù)量積為0進(jìn)行證明線線垂直，進(jìn)而得到答案；D選項(xiàng)，利用點(diǎn)到直線的空間向量公式進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于A，在正方體中，，，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，，又，所以平面的一個(gè)法向量是，故C正確；對(duì)于D，，則點(diǎn)D到平面AEF的距離為，故D正確.故選BCD.12．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，而且斜率存在，所以，又，是關(guān)于的方程的兩根，所以，解得．故13．【正確答案】【分析】由投影向量的計(jì)算求解即可.【詳解】，，所以在上的投影向量的坐標(biāo)為.故答案為.14．【正確答案】【分析】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以可知的移?dòng)軌跡，進(jìn)而可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，求解直線與平面所成角正弦值的取值范圍.【詳解】如圖，連接，易知，所以平面平面.因?yàn)辄c(diǎn)與平面的距離保持不變，所以點(diǎn)的移動(dòng)軌跡為的三條邊，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令則，所以，當(dāng)點(diǎn)在線段時(shí)，設(shè)，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，令，則，所以，所以當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn).當(dāng)在線段時(shí)，同理可求得，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合.綜上所述，直線與平面所成角正弦值的取值范圍為.故答案為.15．【正確答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用平行六面體的性質(zhì)，利用空間向量的線性運(yùn)算求解即得；（2）用表示，再利用空間向量基本定理求解即得.【詳解】（1）在平行六面體中，，由分別是的中點(diǎn)，得.（2），而，且不共面，所以.16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）直三棱柱中平面，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，A1,0,0，，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，所以，即，又平面，所以平面.（2）因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)空間向量的運(yùn)算，表示出，根據(jù)向量模的計(jì)算，即可求得答案；（2）選定基底表示，求出向量的數(shù)量積以及它們的模，根據(jù)向量夾角公式求出的夾角的余弦值，即可求得直線與所成角的余弦值.【詳解】（1）由題意得，所以；（2），所以，，，，故，由于異面直線所成角的范圍為大于小于等于，所以直線與AC所成角的余弦值為.18．【正確答案】(1)或；(2)6，.【分析】（1）分截距是否為0兩種情況，求得參數(shù)a，即可得答案；（2）求出直線在坐標(biāo)軸上的截距，結(jié)合題意確定參數(shù)范圍，求出的面積的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】（1）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)滿足條件，此時(shí)，解得，此時(shí)直線方程為.當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線斜率為，故，解得，可得直線l的方程為:.綜上所述，直線l的方程為或.（2）由題意知，令，解得，解得；令，解得，解得或，綜上有.∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).∴（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值是6，此時(shí)直線方程，即.19．【正確答案】(1)見(jiàn)解析；(2)的值為.【分析】（1）構(gòu)造平面∥平面，再利用面面平行的性質(zhì)得到線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量的方法求出二面角的余弦值，列方程求即可.【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，在中，為中點(diǎn)，∴∥，∵為三棱柱，∴四邊形為平行四邊形，又分別為的中點(diǎn)，∴∥，又且，且，∴平面∥平面，又平面，∴∥平面.（2）連接，∵四邊形為菱形，∴，又，∴為正三角形.∵為的中點(diǎn)，∴，∵側(cè)面?zhèn)让妫移矫嫫矫?，平面，∴平面，在平面?nèi)過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，又，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∵，∴，∴，設(shè)平面的法向量為，由得令，得，所以平面的一個(gè)法向量為，由題意可知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，∴，故的值為.2024-2025學(xué)年山西省晉中市榆次區(qū)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）一、單選題（本大題共8小題）1．若直線的傾斜角為，則（

）．A．0 B． C． D．不存在2．已知向量，若，則（

）A． B．C． D．3．已知直線與直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在空間四邊形中，若分別是的中點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，記，則等于（

）A． B． C． D．5．如圖，在圓錐SO中，AB是底面圓的直徑，,

D，E分別為SO，SB的中點(diǎn)，點(diǎn)C是底面圓周上一點(diǎn)（不同于A,B）且，則直線AD與直線CE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知直線過(guò)點(diǎn)，且為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．7．已知兩點(diǎn)，，若直線與線段有公共點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．已知點(diǎn)和非零實(shí)數(shù)，若兩條不同的直線，均過(guò)點(diǎn)，且斜率之積為，則稱直線，是一組“共軛線對(duì)”，如直線，是一組“共軛線對(duì)”，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)．已知，是一組“共軛線對(duì)”，則，的夾角的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B．若直線過(guò)點(diǎn)，且它的傾斜角為45°，則這條直線必過(guò)點(diǎn)C．過(guò)，兩點(diǎn)的直線的方程為D．直線在軸上的截距為210．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，下列結(jié)論正確的有（

）A．B．向量與的夾角的余弦值為C．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為D．向量在上的投影向量為11．如圖，在三棱錐中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的表面積為B．若為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為C．若與平面所成角的正弦值為，則二面角的正弦值為D．的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．已知點(diǎn)在平面上，點(diǎn)是空間內(nèi)任意一點(diǎn)，且，則的值為．13．直線的一個(gè)方向向量為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的一般式方程為.14．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為棱上一點(diǎn)，且，為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若且與平面所成的角最大時(shí)，線段的長(zhǎng)度為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，為邊的中點(diǎn)．(1)求邊上的中線的一般式方程；(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程．16．已知，，且.(1)求.(2)求與夾角的余弦值.17．已知直線.（1）若直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；（2）若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為S，求S的最小值及此時(shí)l的方程.18．已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分別是、、、AD的中點(diǎn)，平面．(1)求證：；(2)求點(diǎn)B到平面EFM的距離；(3)在線段上是否存在點(diǎn)N，使得直線與平面EFM所成角的正弦值為？若存在，求線段的長(zhǎng)度，若不存在，說(shuō)明理由．19．已知是棱長(zhǎng)為的正四面體，設(shè)的四個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離所構(gòu)成的集合為，若中元素的個(gè)數(shù)為，則稱為的階等距平面，為的階等距集．(1)若為的1階等距平面且1階等距集為，求的所有可能值以及相應(yīng)的的個(gè)數(shù)；(2)已知為的4階等距平面，且點(diǎn)與點(diǎn)，，分別位于的兩側(cè)．是否存在，使的4階等距集為，其中點(diǎn)到的距離為？若存在，求平面與夾角的余弦值；若不存在，說(shuō)明理由．

答案1．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，為一常?shù)，故直線的傾斜角為，故選：C2．【正確答案】B【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示，求出的值.【詳解】向量，且，所以，解得.故選B.3．【正確答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，由，解得，所以可以推出，當(dāng)時(shí)，直線，直線，有，即可以推出，所以“”是“”的充要條件，故選：C.4．【正確答案】A【詳解】連接，因?yàn)?，分別是的中點(diǎn)，所以，故．故選：A5．【正確答案】A【詳解】由題設(shè)，構(gòu)造如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，則.所以直線AD與直線CE所成角的余弦值為.故選：A6．【正確答案】B【詳解】，則點(diǎn)到直線的距離為：.故選：B7．【正確答案】D【詳解】由，得到，所以直線過(guò)定點(diǎn)，又，，所以，，又直線與線段有公共點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，，

故選：D.8．【正確答案】B【詳解】設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，兩直線的夾角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又，所以，故選：B.9．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)傾斜角為銳角，斜率為正；當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線方程為，即，顯然在直線上，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)或時(shí)不能使用兩點(diǎn)式寫(xiě)方程，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線，令，，則直線在軸上的截距為，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.10．【正確答案】BD【詳解】記，，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，設(shè)與的夾角為，則，故B正確；對(duì)于C，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上的投影向量為，D正確．故選：BD．11．【正確答案】ABD【詳解】連結(jié)OB.在三棱錐中，，，.所以,,且,.所以，所以.又因?yàn)?，所以面ABC.可以以O(shè)為原點(diǎn)，以分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，所以,,,.對(duì)于A：在三棱錐中，，，，所以底面三角形為直角三角形，其面積為；為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以面積為；和為腰長(zhǎng)為2，底邊為的等腰三角形，所以面積均為；所以三棱錐的表面積為.故A正確；對(duì)于B：為棱的中點(diǎn)，所以,所以,.所以異面直線與所成角的余弦值為.故B正確；對(duì)于C：點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)，不妨設(shè)，（）.所以.設(shè)為面PAM的一個(gè)法向量，則，不妨設(shè)y=1，則.因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，所以，解得：取，則顯然，面PAC的一個(gè)法向量為.設(shè)二面角的平面角為，所以，所以.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D:如圖示，把平面PBC展開(kāi)，使A、B、C、P四點(diǎn)共面.當(dāng)M與B重合時(shí)，；當(dāng)M與C重合時(shí)，最大；連結(jié)AP交BC于M1，由兩點(diǎn)之間直線最短可知，當(dāng)M位于M1時(shí)，最小.此時(shí)，，所以.由余弦定理得：.所以的取值范圍為.故D正確.故選：ABD12．【正確答案】【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在平面上，由空間向量基本定理知，，得到，即，又，所以，解得，故答案為.13．【正確答案】【詳解】∵直線的方向向量,∴直線的斜率，又∵直線過(guò)點(diǎn)∴由點(diǎn)斜式可得：,即，故答案為.14．【正確答案】/【詳解】以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即取，則.在正方體中，可得平面，且平面，所以，則，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓弧，其圓心角為，則，則，即，又，設(shè)與平面所成的角為，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即時(shí)，與平面所成的角最大，即，所以.故答案為.1、解答方法：一般時(shí)根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；2、對(duì)于線面位置關(guān)系的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；3、對(duì)于探索性問(wèn)題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問(wèn)題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無(wú)解則不存在，同時(shí)，用已知向量來(lái)表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)思想是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以的中點(diǎn)，又，所以邊上的中線的方程為，整理得到，故邊上的中線的一般式方程為.（2）因?yàn)橹本€的斜率為，又，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，整理得到.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)題意由可得，即，解得；所以，因此，即.（2）易知，且；所以，即與夾角的余弦值