2024-2025學(xué)年河北省唐山市豐南區(qū)高三上冊10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省唐山市豐南區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實部為（）A. B. C. D.3.命題的否定為（）A. B.C. D.4.“或”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.函數(shù)的部分圖象大致為（）．A. B.C. D.6.定義在R上奇函數(shù)滿足：任意，都有，設(shè)，，則a,b,c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.7.函數(shù)，，若對任意，總存在，使得成立，則實數(shù)a的范圍是（）A. B.C. D.8.若關(guān)于x的不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C D.10.已知函數(shù)的定義域為，且函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象的一條對稱軸是直線 B.當(dāng)時，C.函數(shù)有3個零點 D.11.設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是B.若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是C.設(shè)函數(shù)的3個零點分別是，則的取值范圍是D.存在實數(shù)，使函數(shù)在內(nèi)有最小值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則的單調(diào)增區(qū)間為_______．13.曲線在處的切線恰好是曲線的切線，則實數(shù)______.14.對于函數(shù)和，設(shè)，，若存在使得，則稱函數(shù)和互為“零點相鄰函數(shù)”，若函數(shù)與互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍為_____________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知中，a，b，c分別為角A，B，C對邊，.（1）求角C大??；（2）若，且的面積為，求的周長.16.設(shè)等差數(shù)列前n項和為，等比數(shù)列的各項都為正數(shù)，且滿足，，．（1）求，的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前21項的和．（答案可保留指數(shù)冪的形式）17.某企業(yè)為進一步增加市場競爭力，計劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機，通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)該產(chǎn)品全年需要投入研發(fā)成本250萬元，每生產(chǎn)（千部）手機，需另外投入成本萬元，其中，已知每部手機的售價為5000元，且生產(chǎn)的手機當(dāng)年全部銷售完.（1）求2023年該款手機的利潤關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少時，企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？18.如圖，在三棱臺中，平面，為中點.，N為AB的中點，（1）求證：//平面；（2）求平面與平面所成夾角的余弦值；（3）求點到平面的距離．19.已知函數(shù).（1）若，求的圖象在處的切線方程；（2）若恰有兩個極值點，.（i）求的取值范圍；（ii）證明.2024-2025學(xué)年河北省唐山市豐南區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】解一元二次不等式可求得，再結(jié)合集合的特征即可計算得出結(jié)果.【詳解】解不等式可得，又可得只有當(dāng)時，的取值分別為在集合中，所以.故選：C2.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實部為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算化簡，再由復(fù)數(shù)的實部概念得解.【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)的實部為，故選：D3.命題的否定為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)命題的否定的定義即可求解.【詳解】命題的否定為.故選：B.4.“或”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)可求參數(shù)的值，從而可判斷兩者之間的關(guān)系【詳解】因為是冪函數(shù)且在上是減函數(shù)，故，故，故“或”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的必要不充分條件，故選：B.5.函數(shù)的部分圖象大致為（）．A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)為奇函數(shù)，排除B、C，再由時，，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以B、C不符合題意；又由當(dāng)時，，所以，所以A不符合題意，D符合題意.故選：D.6.定義在R上的奇函數(shù)滿足：任意，都有，設(shè)，，則a,b,c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由題意可得在R上單調(diào)遞增，，利用對數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，從而即可得答案.【詳解】因為是在R上的奇函數(shù)，且任意，都有，所以在R上單調(diào)遞增，又因為，所以，又因，，所以，所以即.故選：C.7.函數(shù)，，若對任意的，總存在，使得成立，則實數(shù)a的范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的取值范圍，依題意有，解不等式得實數(shù)a的范圍.【詳解】函數(shù)，因為，，所以f′x≥0，故在上單調(diào)遞增，所以.又，所以在上也是單調(diào)遞增，所以.因為對任意的，總存在，使成立，等價于，所以，解得，故實數(shù)a的范圍是.故選：D.8.若關(guān)于x的不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用同構(gòu)得到，當(dāng)時，滿足要求，當(dāng)時，令，則在上恒成立，求導(dǎo)后得到函數(shù)單調(diào)性，從而得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到單調(diào)性，進而得到，得到答案.【詳解】由可得，即，當(dāng)時，，不等式在上顯然成立；當(dāng)時，令，則在上恒成立，由，在上，所以在上單調(diào)遞增，又時，，，所以只需在上恒成立，即恒成立．令，則，即在上單調(diào)遞增，其中，故，所以此時有．綜上，．故選：C．導(dǎo)函數(shù)求解參數(shù)取值范圍，當(dāng)函數(shù)中同時出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進行求解，本題難點是不等式變形為，從而構(gòu)造進行求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)定義及函數(shù)單調(diào)性逐項判斷即得.【詳解】對于A，函數(shù)定義域為，不是偶函數(shù)，A不是；對于B，函數(shù)定義域為R，，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，B是；對于C，函數(shù)定義域為R，，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，C是；對于D，函數(shù)定義域為R，而，不是偶函數(shù)，D不是.故選：BC10.已知函數(shù)的定義域為，且函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，下列結(jié)論正確的是（）A.圖象的一條對稱軸是直線 B.當(dāng)時，C.函數(shù)有3個零點 D.【正確答案】ACD【分析】由條件結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)和偶函數(shù)的性質(zhì)列關(guān)系式，得對稱性判斷選項A；由函數(shù)單調(diào)性判斷選項B；利用函數(shù)圖象交點個數(shù)得零點個數(shù)判斷選項C；由周期性結(jié)合對稱性求函數(shù)值判斷選項D；周期性結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值的和判斷選項D.【詳解】對于A：由于是偶函數(shù)，因此可以得到，用替換可以得到，則的對稱軸為，選項A正確；對于B：當(dāng)時，顯然是一個增函數(shù)，此時，因此，選項B錯誤；對于C：由于是奇函數(shù)，因此可以得到，則，因此，故，因此，則，則4是函數(shù)的周期.當(dāng)x∈0,1時，是一個向下凹的曲線，在的下方，容易知道是兩者一個交點的橫坐標(biāo)，由于是的對稱軸，因此當(dāng)時，，由于，因此當(dāng)時，，而4是函數(shù)的周期，因此當(dāng)時，y=fx和無交點.由于，且4是函數(shù)的周期，因此，進一步得到，因此，故是奇函數(shù)，而也是奇函數(shù)，因此當(dāng)時兩者也只有一個交點，顯然是它們一個交點的橫坐標(biāo)，故總共有三個交點，即y=gx有三個零點，選項C正確.對于D：由于，因此，有.則，D選項正確.故選：ACD.11.設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是B.若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是C.設(shè)函數(shù)的3個零點分別是，則的取值范圍是D.存在實數(shù)，使函數(shù)在內(nèi)有最小值【正確答案】BC【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，列出不等式組，可判定A錯誤；令，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，可判定B正確；設(shè)函數(shù)的3個零點分別是，得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，可判定C正確；當(dāng)時，函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組，可判定D不正確.【詳解】對于A中，由函數(shù)，要使得在上單調(diào)遞增，則，即，所以，所以A錯誤；對于B中，令，當(dāng)時，可得，若函數(shù)有3個零點，則需有一個零點，則；當(dāng)時，可得，若函數(shù)有3個零點，則需有兩個不等的負實根，則滿足，解得，所以若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍是，所以B正確.對于C中，設(shè)函數(shù)的3個零點分別是，則，可得，令，可得，則在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)趨近于時，趨近于負無窮大，則函數(shù)的取值范圍為，即的取值范圍是，所以C正確；對于D中，當(dāng)時，函數(shù)是開口向下的二次函數(shù)，故函數(shù)只能在兩邊端點處取得最小值；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，要使函數(shù)在內(nèi)有最小值，即，即，故無解，所以不存在，所以D不正確.故選：BC.方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則的單調(diào)增區(qū)間為_______．【正確答案】##【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解導(dǎo)函數(shù)大于0的不等式即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為.故13.曲線在處的切線恰好是曲線的切線，則實數(shù)______.【正確答案】【分析】求出在處的切線方程，設(shè)出的切點聯(lián)立方程組可解得.【詳解】對于，易知，切線斜率為，切點為0,1；則曲線在處的切線為，顯然，設(shè)切點，由，解得.故214.對于函數(shù)和，設(shè)，，若存在使得，則稱函數(shù)和互為“零點相鄰函數(shù)”，若函數(shù)與互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍為_____________．【正確答案】【分析】首先求出函數(shù)的零點，從而得，結(jié)合新定義可得，則，從而可知方程在區(qū)間上存在實數(shù)根，通過分離參數(shù)并化簡整理得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出值域，從而確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，據(jù)此可知，結(jié)合“零點相鄰函數(shù)”的定義可得，則，據(jù)此可知函數(shù)在區(qū)間上存在零點，即方程在區(qū)間上存在實數(shù)根，整理可得：，令，則，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，則據(jù)此可知實數(shù)的取值范圍是.故方法點睛:新定義題型的特點是:通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的:遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，.（1）求角C的大小；（2）若，且的面積為，求的周長.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先根據(jù)正弦定理角化邊公式得到，再利用余弦定理求解即可.（2）首先根據(jù)三角形面積得到，利用余弦定理得到，即可得到三角形的周長.【詳解】（1）因為由正弦定理可得，即.由余弦定理知又因，所以；（2），的面積，即，所以，所以，即.所以的周長為.16.設(shè)等差數(shù)列前n項和為，等比數(shù)列的各項都為正數(shù)，且滿足，，．（1）求，的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前21項的和．（答案可保留指數(shù)冪的形式）【正確答案】（1），；（2）.【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列公差d，正項等比數(shù)列公比q，根據(jù)給定條件列出方程組求解即可作答.(2)利用分組求和方法分別求出等差數(shù)列前11個奇數(shù)項的和，等比數(shù)列前10個偶數(shù)項的和即可計算作答.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，正項等比數(shù)列公比為q(q>0)，依題意，，解得，所以數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由(1)知，，數(shù)列是等差數(shù)列，首項為2，公差為4，，數(shù)列是等比數(shù)列，首項為4，公比為4，而，數(shù)列的前21項的和：，所以數(shù)列的前21項的和為.17.某企業(yè)為進一步增加市場競爭力，計劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機，通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)該產(chǎn)品全年需要投入研發(fā)成本250萬元，每生產(chǎn)（千部）手機，需另外投入成本萬元，其中，已知每部手機售價為5000元，且生產(chǎn)的手機當(dāng)年全部銷售完.（1）求2023年該款手機的利潤關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少時，企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【正確答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為52（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是5792萬元.【分析】（1）根據(jù)利潤等于收入減去成本即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）求出的函數(shù)關(guān)系式直接求最大值即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時,，所以.【小問2詳解】當(dāng)時，,∴當(dāng)時，，當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，因此當(dāng)年產(chǎn)量為52（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是5792萬元.18.如圖，在三棱臺中，平面，為中點.，N為AB的中點，（1）求證：//平面；（2）求平面與平面所成夾角的余弦值；（3）求點到平面的距離．【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決；（2）利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進行求解；（3）方法一是利用線面垂直的關(guān)系，找到垂線段的長，方法二無需找垂線段長，直接利用等體積法求解【小問1詳解】連接.由分別是的中點，根據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，由棱臺性質(zhì)，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，又平面，平面，于是//