2024-2025學年江蘇省宿遷市高三上冊第一次月考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年江蘇省宿遷市高三上學期第一次月考數(shù)學檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.已知，是兩個平面，，是兩條不同的直線，則下列說法正確的是（）A若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則3.設向量，，若，則（）A.0或-6 B.4或 C.2或 D.0或4.生物豐富度是河流水質(zhì)的一個評價指標，其中，分別表示河流中生物種類數(shù)和生物個體總數(shù).生物豐富度指越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由2.85提高到3.8，則（）A B.C. D.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C D.6.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)取值范圍是（）A. B.C. D.7.設矩形的周長為12，把沿向折疊，折過去后交于點，則（）A.周長為定值，面積有最大值 B.周長為定值，面積有最小值C.面積為定值，周長有最大值 D.面積為定值，周長有最小值8.已知，，，則，，的大小關系是（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.函數(shù)的最小值是4C.“且”是“”的充分不必要條件D.關于的不等式的解集是，則10.已知，且，則（）A.的最小正周期是B.是偶函數(shù)C.的圖象關于直線對稱D.若在上有且僅有兩個零點，則11.在長方體中，，點滿足，其中，，則（）A.若與平面所成角為，則點的軌跡長度為B.當時，面C.當時，有且僅有一個點，使得D.當時，的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.求值：__________．13.若，，，則的最小值為______．14.函數(shù)，若對于任意，都有成立，則實數(shù)的值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且.（1）求；（2）求在處的切線方程.16.已知，，分別為三個內(nèi)角A，，的對邊，且．（1）求；（2）若，是中點，，求的面積．17.如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，為的中點．（1）證明：平面，并求直線和平面的距離；（2）求二面角的余弦值；（3）試在線段上確定一點，使與所成角為．18.已知函數(shù)，．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時，，求的取值范圍；（3）對于任意的且，證明：19.已知集合，若存在數(shù)陣滿足：①；②；則稱為“好集合”，并稱數(shù)陣為的一個“好數(shù)陣”．（1）已知數(shù)陣是的一個好數(shù)陣，試寫出，，，的值；（2）若集合為“好集合”，證明：集合的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個；（3）判斷是否為“好集合”．若是，求出滿足條件所有“好數(shù)陣”；若不是，說明理由．2024-2025學年江蘇省宿遷市高三上學期第一次月考數(shù)學檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】先通過解三角不等式求出集合，再根據(jù)集合間的運算即可求解.【詳解】解：由，解得：，即，故.故選：A.2.已知，是兩個平面，，是兩條不同的直線，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【正確答案】B【分析】根據(jù)空間中平行關系或垂直關系的轉(zhuǎn)化逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，若，，則，故A錯誤；對于B，若，，則在平面內(nèi)存在直線，使得，而，故，則，故B成立；對于C，若，，則或，故C錯誤；對于D，若，，則，故D錯誤，故選：B.3.設向量，，若，則（）A.0或-6 B.4或 C.2或 D.0或【正確答案】B【分析】根據(jù)共線的坐標關系即可求解.【詳解】，，，故，解得或，故選：B4.生物豐富度是河流水質(zhì)的一個評價指標，其中，分別表示河流中生物種類數(shù)和生物個體總數(shù).生物豐富度指越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個體總數(shù)由變?yōu)椋镓S富度指數(shù)由2.85提高到3.8，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)條件列出關于，的關系式，化簡即可.【詳解】由題意：.故選：C5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)可排除BD，根據(jù)函數(shù)值的符號可排除A.【詳解】由圖可得，而B中函數(shù)滿足，D中函數(shù)滿足，故排除BD，對于A函數(shù)：當時，，而，故，故當時，，故排除A，故選：C.6.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】設，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設，由題意可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)的對稱軸為，所以，解得.故選.7.設矩形的周長為12，把沿向折疊，折過去后交于點，則（）A.周長為定值，面積有最大值 B.周長為定值，面積有最小值C.面積為定值，周長有最大值 D.面積為定值，周長有最小值【正確答案】A【分析】設，，分析可得，，即可得周長為定值，根據(jù)勾股定理可得，利用基本不等式求面積的最大值.【詳解】如圖所示：設，，則，由題意可知：，則，可得的周長為，為定值；因為，則，即，整理可得，即，可得的面積為，當且僅當，即時，等號成立，所以的面積有最大值；綜上所述：周長為定值，面積有最大值.故選：A.8.已知，，，則，，的大小關系是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用中間量即可得到，再根據(jù)正余弦函數(shù)的性質(zhì)即可比較出，則得到答案.詳解】，因為，則，而，，故.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.函數(shù)的最小值是4C.“且”是“”的充分不必要條件D.關于的不等式的解集是，則【正確答案】BCD【分析】選項A：利用全稱量詞命題的否定判斷；選項B：由基本不等式可判斷；選項C：由不等式的性質(zhì)可判斷；選項D：利用二次不等式的解集是求參數(shù)即可判斷.【詳解】選項A：命題“”是一個全稱量詞命題，所以該命題的否定是：“"，錯誤；選項B：，當且僅當，即時取等號，故正確；選項C：當且時，易知，當時，取，此時且不成立，故“且”是“”的充分不必要條件，正確；選項D：因為關于的不等式的解集是，則2和是方程的兩個實數(shù)根，所以，解得，所以，正確.故選：BCD.10.已知，且，則（）A.的最小正周期是B.是偶函數(shù)C.的圖象關于直線對稱D.若在上有且僅有兩個零點，則【正確答案】ABD【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合最小正周期的計算公式，可得判定A正確；由函數(shù)，可得判定B正確；由，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可得判定C不正確；由，根據(jù)，得出不等式，可得判定D正確.【詳解】由函數(shù)，因為，可得，解得，所以，因為，可得，所以，對于A中，由，可得的最小正周期為，所以A正確；對于B中，由，此時函數(shù)是偶函數(shù)，所以B正確；對于C中，由，令，解得，可得對稱軸的方程為，所以不是的對稱軸，所以C不正確；對于D中，由函數(shù)，當，可得，則，要使得在上有且僅有兩個零點，則滿足，解得，所以D正確.故選：ABD.11.在長方體中，，點滿足，其中，，則（）A.若與平面所成角為，則點的軌跡長度為B.當時，面C.當時，有且僅有一個點，使得D.當時，的最小值為【正確答案】BCD【分析】由平面，得到點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，可判定A錯誤；當時，得到點在線段，證得平面和平面，得到平面平面，可得判定B正確；當時，得到點在線段上運動,由線面垂直得P的軌跡為圓，可判定C正確；當時，得到點在線段上運動，沿著將直角和平面展在一個平面上，結(jié)合余弦定理，求得，可判定D正確.【詳解】對于A中，連接，在長方體中，可得平面，所以即為與平面所成的角，即，在直角中，可得，所以點軌跡為以為圓心，半徑為的圓，其周長為，所以A錯誤；對于B中，當時，因為，且點滿足，所以點在線段，連接，在長方體中，可得，因為平面，且平面，所以平面，同理可證平面，又因為，且平面，所以平面平面，因為平面，所以平面，所以B正確；對于C中，當時，因為，且點滿足，取的中點，連接，可得點在線段上運動，若，因為平面，且平面，所以，平面,故平面，又平面，故,所以點在以為直徑的圓上，又因為，可得線段與以為直徑的圓只有一個交點，所以當點與重合時，即當且僅當為的中點時，能使得，所以C正確；對于D中，當時，因為，且點滿足，取的中點，連接，可得點在線段上運動，沿著將直角和平面展在一個平面上，如圖所示，在中，，由余弦定理得，所以，即的最小值為，所以D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.求值：__________．【正確答案】1【分析】利用三角函數(shù)切化弦，輔助角公式與誘導公式求解即可.【詳解】．故．13.若，，，則的最小值為______．【正確答案】【分析】根據(jù)題意整理可得，利用基本不等式結(jié)合一元二次不等式運算求解.【詳解】因為，，，則，又因為，即，整理可得，解得或（舍去），當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故答案為.14.函數(shù)，若對于任意，都有成立，則實數(shù)的值為______．【正確答案】9【分析】根據(jù)給定條件，按分段討論，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并利用導數(shù)求出最值即得.【詳解】對于任意，都有恒成立，當時，恒成立，則；當時，，當時，，令，，求導得，若，即，當時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因此，若，即，恒有，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此，所以.故9關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用分段討論的思想，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)求出最值.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且.（1）求；（2）求在處的切線方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由偶函數(shù)的定義可得，代入化簡可得的值.（2）由導數(shù)的幾何意義可得是在處的切線斜率，進而結(jié)合得到切線的點斜式方程，化簡可得結(jié)果.【小問1詳解】因為函數(shù)為上的偶函數(shù)，所以有，當時，，即，，，解得，此時，經(jīng)檢驗，為上的偶函數(shù)，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以，則，則，又，所以在處的切線方程為：，即.16.已知，，分別為三個內(nèi)角A，，的對邊，且．（1）求；（2）若，是中點，，求的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換化簡計算即可；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理、三角形的面積公式計算即可.【小問1詳解】由正弦定理知，又，所以，即，所以，所以，，故；【小問2詳解】由，所以知為等腰三角形，取中點N，連接AN，則，不妨設，則，由勾股定理知，即，所以面積為.17.如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，為的中點．（1）證明：平面，并求直線和平面的距離；（2）求二面角的余弦值；（3）試在線段上確定一點，使與所成角為．【正確答案】（1）證明見解析；.（2）（3）在線段上且.【分析】（1）建立空間直角坐標系，用空間向量求證線面平行和點到平面的距離.（2）在（1）的基礎上，用空間向量求二面角的余弦.（3）先設點坐標，根據(jù)兩向量所成的角的計算公式，確定點的位置.【小問1詳解】∵平面平面，平面平面，平面，且，∴平面.又平面，∴，.又四邊形為正方形，所以.故可以為原點，建立如圖空間直角坐標系.則A0,0,0，，，，，，.∴，，，設平面的法向量為：m=x,y,z則，可取.∵，且點平面，所以平面.又，所以點到平面的距離為，即直線和平面的距離為.【小問2詳解】易知是平面的法向量，設二面角為，則.故所求二面角的余弦為.【小問3詳解】∵點在線段上，故可設，（）.則，又，與所成角為，所以，解得或（舍去）.此時，點在線段上，且.18.已知函數(shù)，．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時，，求取值范圍；（3）對于任意的且，證明：【正確答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）（3）證明見解析【分析】（1）直接利用導數(shù)計算研究函數(shù)單調(diào)性即可；（2）含參討論的單調(diào)性，結(jié)合端點值計算即可；（3）利用（2）的結(jié)論得出，結(jié)合累加法即可證明.【小問1詳解】當時，，顯然時，，此時在單調(diào)遞增，時，，此時在單調(diào)遞減，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】由題意知，若，此時在定義域上單調(diào)遞減，即，不符合題意，若，則，易知上，此時單調(diào)遞減，則，不符合題意，若，則，在上，，此時單調(diào)遞增，所以，符合題意，綜上【小問3詳解】由（1）、（2）可知，所以，即，所以，累加得，證畢.關鍵點睛：解答本題的關鍵是得出不等式，進而推出，利用累加法求解.19.已知集合，若存在數(shù)陣滿足：①；②；則稱為“好集合”，并稱數(shù)陣為的一個“好數(shù)陣”．（1）已知數(shù)陣是的一個好數(shù)陣，試寫出，，，的值；（2）若集合為“好集合”，證明：集合的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個；（3）判斷是否為“好集合”．若