2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系211平面課件新人教A版必修2

第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1平面

1.平面的概念幾何里所說的“平面”,是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的.幾何里的平面是無限延展的.2.平面的畫法(1)水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形,它的銳角通常畫成45°,且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍.如圖①.(2)如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住,為了增強(qiáng)它的立體感,把被遮擋部分用虛線畫出來.如圖②.【思考】類比直線的畫法,想一想為什么“通常”畫“平行四邊形”表示平面?提示:①通常畫的平行四邊形表示的是整個(gè)平面.需要時(shí),可以把它延展開來,如同在平面幾何中畫直線一樣,直線是可以無限延伸的,但在畫直線時(shí)卻只畫一條線段(無端點(diǎn))來表示.②加“通?！倍值囊馑际且?yàn)橛袝r(shí)根據(jù)需要也可用其他平面圖形表示,如用三角形、矩形、圓等平面圖形來表示平面.3.平面的表示法(1)用希臘字母表示,如平面α,平面β,平面γ.(2)用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母表示,如平面ABCD.(3)用表示平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)表示,如平面AC,平面BD.4.平面的基本性質(zhì)公理文字語言圖形語言符號(hào)語言公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)

A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α公理文字語言圖形語言符號(hào)語言公理2過不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面

A,B,C三點(diǎn)不共線?存在惟一的平面α使A,B,C∈α公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線

P∈α且P∈β?α∩β=l,且P∈l【思考】用數(shù)學(xué)符號(hào)“∈”、“?”“?”或“∩”表示點(diǎn)和直線、平面的位置關(guān)系的依據(jù)是什么?這些符號(hào)分別適用于什么情況?提示:(1)直線可以看成無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合,故點(diǎn)與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系,用“∈”或“?”表示.(2)平面也可以看成點(diǎn)集,故點(diǎn)與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系,用“∈”或“?”表示.(3)直線和平面都是點(diǎn)集,它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系,故用“?”或“?”表示.直線與平面的交點(diǎn),平面與平面的交線可看成兩個(gè)集合的“交集”,故用“∩”表示.【素養(yǎng)小測(cè)】

1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)幾何里的平面是有厚度的,有邊界的. (

)(2)若線段AB在平面α內(nèi),則直線AB在平面α內(nèi).(

)(3)平面α與平面β相交,它們只有有限個(gè)公共點(diǎn).(

)(4)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合.(

)提示:(1)×.幾何里的平面是沒有厚度,無限延展而沒有邊界的.(2)√.直線AB在平面α內(nèi),因?yàn)榫€段AB在平面α內(nèi),所以線段AB上的所有點(diǎn)都在平面α內(nèi),故線段AB上A,B兩點(diǎn)一定在平面α內(nèi),由公理1可知直線AB在平面α內(nèi).(3)×.平面α與平面β相交,它們有無限個(gè)公共點(diǎn),這些點(diǎn)都在同一條直線上.(4)×.如三點(diǎn)共線,這兩個(gè)平面有可能相交,也可能重合,所以該命題錯(cuò)誤.2.如果空間四點(diǎn)A,B,C,D不共面,那么下列判斷中正確的是 (

)A.A,B,C,D四點(diǎn)中必有三點(diǎn)共線B.A,B,C,D四點(diǎn)中不存在三點(diǎn)共線C.直線AB與CD相交D.直線AB與CD平行【解析】選B.兩條平行直線、兩條相交直線、直線及直線外一點(diǎn)都分別確定一個(gè)平面.3.已知如圖,試用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示下列點(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系:(1)點(diǎn)C與平面β:______________.

(2)點(diǎn)A與平面α:_________.(3)直線AB與平面α:_______.(4)直線CD與平面α:_______.(5)平面α與平面β:_______.【解析】(1)C?β.(2)A?α.(3)AB∩α=B.(4)CD?α.(5)α∩β=BD.答案:(1)C?β

(2)A?α

(3)AB∩α=B(4)CD?α

(5)α∩β=BD類型一文字語言、圖形語言、符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)化【典例】1.文字語言敘述:“平面內(nèi)有一條直線,則這條直線上的點(diǎn)必在這個(gè)平面內(nèi)”改成符號(hào)語言是(

)A.a∈α,A?a?A?α B.a?α,A∈a?A∈αC.a∈α,A∈a?A?α D.a∈α,A∈a?A∈α2.下列四個(gè)選項(xiàng)中的圖形表示兩個(gè)相交平面,其中畫法正確的是 (

)3.如圖所示,根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系.(1)點(diǎn)P與直線AB.(2)點(diǎn)C與直線AB.(3)點(diǎn)A1與平面AC.(4)直線AB與直線BC.(5)直線AB與平面AC.(6)平面A1B與平面AC.【思維·引】1.點(diǎn)看作元素,直線和平面看作點(diǎn)的集合,據(jù)此選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào).2.注意被遮擋的線畫成虛線.3.判斷點(diǎn)、直線和平面的位置關(guān)系,選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)表示出來.【解析】1.選B.直線在平面內(nèi)用“?”,點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在平面內(nèi)用“∈”.2.選D.畫兩個(gè)相交平面時(shí),被遮住的部分用虛線表示,只有D畫法正確.3.(1)點(diǎn)P∈直線AB.(2)點(diǎn)C?直線AB.(3)點(diǎn)A1?平面AC.(4)直線AB∩直線BC=點(diǎn)B.(5)直線AB?平面AC.(6)平面A1B∩平面AC=直線AB.【內(nèi)化·悟】在用符號(hào)表示點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系時(shí),如何區(qū)別“∈”與“?”?提示:可借助集合的觀點(diǎn)區(qū)分“∈”與“?”.點(diǎn)與直線(或平面)的位置關(guān)系,用“∈”或“?”表示;直線與平面的位置關(guān)系,用“?”或“?”表示;直線與直線相交、平面與平面相交要類比集合與集合交集說明交點(diǎn)或交線.【類題·通】三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí),首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著用文字語言表示,再用符號(hào)語言表示.(2)要注意符號(hào)語言的意義.如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”,直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”.【習(xí)練·破】根據(jù)下列符號(hào)表示的語句,說明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系,并畫出相應(yīng)的圖形:(1)A∈α,B?α.(2)l?α,m∩α=A,A?l.(3)P∈l,P?α,Q∈l,Q∈α.【解析】(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi),點(diǎn)B不在平面α內(nèi),如圖①所示.(2)直線l在平面α內(nèi),直線m與平面α相交于點(diǎn)A,且點(diǎn)A不在直線l上,如圖②所示.(3)直線l經(jīng)過平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q,如圖③所示.【加練·固】將下列符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言.(1)a?α,b∩α=A,A?a.(2)α∩β=c,a?α,b?β,a∥c,b∩c=P.【解析】(1)

(2)類型二點(diǎn)、線共面問題【典例】證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi).【思維·引】用納入法證明,即先由兩條相交直線確定一個(gè)面,再證第三條直線在這個(gè)平面內(nèi).【證明】已知:如圖所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求證:直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).證明:方法一:因?yàn)閘1∩l2=A,所以l1和l2確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘2∩l3=B,所以B∈l2.又因?yàn)閘2?α,所以B∈α.同理可證C∈α.又因?yàn)锽∈l3,C∈l3,所以l3?α.所以直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).方法二:因?yàn)閘1∩l2=A,所以l1,l2確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘2∩l3=B,所以l2,l3確定一個(gè)平面β.因?yàn)锳∈l2,l2?α,所以A∈α.因?yàn)锳∈l2,l2?β,所以A∈β.同理可證B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共線的三個(gè)點(diǎn)A,B,C既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi).所以平面α和β重合,即直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).【素養(yǎng)·探】在點(diǎn)、線共面問題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的邏輯推理,通過研究點(diǎn)、直線和平面之間的基本位置關(guān)系,從已知定理出發(fā),依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題.將本例的條件“兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線”改為“和同一條直線相交的兩條平行直線”,試證明這三條直線在同一平面內(nèi).【證明】已知l1∥l2,l1∩l3=A,l2∩l3=B,求證:l1,l2,l3共面.證明:因?yàn)閘1∥l2,所以l1與l2確定一個(gè)平面,設(shè)該平面為α,則l1?α,l2?α,又因?yàn)閘1∩l3=A,l2∩l3=B,所以A∈l1?α,B∈l2?α,即A∈α,B∈α,而A∈l3,B∈l3,所以l3?α,因此l1,l2,l3共面.【類題·通】1.證明點(diǎn)、線共面問題的理論依據(jù)(1)公理1和公理2(2)公理2的推論①經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.②經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面.③經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面.2.證明點(diǎn)、線共面的兩種常用方法(1)納入法:先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面,再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi).(2)重合法:先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α,其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面β,再證平面α與β重合.【習(xí)練·破】已知直線l與四邊形ABCD的三邊AB,AD,CD所在的直線分別相交于點(diǎn)E,F,G.求證:四邊形ABCD是平面四邊形.【證明】設(shè)AB,AD確定的平面為α,則E∈α,F∈α,于是l?α.因?yàn)镚∈l,所以G∈α.所以DG?α,即DC?α.所以C∈α.故A,B,C,D四點(diǎn)共面,即四邊形ABCD為平面四邊形.【加練·固】已知:A∈l,B∈l,C∈l,D?l,如圖所示.求證:直線AD,BD,CD共面.【證明】因?yàn)镈?l,所以l與D可以確定平面α,因?yàn)锳∈l,所以A∈α,又D∈α,所以AD?α.同理,BD?α,CD?α,所以AD,BD,CD在同一平面α內(nèi),即它們共面.類型三點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題【典例】1.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點(diǎn)Q,求證:B,Q,D1三點(diǎn)共線.2.如圖,已知平面α,β,且α∩β=l,設(shè)梯形ABCD中,AD∥BC,且AB?α,CD?β.求證:AB,CD,l共點(diǎn).【思維·引】1.注意到平面ABC1D1與平面A1BCD1相交于直線BD1,可知利用公理3證明點(diǎn)Q同時(shí)在這兩個(gè)平面內(nèi).2.基本思路是證明其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上.【證明】1.如圖,連接A1B,CD1,BD1顯然B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1,所以BD1?平面A1BCD1.同理,BD1?平面ABC1D1,所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1.因?yàn)锳1C∩平面ABC1D1=Q,所以Q∈平面ABC1D1.又因?yàn)锳1C?平面A1BCD1,所以Q∈平面A1BCD1.所以Q在平面A1BCD1與平面ABC1D1的交線上,即Q∈BD1,所以B,Q,D1三點(diǎn)共線.2.因?yàn)樘菪蜛BCD中,AD∥BC,所以AB,CD是梯形ABCD的兩腰,所以AB,CD必定相交于一點(diǎn),如圖,設(shè)AB∩CD=M.又因?yàn)锳B?α,CD?β,所以M∈α,且M∈β.又因?yàn)棣痢搔?l,所以M∈l.即AB,CD,l共點(diǎn).【內(nèi)化·悟】1.證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題最終都可以歸結(jié)為什么問題?提示:最終都可以歸結(jié)為利用公理3證明點(diǎn)在直線上的問題.2.利用公理3證明點(diǎn)在直線上的關(guān)鍵是什么?提示:關(guān)鍵是恰當(dāng)選擇平面,把直線看作這兩個(gè)平面的交線.【類題·通】(1)證明三點(diǎn)共線的方法(2)證明三線共點(diǎn)的步驟【習(xí)練·破】1.已知△ABC在平面α外,其三邊所在的直線滿足AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如圖所示.求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.【證明】方法一:因?yàn)锳B∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.又AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.所以由公理3可知:點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上,同理可證Q,R也在平面ABC與平面α的交線上.所以P,Q,R三點(diǎn)共線.方法二:因?yàn)锳P∩AR=A,所以直線AP與直線AR確定平面APR.又因?yàn)锳B∩α=P,AC∩α=R,所以平面APR∩平面α=PR.因?yàn)锽∈平面APR,C∈平面APR,所以BC?平面APR.因?yàn)镼∈BC,所以Q∈平面APR,又Q