二次函數(shù)【考點(diǎn)鞏固】（解析版）

專題11二次函數(shù)

（時(shí)間：60分鐘，滿分120分）

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.（2022?黑龍江哈爾濱）拋物線y=2（x+9＞-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（9,-3）B.（-9,-3）C.（9,3）D.（-9,3）

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式＞=。（》-/02+上可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（/7,6即可得到結(jié)果.

【詳解】?.?二次函數(shù)解析式為y=2（x+9）2-3,

二頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-9,-3）；故選：B.

2.（2022?浙江湖州）把拋物線y=x2向上平移3個(gè)單位，平移后拋物線的表達(dá)式是（）

A.y=x2-3B.y=x~+3C.y=（x+3）2D.y=（x-3）2

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像平移規(guī)律：上加下減，可得到平移后的函數(shù)解析式.

【詳解】???拋物線y=x2向上平移3個(gè)單位，

.?.平移后的拋物線的解析式為：y=x?+3.故答案為：B.

3.（2022?黑龍江牡丹江）若二次函數(shù)＞=依2的圖象經(jīng)過點(diǎn)p（-2,4）,則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)（）

A.（2,4）B.（-2,-4）C.（-4,2）D.（4,-2）

【答案】A

【詳解】根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將尸（一2,4）代入y=得4=°（-2）2=＞。=1,

二次函數(shù)解析式為y=x-

所給四點(diǎn)中，只有（2,4）滿足y=故選A.

4.（2021?江蘇中考真題）已知拋物線y=V+質(zhì)-左2的對(duì)稱軸在＞軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線先向右平移3個(gè)

單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則上的值是（）

A.-5或2B.-5C.2D.-2

【答案】B

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行解答即可.

【詳解】

解：函數(shù)y=f+丘一左2向右平移3個(gè)單位，得：j=(x-3)2+^(x-3)-^2；

再向上平移1個(gè)單位，得：y=(x-3)2+左(％-3)-左之+1,

??,得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)

***0=(0—3)2+左(0—3)—左之+1即左2+3k—10=0

解得：上=—5或左=2

拋物線y=x2+kx-k2的對(duì)稱軸在，軸右側(cè)

x=-->0

2

：.k<0

：.k=-5

故選：B.

5.(2022?山東濰坊)拋物線產(chǎn)/+元+0與入軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則。的值為()

A.--B.—C.-4D.4

44

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，得到根的判別式等于0,即可求出c的值.

【詳解】解：???y=N+x+c與九軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，

???/+x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

A=l-4c=0,

解得：C=y.故選：B.

4

6.(2022.山東青島)已知二次函數(shù)>=以2+"+。的圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線x=—l,且經(jīng)過點(diǎn)(-3,0),

則下列結(jié)論正確的是()

A.b>QB.c<0C.a+h+c>0D.3a+c=0

【答案】D

h

【分析】圖象開口向下，得。<0,對(duì)稱軸為直線x=-==—1,得。=2〃，貝?。?。<0,圖象經(jīng)過(—3,0),根據(jù)對(duì)

2a

稱性可知，圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，0),故c>0,當(dāng)x=l時(shí)，a+b+c=0,將6=2〃代入，可知3〃+c=0.

【詳解】解：?.?圖象開口向下，

/.〃<0,

b

???對(duì)稱軸為直線尤=-==-1,

2a

b=2a,

b<0,故A不符合題意；

根據(jù)對(duì)稱性可知，圖象經(jīng)過（-3,0）,

圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,0）,

.,.O0,故B不符合題意；

當(dāng)％=1時(shí)，a+b+c=0,故C不符合題意；

將將b=2a代入，可知3a+c=0,故D符合題意.故選：D.

7.（2021.江蘇中考真題）己知二次函數(shù)y=a%2+bx+c的圖像如圖所示，有下列結(jié)論：①。>0；②

>0；③4a+8=0；④不等式以2+（6一1）x+c<。的解集為igx<3,正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

【答案】A

【分析】

根據(jù)拋物線的開口方向、于無軸的交點(diǎn)情況、對(duì)稱軸的知識(shí)可判①②③的正誤，再根據(jù)函數(shù)圖象的特征確

定出函數(shù)的解析式，進(jìn)而確定不等式，最后求解不等式即可判定④.

【詳解】

解：：拋物線的開口向上，

.".a>0,故①正確；

:拋物線與無軸沒有交點(diǎn)

b2—4ac<0,故②錯(cuò)誤

???由拋物線可知圖象過（1,1）,且過點(diǎn)（3,3）

[a+b+c=l

+3b+c=3

8a+2b=2

4a+b=l,故③錯(cuò)誤;

由拋物線可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,且過點(diǎn)（3,3）

則拋物線與直線y=x交于這兩點(diǎn)

+（b—\）x+c<0可化為or?+fer+c<尤,

根據(jù)圖象，解得：1〈尤<3

故④錯(cuò)誤.

故選A.

8.（2022?黑龍江齊齊哈爾）如圖，二次函數(shù)丁=爾+法+c（"0）的圖象與y軸的交點(diǎn)在（0,1）與（0,

2）之間，對(duì)稱軸為x=—l,函數(shù)最大值為4,結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：@b=2a；?-3<a<-2；?4ac-b2<0;

④若關(guān)于x的一元二次方程依2+6X+C=〃7-4（aw0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，貝I]〃z>4；⑤當(dāng)x<0時(shí)，y隨x

的增大而減小.其中正確的結(jié)論有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)逐個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析判斷即可.

【詳解】解：：二次函數(shù)>=辦2+法+°（。*0）的對(duì)稱軸為龍=—1,

6=2a,故①正確；

?..函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸為x=-l,函數(shù)最大值為4,

二函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,4）

當(dāng)x=-l時(shí)，a-b+c=4

a-2a+c=4

??c=4+a,

?.,二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aw0）的圖象與y軸的交點(diǎn)在（0,1）與（0,2）之間,

Al<c<2

:?1v4+o<2

「?-3<。<-2,故②正確；

??,拋物線與％軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

?e?b2—4ac>0

-，-4ac-b2<0,故③正確；

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,4）且方程次2+云+C=加一4有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

0<m—4<4

/.4<m<8,故④錯(cuò)誤；

由圖象可得，當(dāng)Q-1時(shí)，y隨x的增大而減小，故⑤錯(cuò)誤.

所以，正確的結(jié)論是①②③，共3個(gè)，故選：B

9.（2022?四川宜賓）已知拋物線片加+法+c的圖象與無軸交于點(diǎn)A（-2,0）、B（4,0）,若以A8為直徑的

圓與在x軸下方的拋物線有交點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

A.—B.—C.0<Q<—D.0<QW—

3333

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a（尤+2）（%-4）,進(jìn)而求得頂點(diǎn)的的坐標(biāo)，結(jié)合圖形可知當(dāng)頂

點(diǎn)縱坐標(biāo)小于或等于-3滿足題意，即可求解.

【詳解】解：拋物線y=，+"+c的圖象與x軸交于點(diǎn)4（-2,0）、3（4,0）,

設(shè)拋物線的解析式為V=<x+2）（x-4）

/.y=ax2—2ax—8a=-9a

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（l,-9a）,

AB=6,以AB為直徑的圓與在x軸下方的拋物線有交點(diǎn)，則圓的半徑為3,如圖,

-9a<—3

解得“2；

故選:A

10.（2022?山東濰坊）如圖，在口4BCD中，ZA=60°,AB=2,AD=\,點(diǎn)E,尸在口ABC。的邊上，從點(diǎn)A

同時(shí)出發(fā)，分別沿ATBTC和ATDTC的方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止，線段

E尸掃過區(qū)域的面積記為y,運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為x,能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

【答案】A

【分析】分OSg1,2g3三種情況討論，利用三角形面積公式求解即可.

VZA=60°,AE=AF=x,

?\AG=-^x,

由勾股定理得人7=且彳，

2

：.y=^AExFG=^-x2,圖象是一段開口向上的拋物線;

：.AH=^,

由勾股定理得。H=1,

2

y=1(DF+AE)xDH=圖象是一條線段;

224

當(dāng)2W爛3時(shí)，過點(diǎn)E作EILCD于點(diǎn)I,

9：ZC=ZDAB=60°,CE=CF=3-x,

同理求得E7=￥(3-X),

:.y=ABxDH-三CFxEI=拒-息G-?=-昱x2+巫x-空,圖象是一段開口向下的拋物線;

24424

觀察四個(gè)選項(xiàng)，只有選項(xiàng)A符合題意，故選：A.

二、填空題(每題4分，共24分)

11.(2021.江蘇中考真題)某快餐店銷售A、8兩種快餐，每份利潤(rùn)分別為12元、8元，每天賣出份數(shù)分

別為40份、80份.該店為了增加利潤(rùn)，準(zhǔn)備降低每份A種快餐的利潤(rùn)，同時(shí)提高每份2種快餐的利潤(rùn).售

賣時(shí)發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每份A種快餐利潤(rùn)每降1元可多賣2份，每份8種快餐利潤(rùn)每提高1元就少賣

2份.如果這兩種快餐每天銷售總份數(shù)不變，那么這兩種快餐一天的總利潤(rùn)最多是元.

【答案】1264

【分析】

根據(jù)題意，總利潤(rùn)=A快餐的總利潤(rùn)+8快餐的總利潤(rùn)，而每種快餐的利潤(rùn)=單件利潤(rùn)x對(duì)應(yīng)總數(shù)量，分別對(duì)

兩份快餐前后利潤(rùn)和數(shù)量分析，代入求解即可.

【詳解】

解：設(shè)A種快餐的總利潤(rùn)為叱，3種快餐的總利潤(rùn)為%,兩種快餐的總利潤(rùn)為W,設(shè)A快餐的份數(shù)為x份,

則B種快餐的份數(shù)為(120-x)份.

據(jù)題意：叱=(12-三"}X=]12-]+20)XX=-；X2+32X

80-(120-x)l、1

叱=8+——------L(z120-x)=--x72+72%-2400

...W=叱+叱=—f+]04%_2400=-(x-52)2+1264

*.?-1<0

，當(dāng)x=52的時(shí)候，W取到最大值1264,故最大利潤(rùn)為1264元

故答案為：1264

12.（2022.湖北荊州）規(guī)定：兩個(gè)函數(shù)為,%的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為"函數(shù)”.例如:

函數(shù)％=2x+2與％=-2尤+2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則這兩個(gè)函數(shù)互為函數(shù)”.若函數(shù)

y=kx2+2（k-l）x+k-3（左為常數(shù)）的“y函數(shù)”圖象與無軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則其"y函數(shù)''的解析式為.

［答案］y=2x-3n^y=-x2+4x-4

【分析】分兩種情況，根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，即可求得.

【詳解】解：函數(shù)y=煢+2（"l）x+"3（左為常數(shù)）的“丫函數(shù)”圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

函數(shù)y="+2化_i）x+03（人為常數(shù)）的圖象與x軸也只有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)仁。時(shí)，函數(shù)解析為＞=-2尤-3,它的“V函數(shù)”解析式為y=2x-3,它們的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)上片0時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)，

它們的圖象與x軸都只有一個(gè)交點(diǎn)，

，它們的頂點(diǎn)分別在x軸上，

4位一3）一［2（1）了o.得二0,

4kk

故％+1=0,解得仁-1,

故原函數(shù)的解析式為丁=-%2-4%-4,

故它的"丫函數(shù)''解析式為y=-x2+4x-4,

故答案為：y=2x-3^y=-x2+4x-4.

13.（2022?內(nèi)蒙古赤峰）如圖，拋物線y=-f—6%—5交x軸于A、3兩點(diǎn)，交V軸于點(diǎn)。，點(diǎn)。（八根+1）

是拋物線上的點(diǎn)，則點(diǎn)。關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】（0,1）

【分析】先求出A、B、a。的坐標(biāo)，根據(jù)CO〃x軸即可求出點(diǎn)。關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】:拋物線丁=-工2-6工-5交x軸于A、3兩點(diǎn)，交》軸于點(diǎn)C,

「?當(dāng)y=-X2—6%—5=0時(shí)，%=-1,%=-5;

當(dāng)x=0時(shí)，k-5

???A(-5,0),B(-l,0),C(0,-5)

：.OA=OC=5

：.ZACO=ZOAC=45°

。(也加+1)是拋物線上的點(diǎn)

**?m+l=-m2—6m—5?解得叫=T祖2=-6

當(dāng)加=-1時(shí)，。(-1,0)與A重合；

當(dāng)機(jī)=-6時(shí)，￡>(-6,-5)；

???CO〃％軸，

JZACD=ZOAC=45°

設(shè)點(diǎn)。關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)M,則ZACD=ZACM=45°,DC=CM

???M在y軸上，且△OCM是等腰直角三角形

：.DC=CM=6

點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）

故答案為：（0,1）.

14.（2022?廣西貴港）已知二次函數(shù)y=加+bx+c（aw0），圖象的一部分如圖所示,該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2,0）,

對(duì)稱軸為直線X=-：.對(duì)于下列結(jié)論：①而c<0;②/?2一4的>0；③a+/?+c=0；@am2+bm<^-（a-lb）

（其中機(jī)w-；）；⑤若A（Xl，x）和B（x2，y2）均在該函數(shù)圖象上，且貝1j%>%.其中正確結(jié)論的

【答案】3

【分析】根據(jù)拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)(-2,0)以及其對(duì)稱軸x=-；,求出拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)(1,0),

fb=a

代入可得：C，再根據(jù)拋物線開口朝下，可得a<0,進(jìn)而可得6<0,c>0,再結(jié)合二次函數(shù)的圖象

[c=-2a

和性質(zhì)逐條判斷即可.

【詳解】???拋物線的對(duì)稱軸為：x=且拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),

拋物線與無軸的另一個(gè)坐標(biāo)為(1,0),

4。—2。+c=0

代入(-2,0)、(1,0)得:

a+b+c=0

b=a

解得:c―2a'故③正確;

;拋物線開口朝下,

b<0,c>0,

abc>0,故①錯(cuò)誤；

??,拋物線與1軸兩個(gè)交點(diǎn)，

???當(dāng)時(shí)，方程y=奴2+云+°=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

???方程的判別式八=〃2一4以>0,故②正確；

b=a

c=-2a，

2211111

am+bm=am+am=a(m+—)2——a,-(a-2b)=—(a-2d)=——a,

24444

11

am2+bm-[—(a-2b)]=a(m+—)2,

11

am9+bm-[—(a-2b)]=a(m+—)9<0,

即am?+bm<—(a-2b),故④正確；

4

???拋物線的對(duì)稱軸為：x=-l,且拋物線開口朝下，

可知二次函數(shù)y=辦2+6x+c,在■時(shí)，y隨X的增大而減小，

*.*再>%>1>——，

%〈必，故⑤錯(cuò)誤，

故正確的有：②③④，

故答案為:3.

15.(2022?福建)已知拋物線y=V+2尤-”與無軸交于A,2兩點(diǎn)，拋物線y=Y與x軸交于C,D

兩點(diǎn)，其中〃>0,若AO=28C,則”的值為.

【答案】8

【分析】先求出拋物線、=爐+2>”與x軸的交點(diǎn)，拋物線y=x2-2x-w與x軸的交點(diǎn)，然后根據(jù)

AD=2BC,得出相>2=402,列出關(guān)于”的方程，解方程即可。

【詳解】解：把y=0代入、=%2+2%一九得：x1+2x-n=0,

解得：占=-2一廠二1一產(chǎn),/

把y=0代入y=/一2%-〃得：x2-2x-n=0^

解得：2-V4T4^=1_^t2+7^=]+后,

22

AD=2BC,

???AD2=4BC2,

2

(F-X4)=4(%f)2,

(-1-J1+/)=4(-1+J1+,

令J+n=m,貝!j(―I-")?=4(1一根J,

解得：町=；，咫=3,

1.-----1Q

當(dāng)班=]時(shí)，J1+幾,解得：?=--,

?.?心0,

???加=-。不符合題意舍去；

當(dāng)生=3時(shí)，J1+>=3,解得：〃=8,

8>0,

"=8符合題意；

綜上分析可知，〃的值為8.

16.(2022?遼寧營(yíng)口)如圖1,在四邊形ABCD中，BC//AD,ZD=90°,ZA=45°,動(dòng)點(diǎn)P,。同時(shí)從點(diǎn)A

出發(fā)，點(diǎn)P以J5cm/s的速度沿A3向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)即停止)，點(diǎn)。以2cm/s的速度沿折線ADfDC

向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),一心。的面積為〉(cm?),若丫與尤之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖

7

2所不，當(dāng)x=](s)時(shí)，則丁=cm2.

35

【答案】v

【分析】根據(jù)題意以及函數(shù)圖像可得出?血S,APQ,則點(diǎn)。在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，APQ為等腰直角三角形，

然后根據(jù)三角形面積公式得出當(dāng)面積最大為9時(shí)，此時(shí)x=3,則AD=2x=6cm,當(dāng)3<x44時(shí)，過點(diǎn)尸作

M_LAD于點(diǎn)F,則此時(shí)SAPQ=SAPF+SW^PQDF~SADQ，分別表示出相關(guān)線段可得>與X之間的函數(shù)解析

7

式，將x⑸代入解析式求解即可.

【詳解】解：過點(diǎn)。作垂足為E,

在HAM見中，

VZA￡D=90°,ZE4D=45。，

.AE&

??=—，

AD2

?，點(diǎn)。的速度為0cm/s，點(diǎn)Q的速度為2cm/s,

AP=>/2x,AQ=2x,

.AP42

"^AQ~~2T~~2'

在，APQ和AEE>中，

■:但="=顯,ZA=450,

ADAQ2

/.AED^APQ,

???點(diǎn)。在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，APQ為等腰直角三角形，

/.AP=PQ=&,

當(dāng)點(diǎn)。在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí),y=^AP-AQ=^X42XX42X=X2,

由圖像可知，當(dāng)>=9此時(shí)面積最大，犬=3或-3（負(fù)值舍去），

AD=2x=6cm,

當(dāng)3<x44時(shí)，過點(diǎn)尸作尸尸_LAD于點(diǎn)尸，如圖：

此時(shí)S.APQ=SAP產(chǎn)+S四邊形尸。。尸一§何,

在M..AP。中，AP=4ix,ZA=45°,

AF=PF=x,FD=6-x,QD=2x—6,

?1211

.?SAPQ=5%+](x+2x-6>(6-x)—-x6x(2x-6),

即y——爐+6x,

所以當(dāng)尤=：(s)時(shí)，y=-(-1)2+6x1=^(cm2),

35

故答案為：—.

4

三、簡(jiǎn)答題（共46分）

17.（7分）4.（2021?北京中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1,間和點(diǎn)（3,“）在拋物線

y=ax1+Zzx（a>0）±.

（1）若m=3,〃=15,求該拋物線的對(duì)稱軸；

（2）已知點(diǎn)（—1,%）,（2,%），（4,%）在該拋物線上.若根〃<0，比較％,%，%的大小，并說明理由.

【答案】（1）x=-l-.（2）%<%<為，理由見解析

【分析】

（1）由題意易得點(diǎn)（L3）和點(diǎn)（3,15）,然后代入拋物線解析式進(jìn)行求解，最后根據(jù)對(duì)稱軸公式進(jìn)行求解即

可；

（2）由題意可分當(dāng)機(jī)<0,〃>0時(shí)和當(dāng)根〉0,〃<0時(shí)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類求解即可.

【詳解】

解：⑴當(dāng)m=3,〃=15時(shí)，則有點(diǎn)（1,3）和點(diǎn)（3,15）,代入二次函數(shù)丁=G？+桁（。>0）得：

a+b=3[a=1

<,解得：〈，

[94+36=15[b=2

???拋物線解析式為y=d+2x,

b

???拋物線的對(duì)稱軸為％=———=一1；

2a

（2）由題意得：拋物線丁=加+桁（。>0）始終過定點(diǎn)（0,0）,則由府<0可得：

①當(dāng)機(jī)>0,附<0時(shí)，由拋物線y=（vc+bx[a>0）始終過定點(diǎn)（0,0）可得此時(shí)的拋物線開口向下，即。<0,

與Q>0矛盾;

②當(dāng)相<0,〃>0時(shí),

:拋物線y=雙2+9（。>0）始終過定點(diǎn)（0,0）,

13

此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸的范圍為一<x<一,

22

?.?點(diǎn)（-1,X）,（2,%）,（4,%）在該拋物線上，

351357

???它們離拋物線對(duì)稱軸的距離的范圍分別為一<x—（—1）<一,一<2—x<一,—<4—x<一,

2''22222

a>0,開口向上，

???由拋物線的性質(zhì)可知離對(duì)稱軸越近越小，

?■-%<%<為?

18.（7分）（2021?浙江金華市.中考真題）某游樂場(chǎng)的圓形噴水池中心。有一雕塑04,從A點(diǎn)向四周噴

水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同.如圖，以水平方向?yàn)閤軸，點(diǎn)。為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在

y軸上，無軸上的點(diǎn)C,。為水柱的落水點(diǎn)，水柱所在拋物線第一象限部分的函數(shù)表達(dá)式為

（1）求雕塑高OA.

（2）求落水點(diǎn)C,。之間的距離.

（3）若需要在。。上的點(diǎn)E處豎立雕塑EEOE=10m,M=1.8m,E尸，.問：頂部廠是否會(huì)碰

到水柱？請(qǐng)通過計(jì)算說明.

【答案】（1）—m：（2）22米；（3）不會(huì)

6

【分析】

1,

（1）求雕塑高OA,直接令x=0,代入y=——（x—5）+6求解可得；

（2）可先求出OD的距離，再根據(jù)對(duì)稱性求CD的長(zhǎng)；

19

（3）利用y=—￡（x—5）~+6,計(jì)算出x=10的函數(shù)值y,再與政的長(zhǎng)進(jìn)行比較可得結(jié)論.

【詳解】

解：（1）由題意得，A點(diǎn)在圖象上.

1,

當(dāng)x=0時(shí)，y=—(0-5)2+6

6

2511

=-----1-6A=——

66

..Q=?(m).

(2)由題意得，。點(diǎn)在圖象上.

令＞=。，得——(X-5)2+6=0.

6

解得：Xj=11,X2=-1(不合題意，舍去).

,8=11

:.CD=2OD=22（m）

1,

（3）當(dāng)x=10時(shí)，y=-一（10—5）2+6,

6

25,11,。

=-----1-6=——>1.8,

66

.??不會(huì)碰到水柱.

19.（8分）16.（2021?湖北中考真題）紅星公司銷售一種成本為40元/件的產(chǎn)品，若月銷售單價(jià)不高于

50元/件.一個(gè)月可售出5萬件；月銷售單價(jià)每漲價(jià)1元，月銷售量就減少0.1萬件.其中月銷售單價(jià)不低

于成本.設(shè)月銷售單價(jià)為x（單位：元/件），月銷售量為y（單位：萬件）.

（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量元的取值范圍；

（2）當(dāng)月銷售單價(jià)是多少元/件時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少萬元？

（3）為響應(yīng)國(guó)家“鄉(xiāng)村振興”政策，該公司決定在某月每銷售1件產(chǎn)品便向大別山區(qū)捐款。元.已知該公司

捐款當(dāng)月的月銷售單價(jià)不高于70元/件，月銷售最大利潤(rùn)是78萬元，求a的值.

[5（404x450）

【答案】（1）y="sc、；（2）當(dāng)月銷售單價(jià)是70元/件時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)

[-0.1x+10（50<x<100）

是90萬元；（3）4.

【分析】

（1）分40VXV50和x>50兩種情況，根據(jù)“月銷售單價(jià)每漲價(jià)1元，月銷售量就減少0.1萬件”即可得函數(shù)

關(guān)系式，再根據(jù)求出x的取值范圍；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，根據(jù)“月利潤(rùn)=（月銷售單價(jià)一成本價(jià)）x月銷售量，，建立函數(shù)關(guān)系式，分別利用一

次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得；

（3）設(shè)該產(chǎn)品的捐款當(dāng)月的月銷售利潤(rùn)為。萬元，先根據(jù)捐款當(dāng)月的月銷售單價(jià)、月銷售最大利潤(rùn)可得

50<x<70,再根據(jù)“月利潤(rùn)=（月銷售單價(jià)-成本價(jià)-。）義月銷售量”建立函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)

的性質(zhì)即可得.

【詳解】

解：（1）由題意，當(dāng)40VxV50時(shí)，>=5,

當(dāng)x>50時(shí)，y=5—0.1（無一50）=—0.lx+10,

Qy，。，

.-.-0.1x+10>0,

解得尤W100,

…[5（40<x<50）

綜上，y=4?

[-0.1x+10（50<x<100）,

（2）設(shè)該產(chǎn)品的月銷售利潤(rùn)為w萬元，

①當(dāng)40VxV50時(shí)，w=5（x-40）=5x-200,

由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在40VxV50內(nèi)，w隨x的增大而增大，

則當(dāng)x=50時(shí)，w取得最大值，最大值為5x50-200=50；

②當(dāng)50cxV100時(shí)，w=（x-40）（-0.1.x+10）=-0.l（x-70）2+90,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=70時(shí)，卬取得最大值，最大值為90,

因?yàn)?0>50,

所以當(dāng)月銷售單價(jià)是70元/件時(shí)，月銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是90萬元；

（3）;捐款當(dāng)月的月銷售單價(jià)不高于70元/件，月銷售最大利潤(rùn)是78萬元（大于50萬元），

.?.50<%<70,

設(shè)該產(chǎn)品捐款當(dāng)月的月銷售利潤(rùn)為Q萬元，

由題意得：O=（x-40-a）（-0.1x+10）,

整理得：Q=—0.1（九—出±與+《一3〃+90,

240

140+a?

--------->70,

2

二在50<x<70內(nèi)，。隨x的增大而增大,

則當(dāng)x=70時(shí)，。取得最大值，最大值為（70-40-0（-0.1x70+10）=90-3%

因此有90-3。=78,

解得。=4.

20.（12分）（2022?內(nèi)蒙古赤峰）【生活情境】

為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對(duì)景觀帶中一個(gè)長(zhǎng)AD=4m,寬AB=lm的長(zhǎng)方形水池ABCD進(jìn)

行加長(zhǎng)改造（如圖①，改造后的水池仍為長(zhǎng)方形，以下簡(jiǎn)稱水池1）,同時(shí)，再建造一個(gè)周長(zhǎng)為12m

的矩形水池EFG/f（如圖②，以下簡(jiǎn)稱水池2）.

￡i------------------

水池2

尸I------------------1G

圖①圖②

【建立模型】

如果設(shè)水池ABCD的邊AD加長(zhǎng)長(zhǎng)度DW為x（m）（x>。），加長(zhǎng)后水池1的總面積為％（m）,則％關(guān)于x的

函數(shù)解析式為：％=x+4（x>0）；設(shè)水池2的邊E產(chǎn)的長(zhǎng)為x（m）（O<x<6）,面積為M111），則%關(guān)于了的

函數(shù)解析式為：%=f2+6x（O<x<6）,上述兩個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖③.

（1）若水池2的面積隨所長(zhǎng)度的增加而減小，則所長(zhǎng)度的取值范圍是（可省略單位），水池

2面積的最大值是m2;

（2）在圖③字母標(biāo)注的點(diǎn)中，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是，此時(shí)的Mm）值是;

(3)當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，x(m)的取值范圍是；

(4)在l<x<4范圍內(nèi)，求兩個(gè)水池面積差的最大值和此時(shí)x的值；

(5)假設(shè)水池ABCD的邊AD的長(zhǎng)度為b(m),其他條件不變(這個(gè)加長(zhǎng)改造后的新水池簡(jiǎn)稱水池3),則

水池3的總面積%(加)關(guān)于x(m)(x>0)的函數(shù)解析式為：%=x+b(x>0).若水池3與水池2的面積相等

時(shí)，x(m)有唯一值，求人的值.

【答案】(1)3(尤<6；9

(2)C,￡；1,4；

⑶0<x<l或4Vx<6

【分析】(1)將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可解決問題；

(2)交點(diǎn)即為面積相等的點(diǎn)，聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可；

(3)觀察函數(shù)圖象，結(jié)合點(diǎn)C,點(diǎn)E的坐標(biāo)可得結(jié)論；

(4)求出面積差的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

(5)根據(jù)面積相等列出一元二次方程，依據(jù)△=(),求出6的值即可.

【解析】(1)

2

y2=-x+6x=+9

二拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,9),對(duì)稱軸為尸3,

;水池2的面積隨跖長(zhǎng)度的增加而減小，

所長(zhǎng)度的取值范圍是3〈尤<6；水池2面積的最大值是9m2；

故答案為：3<x<6；9；

(2)

由圖象得，兩函數(shù)交于點(diǎn)C,E,

所以，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是C,E；

y=x+4

聯(lián)立方程組

y-―龍？+

解得,

的值為1或4,

故答案為：C,E-1或4

(3)

由(3)知，C(1,5),E(4,8),

又直線在拋物線上方時(shí)，0<x<l或4Vx<6,

所以，水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，x(m)的取值范圍是0<x<l或4<x<6,

故答案為。<》<1或4Vx<6；

(4)

5Q

在l<x<4范圍內(nèi)，兩個(gè)水池面積差M=(-X2+6x)-(尤+4)=-x2+5x-4=-(尤——)2+—,

24

V-K0,

.,?函數(shù)有最大值，

0cx<6

.?.當(dāng)x5時(shí)，函數(shù)有最大值，為9:，

24

50

即，當(dāng)了=：時(shí)，面積最大值為:，

24

(5)

???水池3與水池2的面積相等，

??x+6=-x~+6x,

整理得，x2-5x+b=0

有唯一值,

A=(-5)2-46=0

解得，萬=今25

21.(12分)(2022.浙江臺(tái)州)如圖1,灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線/的方向行駛，為綠化帶澆水.噴

水口H離地豎直高度為/?(單位：m).如圖2,可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系

中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形。瓦G,其水平寬度DE=3m,豎直高度為所的

長(zhǎng).下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m,高

出噴水口0.5m,灌溉車到/的距離0。為d(單位：m).

圖2

⑴若/?=1.5,￡F=0.5m；

①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；

②求下邊緣拋物線與無軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求d的取值范圍；

(2)若防=lm.要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，請(qǐng)直接寫出九的最小值.

【答案】⑴①6m