二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與角度問題）（解析版）

專題18二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與角度問題）

1.（2022?江蘇省蘇州市）如圖，二次函數(shù)y=-x2+2mx+2m+l（m是常數(shù)，且m>0）的圖象與x

軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.其對(duì)稱軸與線段BC

交于點(diǎn)E,與x軸交于點(diǎn)F.連接AC,BD.

（1）求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)（用數(shù)字或含m的式子表示），并求/0BC的度數(shù)；

（2）若NACONCBD,求m的值；

（3）若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)y=-x2+2mx+2m+l（m是常數(shù)，且m>0）的圖象上，始終存在

備用圖

【解析】解：(1)當(dāng)y=0時(shí)，-x2+2mx+2m+l=0,

解方程，得X[=-l,x2=2m+l,

:點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且m>0,

AA(-1,0),B(2m+L0),

當(dāng)x=0時(shí)，y=2m+l,

AC(0,2m+l),

.'.0B=0C=2m+l,

VZB0C=90°,

.?.Z0BC=45°；

（2）如圖1中，連接AE.

.,.D(m,(m+1)2),F(m,0)，

???DF=(m+1)2,OF=m,BF=m+l,

VA,B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,

???AE=BE,

???NEAB=N0BC=45°，

VZACO=ZCBD,NOCB=NOBC,

NACO+NOCB=NCBD+NOBC,BPZACE=ZDBF,

VEF/70C,

.,/AEBEBF1

..tanZACE~^^~—~m+1,

CECEOF

?m+i_1

>?------m+1,

m

m=l或—1,

Vm>0,

??111=1；

(3)如圖，設(shè)PC交x軸于點(diǎn)Q.

當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，點(diǎn)Q總是在點(diǎn)B的左側(cè)，此時(shí)NCQA>/CBA,即NCQA>45°,

VZACQ=75°,

.\ZCA0<60°,

2m+l<V3，

2

2

2.(2022?四川省達(dá)州市)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=ax?+bx+2的圖象經(jīng)

過點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接BC,在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使/PCB=NABC?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖2,直線1為該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，交x軸于點(diǎn)E.若點(diǎn)Q為x軸上方二次函

數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作直線AQ,BQ分別交直線1于點(diǎn)M,N,在點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，EM+EN

的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

J八

yy：y

ry才要r\V

圖I圖2備用圖

【解析】解：(1):拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),

?[a—b+2=0

'-l9a+3b+2=0,

解得：)43,1:

該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-|x2+|x+2；_

(2)存在，理由如下：

如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在BC上方時(shí),

圖1

VZPCB=ZABC,

；.CP〃AB,即CP〃x軸，

點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，

24

y-——x2+—x+2,

4

???拋物線對(duì)稱軸為直線x二―『1,

2x(-|)

VC(0,2),

AP(2,2)；

當(dāng)點(diǎn)P在BC下方時(shí)，設(shè)CP交x軸于點(diǎn)D(m,0),

則0D=m,DB=3-m,

ZPCB=ZABC,

CD=BD=3-m,

在RSCOD中，OC2+OD2=CD2,

22+m2=(3-m)2,

解得：m=|,

6

ADG，0),

6

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+d,則［k+d=°

(d=2

解得：Ik=~—

5，

d=2

，直線CD的解析式為y=-9x+2,

-y=-y12x+,2?

聯(lián)立，得

y=-fX2+gx+2,

?22

{"}舍去），X2=T

解得:214,

V產(chǎn)F

214、

AP(y,

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,2）或（春-翌）；

（3）由⑵知：拋物線丫=-9+3+2的對(duì)稱軸為直線x=l,

AE(1,0),

設(shè)Q(t,-ft嗎t(yī)+2),且

設(shè)直線AQ的解析式為y=ex+f,貝4te+f=_々2+3t+29

解得:仁HU

13

工直線AQ的解析式為尸(-|t+2)x-|t+2,

當(dāng)x=l時(shí)，y=-1t+4,

4

AM(1,-1t+4),

同理可得直線BQ的解析式為y=x+2t+2,

當(dāng)x=l時(shí)，y=1t+1,

?■?N(1，孑+a,

.-.EM=-^t+4,EN=1t+p

.,.EM+EN=』4t+4+g4t+會(huì)41拼6

故EM+EN的值為定值?

3.(2021?江蘇連云港市?中考真題)如圖，拋物線歹=儂？+(加2+3卜-(6加+9)與x

軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,已知3(3,0).

(1)求m的值和直線8C對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)P為拋物線上一點(diǎn)，若S&BC=S&ABC，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)Q為拋物線上一點(diǎn)，若N/CQ=45。，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【分析】

（1）求出A,B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法計(jì)算即可;

（2）做點(diǎn)A關(guān)于BC的平行線/片，聯(lián)立直線/片與拋物線的表達(dá)式可求出《的坐標(biāo)，設(shè)

出直線么片與y軸的交點(diǎn)為G,將直線BC向下平移，平移的距離為GC的長(zhǎng)度，可得到直線

P3P2,聯(lián)立方程組即可求出P；

（3）取點(diǎn)。，連接CQ,過點(diǎn)A作C。于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)尸，過

點(diǎn)。作于點(diǎn)￡,得直線CZ）對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為y=；x-3,即可求出結(jié)果；

【詳解】

（1）將5（3,0）代入y=mx1+（加之+3）%_（6加+9）,

化簡(jiǎn)得加2+加=o,則加=0（舍）或加=-1,

m=—1,

得:y=-x2+4x-3,則。（0,—3）.

設(shè)直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,

將8（3,0）、。（0,-3）代入可得｛_3_6，解得左=1，

則直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3.

（2）如圖，過點(diǎn)A作4f；〃BC,設(shè)直線/片與y軸的交點(diǎn)為G,將直線BC向下平移GC個(gè)

單位，得到直線寫鳥，

由（1）得直線BC的解析式為y=x—3,2（1,0）,

直線AG的表達(dá)式為y=x-i,

解得x=］舍），或］x尸=2］

???6(2,1),

由直線AG的表達(dá)式可得G（-1,0）,

/.GC=2,CH=2,

，直線的表達(dá)式為y=x—5,

聯(lián)立《

y=-x2+4x-3

3+V17[3-717

(3)如圖，取點(diǎn)。，連接C。，過點(diǎn)A作于點(diǎn)。,

過點(diǎn)。作。尸J_x軸于點(diǎn)尸，過點(diǎn)。作C￡J_。/于點(diǎn)E,

ZACQ=45°,

；.AD=CD,

又：//。。=90。，

ZADF+ZCDE=90°,

,：ZCDE+ZDCE=90°,

：.ZDCE=ZADF,

又：ZE=ZAFD=90°,

\CDE^\DAF,則4/=O￡,CE=DF.

設(shè)DE=AF=a,

?：OA=1,OF=CE,

CE=DF=a+1.

由。C=3,則。尸二？—a,即Q+1=3—a,解之得，a=\.

所以。（2,—2）,又。（0,-3）,

可得直線CD對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為＞=-3,

設(shè)0］機(jī)，；機(jī)—3）,代入＞=—Y+4x—3,

1,1,7

得一加一3=一加+4m-3,—m=-m~+4m,m2——m=0,

222

又7〃R0,

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，結(jié)合一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?四川自貢市?中考真題）如圖，拋物線y=（x+l）（x-a）（其中。＞1）與x軸交

于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

（1）直接寫出NOC4的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)（用a表示）；

（2）若點(diǎn)D為4/臺(tái)。的外心，且與△NC。的周長(zhǎng)之比為屈：4,求此拋物線

的解析式；

（3）在（2）的前提下，試探究拋物線y=（x+1）0-。）上是否存在一點(diǎn)P，使得

NC4P=NDB4?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2

【答案】（1）Z0CA=45°,AB=a+l；（2）y=x-x-2-（3）存在，Pt（,

24

P2(1,-2).

【分析】

(1)根據(jù)二次函數(shù)解析式可得A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),即可得出0A=0B=a,

OB=L即可證明AOCA是等腰直角三角形，可得N0CA=45°,根據(jù)線段的和差關(guān)系可表示AB

的長(zhǎng)；

(2)如圖，作AABC的外接圓。D,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC="z，利用兩點(diǎn)間

距離公式可用a表示出BC的長(zhǎng)，根據(jù)圓周角定理可得/D=2/0AC=90°,可得ADBC是等腰

直角三角形，即可證明△DBCs^ocA,根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比列方程求出a值

即可得答案；

(3)如圖，過點(diǎn)D作DHLAB于H,過點(diǎn)C作AC的垂線，交x軸于F,過點(diǎn)0作OGLAC于

G,連接AP交CF于E,可得aOCF是等腰直角三角形，利用待定系數(shù)法可得直線CF的解析

式，根據(jù)外心的定義及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)D坐標(biāo)，即可得出BH、DH的長(zhǎng)，根

據(jù)NCAP=NDBA,ZBHD=ZACE=90°可證明△BHDs^ACE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求

出CE的長(zhǎng)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得點(diǎn)E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線AE解析式，聯(lián)立

直線AE與拋物線的解析式求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可得答案.

【詳解】

(1)?.,拋物線y=(x+l)(x—。)(其中。>1)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

???當(dāng)x=0時(shí),y=-a,

當(dāng)y=0時(shí)，(、+1)(%—。)=0,

解得：再=_],%=a，

AA(a,0),C(0,-a),B(-1,0),

OB=1,OA=OC=a,

???△OCA是等腰直角三角形，

Z0CA=45°,AB=OA+OB=a+l.

(2)如圖,作△ABC的外接圓。D,

???點(diǎn)D為△48。的外心，

.\DB=DC,

:△OCA是等腰直角三角形，0A二a,

/.Z0AC=45°,AC=V2(z>

VZBDC和NBAC是BC所對(duì)的圓心角和圓周角，

AZBDC=2ZBAC=90°,

ZDBC=45°,

JNDBC=NOAC,

.'.△DBC^AOCA,

???八BCD與△4C。的周長(zhǎng)之比為麗：4，

.BCV10日「J"1Vio

??---=----,即—j=——----，

AC441a4

解得：a=+2,

經(jīng)檢驗(yàn)：a=±2是原方程的根，

,/a>1,

a=2,

???拋物線解析式為：y=(x+l)(x_2)=J_X_2.

(3)如圖，過點(diǎn)D作DHJ_AB于H,過點(diǎn)C作AC的垂線，交x軸于F,過點(diǎn)0作0GLAC于

G,連接AP交CF于E,

Va=2,

AC(0,-2),A(2,0),AC=2萬

VZ0CA=45°,

Z0CF=45°,

/.△OCF是等腰直角三角形，

：.F(-2,0),

設(shè)直線CF的解析式為y=kx+b,

-2k+b=0

\b=-2

k=-1

解得：<

b=—2

直線CF的解析式為y=-x—2,

「△OCA是等腰直角三角形，OG±AC,

...0G所在直線為AC的垂直平分線，點(diǎn)G為AC中點(diǎn),

???點(diǎn)D為A/BC的外心，

.?.點(diǎn)D在直線0G上,

VA(2,0),C(0,-2),

/.G(1,-1),

設(shè)直線0G的解析式y(tǒng)=mx,

??Ul=-1,

直線0G的解析式丫=-,

?.?點(diǎn)D為4ABC的外心，

.?.點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，

-1+21

???點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為------

22

把X=y代入y=-x得y=-；,

D(一,),

22

?113

??DH=一,BH==一,

222

ZCAP=ZDBA,ZBHD=ZACE=90°,

ABHD^AACE,

13

DHBH--

-------...........>BonP2_2，

CE近=電

解得：CE二巫,

3

?.?點(diǎn)E在直線CF±,

，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（n,-n-2）,

???CE=荷+(_〃_2+2)2=,

2

解得：n=±—,

3

廠24廠2

1?E1(—,—),E2(一,

333

設(shè)直線AE]的解析式為y=k1x+b"

’24

—k+b=—

：.<3}11]3,

2kl+4=0

k[=一

解得：\2,

4=T

直線AE|的解析式為y=—1,

同理：直線AE?的解析式為y=2x—4,

1,

V--X-1

聯(lián)立直線AE|解析式與拋物線解析式得《2

y=x2-x-2

1

rx=2

解得:'c（與點(diǎn)A重合，舍去），

〔必=。

1

P1(-----

24

聯(lián)立直線AE°解析式與拋物線解析式得[y尸=2入x-4一

X]—1x-2

解得：<<2_（與點(diǎn)A重合，舍去），

Ji=-2'〔歹2=°

/.P2(1,-2).

綜上所述：存在點(diǎn)P,使得NC4P=NZ)A4,點(diǎn)P坐標(biāo)為巳,P(1,

242

~2).

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的綜合，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、圓周角

定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題關(guān)

鍵.

5.(2021?遼寧中考真題)己知函數(shù)了==5苫+IX+m(X<m),記該函數(shù)圖像為G.

x2-mx+m(x>m)

(1)當(dāng)冽=2時(shí)，

①已知在該函數(shù)圖像上，求n的值；

②當(dāng)0WxW2時(shí)，求函數(shù)G的最大值；

(2)當(dāng)m>0時(shí)，作直線x=g加與x軸交于點(diǎn)P,與函數(shù)G交于點(diǎn)Q,若立尸。。=45。時(shí)，求

m的值；

(3)當(dāng)加W3時(shí)，設(shè)圖像與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交與點(diǎn)B,過B做血交直線工=加與點(diǎn)

C,設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a,C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c,若“=-3c,求m的值.

【答案】(1)①〃=10,②函數(shù)G的最大值為*；(2)5=6；(3)加=”或%=-1|

【分析】

——x+2(x<2).、

(1)由題意易得歹=22①把點(diǎn)M(4/)代入求解即可；②根據(jù)二次函

x2-2x+2(x>2)

數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解;

（2）由題意可得如圖所示，然后可得△尸。。是等腰直角三角形，則有

L進(jìn)而代入求解即可；

（3）由題意可得如圖所示，則有C（加,。）,/（。,0）,8（0,加），然后可得

OB=OE=m,OA=-a,設(shè)直線工=機(jī)與x軸的交點(diǎn)為E,過點(diǎn)C作CD_Ly軸于點(diǎn)D,進(jìn)而易證

△AOB咨ABDC,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：（1）-：m=2,

—x~H—龍+2（x<2）

{22'',

x2-2x+2（^x>2）

①在該函數(shù)圖像上，

二〃=4?-2x4+2=10；

②由題意得：當(dāng)x<2時(shí)，函數(shù)G的解析式為y=+當(dāng)xZ2時(shí)，函數(shù)G的解析

式為y=x2-2x+2,

0<x<2,

當(dāng)0Vx<2時(shí)，貝=一工％2+]_工+2=一工（%一工]+—,

22212）8

117

???當(dāng)、=時(shí)，函數(shù)G有最大值，即為右；

2o

當(dāng)x=2時(shí)，則有函數(shù)G的最大值為》=2?-4+2=2,

??士>2,

8

17

.?.當(dāng)0WxW2時(shí)，函數(shù)G的最大值為??；

O

（2）由當(dāng)俏>0時(shí)，作直線x=g機(jī)與x軸交于點(diǎn)P,與函數(shù)G交于點(diǎn)Q,可得點(diǎn)Q必定落在

y=+；x+"?的函數(shù)圖象上，如圖所示：

,/APOQ=45°,

-,?△尸。0是等腰直角三角形,

PQ=OP=；

mm

：.Q

一；x：加2+；x；"?+"?=g"?,化簡(jiǎn)得：m2-6m=0,

解得：mx=0,m2=6,

m>0,

??.根=6；

(3)①當(dāng)0〈加W3時(shí)，由題意可得如圖所示，設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為E,過點(diǎn)C作CD,

y軸于點(diǎn)D

yx=m

：.ABDC=NAOB=ZCEO=90°,

令y=0,則有0=-+冽，解得：x=l±Jl+也,

222

Vm<3,

.l-Vl+8m

??Cl---------------<0,

2

由題意得：。（私c）,4（。,0）*（0,加），四邊形D0EC是矩形,

ADC=OB=OE=m,OA=-a,OD=CE=|c|,

???BCLBA,

ZABC=90°f

/ABO+ZDBC=/DBC+/BCD=90°,

AABO=/BCD,

.?.小AOB會(huì)八BDC（ASA）,

BD=OA=—a,

a=-3c,

a<0,c>0f

：.OD=CE=c,

4

OB=OD+BD=—a+。=—a=m,

3

BPx------1+8加=皿，化簡(jiǎn)得：9加2-20加=0,

32

解得：mx=—,m2=0（不符合題意，舍去），

②當(dāng)加＜0時(shí)，設(shè)直線-加與x軸的交點(diǎn)為E,過點(diǎn)C作CD_Ly軸于點(diǎn)D,如圖所示:

m+ylm1-4m

?,?令y=0，貝!J有0=工2一7nx+加，解得:x=------------

2

.m+yim1—4m

??a=-------------

2

4

同理可得OB=OD+BD=Q-C=§Q=—m,

3

——m=-------------，化間得：21機(jī)+16加=0,

42

當(dāng)，加2=。（舍去）；

解得：m=-

x21

綜上所述：加=當(dāng)或加=一雪

921

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?江蘇中考真題）如圖，拋物線y=-；/+bx+c與x軸交于A（T,0）,B（4,0）,

與了軸交于點(diǎn)C.連接AC,BC,點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

⑵如圖①，若點(diǎn)P在第四象限，點(diǎn)Q在PA的延長(zhǎng)線上，SZCAQ=ZCBA+45°時(shí)，求點(diǎn)P

的坐標(biāo)；

(3)如圖②，若點(diǎn)P在第一象限，直線AP交BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)H,

當(dāng)APFH為等腰三角形時(shí)，求線段PH的長(zhǎng).

131s

【答案】(1)夕=一彳/++2；()(6,-7)；(3)PH=3括一5或L5或M

222o

【分析】

(1)根據(jù)待定系數(shù)法解答即可；

(2)求得點(diǎn)C的坐標(biāo)后先利用勾股定理的逆定理判斷/ACB=90°,繼而可得/ACO=/CBA,

在x軸上取點(diǎn)E(2,0),連接CE,易得AOCE是等腰直角三角形，可得/0CE=45°,進(jìn)一

步可推出/ACE=/CAQ,可得CE//PQ,然后利用待定系數(shù)法分別求出直線CE與PQ的解析式，

再與拋物線的解析式聯(lián)立方程組求解即可；

(3)設(shè)直線AP交y軸于點(diǎn)G,如圖，由題意可得若APFH為等腰三角形，則4CFG也為等

腰三角形，設(shè)G(0,m),求出直線AF和直線BC的解析式后，再解方程組求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，

然后分三種情況求出m的值，再求出直線AP的解析式，進(jìn)而可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，于是問題

可求解.

【詳解】

解：(1)把A(-l,0),B(4,0)代入y=—+bx+c,得

1Lnf,3

-----b+c=0「,b=—

<2,解得：,2,

-8+4/?+c=0c=2

iQ

???拋物線的解析式是y=--x2+^x+2；

(2)令x=0,則y=2,即C(0,2),

V^C2=l2+22=5,5C2=22+42=20,AB2=25,

???AC2+BC2=AB2,

：.ZACB=90°,

ZAC0+ZCA0=ZCBA+ZCA0=90

???ZAC0=ZCBA,

在x軸上取點(diǎn)E(2,0),連接CE,如圖,

則CE=0E=2,

Z.Z0CE=45°，

：.ZACE=ZAC0+45°=ZCBA+45°=ZCAQ,

???CE〃PQ,

VC(0,2)，E(2,0)，

???直線CE的解析式為y=-x+2,

設(shè)直線PQ的解析式為尸-x+n,把點(diǎn)A(-1,0)代入，可得n=T,

???直線PQ的解析式為y-x-1,

13)

y=---X2H—X+2x--1x=6

解方程組，22，得y=0或

y=-x-l'=—7

???點(diǎn)P的坐標(biāo)是(6,-7)；

(3)設(shè)直線AP交y軸于點(diǎn)G,如圖,

：PH〃y軸,

；./PHC=/OCB,ZFPH=ZCGF,

.?.若^PFH為等腰三角形，則4CFG也為等腰三角形,

VC(0,2),B(4,0),

，直線BC的解析式為〉=一;x+2,

設(shè)G(0,m),VA(-1,0),

；?直線AF的解析式為y=mx+m,

4—2機(jī)

1cx=

y=——x+22m+1

解方程組2得V

5m

y=mx+m片

2m+1

4-2m5m

???點(diǎn)F的坐標(biāo)是

2m+1'2m+1

222

4-2m5m-2^,FG2=4-2m5m

CG2=(2-,CF2I+I+----------m

2m+12m+12m+12m+1

當(dāng)CG=CF時(shí)，(2、1蓋:+〔妥解得：嚕存1(舍去負(fù)值),

此時(shí)直線AF的解析式為

22

13c

y=—x2-\—x+2(x=5-y[5

?。坏肵=-1

解方程組昨0或'7指-11，

V=-----XH-------尸~2-

22

???點(diǎn)P的坐標(biāo)是(5-6，7#T1),此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)是(5-51二b,

22

APH=TA/S-II_V51=3^_5.

22

4-2mV4-2mV2]

5m25m|，解得m=；或nF-5（舍）

當(dāng)FG=FC時(shí),2m+1J2m+1J-------m

2m+12m+1

或m=2（舍），

此時(shí)直線AF的解析式為x+/,

y=--X2+—x+2

22彳曰x=-lx=3

解方程組，倚y=0或

11夕=2'

y=—x+—

22

???點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3,2）,此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)是（3,y）,

???PH=2-9=1.5；

2

4-2m5m

當(dāng)GF二GC時(shí)，（2—機(jī)/二I+-----m|，解得加=、或m=2（舍去），

2m+12m+1

33

此時(shí)直線AF的解析式為y『+“

5

y=--X2+—X+2x=—

22x=-12

解方程組,得或,

33y=021

>=—x+—y=一

448

點(diǎn)p的坐標(biāo)是（g,21）,此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)是（|,

T

._213_15

??rPHtl---------——

848

綜上，PH=3指-5或L5或

O

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)

的坐標(biāo)特征、直線與拋物線的交點(diǎn)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，具有相當(dāng)?shù)碾y度,

熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.

7.(2021?湖北中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=。/+服+。與x軸交于點(diǎn)

/(T⑼和點(diǎn)8,與V軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點(diǎn)尸在拋物線上且滿足=求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,〃是直線2C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作軸交拋物線于點(diǎn)N,。是直線

NC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AQWN為等腰直角三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)初及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo)

【答案】⑴y=x2-2x-3；(2)Pi(4,5),8],lj；⑶此[§'—

M(5,2),2(-5,12)；M4(2,-l),04(0,-3)；

%(1,-2),ft(0,-3)；跖(7,4),以(-7,18).

【分析】

(1)由和。(1,-4),且D為頂點(diǎn)列方程求出a、b、c,即可求得解析式;

(2)分兩種情況討論：①過點(diǎn)C作/〃皿，交拋物線于點(diǎn)召，②在8C下方作

NBCF=NBCE交BG于點(diǎn)、F,交拋物線于2；

(3)AQW為等腰直角三角形，分三種情況討論：當(dāng)QM=MN,2QMN=90。；②當(dāng)

QN=MN,ZQNM=90°；③當(dāng)QM=QN,4MQN=90°.

【詳解】

解：(1)將4(—1,0)和。(1,—4)代入＞=QX2+bx+°

a-b+c=0

a+b+c=-4

又..?頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,-4)

a=l

???解得6=-2

。二一3

，拋物線的解析式為：y=x2-2x-3.

(2)???3(3,0)和。(1,-4)

...直線的解析式為：y=2x-6

:拋物線的解析式為：J=X2-2X-3,拋物線與了軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)

則C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3),B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).

①過點(diǎn)C作CPJ/BD,交拋物線于點(diǎn)月，

則直線C片的解析式為y=2x-3,

結(jié)合拋物線y=--2x-3可知尤2-2%-3=2尤一3,

解得：%=0(舍)，%2=4,

故4（4,5）.

②過點(diǎn)8作了軸平行線，過點(diǎn)C作x軸平行線交于點(diǎn)G,

由=0C可知四邊形OBGC為正方形，

:直線C召的解析式為廣2尤-3

??.C4與x軸交于點(diǎn)

在3c下方作/8CF=/8C￡交8G于點(diǎn)尸，交拋物線于2

/.NOCE=ZFCG

又「OCXG,ZCOE^ZG=90°

△OEC/^GFC（ASA）,

：.FG=OE=^,小一，，

又由C（0,—3）可得

直線C尸的解析式為廣，-3,

結(jié)合拋物線y=x2-2x-3可知*-2x-3=；x-3,

解得％=0（舍），x2=1,

綜上所述，符合條件的尸點(diǎn)坐標(biāo)為：耳（4,5）,

（3）V5（3,0）,C（0,-3）

/.直線8C的解析式為為c=x-3

設(shè)M的坐標(biāo)為（加,m-3）,則N的坐標(biāo)為（加，m2-2w-3）

MN=^ni-3-^m2-2m-3）|=p??2-3m|

C（0,-3）

直線8C的解析式為"c=-3工-3

V為等腰直角三角形

:.①當(dāng)QM=MN,NQW=90。時(shí)，如下圖所示

135

解得：冽i=0（舍去）,rn2=—fm3=-

二此時(shí)Q[W；啖

則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為m2-2m-3

3

2

2m-m2m+m

QM=m-

33

2

m+m=|m2-3m|

3

解得：W1=0（舍去），m2=5,m3=2

，此時(shí)M（5,2）,ft（-5,12）；a（2,-I）,a（0,-3）；

③當(dāng)QM=QN,/兒QN=90。時(shí)，如圖所示

則Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為g（m-3+m2_2加一3）=；（〃/—m—6^=-^m2—^m—3

（11,1,1

/.Q點(diǎn)的坐標(biāo)為|--m-3

Voo22

1151

；?Q點(diǎn)至!jMN的距離二—m——m9-m=—m+—m9

6666

/.=~|/n2-3m|（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）

oo211

解得：加|=0（舍去）,加2=7,加3=1

此時(shí)M（L-2）,2（0,-3）；&（7,4）,a（-7,18）.

5_4

綜上所述，點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為：

MMx35-3，2一瀉；u2

134

;%（5,2）,2（-5,12）；/（2,-1）,0（0,-3）；M（l,-2）,ft（0,-3）；

aV5745

%6（7,4）,ft（-7,18）.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形.該題綜合性較強(qiáng)，屬于中考?jí)狠S題.

8.(2021?湖南中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱

該點(diǎn)為“雁點(diǎn)”.例如(1,1),(2021,2021)……都是“雁點(diǎn)”.

4

(1)求函數(shù)>=—圖象上的“雁點(diǎn)”坐標(biāo)；

x

(2)若拋物線了="2+5》+，上有且只有一個(gè)“雁點(diǎn)”E,該拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn)

(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)).當(dāng)。>1時(shí).

①求c的取值范圍；

②求的度數(shù)；

(3)如圖，拋物線了=-，+2丫+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，P是拋物

線y=-?+2x+3上一點(diǎn)，連接AP,以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，構(gòu)造等腰小△APC,是否存在點(diǎn)

P,使點(diǎn)C恰好為“雁點(diǎn)”？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴(2,2)和(-2,-2)；(2)①0<c<4；②45°；⑶存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為

前，+師3]〔回3]

或1+虧，不或1一-不，"

【分析】

4

(1)根據(jù)“雁點(diǎn)”的定義可得尸x,再聯(lián)立歹=一求出“雁點(diǎn)”坐標(biāo)即可；

4

(2)根據(jù)》=。/+5工+。和y=x可得°x2+4x+c=0,再利用根的判別式得到c=—,再求

a

出a的取值范圍；將點(diǎn)c代入解析式求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，令y=0,求出M的坐標(biāo)，過E點(diǎn)向x

軸作垂線，垂足為H點(diǎn)，如圖所示，根據(jù)EH=MH得出為等腰直角三角形，/EMN的度

數(shù)即可求解;

(3)存在，根據(jù)圖1,圖2,圖3進(jìn)行分類討論，設(shè)C(m,m),P(x,y)，根據(jù)三角形

全等得出邊相等的關(guān)系，再逐步求解，代入解析式得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】

4

y=-

解：(1)聯(lián)立X,

尸X

x-2x-—2

解得尸2或

,=_2

4

即：函數(shù)歹=—上的雁點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)和(-2,-2).

x

y=x

(2)①聯(lián)立

y=ax2*4+5x+c

得ax2+4x+c=0

?：這樣的雁點(diǎn)E只有一個(gè)，即該一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根,

***A=42-4ac=0

?L-

a

'：a>\

0<c<4

44

②將c二一代入，得ax；+4XH—=0

aaE

2

解得/=-―

a

4

對(duì)于y=if+5x+—,令y=°

a

過E點(diǎn)向x軸作垂線，垂足為H點(diǎn),

22,4、2

EH=-,MH=-------(——)=-

aaaa

：.EH=MH=-

a

???為等腰直角三角形，ZEMN=45°

(3)存在，理由如下：

如圖所示：過P作直線1垂直于x軸于點(diǎn)k,過C作CH_LPK于點(diǎn)H

設(shè)C(m,m),P(x,y)

???ZkCPB為等腰三角形，

.'.PC=PB,ZCPB=90°,

：.ZKPB+ZHPC=90°,

VZHPC+ZHCP=90°,

ZKPB=ZHCP,

VZH=ZPKB=90°,

.'.△CHP^APKB,

ACH=PK,HP=KB,

3

y=m—

I2

當(dāng)x=g時(shí)，^=(-1)23+2X|+3=^

圖1

如圖2所示，同理可得：△KCPgZkJPB

???KP=JB,KC=JP

設(shè)P(x,y),C(m,m)

KP=x-m,KC=y-m,JB=y,JP=3-x,

3

x=mH--

2

解得

3

蚱5

3

令-Y+2x+3=一

2

解得寸呼，￡=子

二雇±普I）或尸占普|

圖2

如圖3所示，

VARCP^ATPB

ARC=TP,RP=TB

設(shè)P(x,y)，C(m,m)

y-m=3-x

即

x-m=y

3

x=mH--

2

解得

3

一

3

令-X?+2x+3=一

2

解得寸子，于等

...此時(shí)p與第②種情況重合

綜上所述，符合題意p的坐標(biāo)為（"號(hào)或（生叵E）或（三叵二）

242222

圖3

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，圖形與坐標(biāo)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，二次函

數(shù)的綜合運(yùn)用，理解題意和正確作圖逐步求解是解題的關(guān)鍵.

9.(2021?四川中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線＞="2+/+4(。*0)

經(jīng)過點(diǎn)幺(-2,0)和點(diǎn)8(4,0).

(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸為該拋物線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，直線CP將的面積分成2：1兩部分,

求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)刊從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿了軸移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，當(dāng)

=-/。跖4時(shí)，求t的值.

【答案】(1)y=-^x2+x+4；(2)點(diǎn)P(6,-8)；(3)當(dāng)點(diǎn)/從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1

個(gè)單位的速度沿了軸正方向移動(dòng)時(shí)，片2秒；沿C0方向在V軸移動(dòng)時(shí)，片10秒.

【分析】

(1)根據(jù)待定系數(shù)法將AB兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求解即可；

(2)在的AB邊上找到將AB分成2：1兩部分的點(diǎn)Q,此時(shí)CQ將“BC的面積分成

2：1兩部分，求出直線CQ與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)即是點(diǎn)P坐標(biāo)；

(3)先利用圖形在/。。3內(nèi)構(gòu)造乙4'。3=/。。3-20。，求出tan//'C3,在MAO/N

中由tan/O3=tan/4C3,OA=2,求出0M長(zhǎng)即可解答，

【詳解】

解：(1)由拋物線了="2+/+4(“*0)經(jīng)過點(diǎn)/(-2,0)和點(diǎn)8(4,0),得：

\4a-2b+4=0

[16a+4b+4=0'

'_1

解得："二一2

b=\

2

即：條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=~x+x+4;

(2)由(1)可知點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,4)

1?點(diǎn)4(一2,0)和點(diǎn)8(4,0).

AB=6,

將AB分成2：1兩部分的點(diǎn)有原點(diǎn)和