高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專練：聚焦熱點(diǎn)情境弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化（含答案及解析）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)精練3

聚焦熱點(diǎn)情境，弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化

【模擬精練】

一、單選題

1.（23-24高一上?山東青島?期中）十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想："對(duì)任意正整數(shù)

n>2,關(guān)于x，XZ的方程x"+y'=z"沒有正整數(shù)解”，經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯

懷爾斯給出了證明，使它終成費(fèi)馬大定理，則費(fèi)馬大定理的否定為（）

A.對(duì)任意正整數(shù)2,關(guān)于尤,y，z的方程x"+y"=z"都沒有正整數(shù)解

B.對(duì)任意正整數(shù)〃>2,關(guān)于x,y,z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數(shù)解

C.存在正整數(shù)〃W2,關(guān)于x，y，z的方程x"+y”=z”至少存在一組正整數(shù)解

D.存在正整數(shù)〃>2,關(guān)于％y,z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數(shù)解

2.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，國(guó)際上以華氏命名的數(shù)學(xué)科

研成果有“華氏定理""華氏不等式”“華氏算子""華—王方法”等，其斐然成績(jī)?cè)鐬槭廊怂?/p>

崇.他曾說："數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微"，告知我們把"數(shù)"與"形"，"式"與"圖"結(jié)

合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)

的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)圖象的特征.已知函數(shù)，=〃尤）的圖象如圖所

示，則/（x）的解析式可能是（）

A./（x）=3皿B./（x）=3co?C./（x）=RjD./（x）=l11

3.（2024?重慶?一模）英國(guó)著名數(shù)學(xué)家布魯克?泰勒（TaylorBrook）以微積分學(xué)中將函數(shù)展

開成無窮級(jí)數(shù)的定理著稱于世泰勒提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)用無限連

加式來表示一個(gè)函數(shù)，如：sinA=x-—+,其中加=lx2x3x…X”.根據(jù)該展

3!5!7!

開式可知，與2-々+二-2+…的值最接近的是（）

3!5!7!

A.sin2°B.sin24.6°

C.cos24.6°D.cos65.4°

4.（2024?寧夏?一模）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，

圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2,若

正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為2,尸是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動(dòng)點(diǎn)，貝|

圖1圖2

B.0C.-2^2D.-472

5.（2023?湖北武漢?二模）"中國(guó)剩余定理"又稱"孫子定理"，1852年英國(guó)來華傳教士偉烈亞

力將《孫子算經(jīng)》中"物不知數(shù)"問題的解法傳至歐洲.1874年英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符

合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”，

“中國(guó)剩余定理"講的是一個(gè)關(guān)于同余的問題.現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將正整數(shù)中能被3除余

1且被2除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛%,｝,貝?。?＜）=（）

A.55B.49C.43D.37

6.（2024?陜西西安?一模）"中國(guó)剩余定理"又稱"孫子定理"，最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期的

數(shù)學(xué)著作《脅子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做"物不知數(shù)"，原文如下：今有物不知其數(shù)，

三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：被3

除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛%｝,記數(shù)列｛%｝的

前〃項(xiàng)和為S“，則至上色的最小值為（）

n

A.60B.61C.75D.76

7.（2024?黑龍江?二模）祖唯是我國(guó)南北朝時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家.祖晅原理用現(xiàn)代語言可以描

述為“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截

得的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等".例如，可以用祖曬原理推導(dǎo)半球的體積

公式，如圖，底面半徑和高都為R的圓柱與半徑為R的半球放置在同一底平面上，然后在

圓柱內(nèi)挖去一個(gè)半徑為R,高為R的圓錐后得到一個(gè)新的幾何體，用任何一個(gè)平行于底面

的平面a去截這兩個(gè)幾何體時(shí)，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾

何體的體積相等.若用平行于半球底面的平面。去截半徑為R的半球，且球心到平面a的

距離為正R,則平面a與半球底面之間的幾何體的體積是（

D..

8.（22-23高三上?江西撫州?期中）數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式多種多樣，我們稱離心率e=。（其中

的橢圓為黃金橢圓‘現(xiàn)有一個(gè)黃金橢圓方程為1+%=人＞。）’若以原

點(diǎn)。為圓心，短軸長(zhǎng)為直徑作。。尸為黃金橢圓上除頂點(diǎn)外任意一點(diǎn)，過尸作。。的兩條

22

切線，切點(diǎn)分別為A3,直線A3與龍廣軸分別交于兩點(diǎn)，貝|二b^+^a^=

|0M||ON|

（）

1

A.—B.刃C.一3D.

CDco

9.（2024?遼寧沈陽?二模）我國(guó)古代典籍《周易》用"卦”描述萬物的變化，每一"重卦"由從

下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻",和陰爻"------------"，如圖就

是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，記事件A="取出的重卦中至少有1個(gè)陰爻"，事

件3="取出的重卦中至少有3個(gè)陽爻貝”國(guó)力=（）

10.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模）棣莫弗公式（cos%+i-sin%）〃=cos5x）+Lsin（〃x）（其中i為虛

數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)

fcos-|-+i-sin-|-^在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

二、多選題

11.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于正整數(shù)小。⑺是小于或等于〃的正整數(shù)中與〃互質(zhì)的數(shù)

的數(shù)目.函數(shù)。⑺以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如夕（9）=6（1,2,4,5,7,8

與9互質(zhì)），貝I（）

A.若〃為質(zhì)數(shù)，則=〃-1B.數(shù)列｛夕（叫單調(diào)遞增

C.數(shù)列l(wèi)斌的最大值為1D.數(shù)歹|｛。（3"）｝為等比數(shù)列

12.（23-24高二上?江蘇南京?階段練習(xí)）由倍角公式cos2x=2cos2尤-1可知，cos2x可以表

示為cosx的二次多項(xiàng)式.一般地，存在一個(gè)w（〃eN*）次多項(xiàng)式

x

P?（t）=ant"+an_f~+---+a0（aQ,al,...,aneR）,使得cosnr=勺（cos^r）,這些多項(xiàng)式月⑺稱

為切比雪夫（P.LTschebyscheff）多項(xiàng)式.運(yùn)用探究切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得（）

A,《（r）=4/_3rB.4［）=8/-8/+1

C.cos54°=D.sin54°=^^-

64

13.（2024?江西宜春?三模）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波

羅尼斯圓的定義：在平面內(nèi)，已知兩定點(diǎn)A,B之間的距離為。（非零常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)M到

A,8的距離之比為常數(shù)4（2>0,且/wl）,則點(diǎn)M的軌跡是圓，簡(jiǎn)稱為阿氏圓.在平

面直角坐標(biāo)系中，已知A（T,0）,B（2,0）,點(diǎn)M滿足1MAi=2|MB|,則下列說法正確

的是（）

A.AAA/B面積的最大值為12B.布的最大值為72

C.若Q（8,8）,貝”加4|+2|〃0的最小值為10口.當(dāng)點(diǎn)M不在x軸上時(shí)，始終平分

ZAMB

14.（22-23高三上?山東濰坊?期中）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列,因意大利數(shù)學(xué)家列昂

納多-斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為"兔子數(shù)列"，在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化

學(xué)等領(lǐng)域都有直接的應(yīng)用.在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列被以下遞推的方法定義:數(shù)列｛4｝滿足：

q=%=1,q+2=%+4SeN*）.則下列結(jié)論正確的是（）

A./=13B.。2023是奇數(shù)

C*Id?ICI3I******I^^2021^^2021^*2022D.“2022被4除的余數(shù)為0

15.（22-23高三下?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）設(shè)a,6為兩個(gè)正數(shù)，定義”,6的算術(shù)平均數(shù)為

A（a,6）=等,幾何平均數(shù)為G（a,b）=?F,則有：G（a,b）￡A（a,b）,這是我們熟知的

基本不等式.上個(gè)世紀(jì)五十年代，美國(guó)數(shù)學(xué)家DHZMmer提出了"LMmer均值〃，即

4（。/）=Yr±J，其中P為有理數(shù)?下列關(guān)系正確的是（）

A.A（a，，）B.4（a,6）NG（a,A）

C.D.Ln+1（a,b）＜Ln（a,b）

16.（2023?遼寧?三模）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為

"塹堵"；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為"陽馬"，四個(gè)面均為直角三角形

的四面體稱為"鱉膈"，如圖在塹堵A2C-44C］中，ACHBC,且AA=AB=2.下列說法正

確的是（）

-----------------/-I

C

A.四棱錐B-AACG為"陽馬"

B.四面體AACB的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且球的表面積為8萬

2

c.四棱錐B-AACG體積最大值為：

D.四面體AGCB為“鱉腌”

17.（21-22高三上?湖北鄂州?期末）中國(guó)結(jié)是一種手工編織工藝品，因?yàn)槠渫庥^對(duì)稱精

致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國(guó)傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國(guó)結(jié).中

國(guó)結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個(gè)側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的

游戲呈現(xiàn).它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結(jié)對(duì)應(yīng)著數(shù)

學(xué)曲線中的雙紐線.曲線C：（f+產(chǎn)）2=9卜2一y2）是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B.曲線C經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

C.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離都不超過3

D.若直線>=區(qū)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為

18.（23-24高二上?山東青島?期末）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》

一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對(duì)楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結(jié)論正確的

(

是

楊輝三角

行

第0

行

第11

行

第211

行

第3121

行

第41331

行14641

第5

行

第615101051

行

第71615201561

行

第8172135352171

行

第918285670562881

M

第1193684126126843691

第11104512021025221012045101

lfr115516533046246233016555111

A.第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第8個(gè)數(shù)

B.1+C；+C：+C；=C；

C.第2020行的第1010個(gè)數(shù)最大

D.第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為2:11

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)精練3

聚焦熱點(diǎn)情境，弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化

【模擬精練】

一、單選題

1.（23-24高一上?山東青島?期中）十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想："對(duì)任意正整數(shù)

n>2,關(guān)于x，XZ的方程x"+y'=z"沒有正整數(shù)解”，經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯

懷爾斯給出了證明，使它終成費(fèi)馬大定理，則費(fèi)馬大定理的否定為（）

A.對(duì)任意正整數(shù)2,關(guān)于尤,y，z的方程x"+y"=z"都沒有正整數(shù)解

B.對(duì)任意正整數(shù)〃>2,關(guān)于x,y,z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數(shù)解

C.存在正整數(shù)〃W2,關(guān)于x，y，z的方程x"+y”=z”至少存在一組正整數(shù)解

D.存在正整數(shù)〃>2,關(guān)于％y,z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數(shù)解

2.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，國(guó)際上以華氏命名的數(shù)學(xué)科

研成果有“華氏定理""華氏不等式”“華氏算子""華—王方法”等，其斐然成績(jī)?cè)鐬槭廊怂?/p>

崇.他曾說："數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微"，告知我們把"數(shù)"與"形"，"式"與"圖"結(jié)

合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)

的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)圖象的特征.已知函數(shù)，=〃尤）的圖象如圖所

示，則/（x）的解析式可能是（）

A./（x）=3皿B./（x）=3co?C./（x）=RjD./（x）=l11

3.（2024?重慶?一模）英國(guó)著名數(shù)學(xué)家布魯克?泰勒（TaylorBrook）以微積分學(xué)中將函數(shù)展

開成無窮級(jí)數(shù)的定理著稱于世泰勒提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)用無限連

加式來表示一個(gè)函數(shù)，如：sinA=x-—+,其中加=lx2x3x…X”.根據(jù)該展

3!5!7!

開式可知，與2-々+二-2+…的值最接近的是（）

3!5!7!

A.sin2°B.sin24.6°

C.cos24.6°D.cos65.4°

4.（2024?寧夏?一模）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，

圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2,若

正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為2,P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動(dòng)點(diǎn)，則

D.-472

5.（2023?湖北武漢?二模）"中國(guó)剩余定理"又稱"孫子定理"，1852年英國(guó)來華傳教士偉烈亞

力將《孫子算經(jīng)》中"物不知數(shù)"問題的解法傳至歐洲.1874年英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符

合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”，

“中國(guó)剩余定理"講的是一個(gè)關(guān)于同余的問題.現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將正整數(shù)中能被3除余

1且被2除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛%,｝,貝?。?＜）=（）

A.55B.49C.43D.37

6.（2024?陜西西安?一模）"中國(guó)剩余定理"又稱"孫子定理"，最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期的

數(shù)學(xué)著作《脅子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做"物不知數(shù)"，原文如下：今有物不知其數(shù)，

三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：被3

除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛%｝,記數(shù)列｛%｝的

前〃項(xiàng)和為S“，則至上色的最小值為（）

n

A.60B.61C.75D.76

7.（2024?黑龍江?二模）祖唯是我國(guó)南北朝時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家.祖晅原理用現(xiàn)代語言可以描

述為“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截

得的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等".例如，可以用祖曬原理推導(dǎo)半球的體積

公式，如圖，底面半徑和高都為R的圓柱與半徑為R的半球放置在同一底平面上，然后在

圓柱內(nèi)挖去一個(gè)半徑為R,高為R的圓錐后得到一個(gè)新的幾何體，用任何一個(gè)平行于底面

的平面a去截這兩個(gè)幾何體時(shí)，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾

何體的體積相等.若用平行于半球底面的平面。去截半徑為R的半球，且球心到平面a的

距離為變R,則平面。與半球底面之間的幾何體的體積是（

2

8.（22-23高三上?江西撫州?期中）數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式多種多樣，我們稱離心率e=&（其中

。=如二1）的橢圓為黃金橢圓，現(xiàn)有一個(gè)黃金橢圓方程為三_+1.=1,（°>6>0）,若以原

點(diǎn)。為圓心，短軸長(zhǎng)為直徑作為黃金橢圓上除頂點(diǎn)外任意一點(diǎn)，過尸作。。的兩條

22

切線，切點(diǎn)分別為A3,直線A3與羽>軸分別交于M,N兩點(diǎn)，則qb力+三a力=

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C.一。

9.（2024?遼寧沈陽?二模）我國(guó)古代典籍《周易》用"卦”描述萬物的變化，每一"重卦"由從

下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻",和陰爻"------------"，如圖就

是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，記事件A="取出的重卦中至少有1個(gè)陰爻"，事

件3="取出的重卦中至少有3個(gè)陽爻貝”國(guó)力=（）

10.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模）棣莫弗公式（cos%+i-sin%）〃=cos5x）+Lsin（〃x）（其中i為虛

數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)

兀..兀

cos—+isin—在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

二、多選題

11.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于正整數(shù)小。⑺是小于或等于〃的正整數(shù)中與〃互質(zhì)的數(shù)

的數(shù)目.函數(shù)。⑺以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如夕（9）=6（1,2,4,5,7,8

與9互質(zhì)），貝I（）

A.若〃為質(zhì)數(shù)，則=〃-1B.數(shù)列｛夕（叫單調(diào)遞增

C.數(shù)列l(wèi)斌的最大值為1D.數(shù)歹|｛。（3"）｝為等比數(shù)列

12.（23-24高二上?江蘇南京?階段練習(xí)）由倍角公式cos2x=2cos2尤-1可知，cos2x可以表

示為cosx的二次多項(xiàng)式.一般地，存在一個(gè)w（〃eN*）次多項(xiàng)式

nl

P?（?）=ant"+an_lt~+---+a0（aQ,al,...,aneR）,使得cosnx=Pn（cosx）,這些多項(xiàng)式Pn（?）稱

為切比雪夫（P.LTschebyscheff）多項(xiàng)式.運(yùn)用探究切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得（）

A,《（r）=4/_3rB.^（r）=8r4-8r+l

C.cos54°=^^D.sin54°=^^-

64

13.（2024?江西宜春?三模）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波

羅尼斯圓的定義：在平面內(nèi)，已知兩定點(diǎn)A,B之間的距離為。（非零常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)M到

A,8的距離之比為常數(shù)4（2>0,且/wl）,則點(diǎn)M的軌跡是圓，簡(jiǎn)稱為阿氏圓.在平

面直角坐標(biāo)系中，已知A（T,0）,B（2,0）,點(diǎn)M滿足1MAi=2|MB|,則下列說法正確

的是（）

A.AAA/B面積的最大值為12B.布的最大值為72

C.若Q（8,8）,貝”加4|+2|〃0的最小值為10口.當(dāng)點(diǎn)M不在x軸上時(shí)，始終平分

ZAMB

14.（22-23高三上?山東濰坊?期中）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列,因意大利數(shù)學(xué)家列昂

納多-斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為"兔子數(shù)列"，在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化

學(xué)等領(lǐng)域都有直接的應(yīng)用.在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列被以下遞推的方法定義:數(shù)列｛4｝滿足：

q=%=1,?！?2=q+1+%SeN*）.則下列結(jié)論正確的是（）

A./=13B.。2023是奇數(shù)

C*Id?ICI3I******I^^2021^^2021^*2022D.“2022被4除的余數(shù)為0

15.（22-23高三下?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）設(shè)a,6為兩個(gè)正數(shù)，定義”,6的算術(shù)平均數(shù)為

A（a,6）=等,幾何平均數(shù)為G（a,b）=?F,則有：G（a,b）＜A（a,b）,這是我們熟知的

基本不等式.上個(gè)世紀(jì)五十年代，美國(guó)數(shù)學(xué)家DHZMmer提出了"LMmer均值〃，即

4（。/）=Yr±J，其中P為有理數(shù)?下列關(guān)系正確的是（）

A.（?,/?）＜A（o,Z?）B.4（a,6）NG（a,A）

C.D.Ln+1（a,b）＜Ln（a,b）

16.（2023?遼寧?三模）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為

"塹堵"；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為"陽馬"，四個(gè)面均為直角三角形

的四面體稱為"鱉膈"，如圖在塹堵A2C-44C］中，ACHBC,且AA=AB=2.下列說法正

確的是（）

-----------------/-I

C

A.四棱錐B-AACG為"陽馬"

B.四面體AACB的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且球的表面積為8萬

2

c.四棱錐B-AACG體積最大值為：

D.四面體AGCB為“鱉腌”

17.（21-22高三上?湖北鄂州?期末）中國(guó)結(jié)是一種手工編織工藝品，因?yàn)槠渫庥^對(duì)稱精

致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國(guó)傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國(guó)結(jié).中

國(guó)結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個(gè)側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的

游戲呈現(xiàn).它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結(jié)對(duì)應(yīng)著數(shù)

學(xué)曲線中的雙紐線.曲線C：（f+產(chǎn)）2=9卜2—y2）是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B.曲線C經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

C.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離都不超過3

D.若直線>=區(qū)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為

18.（23-24高二上?山東青島?期末）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》

一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對(duì)楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結(jié)論正確的

(

是

楊輝三角

行

第0

行

第11

行

第211

行

第3121

行

第41331

行14641

第5

行

第615101051

行

第71615201561

行

第8172135352171

行

第918285670562881

M

第1193684126126843691

第11104512021025221012045101

lfr115516533046246233016555111

A.第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第8個(gè)數(shù)

B.1+C；+C：+C；=C；

C.第2020行的第1010個(gè)數(shù)最大

D.第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為2:11

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案DACCABCACB

題號(hào)1112131415161718

答案ACDABDABDBCDACABDACDABD

1.D

【分析】由全稱量詞命題的否定的定義即可得解.

【詳解】"對(duì)任意正整數(shù)〃>2,關(guān)于的方程x"+y"=z”沒有正整數(shù)解”的否定為：

存在正整數(shù)〃>2,關(guān)于蒼Xz的方程X"+/=z"至少存在一組正整數(shù)解.

故選：D.

2.A

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】由函數(shù)圖象可知，>=/（尤）的圖象不關(guān)y軸對(duì)稱，

Z1xcos（—X）Z1\COSX

而〃r）=3"'（T）=38s=〃x）,==/（力，

即這兩個(gè)函數(shù)均關(guān)于，軸對(duì)稱，則排除選項(xiàng)B、D；

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知y=3,為單調(diào)遞增函數(shù)，y=為單調(diào)遞減函數(shù)，

由y=sin元的圖象可知存在一個(gè)極小的值%>0,使得y=sin尤在區(qū)間（0,』）上單調(diào)遞增，

z1\sinx

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，?。?3加在區(qū)間（0,與）上單調(diào)遞增，f（x）=!在區(qū)間

（0,x0）上單調(diào)遞減，

由圖象可知/（x）=3"nx符合題意，

故選：A.

3.C

【分析】觀察題目將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，再將弧度制與角度制互化，結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷

即可.

【詳解】原式=sin27sin（2x57.3°）=sin（900+24.6°）=cos24.6°,

故選：C.

4.C

【分析】根據(jù)尸的位置進(jìn)行分類討論，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.

【詳解】設(shè)Q,府=0,

當(dāng)尸與A重合時(shí)，APAB=0;

當(dāng)尸在線段AB（除A）、線段2C、線段CD,線段。E,線段EF（除P）點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

0<6?<^,cos6?>0,所以而通=網(wǎng)?網(wǎng)cosd>0,

當(dāng)p與斤重合時(shí)，0=^,所以福?麗=|再5H詞-cose=o,

以A為原點(diǎn)，AB>AF分別為羽丁軸建立平面直角坐標(biāo)系，

根據(jù)正八邊形的性質(zhì)可知A尸=2+12xsin：]x2=2+20,2cos：=夜，

則*0,2+2&）,3卜后,2+四）,”卜亞,后）,網(wǎng)2,0）,

直線6尸的方程為丫=》+2+20,直線GH的方程為彳=一應(yīng)，直線A”的方程為

y=r,

當(dāng)尸在線段GF（除尸）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)尸1,x+2+2@卜夜<x<0）,

所以而.通=k，x+2+2&>（2,0）=xe[-&,0）,

當(dāng)尸在線段GH上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)尸卜夜,。（五W區(qū)友+2）,

所以Q.35=b&,）（2,0）=-2&,

當(dāng)P在線段AH（除A）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)尸（X,-尤乂-血4尤<0）,

所以Q.通=（x,T）?（2,0）=2xe[-2>/2,0）.

綜上所述，麗.屈的最小值為-2亞.

故選：C

5.A

【分析】由條件寫出通項(xiàng)公式，即可求解.

【詳解】正整數(shù)中既能被3除余1且被2除余1的數(shù)，即被6除余1,那么

an=l+（〃-l）x6=6〃-5,有％0=55.

故選：A

6.B

【分析】先由〃兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成的新的等差數(shù)列的公差為兩個(gè)等差數(shù)列公差的最

小公倍數(shù)"得S“，再由基本不等式求得義士色的最小值.

n

【詳解】被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為

8,公差為15的等差數(shù)列｛叫,

匚匚“con(n-V)1521

所^以Sn—8nH---——x15=H+—n

1+L+60

團(tuán)2s“+6022)1c601、chu60/1，

=15HH----Fl>2J15〃----Fl1=61

nnnvn

當(dāng)且僅當(dāng)15〃==，即〃=2時(shí)取等號(hào),

n

回當(dāng)〃=2時(shí)25,1+60取最小值為61.

n

故選：B.

7.C

【分析】分別求得面。截圓錐時(shí)所得小圓錐的體積和平面。與圓柱下底面之間的部分的體

積，結(jié)合祖迪原理可求得結(jié)果.

【詳解】???平面。截圓柱所得截面圓半徑

平面a截圓錐時(shí)所得小圓錐的體積乂，皿2?顯R=&K,

13212

又平面a與圓柱下底面之間的部分的體積為匕=兀爐=

222

根據(jù)祖晅原理可知：平面a與半球底面之間的幾何體體積

故選：c.

8.A

【分析】根據(jù)題意。、4P、3四點(diǎn)在以。尸為直徑的圓上，可設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為尸(七,%),

從而得出四點(diǎn)所在圓的方程為x(x-Xo)+y(y-%)=O,利用兩圓方程之差求得切點(diǎn)A、B

所在直線方程，進(jìn)而求得M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)即可解決本題.

【詳解】依題意有OAPB四點(diǎn)共圓，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為尸(%,%),則該圓的方程為：

x(x-%o)+y(y-yo)=O,

將兩圓方程：/+9=〃與/一/方+/-%》=。相減，得切點(diǎn)所在直線方程為

2

lAB:xx0+yyQ=bf解得M任,o],A^fo,—|,因?yàn)榭?m=1,所以

1%)IyGJ〃。

/g2b-a1_b2^+a2ylcrb1a2_121

+|ON|2一8+9

x；y；

故選：A

9.C

【分析】根據(jù)條件概率的公式，分析P(A),P(AB)求解即可.

【詳解】P(A)="=臾，事件AB="取出的重卦中有3陽3陰或4陽2陰或5陽1

2664

陰”，

故選：C

【分析】由棣莫弗公式化簡(jiǎn)結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.

71..71271..2711Vj.

【詳解】cos—+isin—=cos—+1-sin—=——+

32

在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限.

故選：B.

11.ACD

【分析】利用新定義，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性和等比數(shù)列的定義逐個(gè)判斷即可.

【詳解】因?yàn)椤盀橘|(zhì)數(shù)，故小于或等于”的正整數(shù)中與〃互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目為“-1,此時(shí)

(p(ri)=n-l,故A正確.

因?yàn)轱h6)=265)=4,所以向6)<°(5),故數(shù)列｛9⑺｝不是單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤.

小于等于2■的正整數(shù)中與2■互質(zhì)的數(shù)為1,3,5,…2-1,數(shù)目為2"一獷=2"T，

HYIn

所以^^二不才在〃￡曰時(shí)遞減，故當(dāng)〃=1時(shí)，數(shù)列｛f、｝的最大值為1,故C正確.

。(2)2。(2)

小于等于3"的正整數(shù)中與3"互質(zhì)的數(shù)的數(shù)為1,2,4,5,…,3"-2,3"-1,數(shù)目為

3"-3"T=23一，

故"(3")=2.3"T,而需5=3,故數(shù)列加(3")｝為等比數(shù)列，故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：從質(zhì)數(shù)定義入手，結(jié)合題目信息，逐步解答.

12.ABD

【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式，以及二倍角的正余弦公式化簡(jiǎn)可得

COS3X=4COS3X-3COSX,根據(jù)定義即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)二倍角公式可推得

^(COSX)=8COS4X-8COS2X+1,即可得出B項(xiàng)；根據(jù)誘導(dǎo)公式以及A的結(jié)論可知，

cos54°=4cos318°-3cos18°，sin54°=cos36°=2cos218°-1.平方相加，即可得出

cos218°=^^,進(jìn)而求出D項(xiàng)；假設(shè)C項(xiàng)成立，結(jié)合D項(xiàng)，檢驗(yàn)即可判斷.

8

【詳解】對(duì)于A：cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx

=(2cos2x-l)cosx-2cosxsin2x=(2cos2x-l)cosx-2cosx(l-cos2%)

=4cos3%—3cosx?

由切比雪夫多項(xiàng)式可知，cos3x=/^(cosx),

gp75(cosx)=4cos3x-3cosx.

令％=cos%,可知月⑺=4-一3/,故A正確；

對(duì)于B：cos4x=cos(2x2x)=2cos22x-l=2x^2cos2x-1)2-1=8cos4^-8cos2x+1.

由切比雪夫多項(xiàng)式可知，cos4%=4(cos九)，

即Z^(COSX)=8COS4X-8COS2X+1.

令％=cos%,可知乙(。=8/一8〃+1,故B正確；

對(duì)于D：因?yàn)?6。=2><18。，54°=3x18°,

根據(jù)Acos3x=4cos3x-3cosx，可得cos540=4cos”80-3cosl80，

COS36°=2COS2180-1.

又cos36°=sin54°，所以cos236°+cos254°=sin254°+cos254°=1,

所以（4COS3180-3COS18°）2+（2COS2180-1）2=1.

^r=cosl8°>0,可知（4/_3f）2+（2/-iy=1,

展開即可得出16--20〃+5/=0,

所以16-一20〃+5=0,解方程可得r=21.

8

因?yàn)?=8$18°>8$30°='^,所以，=5*百,

28

所以COS36°=2COS218°—1=2X^^—1=^^,

84

所以sin54。=cos36。=好口，故D正確；

4

對(duì)于C：假設(shè)cos54。=好把，

6

因?yàn)閟in54。=叵也，

4

貝I]sin254°+cos254°=wl,

顯然不正確，故假設(shè)不正確，故C錯(cuò)誤.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)題意多項(xiàng)式的定義，結(jié)合兩角和以及二倍角的余弦公式，化簡(jiǎn)可

求出用（COSX）,月（COSX）,換元即可得出心⑺出⑺.

13.ABD

【分析】設(shè)點(diǎn)M（x，y）,由條件可得點(diǎn)M的軌跡方程，即可判斷A,由向量數(shù)量積的運(yùn)算律

代入計(jì)算，即可判斷B,由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可判斷C,由角平分線定理即可判斷D

【詳解】對(duì)于A,設(shè)點(diǎn)M（x,y）,由|M4|=2|MB|,得依+釬+/=2j（x-2）?+丁,

化為食-4尸+9=16,所以點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)（4,0）為圓心、4為半徑的圓，

所以AAMB面積的最大值為!IA3|r=[x6x4=12,故A正確；

22

對(duì)于B,設(shè)線段A2的中點(diǎn)為N,

麗麗=（麗+麗.（麗+麗=|礪T-|M|2<（8+l）2-（-l+4）2=72,

當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（8,0）時(shí)取等號(hào)，故詞.詼的最大值為72,故B正確；

對(duì)于C,顯然點(diǎn)。（8,8）在圓外，點(diǎn)3（2,0）在圓內(nèi),

|A￡4|+2|M2|=2|MB|+2\MQ\=2(\MB\+\MQ\)>2\B^=2^(8-2)2+82=20，當(dāng)B,M,Q三

點(diǎn)共線且點(diǎn)M在線段BQ之間時(shí)，(1^41+21^21)^=20,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由|。4|=4,\OB\=2,有粵=2=黑，當(dāng)點(diǎn)M不在x軸上時(shí)，

由三角形內(nèi)角平分線分線段成比例定理的逆定理知，M。是AAMB中N/WB的平分線，故

D正確.

故選：ABD.

14.BCD

【分析】A:直接法寫出第8項(xiàng)即可；

B:數(shù)列有3的倍數(shù)項(xiàng)為偶數(shù),其他項(xiàng)為奇數(shù)的規(guī)律，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可;

C:只需證明+公++……+a；=anan+1即可，用數(shù)學(xué)歸納法證明；

D：用數(shù)學(xué)歸納法證明6的倍數(shù)項(xiàng)為4的倍數(shù)即可.

【詳解】解:由題知，關(guān)于選項(xiàng)A,：q=%=l,

..。3=2,=3,=5,=8,ci-j—11,=19,

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

關(guān)于選項(xiàng)B,3的倍數(shù)項(xiàng)為偶數(shù),其他項(xiàng)為奇數(shù)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)九=1,2,3時(shí),ax—a2=l,a3=2,滿足規(guī)律，

②假設(shè)當(dāng)n=3k-3,3k-2,3k-1時(shí)滿足q-為偶數(shù),%j，為奇數(shù)，

③當(dāng)〃=3左,3左+1,34+2時(shí)，

=a

a3ka3k—2+3k-\/Q。3b2,為奇數(shù)"必為偶數(shù),

a=aa

3k+l3k-\+。3左/Q3k-\為奇數(shù),〃3女為偶數(shù),,〃3左+1為奇數(shù),

aa

3k+2=a3k+3k+\>Q。3左+1為奇數(shù),a3k為偶數(shù),，aik+2為奇數(shù),

故3的倍數(shù)項(xiàng)為偶數(shù),其他項(xiàng)為奇數(shù)得證，

2023項(xiàng)是非3的倍數(shù)項(xiàng),故選項(xiàng)B正確；

關(guān)于選項(xiàng)C,有+憂+.+……+寸=anan+x成立，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:

①當(dāng)〃=1時(shí),%?=1=4.%，滿足規(guī)律,

②假設(shè)當(dāng)〃二%時(shí)滿足+〃；+〃；+...+城=%%+i成立，

③當(dāng)〃=左+1時(shí)，

〃；+〃；+〃；+...+#+al+\=akak+\+at+\

=%（%+%+】）

=ak+iak+2

成立，滿足規(guī)律，

故a；+a；+a；+.......+°；=。,0用,

令“=2021,

則有%~+藥+/+...+°2021=。2021%022成“，

故選項(xiàng)C正確；

關(guān)于選項(xiàng)D,有％能被4整除成立，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)〃=6時(shí)=8，滿足規(guī)津

②假設(shè)當(dāng)〃=6左時(shí),滿足為i=4九〃zeZ

③當(dāng)“=6（左+1）時(shí)，

4（"1）="6A+6=&6k+5+a6k+4

=2%左+4+a6k+3

=3〃6k+3+2a6k+2

~5。6%+2+3。6%+1

=8%A+1+5a6k

=8&z+i+20m

=4（2%+5加）

Qa6jt+1,meZ

????！?6能被4整除得證，

。2022=。6*337,，，“2022能被4整除得證,

故選項(xiàng)D正確.

故選:BCD

15.AC

【分析】根據(jù)基本不等式比較大小可判斷四個(gè)選項(xiàng).

［詳解］對(duì)于A選項(xiàng)，4.5（。，6）=半邛=而〈審=4（。力）,

當(dāng)且僅當(dāng)4=〃時(shí)，等號(hào)成立，故A正確;

—+—

ab

當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，

222

/.\a?+Z?Q?+/?2+Q?+Z?a?+/?+2ab（a+Z?）2a+Z?/.

2（"'）=^7T=~2（^b）—2（a+b）=2（〃+?=亍

當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)”=1時(shí)，由C可知，，（凡6）2彳=4（°,6）,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

16.ABD

【分析】根據(jù)"陽馬"和"鱉膈"的定義，可判斷A,D的正誤；當(dāng)且僅當(dāng)AC=3C時(shí)，四棱錐

B-AACG體積有最大值，求值可判斷C的正誤；根據(jù)題意找到四面體AACB的外接球的

球心位置，求出外接球半徑，利用球的表面積公式即可得到判斷B.

【詳解】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為"塹堵"，

團(tuán)在塹堵ABC-A4G中，AC_L3C,側(cè)棱A41_L平面ABC,

對(duì)A選項(xiàng)，13AAi