反比例函數(shù)【考點講義】（解析版）

專題10反比例函數(shù)

尊知識導(dǎo)航

反比

Q知識整理

i.反比例函數(shù)的定義

k

如果兩個變量無，y之間的關(guān)系可以表示成y=—（人為常數(shù)，且厚0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù).

x

2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（1）圖象的特征:反比例函數(shù)丁=幺的圖象是一條雙曲線，它關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱，兩個分支在第一、三

X

象限或第二、四象限.

（2）反比例函數(shù)y=-（#04為常數(shù)）的圖象和性質(zhì):

x

函數(shù)圖象所在象限性質(zhì)

一、三象限在每個象限內(nèi),y隨x增

kk>0

y=-N（x,y同號）大而減小

X

（原Q,k為常數(shù)）二、四象限在每個象限內(nèi),y隨X增

k<Q

卜（x,y異號）大而增大

3.反比例函數(shù)的解析式的確定

求反比例函數(shù)的解析式跟求一次函數(shù)一樣，也是待定系數(shù)法.

良考點講解

【考點1】反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)

【例1】（反比例函數(shù)的圖象）如圖，函數(shù)y=8與＞=-fcv+2（原0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象

X

是（)

【分析】根據(jù)題目中函數(shù)的解析式，利用一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的特點解答本題.

【詳解】解：在函數(shù)y="和y=-履+2（際0）中，

x

當(dāng)人＞0時，函數(shù)y=&的圖象在第一、三象限，函數(shù)y=-丘+2的圖象在第一、二、四象限，故選項A、D

x

錯誤，選項8正確，

當(dāng)人＜0時，函數(shù)的圖象在第二、四象限，函數(shù)y=-履+2的圖象在第一、二、三象限，故選項C錯

X

誤，

故選：B.

【例2】（反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)）（2021?山西）已知反比例函數(shù)y=9,則下列描述不正確的是（）

X

A.圖象位于第一，第三象限B.圖象必經(jīng)過點［J

C.圖象不可能與坐標(biāo)軸相交D.V隨x的增大而減小

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】

A

解：A、反比例函數(shù)y=—,k＞0,經(jīng)過一、三象限，此選項正確，不符合題意；

x

B、將點［4,9］代入y=/中，等式成立，故此選項正確，不符合題意；

C、反比例函數(shù)不可能坐標(biāo)軸相交，此選項正確，不符合題意；

D、反比例函數(shù)圖像分為兩部分，不能一起研究增減性，故此選項錯誤，符合題意；

故選：D.

?ir6u

（1）當(dāng)QO時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小;

（2）當(dāng)NO時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

k

1.（2022?湖南）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)＞=區(qū)+1伏片0）和y=—（左片0）的圖像大致是（）

【分析】分%＞0或％＜0,根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

k

【詳解】解：當(dāng)左＞0時，一次函數(shù)丁="+1經(jīng)過第一、二、三象限，反比例函數(shù)y=一位于第一、三象限;

x

當(dāng)％＜0時，一次函數(shù)丫=依+1經(jīng)過第一、二、四象限，反比例函數(shù)y=8位于第二、四象限；

X

故選：D.

2.（2021?黑龍江大慶市）已知反比例函數(shù)y=⑹，當(dāng)尤＜0時，y隨X的增大而減小，那么一次的數(shù)

x

y=—依+左的圖像經(jīng)過第（

A.一,二，三象限B.一，二，四象限

C.一，三，四象限D(zhuǎn).二，三，四象限

【答案】B

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性得到左＞0,再利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.

【詳解】

k

解：??,反比例函數(shù)丁=一，當(dāng)時，y隨元的增大而減小，

X

???女＞0,

???y=—丘+左的圖像經(jīng)過第一，二，四象限,

故選：B.

22

3.（2022.湖北荊州）如圖是同一直角坐標(biāo)系中函數(shù)％=2x和%=—的圖象.觀察圖象可得不等式2x＞—的

xx

解集為（）

C.xc-l或0<x<lD.T<x<0或x>l

【答案】D

【分析】根據(jù)圖象進(jìn)行分析即可得結(jié)果;

【詳解】解:?/2x>-

X

%>%

2

由圖象可知,函數(shù)必=2x和%=—分別在一、三象限有一個交點,交點的橫坐標(biāo)分別為x=l,x=-l,

x

2

由圖象可以看出當(dāng)-IvivO或1>1時，函數(shù)％=2x在%=—上方,即M>%，故選：D.

4

4.（2022?廣東）點（1,%）,（2,%）,（3,%）,（4,%）在反比例函數(shù)y=—圖象上，則%,%，%，%中最小

X

的是（）

A.%B.%C.%D.%

【答案】D

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可直接進(jìn)行求解.

4

【詳解】解：由反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=—可知：4>0,

???在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小,

?.?點（1,%）,（2,%），（3,%），（4,%）在反比例函數(shù)>=:圖象上,

%>%>%>%，故選D.

2m-1

5.（2021?陜西）若4（1,%）,3（3,%）是反比例函數(shù)丁=m<—圖象上的兩點，則%、%的大

x2

小關(guān)系是%%（填或“<”）

【分析】

先根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷2帆-1<0,再根據(jù)反比例函數(shù)的增減性判斷即可.

【詳解】

'：m<—

2

2m<—x2

2

即2m-l<0

二反比例函數(shù)圖像每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大

V1<3

故答案為：<.

【考點2】確定反比例關(guān)系式

【例3】（求解析式）（2022?江蘇常州）某城市市區(qū)人口x萬人，市區(qū)綠地面積50萬平方米，平均每人擁

有綠地y平方米，則y與X之間的函數(shù)表達(dá)式為（）

50

A.y=x+50B.y=50尤C.y=—D.y=——x

x50

【答案】C

【分析】根據(jù)：平均每人擁有綠地y=察監(jiān),列式求解.

息人數(shù)

【詳解】解：依題意，得：平均每人擁有綠地>=笆.

故選：C

【例4】（系數(shù)左）（2022?黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點。為坐標(biāo)原點，平行四邊形。胡。的

ak

頂點8在反比例函數(shù)y=上的圖象上，頂點A在反比例函數(shù)y=*的圖象上，頂點D在彳軸的負(fù)半軸上.若

Xx

平行四邊形。氏4。的面積是5,則上的值是（）

y

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】D

【分析】連接。4,設(shè)48交y軸于點C,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得力翁=9.D=|，AB//OD,再根

據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳解】解：如圖，連接設(shè)AB交y軸于點C,

,/四邊形。區(qū)4。是平行四邊形，平行四邊形OBAD的面積是5,

?

**,AOBOBAD=A3〃°￡），.??A3_Ly軸，

???點3在反比例函數(shù)y=±的圖象上，頂點A在反比例函數(shù)y=—的圖象上,

Scos=3,SCOA=—5，AOB=^.COB+^COA=~~~=~解得：左=-2?故選：D.

求函數(shù)解析式關(guān)鍵在于掌握利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式。即解設(shè)求該函數(shù)解析式為丁=幺（際0人

X

為常數(shù)），再將函數(shù)上一個點坐標(biāo)代入即可解得。

反比例函數(shù)丁=工（存0）系數(shù)人的幾何意義：從反比例函數(shù)y='（際0）圖象上任意一點向x軸和y

xx

軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為因。常見模型如圖：

金跟頤Ih蚓

1.（2022?湖北十堰）如圖,正方形ABC。的頂點分別在反比例函數(shù)y色＞0）和1當(dāng)?shù)模?）的圖象上?若

y軸，點D的橫坐標(biāo)為3,則勺+&=（）

A.36B.18C.12D.9

【答案】B

[1PA=PB=PC=PD=t（MO），先確定出。（3,與），C（3-r,與+力，由點。在反比例函數(shù)產(chǎn)右

33x

的圖象上，推出片3-冬，進(jìn)而求出點5的坐標(biāo)（3,6-4），再點C在反比例函數(shù)產(chǎn)2的圖象上，整理后,

33x

即可得出結(jié)論.

【詳解】解：連接AC,與2。相交于點尸,

設(shè)昭=PB=PC=PD=t（#0）.

二點。的坐標(biāo)為（3,g）,

...點C的坐標(biāo)為（3-Z,-7-+O.

???點C在反比例函數(shù)y=與的圖象上，

X

?，?（3-力（與+力=卜2,化簡得：Z=3-與,

?,?點5的縱坐標(biāo)為與+2/=號+2（3-與）=6-3,

???點3的坐標(biāo)為（3,6-g）,

?**3x（6-才）—kx,整理,得：女i+左2=18.

故選：B.

2.（2022?遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△A05的邊08在y軸上，邊A3與x軸交于點，且皿=4。,

反比例函數(shù)尸&。＞0）的圖像經(jīng)過點A,若m。45=1,則左的值為.

x

【答案】2

【分析】作A過x軸的垂線與龍軸交于C,證明△AOC四△5。。，推出OAC=S/k043=1,由此即可

求得答案.

【詳解】解：設(shè)A（〃，b）,如圖，作A過x軸的垂線與x軸交于C，

貝！J：AC=b,OC=a,AC//OB,

：.ZACD=ZBOD=90°,ZADC=ZBDO,

?.△ADC^ABDO,

/.SAADC=S2BDO,

：.SAOAC=SLAOD+SAADC=S2AOD+5ABDO=SAOAB=1,

—xOCxAC=—ab=l,

22

/.ab=2,

VA(tz,b)在產(chǎn)&上，

x

/.k=ab=2.

故答案為：2.

3.（2021?內(nèi)蒙古呼和浩特市）正比例函數(shù)）=4述與反比例函數(shù)y=8的圖象交于A,B兩點、,若A點坐

X

標(biāo)為（^3,—2^/3）,貝！J勺+右=.

【分析】將A點坐標(biāo)為（山,-2百）分別代入正比例函數(shù)y=與反比例函數(shù)y=8的解析式中即可求解.

X

【詳解】

,=人避和,=$過點4（6,_2百）

x

,-2月

kF"?

左2=6x(-2百)=-6

匕+左2=（—2）+（—6）=—8

故答案為-8.

k

4.（2022.貴州銅仁）如圖，點A、8在反比例函數(shù)y=—的圖象上，AC，y軸，垂足為。，BC1AC.若

x

4n1

四邊形AQBC間面積為6,—=則％的值為.

【答案】3

【分析】設(shè)點ja，勺，可得AD=a,0D=-,從而得到CD=3a,再由3CLAC.可得點43對4],從

<ciJa13iJ

2k

而得到5C二丁，然后根據(jù)S梯形OBCD=SAOD+S四邊形4OBC，即可求解.

3a

【詳解】解：設(shè)點A,,￡|,

5.（2022?貴州遵義）反比例函數(shù)丫=幺（心0）與一次函數(shù)y=x-l交于點A（3,〃），則上的值為.

X

【答案】6

【分析】將點4（3,〃），代入y=x-i,求得〃，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：將點4（3,〃），代入y=i,

即〃=3—1=2,

「.A（3,2）,

k=3x2=6,

故答案為：6.

“一1

6.（2022?湖北武漢）在反比例》=——的圖象的每一支上，y都隨工的增大而減小，且整式必—丘+4是一

個完全平方式，則該反比例函數(shù)的解析式為.

3

【答案】y=-

X

【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷可求出發(fā)的值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可確定人的值.

【詳解】解：???/-日+4是一個完全平方式，

?C±4,即仁±4,

k

??,在在反比例函數(shù)廣——的圖象的每一支上，y都隨x的增大而減小，

x

：.k＞l,

解得：:4,

???反比例函數(shù)解析式為y=±,

X

故答案為：y=—.

X

7.已知yi與x成反比例，/與1-2成正比例，并且當(dāng)x=3時，y=5；當(dāng)％=1時，y=-l.

(1)y與x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)x=-l時，求y的值.

【分析】(1)設(shè)出解析式，利用待定系數(shù)法求得比例系數(shù)即可求得其解析式；

(2)代入元的值即可求得函數(shù)值.

【答案】解：(1)設(shè)V=5y2=b(x-2),則尸(一。(%-2),

根據(jù)題意得發(fā)，解得忙〃

三一僅1-2)=-13=-4

所以y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=：+4(x-2)；

(2)把x=-1代入y=|+4(x-2)；

得y=-3+4x(-1-2)=-15.

【考點3】反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用

【例5】(2021?江蘇揚(yáng)州市)如圖，點尸是函數(shù)丁=2(左＞0,x＞0)的圖像上一點，過點尸分別作無軸和

y軸的垂線，垂足分別為點A、B,交函數(shù)y=&(自＞0，》＞0)的圖像于點C、D,連接OC、OD、CD、

；③，其中正確的是

AB,其中左1〉左2,下列結(jié)論：①CD//AB；②SDCpNi)

■DCP2kl

C.②③D.①

kPDPC

【分析】設(shè)P(m,,)，分別求出A,B,C,。的坐標(biāo)，得到PD,PC,PB,B4的長，判斷——和——

mPBPA

的關(guān)系，可判斷①；利用三角形面積公式計算，可得APDC的面積，可判斷③；再利用

$△08=—S2XOM—SAOCA—計算△OCZ)的面積，可判斷②.

【詳解】

kk

解：軸，力，x軸，點尸在丁=＞上，點C,。在y=二上，

XX

k

設(shè)尸Gn,」)，

m

kkkk

則C(m,—),A(m,0),B(0,—),令」二二,

mmmx

k^mLmk,

貝ijx=+，即o(十,」),

勺&m

.k、kIc-Lkmm(k,-k)

：.PC=—?-工,PD=m--2~2,

mmm

m(k1-k?)k[—網(wǎng)

PC「m"_k「hPD_PC

,:PD_k]勺一左2-7—9即一

PA卜kPBPA

PBmk[t

m

又/DPC=/BPA,

：.APDCsAPBA,

ZPDC=ZPBC9

:.CD//AB9故①正確;

△皿的面積f如尸cf—:q,故③正確;

S&OCD

_2占/-3（瓦-&）2

2kl2kl

_2k；-2%院--kJ

2k,

=%:左2,故②錯誤；

2kl

故選B.

【例6】（2022?山東濰坊）地球周圍的大氣層阻擋了紫外線和宇宙射線對地球生命的傷害，同時產(chǎn)生一定

的大氣壓，海拔不同，大氣壓不同，觀察圖中數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)，正確的是（）

A.海拔越高，大氣壓越大B.圖中曲線是反比例函數(shù)的圖象

C.海拔為4千米時，大氣壓約為70千帕D.圖中曲線表達(dá)了大氣壓和海拔兩個量之間的變化關(guān)系

【答案】D

【分析】根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)回答即可.

【詳解】解：A.海拔越高，大氣壓越小，該選項不符合題意；

B....圖象經(jīng)過點（2,80）,（4,60）,

.".2x80=160,4x60=240,而160^240,

二圖中曲線不是反比例函數(shù)的圖象，該選項不符合題意；

C.?..圖象經(jīng)過點（4,60）,

二海拔為4千米時，大氣壓約為60千帕，該選項不符合題意；

D.圖中曲線表達(dá)了大氣壓和海拔兩個量之間的變化關(guān)系，該選項符合題意；

故選：D.

利用反比例函數(shù)解決實際問題，要做到①能把實際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模

型；②注意在自變量和函數(shù)值的取值上的實際意義；③問題中出現(xiàn)的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成相等的關(guān)系來解，然

后在作答中說明.

【失分警示】

1.利用反比例函數(shù)的性質(zhì)時，誤認(rèn)為所給出的點在同一曲線上；

2.利用出數(shù)圖象解決實際問題時，容易忽視自變量在實際問題的意義。

2Q

1.（2022?湖南郴州）如圖,在函數(shù)y=—（尤>0）的圖像上任取一點A,過點A作y軸的垂線交函數(shù)y=——（x<0）

尤x

的圖像于點2,連接OB,則AO3的面積是（）

A.3B.5C.6D.10

【答案】B

【分析】作軸，BC_Lx軸，由SA.BE，0纏=gSaDOE即可求解;

【詳解】解：如圖，作尤軸，軸,

"*'S"BE=BC.BE=8,SADOE=AD-AE=2SOCBE+SADOE=10

,SAOBE=SMOE=?S/UOB=SAOBE+SAAOE=］（SocBE+SADOE）=5故選：B.

2.（2022.河南）呼氣式酒精測試儀中裝有酒精氣體傳感器，可用于檢測駕駛員是否酒后駕車.酒精氣體傳

感器是一種氣敏電阻（圖1中的玲），&的阻值隨呼氣酒精濃度K的變化而變化（如圖2）,血液酒精濃

度M與呼氣酒精濃度K的關(guān)系見圖3.下列說法不E項的是（）

信息窗

M=2200xKx10-3mg/100ml

(M為血液酒精濃度，K為呼氣酒精濃度)

輸酉駕(M<20mg/100ml)

酒駕(20mg/100ml,<80mg/100ml)

醉駕(A/>80mg/100ml)

圖3

A.呼氣酒精濃度K越大，"的阻值越小B.當(dāng)K=。時，用的阻值為ioo

C.當(dāng)K=10時，該駕駛員為非酒駕狀態(tài)D.當(dāng)a=20時，該駕駛員為醉駕狀態(tài)

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象分析即可判斷A,B,根據(jù)圖3公式計算即可判定C,D.

【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象可得，

A.R隨K的增大而減小，則呼氣酒精濃度K越大，凡的阻值越小，故正確，不符合題意;

B.當(dāng)K=0時，屬的阻值為100,故正確，不符合題意；

C.當(dāng)K=10時，貝=2200xKxl（y3=2200x10x10-=22mg/100ml,該駕駛員為酒駕狀態(tài)，故該選項不

正確，符合題意；

D.當(dāng)用=20時，K=40,貝!]M=2200xKxl0-3=2200x40x10-3=88mg/100ml,該駕駛員為醉駕狀態(tài)，故

該選項正確，不符合題意；

故選:C.

（I1、

3.（2021?浙江寧波市）在平面直角坐標(biāo)系中，對于不在坐標(biāo)軸上的任意一點A（%y）,我們把點B---

\xy）

2

稱為點A的“倒數(shù)點”.如圖，矩形OCDE的頂點C為（3,0）,頂點E在y軸上，函數(shù)y=—（x>0）的圖象

X

與DE交于點4.若點8是點A的“倒數(shù)點”，且點8在矩形OCDE的一邊上，則OBC的面積為.

【分析】根據(jù)題意，點B不可能在坐標(biāo)軸上，可對點B進(jìn)行討論分析：①當(dāng)點B在邊。E上時；②當(dāng)點8

在邊上時；分別求出點2的坐標(biāo)，然后求出OBC的面積即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意，

?.?點8稱為點A（x,y）的“倒數(shù)點”，

y）

J%w0,yw0,

點B不可能在坐標(biāo)軸上；

:點A在函數(shù)y=-（x>0）的圖像上，

X

21x

設(shè)點A為（％一）,則點3為（一,一），

xx2

???點C為（3,0）,

/.OC=3,

①當(dāng)點B在邊。E上時；

點A與點8都在邊。E上，

???點A與點B的縱坐標(biāo)相同,

2x

即一二一，解得：％=2,

x2

經(jīng)檢驗，兄=2是原分式方程的解；

*,?點、B為（―,1）,

13

**?.OBC的面積為：S=—x3xl=—；

22

②當(dāng)點3在邊CQ上時；

點B與點C的橫坐標(biāo)相同，

*,?—=3,解得：x=-9

x3

經(jīng)檢驗，x是原分式方程的解；

3

.,.點3為（3,—）,

6

,OBC的面積為：S=—x3x—=—；

264

1,3

故答案為：一或一.

42

4.（2022?山東臨沂）杠桿原理在生活中被廣泛應(yīng)用（杠桿原理：阻力x阻力臂=動力x動力臂），小明利用

這一原理制作了一個稱量物體質(zhì)量的簡易“秤”（如圖1）.制作方法如下：

第一步：在一根勻質(zhì)細(xì)木桿上標(biāo)上均勻的刻度（單位長度1cm）,確定支點。，并用細(xì)麻繩固定，在支點O

左側(cè)2cm的A處固定一個金屬吊鉤，作為秤鉤；

第二步：取一個質(zhì)量為0.5像的金屬物體作為秤坨.

（1）圖1中，把重物掛在秤鉤上，秤蛇掛在支點。右側(cè)的8處，秤桿平衡，就能稱得重物的質(zhì)量.當(dāng)重物

的質(zhì)量變化時，的長度隨之變化.設(shè)重物的質(zhì)量為xkg,的長為Rm.寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;

圖1圖2

（2）調(diào)換秤坨與重物的位置，把秤蛇掛在秤鉤上，重物掛在支點。右側(cè)的2處，使秤桿平衡，如圖2.設(shè)

重物的質(zhì)量為xkg,的長為Am,寫出y關(guān)于尤的函數(shù)解析式，完成下表，畫出該函數(shù)的圖象.

x/kg......0.250.5124......

y/cm............

(2)y=-,表、圖見解析

X

【分析】(1)根據(jù)阻力X阻力臂=動力X動力臂解答即可；

(2)根據(jù)阻力x阻力臂=動力x動力臂求出解析式，然后根據(jù)列表、描點、連線的步驟解答.

【解析】(1)解：???阻力x阻力臂=動力x動力臂，

重物、04=秤坨、0艮

'：0A=2cm,重物的質(zhì)量為xkg,的長為#m,秤坨為0.5依，

.'.2x=0.5y,

y=船；

V4>0,

隨x的增大而增大，

:當(dāng)y=0時,x=0；當(dāng)y=48時，x=12,

0<x<12.

(2)解：：阻力x阻力臂=動力x動力臂，

秤坨xOA=重物xOB.

-：OA=2cm,重物的質(zhì)量為xkg,的長為秤坨為0.5打,

2x0.5=孫，

.1

??y=X-:

當(dāng)x=0.25時，y=—^―=4；

0.25

當(dāng)x=0.5時，y=卷=2；

當(dāng)x=l時，y=|=1；

當(dāng)x=2時，y=g；

當(dāng)x=4時，y=7；

填表如下:

x/kg......0.250.5124......

j_￡

y/cm......421......

24

【考點4】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用

4

【例7】（2021.山東威海市）已知點A為直線y=—2x上一點，過點A作AB〃x軸，交雙曲線丁=—于點

x

B.若點A與點B關(guān)于y軸對稱，則點A的坐標(biāo)為.

4

【分析】設(shè)點A坐標(biāo)為（8―2%）,則點B的坐標(biāo)為（―右一2無），將點3坐標(biāo)代入丁=一，解出x的值即可

x

求得A點坐標(biāo).

【詳解】

解：：點4為直線y=-2x上一點,

二設(shè)點A坐標(biāo)為（無,一2九）,

則點B的坐標(biāo)為（-x,-2x）,

4

???點5在雙曲線丁二一上，

x

4

將（一%,-2%）代入y=一中得：

%

-2x=--,

X

解得：%=±^2'

當(dāng)犬=應(yīng)時，y=-2x=-272,

當(dāng)％=-&時，y=-2x=2^f2,

，點A的坐標(biāo)為（、回，—2^/2）或（一"2班）,

故答案為：（"-2后）或（-"2五）.

【例8】（2022?黑龍江大慶）已知反比例函數(shù)丫='和一次函數(shù)y=x-l,其中一次函數(shù)圖象過（3a,6）,

X

,a+l,b+￡|兩點.

（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；

1t

（2）如圖，函數(shù)>=、x,y=3無的圖象分別與函數(shù)y=-（x>0）圖象交于A,8兩點，在y軸上是否存在點尸,

使得“成周長最小？若存在，求出周長的最小值；若不存在，請說明理由.

【答案】（l）y=3

X

⑵26+2立

【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；

（2）作點8關(guān)于y軸的對稱點8,，連接A2',交y軸于點尸，進(jìn)行計算即可；

【解析】（1）解：把（3々,6）,（30+1,6+'1）代入，=8-1,得

b=3a-l

b+—=3a+l—l，

I3

解得，k=3,

所以反比例函數(shù)解析式是y=3；

X

（2）存在點P使△A3尸周長最小，理由:

丁二；%卜=3%

解:和|3得，

3，=一

y――Ix

IX

f%=±3f%=±l

]=±1和匕=±3，

x>0,

fx=3tx=l

,t][和！&,

U=iu=3

.?A（3,1）,B（1,3）,

作點8關(guān)于＞軸的對稱點連接AB'，交，軸于點尸，當(dāng)點A、尸、B'在一條直線上時，線段的長度

最短，所以存在點尸使AABP周長最小,

△ABP的周長nAB+BP+APuAP+AB+B'AnAB+B'A

=7（3+1）2+（3-1）2+7（3-1）2+（3-1）2,

=420+,\/8，

=2石+2&.

1.解答本考點的有關(guān)題目需要注意以下要點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，可以利用待定系數(shù)法.

2.反比函數(shù)圖像常見的輔助線作法：過反比例函數(shù)圖象上任意一點作x軸、y軸的垂線段構(gòu)成三角形或四

邊形，求面積。

1.(2021.貴州安順市)已知反比例函數(shù)丁=，左H0)的圖象與正比例函數(shù)丁=3;(。，0)的圖象相交于A3

兩點，若點A的坐標(biāo)是(1,2),則點5的坐標(biāo)是()

A.(-1,2)B.(1,-2)C.(-1,-2)D.(2,1)

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖像的中心對稱性，可得A3關(guān)于原點中心對稱，進(jìn)而即可求解.

【詳解】

解：：反比例函數(shù)y=&(%w0)的圖象與正比例函數(shù)y=ax(aw0)的圖象相交于A8兩點，

/.A3關(guān)于原點中心對稱，

???點A的坐標(biāo)是(1,2),

...點3的坐標(biāo)是(—1,—2).

故選C.

2.(2021?山東荷澤市)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形。43。的兩邊OC、OA分別在坐標(biāo)軸上，且

OA=2,OC=4,連接03.反比例函數(shù)y=勺(%>0)的圖象經(jīng)過線段03的中點。，并與A3、BC

x

分別交于點E、F.一次函數(shù)丁=占尤+人的圖象經(jīng)過￡、E兩點.

(1)分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點尸是x軸上一動點，當(dāng)FE+F下的值最小時，點尸的坐標(biāo)為.

【分析】

(1)先求出2點的坐標(biāo)，再由反比例函數(shù)過點。，求出點。的坐標(biāo)，代入丁=勺即可,

由矩形的性質(zhì)可得E、E坐標(biāo)，代入了=心工+人即可求出解析式;

(2)“將軍飲馬問題”，作E關(guān)于％軸的對稱點尸，，連接跖直線所'與工軸交點即為所求.

【詳解】

(1)四邊形。鉆。是矩形，04=2,0c=4

.-,3(4,2)

。為線段03的中點

k

將。(2,1)代入y=,，得吊=2

x

2

x

AB//OC,AO//BC

%=2,Xp—4

E(1,2),F(4,1)

將石(1,2)，尸(4,；),代入y=&x+"得:

2=k+bk?=—

2解得《2

1,，，

—=4k2+b

b=-

[2

15

y=——x+—

.22

(2)如圖：作尸關(guān)于工軸的對稱點尸，，連接EF'交》軸于點P

PE+PF=PE+PF'>EF'

.?.當(dāng)E,尸，尸三點共線時，？E+P/有最小值跖'

F(4,1)

『4,—g),

設(shè)直線EF'的解析式為y=mx+n

三三

將石(1,2),歹'(4,—g),代入y=m+〃，得

G[5

2=m+nm=——

<1,,解得/

----=4機(jī)+〃1/

7n=——

116

517

y=——x-\----

66

17

令y=。，Wx=-

17

???P(y,O)

3.(2021?山東東營市)如圖所示，直線y=左逮+6與雙曲線y=?

2交于A、B兩點，已知點5的縱坐標(biāo)

C

為一3,直線A5與X軸交于點C,與y軸交于點。(0,-2),OA=d5,tanZAOC=g.

nr

(1)求直線A8的解析式；

(2)若點尸是第二象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的一點,△OCP的面積是AODB的面積的2倍，求點尸的

坐標(biāo)；

k

(3)直接寫出不等式勺%+6K二的解集.

X

【分析】

（1）過點A作軸于點E,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，得點A（—2,1）,將點A（—2,1）代入y=&,得

y=---,通過列二元一次方程組并求解，即可得到答案；

X

⑵連接08、尸C、P0,結(jié)合（1）的結(jié)論，得點—3）結(jié)合題意得S'OCP;把'=0代入y=——2,

得點c[—設(shè)點P的坐標(biāo)為（乂，），通過計算即可得到答案；

（3）根據(jù)（1）和（2）的結(jié)論，結(jié)合反比例和一次函數(shù)的圖像，即可得到答案.

【詳解】

（1）如圖，過點A作AE1，％軸于點E,

VtanZA0C=^,=5

AAE=1.OE=2,

.?.點A(-2,1),

雙曲線的解析式為y=—2,

X

把A(—2,1),0(0,—2)分別代入/=幻+6,

得：'\-2k,;+b=\，

b=-2

\=_3

解得：一一5，

b=-2

3

，直線AB的解析式為y=--x-2；

（2）如圖，連接03、PC、PO

***點3），

122

***S=—x2x—二—，

ODBR233

,,SOCP=2S005="

34

把y=o代入y=——x-2,得％=——，

23

???點C.*o]

設(shè)點P的坐標(biāo)為（無,y），

.c144

?3ocp=一x—xy=一

OCP233

y=2,

2

.y=—，

X

，點P的坐標(biāo)為（-1,2）；

（3）根據(jù)⑴和⑵的結(jié)論，結(jié)合點A（—2,l）、點81|,—