高考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練：立體幾何與空間向量（選填壓軸題）含答案及解析

專(zhuān)題19立體幾何與空間向量（選填壓軸題）

目錄

①空間幾何體表面積和體積............................................1

②外接球問(wèn)題........................................................3

③內(nèi)切球問(wèn)題........................................................5

④動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題..........................................................6

①空間幾何體表面積和體積

1.（2023?山西運(yùn)城?山西省運(yùn)城中學(xué)校?？级＃╋L(fēng)箏又稱(chēng)為"紙鶯"，由中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明于距今2000

多年的東周春秋時(shí)期，相傳墨翟以木頭制成木鳥(niǎo)，研制三年而成，是人類(lèi)最早的風(fēng)箏起源.如圖，是某高一

年上級(jí)學(xué)生制作的一個(gè)風(fēng)箏模型的多面體ABCER。為AS的中點(diǎn)，四邊形跳DC為矩形，且

DF1AB,AC=BC=2,ZACB=120,當(dāng)時(shí)，多面體ABCEF的體積為（）

兒當(dāng)B.坐C.f"

2.（2023?福建寧德??？寄M預(yù)測(cè)）"辛普森（Simpson）公式”給出了求幾何體體積的一種估算方法：幾何

體的體積V等于其上底面的面積S、中截面（過(guò)高的中點(diǎn)且平行于底面的截面）的面積S。的4倍、下底面

的面積S'之和乘以高的六分之一,即V=+4S。+S'）.我們把所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體

稱(chēng)為擬柱體.在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的面叫作擬柱體的底面，其余各面叫作擬柱體的側(cè)面.中國(guó)古代名詞“芻童"

（原來(lái)是草堆的意思）就是指上下底面皆為矩形的擬柱體.已知某“芻童"尺寸如圖所示，且體積為卑，則

它的高為（）

53

C9+30D.4

3.（2023?黑龍江齊齊哈爾?齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┛萍际且粋€(gè)國(guó)家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)

步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國(guó)之重器，極目一號(hào)（如圖1）是中國(guó)科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空

器.2022年5月，"極目一號(hào)"ID型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測(cè)，最高升空至9050米，超過(guò)珠

穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國(guó)的實(shí)力."極目一號(hào)型浮空艇長(zhǎng)

55米，高19米，若將它近似看作一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，正視圖如圖2所示，貝廣極目

一號(hào)型浮空艇的表面積約為（）

（參考數(shù)據(jù)：送亡32.6,兀*3.14）

D.2508m2

4.（2023?甘肅張掖?高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）仿鈞玫瑰紫釉盤(pán)是收藏于北京故宮博物院的一件明代

宣德年間產(chǎn)的瓷器.該盤(pán)盤(pán)口微撇，弧腹，圈足.足底切削整齊.通體施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不

勝收.仿鈞玫瑰紫釉盤(pán)的形狀可近似看成是圓臺(tái)和圓柱的組合體，其口徑為15.5cm,足徑為9.2cm,頂部

到底部的高為4.1cm,底部圓柱高為0.7cm,則該仿鈞玫瑰紫釉盤(pán)圓臺(tái)部分的側(cè)面積約為（）（參考數(shù)據(jù)：

兀的值取3,V21.4825?4.6）

A.143.1cm2B.151.53cm2C.155.42cm2D.170.43cm2

5.（2023?河北?校聯(lián)考三模）已知四面體ABCD中，AB=AC=BD=CD=2,BC=2A/3,則該四面體體積

的最大值為

6.（2023?四川遂寧?射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正三棱柱ABC-A4G所有頂點(diǎn)都在球。上，若球。的

體積為飛-，則該正二棱柱體積的最大值為.

7.（2023?海南?海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）三棱錐A-BCD中，AC，平面BCD,BD±CD,若AB=3,

BD=1,則該三棱錐體積的最大值為；

8.（2023?陜西咸陽(yáng),武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓柱外接球的表面積為16兀，則該圓柱表面積

的最大值為.

②外接球問(wèn)題

1.（2023?江西南昌?南昌市八一中學(xué)?？既＃┮阎睦忮FP-ABCD的底面A3CD是矩形，高為虛,

AD=2瓜,AB=2,ABLPD,PA=PD,則四棱錐尸-ABCD的外接球的表面積為（）

A.125/671B.48^6?1C.36兀D.—^―n

2.（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考二模）如圖，邊長(zhǎng)為由的正方形A3。所在平面與矩形A2M所在的平面垂直,

2

BE=2,N為Ab的中點(diǎn)，EM=-EF,則三棱錐HNC外接球的表面積為（）

25兀107371

~123

3.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)P是圓柱上底面圓周上一動(dòng)點(diǎn)，,ABC是圓柱下底面圓的內(nèi)接三角形,

已知在.ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,若c=2,C=60,三棱錐P-ABC的體積最大

值為|6，則該三棱錐外接球的表面積為（）

19285343

A.一71B.——71C.—兀D.——71

3393

4.（2023?海南?海南中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，三棱錐P-ABD中，A3,ABO的面積為8,

則三棱錐尸-ABD外接球的表面積的最小值為（）

5.（2023?江西贛州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三角形ABC中，D、E■分別為邊A3、AC的中點(diǎn)，其中AB=4,

把VADE沿著DE翻折至A'DE的位置，則當(dāng)四棱錐A-3CED的體積最大時(shí)，四棱錐A'-3C即外接球的

表面積為-

6.（2023?江西贛州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三角形ABC中，。，E分別為邊AB,AC的中點(diǎn)，其中AB=4,

把VADE沿著。E翻折至A'DE的位置，得到四棱錐A-8CED,則當(dāng)四棱錐A-3CED的體積最大時(shí)，四

棱錐A'-BCED外接球的球心到平面A'BC的距離為.

7.（2023?陜西商洛?鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱錐ABC中，ABC為等邊三角形，OCJ_平面ABC,

若AC+CD=6,則三棱錐ABC外接球的表面積的最小值為

8.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐P-AFC中，。為BC中點(diǎn)，P3=PC=AB=3C=AC=4,側(cè)

面底面ABC,則過(guò)點(diǎn)Q的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為.

9.（2023?河南關(guān)洲?模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體中ABC。-4月￡"中，AB=AA,=1,AD=2,M是棱與G的中點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)2,M,2的平面。交棱AD于點(diǎn)N,點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐尸-8月M外接球表面積的

最小值為.

③內(nèi)切球問(wèn)題

1.（2023春?江蘇淮安?高二校考階段練習(xí)）已知三棱柱ABC-EFG中，GC1AC,平面EBC垂

4

直平面AEB,AC=5,若該三棱柱存在體積為§兀的內(nèi)切球，則三棱錐A-￡BC體積為（）

2,4

A.-B.4C.2D.4-

33

2.（2023,福建寧德?校考模擬預(yù)測(cè)）將一個(gè)半徑為2的球削成一個(gè)體積最大的圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的

半徑為（）

A,'B.2GM

33

C.2（6-1）D,4（6-1）

33

3.（2023春?江西贛州?高一江西省龍南中學(xué)?？计谀┮阎拿骟w的棱長(zhǎng)為12,先在正四面體內(nèi)放入一

個(gè)內(nèi)切球a,然后再放入一個(gè)球儀，使得球。2與球a及正四面體的三個(gè)側(cè)面都相切,則球。②的體積為（）

A.n兀B.2^371C.2亞nD.也兀

4.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）定義：與圓錐的底面和各母線均相切的球，稱(chēng)為圓錐的內(nèi)切球，此圓錐

稱(chēng)為球的外切圓錐.已知某圓錐的內(nèi)切球半徑等于L則該圓錐體積的最小值為（）

5乃_8/5萬(wàn)

A.—B.37rC.—D.—

932

5.（多選）（2023春?浙江?高二校聯(lián)考期末）己知半徑為1的球內(nèi)切于半徑為,，高為〃的一個(gè)圓錐（球與

圓錐的側(cè)面、底面都相切），則下列說(shuō)法正確的是（）

91

A.[+3=2B.圓錐的體積與表面積之比為定值

h廠

C.圓錐表面積的最小值是8兀D.當(dāng)圓錐的表面積最小時(shí)，圓錐的頂角為60°

6.（2023春?貴州黔西?高二?？茧A段練習(xí)）正三棱錐尸-ABC的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)

切球與外接球的半徑之比為.

7.（2023春?四川成都?高一四川省成都列五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為2,高為4萬(wàn)，則

該圓錐的內(nèi)切球表面積為.

8.（2023?廣西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，有一半徑為單位長(zhǎng)度的球內(nèi)切于圓錐，則當(dāng)圓錐的側(cè)面積取到最

小值時(shí)，它的高為.

9.（2023春?遼寧大連?高一統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，ACIBC,AC=2A\,該三

4冗

棱柱存在體積為彳的內(nèi)切球，E為CG的中點(diǎn)，P為棱3c上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線所、片尸與平面A3C成角相

等時(shí)，CF=,此時(shí)四面體4司匹的外接球表面積為.

④動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1.（2023?寧夏石嘴山?統(tǒng)考一模）圓錐。Q的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為2,Q4B是圓錐。。?的軸截面，尸是

Q4的中點(diǎn)，E為底面圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于A、B兩點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（）

A.存在點(diǎn)E,使得EF_LEBB.存在點(diǎn)E,使得所〃05

C.三棱錐尸-ABE體積最大值為魚(yú)D.三棱錐F-A?E體積最大值為正

66

2.（2023?四川成都?石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E,尸分別為

棱4R,/里的中點(diǎn)，G為線段2（上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法不正確的是（）

B.存在點(diǎn)G,使平面跖G〃平面BOQ

C.三棱錐A-EFG的體積為定值

D.平面跖G截正方體所得截面的最大面積為眄

4

3.（2023?四川?成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？既＃┤鐖D，已知正方體A8CD-A4G2的棱長(zhǎng)為

1,E尸分別是棱AD,4G的中點(diǎn).若點(diǎn)P為側(cè)面正方形A。。A內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且與尸〃平面班戶，

則與尸與側(cè)面ADR4所成角的正切值最大為（）

A.2B.1C.此D.J5

2

4.（多選）（2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？级＃┤鐖D，在三棱柱ABC-4旦。中，M，平面

ABC,AAl=AB=2,BC=l,/ABC=90,E是棱84上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.直線AC與直線GE是異面直線

B.△AGE周長(zhǎng)的最小值為3+20

C.存在點(diǎn)E使得平面AGE，平面441cle

D.點(diǎn)C到平面AGE的最大距離為撞

3

5.（多選）（2023?福建漳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-A耳6"中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),

點(diǎn)尸，。分別為線段B2，上的動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.AC±DPB.平面DEP可能經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)G

C.PQ的最小值為變D./APC的最大值為:

23

6.（多選）（2023,福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？既＃┤鐖D，在直三棱柱ABC-中，=2A4,=2,

A.AC〃平面AB。B.SC與AP不垂直

C.存在點(diǎn)P、Q,使得尸D.PA+PC的最小值是近

7.（2023?四川瀘州?四川省瀘縣第一中學(xué)校考三模）如圖，在四棱柱A2CD-A4CQ中，9，平面ABCD,

AB//CD,ZDCB^9Q°,AB=AD==2DC,。為棱CQ上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)直線AQ的平面分別與棱2片,

。。交于點(diǎn)P,R,則下列結(jié)論正確的是.

①對(duì)于任意的點(diǎn)。，都有AP〃。尺

②對(duì)于任意的點(diǎn)。，四邊APQR不可能為平行四邊形

③當(dāng)=時(shí)，存在點(diǎn)Q,使得49為等腰直角三角形

④存在點(diǎn)Q,使得直線BC〃平面APQR

8.(2023?北京大興??？既?如圖，在正方體ABC。-A及GA，中，M,N分別為線段AR,BQ上的

動(dòng)點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論:

①存在點(diǎn)M,存在點(diǎn)N,滿足，平面；

②任意點(diǎn)M,存在點(diǎn)N,滿足MN,平面AB814；

③任意點(diǎn)M,存在點(diǎn)N,滿足MNL8G；

④任意點(diǎn)N,存在點(diǎn)滿足MNL2G.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

9.(2023?北京海淀?一模)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-4BCQ中，E為對(duì)角線片。上一點(diǎn)，M,N

為對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段MN的長(zhǎng)度為1.(1)當(dāng)N為對(duì)角線AC的中點(diǎn)且。E=0時(shí)，則三棱錐

E-DMN的體積是；(2)當(dāng)三棱錐的體積為g時(shí)，則DE=

專(zhuān)題19立體幾何與空間向量（選填壓軸題）

目錄

①空間幾何體表面積和體積............................................1

②外接球問(wèn)題........................................................3

③內(nèi)切球問(wèn)題........................................................5

④動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題..........................................................6

①空間幾何體表面積和體積

1.（2023?山西運(yùn)城?山西省運(yùn)城中學(xué)校?？级＃╋L(fēng)箏又稱(chēng)為"紙鶯"，由中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明于距今2000

多年的東周春秋時(shí)期，相傳墨翟以木頭制成木鳥(niǎo)，研制三年而成，是人類(lèi)最早的風(fēng)箏起源.如圖，是某高一

年上級(jí)學(xué)生制作的一個(gè)風(fēng)箏模型的多面體ABCER。為"的中點(diǎn)，四邊形EEDC為矩形，且

DF1AB,AC=BC=2,ZACB=120,當(dāng)時(shí)，多面體ABCEF的體積為()

C

A?當(dāng)'f"

【答案】B

【詳解】在，ABC中，因?yàn)锳C=3C且。為AB的中點(diǎn)，所以CDLAB,

又因?yàn)?。尸，AB,且OPICD=。，。尸,C￡>u平面SEE,所以AB/平面CDEE,

在.ABC中，因?yàn)锳C=3C=2且NACB=120,

=AC2+BC2-2AC-BCcosZACB=4+4-2x2x2x(--)=12,

所以AB=2/,且CD=1,

因?yàn)樗倪呅蜟DEE為矩形，可得CD,

又因?yàn)镈F_LAB,AB8=￡＞且A3,CDu平面ABC,所以DPI平面ABC,

因?yàn)镃EHDF,所以CE，平面ABC,

又因?yàn)锳C,BCu平面ABC,所以CE_LAC,CEJ_BC,

設(shè)CE=m,在直角“慮中，^AE2=AC2+m2=4+m2,

在直角一3CE中，可得BE?=如2+療=4+療，

因?yàn)樗訟B?,即"=4+加:+=4+加，解得加=點(diǎn)，

所以多面體ABCEF的體積為：

V=^A-CDFE+XB-CDFE=A-CDFE=X^CDFE'=2X]X]X1Xy/2Xyfi=?

故選：B.

2.（2023?福建寧德,?？寄M預(yù)測(cè)）"辛普森（Simpson）公式"給出了求幾何體體積的一種估算方法：幾何

體的體積丫等于其上底面的面積5、中截面（過(guò)高的中點(diǎn)且平行于底面的截面）的面積S。的4倍、下底面

的面積S'之和乘以高h(yuǎn)的六分之一，即V=+4so+S'）.我們把所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體

稱(chēng)為擬柱體.在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的面叫作擬柱體的底面，其余各面叫作擬柱體的側(cè)面.中國(guó)古代名詞"芻童"

（原來(lái)是草堆的意思）就是指上下底面皆為矩形的擬柱體.已知某"芻童"尺寸如圖所示，且體積為華，則

它的高為（）

【答案】D

【詳解】上底面S=3x2=6,下底面S'=3x4=12,

所以中截面是過(guò)高的中點(diǎn)，且平行于底面的截面，其中ABC。分別是對(duì)應(yīng)棱上的中點(diǎn)，如圖所示,

1715

根據(jù)中位線定理得。。=巳4=5、(3+4)=5，BC=AD=-x(3+2)=-,

,-75_35

所Gr以r風(fēng)=5"萬(wàn)=彳

6+12+4x孚x，/7="，解得/z=4,

4Jo3

故選：D.

3.（2023?黑龍江齊齊哈爾?齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┛萍际且粋€(gè)國(guó)家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)

步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國(guó)之重器，極目一號(hào)（如圖1）是中國(guó)科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空

器.2022年5月，"極目一號(hào)"III型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測(cè)，最高升空至9050米，超過(guò)珠

穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國(guó)的實(shí)力."極目一號(hào)"III型浮空艇長(zhǎng)

55米，高19米，若將它近似看作一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目

一號(hào)型浮空艇的表面積約為（）

(參考數(shù)據(jù)：'4258x32.6,"3.14)

2

D.2508m2

【答案】A

【詳解】由圖2得半球、圓柱底面和圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為R=[=9.5（m）,

而圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為r=Km）,圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為/=+3=普9x32.6

則

5半球=—x4x71x9.52=180.5兀(n?),S圓柱=2TIX9.5x14=266TI(m2),

S圓臺(tái)=兀1H----x32.6B342.3兀(n?),S底=7r(m2),

所以S表=180.5兀+266兀+342.3K+兀=789.8兀比789.8x3.1422480m2.

故選：A.

4.（2023?甘肅張掖?高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）仿鈞玫瑰紫釉盤(pán)是收藏于北京故宮博物院的一件明代

宣德年間產(chǎn)的瓷器.該盤(pán)盤(pán)口微撇，弧腹，圈足.足底切削整齊.通體施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不

勝收.仿鈞玫瑰紫釉盤(pán)的形狀可近似看成是圓臺(tái)和圓柱的組合體，其口徑為15.5cm,足徑為9.2cm,頂部

到底部的高為4.1cm,底部圓柱高為0.7cm,則該仿鈞玫瑰紫釉盤(pán)圓臺(tái)部分的側(cè)面積約為（）（參考數(shù)據(jù)：

兀的值取3,V21.4825?4.6）

A.143.1cm2B.151.53cm2C.155.42cm2D.170.43cm2

【答案】D

【詳解】方法L設(shè)該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為/,高為九兩底面圓的半徑分別為七r（其中R>r）,

則2R=15.5cm,2r=9.2cm,"=4.1-0.7=3.4（cm）,

2

所以/==^342+3.15=V21.4825~4.6（cm）,故圓臺(tái)部分的側(cè)面積為

2

S1=7t（7?+r）/?3x（7.75+4.6）x4.6=170.43（cm）.

方法2（估算法）：若按底面直徑為15.5cm,高為3.4cm的圓柱估算圓臺(tái)部分的側(cè)面積得

S^3xl5.5x3.4=158.1（cm2）,易知圓臺(tái)的側(cè)面積應(yīng)大于所估算的圓柱的側(cè)面積，故此仿鈞玫瑰紫釉盤(pán)圓臺(tái)

部分的側(cè)面積大于158.1cm2,對(duì)照各選項(xiàng)可知只有D符合.

故選：D

5.（2023?河北?校聯(lián)考三模）已知四面體ABCD中，AB=AC=BD=CD=2,BC=26,則該四面體體積

的最大值為.

【答案】

33

【詳解】取的中點(diǎn)。，連接0A

因?yàn)锳B=AC==CO=2,3C=2g,

所以_L3C,OA_LBC,OD=1,OA=1,

SABC=；X\X26=6,

當(dāng)O￡）_L平面ABC時(shí)，該四面體體積取得最大值,

最大值為IsABC。。=3一

33

故答案為：息.

3

6.（2023,四川遂寧?射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正三棱柱ABC-A瓦G所有頂點(diǎn)都在球。上，若球。的

體積為3。言兀，則該正三棱柱體積的最大值為.

【答案】8

【詳解】設(shè)正三棱柱ABC-A4c的上，下底面的中心分別為a。。，連接。02，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得，線段。02的中點(diǎn)0即為正三棱柱ABC-ABiG的外接球的球心，

線段。4為該外接球的半徑，設(shè)。4=R,

4H

由己知三忌、節(jié)，所以R=2,即。4=2,

設(shè)正三棱柱ABC-A與G的底面邊長(zhǎng)為x,設(shè)線段BC的中點(diǎn)為。,

rn.l.A/322-J3x瓜

貝1JADn=——x，AO,=—AD=—x-----=------,

213323

在RtAAO|。中，OO]NACP-AO；=/卜,

所以。1。2=2小4-卜2,o〈x<26,

又，ABC的面積S=LBC-A￡)=LXXX?=YI￡,

2224

所以正三棱柱ABC-的體積V=^x2.l4--x2=/

4\32

設(shè)'=小-卜，則r=12-3?,0<t<2,

￥(12一3°,

所以丫=0</<2,

所以八*

令S=o,可得f=2叵或f=_亞，舍去,

33

所以當(dāng)0<r<2叵時(shí)，V'>0,函數(shù)y=

上單調(diào)遞增,

3

當(dāng)冬時(shí)，函數(shù)告（產(chǎn),在(2^31

8<f<2V'<0,V=12-3\2上單調(diào)遞減,

3

所以當(dāng)/=竿時(shí)，丫=#(12-3〃,取最大值，最大值為8,

所以當(dāng)x=2立時(shí)，三棱柱ABC-A耳G的體積最大，最大體積為8.

故答案為：8.

7.(2023?海南?海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))三棱錐A-BCD中，AC,平面BCD,BDYCD,若AB=3,

BD=\,則該三棱錐體積的最大值為；

【答案】|

【詳解】如圖所示，因?yàn)锳C,平面BCD,即AC為三棱錐A-8CD的高，設(shè)為x,

又因?yàn)锽Cu平面BC。，所以AC13C,

在直角qABC中，由AB=3,AC=x,可得3C=的量,

因?yàn)锽DLCD,且即=1,可得CD=dBC2-BD2=a-X。，

所以三棱錐A-BCD的體積為：

-AC=—x—A/8-X2xlxx=—./（8-x2）-%2<—x--'+'2

3Dv^L）

326^v7623

7

當(dāng)且僅當(dāng)8-f=%2時(shí)，即.2時(shí)，三棱錐A-BCD的體積取得最大值，最大值為？

故答案為：

BC

D

8.（2023?陜西咸陽(yáng)?武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）己知圓柱外接球的表面積為16兀，則該圓柱表面積

的最大值為.

【答案】4（1+6）兀

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為八高為2〃，球的半徑為R,

由題知，4位2=16兀，解得R=2,由圓柱的軸截面知，r2+h2=R2=4,如圖

所以該圓柱的表面積為5=2兀/+2"><（2/2）=2兀（，+2川）,

廠=2cos6(兀\

設(shè)0<6><-

?=2sin6(2)

所以S=2TI(4COS2^+8sin^cos0)

=2兀[2(1+cos2。)+4sin2e]=4兀(1+2sin2。+cos26)

=4?！?+68皿（2夕+夕）］,其中tan°=；,

所以當(dāng)sin（26+e）=l即tan29=2時(shí)，Smax=4（1+盯）兀.

故答案為：4（1+A/5）71

②外接球問(wèn)題

1.（2023?江西南昌?南昌市八一中學(xué)?？既＃┮阎睦忮F尸-ABCD的底面A3C。是矩形，高為正，

AD=2a,AB=2,ABLPD,PA=PD,則四棱錐P-ABCZ）的外接球的表面積為（）

A.12遙B.48\/^兀C.367rD.、兀

【答案】C

【詳解】如圖，在矩形ABCD中，連接對(duì)角線ACM,記ACcB￡>=尸，則點(diǎn)P為矩形ABCD的外接圓圓

心，

取AD的中點(diǎn)E,連接PE,EP,記，R4D的外接圓圓心為G,易知所/%民所==且P,E,G

共線.

因?yàn)?15_LP￡>,AB_LA￡）,A￡）cP￡）=￡）,AO,PDu平面PAD,所以AB2平面尸AD,

所以EF1平面PAD,PEu平面上4D,EF_LPE,EFAD=E,所,ADu平面ABC。，

所以尸E_L平面ABCD,所以尸E=應(yīng)，所以PA=PD=不+（Q）2=2e,易得NAP￡>=12。，

所以由正弦定理得4PAD的外接圓半徑為c.=2&，即GP=20.

2sm/APD

過(guò)G作GO,平面PAD,且GO=￡F=1,連接尸。，由GO,平面PAD,

可知GO〃砂，則四邊形ER9G為矩形，所以/O〃PG,則平面ABCD

根據(jù)球的性質(zhì)，可得點(diǎn)0為四棱錐尸-ABCD的外接球的球心，

因?yàn)槭琽=JPG'+OG?=J8+1=3,所以四棱錐尸-ABCD的外接球的表面積為471x3?=36兀.

故選：C

2.（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考二模）如圖，邊長(zhǎng)為由的正方形A3CD所在平面與矩形ABE尸所在的平面垂直,

2

BE=2,N為A尸的中點(diǎn)，EM=-EF,則三棱錐M—8NC外接球的表面積為（）

E

257t10國(guó)

123

【答案】A

【詳解】由尸可知，F(xiàn)M=B,FN=NA=1,可求MN=N3,NB=2,MB;型,

3333

因?yàn)槠矫鍭BCD1平面ABE尸，平面ABCDc平面=

又3C_LAB,BCu平面A3CD,

所以BC1平面ABERBMu平面ABER所以3c

由MB=拽，BC=6,得MC二巫,

33

又NB=2,同理可得得NC=A/7,又MN=點(diǎn)~,

3

2。V

23

所以MN'NC?=+(77)*=y=MC,所以WNC.

所以MC為外接球直徑,

在RtAMBC中MC=述，即氏=之叵

故外接球表面積為S=4成2=寧

故選：A.

3.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)尸是圓柱上底面圓周上一動(dòng)點(diǎn)，ASC是圓柱下底面圓的內(nèi)接三角形,

己知在aABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,若c=2,C=60,三棱錐尸-ABC的體積最大

值為g石，則該三棱錐外接球的表面積為（）

?19285343

A.—7iB.—兀C.—兀D.—71

3393

【答案】B

【詳解】在ABC中，由余弦定理可得4=/=〃+/一2abcosC=[2+〃一QZ?N2〃/?—打?=，

即QZ?<4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，等號(hào)成立，

所以，SAARr=—absinC=-^-ab<—^-x4=y/3,

△ABC244

設(shè)圓柱的高為〃，貝爪匕,ABCMLSAMC/W/A，

r—nD\--3△ADC3

P

C

因?yàn)槿忮F的尸-ABC體積的最大值為氈，則@/?=2叵，所以，h=2,

333

222r

圓柱底面圓半徑r.式八=不=彳6

2sin60，33

設(shè)三棱錐P-MC的外接球的半徑為R,則該三棱錐的外接球和圓柱的外接球?yàn)橥粋€(gè)球，

則R2=，J+/=］+［孚］=Z,因此，三棱錐外接球的表面積為4兀代=事鼠

故選：B.

4.（2023?海南?海南中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，三棱錐尸-ABD中，ABJLAO,PB_LBD,的面積為8,

則三棱錐P-ABD外接球的表面積的最小值為（）

【答案】A

【詳解】取8。中點(diǎn)0,連接尸0,49,設(shè)AB=x,A￡>=y,

依題意，由于OA是RtZXAflD斜邊8。的中線，

故08=00=04,同理OB=OD=OP,^OB=OD=OA=OP,

于是。為三棱錐P-ABD外接球的球心，設(shè)該外接球半徑為R,即瓦>=2R,

由勾股定理，x2+y2=47?2,由53。=8=3沖。肛=16,

由基本不等式，x2+y2=4R2>2xy=32,即用濾，當(dāng)x=y=4時(shí)，R?取得最小值8,

于是外接球的表面積的最小值為4冗我2=32兀.

故選：A

5.（2023?江西贛州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三角形ABC中，D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，其中AB=4,

把VADE沿著。E翻折至AOE的位置，則當(dāng)四棱錐A-8CED的體積最大時(shí)，四棱錐A'-BCED外接球的

表面積為.

【詳解】設(shè)EG分別是的中點(diǎn)，則A,凡G三點(diǎn)共線，且A尸，DE,AGJLBC,

設(shè)等邊三角形ADE的外接圓圓心為Q,半徑為小

2—4221

由正弦定理得1sin71方'6，°\F=AF一『也-忑=百，

設(shè)等腰梯形3c即的外接圓圓心為。2,半徑為。

AF=FG=；AG=K,所以舊二1+招手=6,解得4=2,

故。2與G重合，。2尸=石，

依題意可知，當(dāng)四棱錐A-3CED的體積最大時(shí)，平面4DE，平面BCED.

0113

設(shè)得四棱錐4—8C即外接球的半徑為R,則代=（0尸）+^=§+4=可，

所以外接球的半徑為4兀汽2=4"9=學(xué).

故答案為：—^―

c

可。

7B

6.（2023?江西贛州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三角形ABC中，D,E分別為邊AB,AC的中點(diǎn)，其中至=4,

把VADE沿著翻折至ADE的位置，得到四棱錐A-BCED,則當(dāng)四棱錐A-3CED的體積最大時(shí)，四

棱錐A'-3CED外接球的球心到平面A'BC的距離為_(kāi)_______.

c

二

BB

【答案】小

A'

［詳解］/3/私二二羹二二金>>C

尸

B

由題意可知，當(dāng)平面ADEJ_平面3C￡D時(shí)，四棱錐A'-BCED的體積最大，如圖所示,

取DE的中點(diǎn)G,連接4G,則A'GLDE,

又平面ADEI平面3CED=￡）E,AGu平面加/組，所以AG,平面BCED

則.A'DE的外接圓的圓心。1位于A'G且靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)處，

設(shè)2C的中點(diǎn)為6,連接。區(qū)。?。，則O2B=0C=aO=O2E=2,

所以。2為四邊形BCED的外接圓的圓心，

過(guò)。1作平面WDE的垂線，過(guò)。2作平面8CE。的垂線，

則兩垂線的交點(diǎn)即為四棱錐A-BCED的外接球的球心0,

連接。?G,則四邊形。。夕?。?為矩形，

所以O(shè)f??=OQ=gAG=q,

2

連接0D,在Rt。。2。中，OD-=OOl+O2D=

設(shè)四棱錐A-BCED的外接球的半徑為R,則店=寸.

連接BG,CG,RtBO.G^RtCO2G,:.BG=CG,

RtA'BG絲RtACG,A!B=AC,

連接A'。?，則所以‘ABC外接圓的圓心在AQ上，令其半徑為人

22

在RtAO2G中，A'O2=y/A'G+O2G=,

所以產(chǎn)=（"一廠）+BO；,即產(chǎn)=（指_廠）+4,解得

設(shè)四棱錐A-BCED外接球的球心到平面A'BC的距離為d,

所以戶+屋=尺2,即+屋當(dāng)，解得公器，

故四棱錐A-3CED外接球的球心到平面ABC的距離為逅

6

故答案為：逅

6

7.（2023?陜西商洛?鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐ABC中，ABC為等邊三角形，OCL平面ABC,

若AC+CD=6,則三棱錐ABC外接球的表面積的最小值為

【詳解】設(shè)43=4。=3。=。（。＜。＜6）,則CD=6-a,

取正三角形ABC的外心為0,設(shè)四面體ABCD的外接球球心為O',

連接OO',O'C,則。。，平面A3C,

又。C_L平面ABC,則OO7/CD,

則平面OOZ?C截球所得截面為大圓，又DC，CO,

貝W」CD=3-L

又底面外接圓的半徑r=OC=」^=^a,

2sin603

當(dāng)時(shí)，R有最小值g=沔,

故答案為：可1447r

8.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）己知三棱錐尸-ABC中，。為中點(diǎn)，尸3=PC=AB=3C=AC=4,側(cè)

面P3C1底面71BC,則過(guò)點(diǎn)。的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為.

.5.2071

【答案】471,-^—

【詳解】連接PQ,QA,由BB=PC=A2=3C=AC=4,

可知：ABC和，PBC是等邊三角形，

設(shè)三棱錐P-ABC外接球的球心為。，

所以球心0到平面ABC和平面PBC的射影是ABC和；PBC的中心E,歹，

PBC是等邊三角形，。為8c中點(diǎn)，所以尸。，3C,

又因?yàn)閭?cè)面P3C1底面ABC,側(cè)面PBCc底面ABC=BC,PQu側(cè)面PBC,

所以尸Q1底面ABC,而AQu底面ABC,因此PQ±AQ,

所以O(shè)FQE是矩形，應(yīng)為ABC和，PBC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，

所以兩個(gè)等邊三角形的高//=J42-[xj=2指，

在矩形OFQE中,OE=FQ=—h=.AE=—h=4K，

3333

連接OA,所以。4=yJOE2+EA2=+；

設(shè)過(guò)點(diǎn)Q的平面為a,當(dāng)，c時(shí)，此時(shí)所得截面的面積最小，該截面為圓形,

可得OQ=JOF2+FQ24人《乂?『當(dāng)

因此圓Q的半徑為^O^-OQ2=楞4=2,

所以此時(shí)面積為無(wú)々2=4兀,當(dāng)點(diǎn)。在以。為圓心的大圓上時(shí)，此時(shí)截面的面積最大,

，所以截面的面積范圍為4私拳.

面積為:兀?

故答案為：471,—

9.(2023?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè))在長(zhǎng)方體中ABCD-AAGR中，AB=AAi=l,AD=2,M是棱與G的中點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)8,M,R的平面。交棱于點(diǎn)N,點(diǎn)P為線段"N上一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐尸-8片知外接球表面積的

最小值為.

【答案】31t

【詳解】設(shè)三棱錐尸-2片加外接球球心為。，半徑為R,

則0在過(guò)直角4BBIM斜邊的中點(diǎn)E與平面BB、M垂直的直線上，且滿足OP=03.

以。為原點(diǎn)，QA為x軸，。。為y軸，。，為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

31

則4(2,0,0),N(l,0,0),C(0,l,0),B(2,l,0),M(l,l,l),Dt(0,0,1),E(-,1,-),

設(shè)球心,m>0,又曲=(-1,0,1),

設(shè)麗=2煙=(—2,0,2),Xe[0,1],則尸(1—2,0,2),

由R=o尸=Q5,得R2=(g+%]+根+(l-m)2+Q^,

則m=萬(wàn)—,由2e[0,1],m>0,可得0<相V/,

2o2iia

X7?=(l-//；)+1,所以當(dāng)=]時(shí)，點(diǎn)取最小值，最小值為:，