分式（易錯點梳理+練習(xí)） 帶解析-2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

第06講分式易錯點梳理

易錯點梳理

易錯點01分式值為0時，忽略分母不為0的條件

分式的值為0,必須同時滿足兩個條件，即分子的值為0,分母不等于0,兩者缺一不可。

易錯點02在分式約分過程中出現(xiàn)亂約分或約分不徹底的錯誤

分式的約分是對分式的分子與分母整體進行的，分子或分母必須都是乘積的形式才能進行約分，約為要徹

底，使分子、分母沒有公因式。

易錯點03分式運算時忽視分?jǐn)?shù)線的括號作用

在分式的運算中遇到減法，并且減式的分子是一個多項式，當(dāng)分子相減時必須給分子加上括號，因為分?jǐn)?shù)

線有括號的作用。

易錯點04解分式方程去分母時出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象

解分式方程去分母時，方程兩邊的每一部分都要乘以最簡公分母，當(dāng)單獨一個整數(shù)作為一項時，容易出現(xiàn)

漏乘現(xiàn)象。

易錯點05解分式方程忘記檢驗

檢驗所得的解是否為增根是解分式方程的必要步驟，不可忽略。

2W例題分析

考向01分式有意義的條件和分式值為0的條件

例題1:（2021?廣西貴港?中考真題）若分式工在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則無的取值范圍是（）

x+5

A.x^—5B.洋0C.洋5D.x>—5

【答案】A

【思路分析】根據(jù)分式有意義的條件列不等式求解.

【解析】解：根據(jù)分式有意義的條件，可得：x+5w0,故選：A.

【點撥】本題考查分式有意義的條件，理解分式有意義的條件是分母不能為零是解題關(guān)鍵.

Y—2

例題2：（2。21?廣西桂林?中考真題）若分式有的值等于。，則x的值是（)

A.2B.-2C.3D.-3

【答案】A

【思路分析】根據(jù)分式的值為0的條件：分子為0,分母不為。性質(zhì)即可求解.

【解析】由題意可得：％-2=0且x+3wO,解得x=2,xw-3.故選A.

【點撥】此題主要考查分式為零的條件，解題的關(guān)鍵是熟知分式的性質(zhì).

考向02分式的基本性質(zhì)

例題3：（2021?河北安次?二模）下列各式從左到右的變形中，不正確的是（）

33-nn

A.------=-------B.——=——

-2m2m-5m5m

3m_3m—3m3m

D.-----=-------

-7n7〃-4〃4〃

【答案】C

【思路分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行判斷即可.

【解析】解：A、改變分式本身的符號和分母的符號，其分式的值不變，此選項正確，不符合題意；B、改

變分式分子和分母的符號，其分式的值不變，此選項正確，不符合題意；C、改變分式分母的符號，其分式

的值變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，此選項錯誤，符合題意；D、改變分式本身的符號和分母的符號，其分式的值不變,

此選項正確，不符合題意，故選：C.

【點撥】本題考查分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)，熟記分式符號變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵.

例題4：（2021?廣東?廣州市第十六中學(xué)二模）下列計算正確的是（）

—a—2a

A.=—9p2q2B.—

b-2b

C.yj—a2=0D.b9-i-b3=b3

【答案】C

【思路分析】A、根據(jù)積的乘方運算法則判斷；B、根據(jù)分式的基本性質(zhì)判斷；C、根據(jù)二次根式的性質(zhì)判

斷；D、根據(jù)同底數(shù)募的除法法則判斷.

【解析】解：A、（-3p4）2=9p%2,故本選項不合題意；B、當(dāng)出b時，故本選項不合題意；C、

b-2b

由題意可得。=0,所以口7=0,故本選項符合題意；D、外b』,故本選項不合題意；故選：C.

【點撥】本題考查了積的乘方，分式的基本性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)以及同底數(shù)塞的除法，掌握相關(guān)定義與

運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

考向03分式的運算

例題5：(2021?山東濟南?中考真題)計算￡-四二1的結(jié)果是()

m-1m-1

A.m+1B.m—1C.m—2D.—m—2

【答案】B

【思路分析】根據(jù)分式的減法法則可直接進行求解.

【解析】解：=故選B.

m-1m—1m—1m—1

【點撥】本題主要考查分式的減法運算，熟練掌握分式的減法運算是解題的關(guān)鍵.

例題6：(2021?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)下列計算正確的是()

A.=B.空+3x=2y2C.(~3a2b>i=-9a6b3D.(x-2)2=x2-4

abab3%v7

【答案】A

【思路分析】根據(jù)分式的計算法則，積的乘方計算法則和完全平方公式對每個選項進行計算即可.

【解析】A：4--=="，符合題意.B：至+3戶型+%=2—+9、2y2,不符合題意.

abababab3x3x3x3x

C：(-3fl2*)3=(-3)3(a2)3(ZJ)3=-27fl6fe3-9a6&3,不符合題意.D：(x-2)2=Y-4x+4wf-4,不符合題

意.故選：A.

【點撥】本題考查分式的計算法則，積的乘方計算法則和多項式的乘法法則，熟練掌握這些運算法則是解

題關(guān)鍵.

考向04分式方程的概念

例題7：(2021?四川巴中?中考真題)關(guān)于尤的分式方程曠-3=0有解，則實數(shù)m應(yīng)滿足的條件是()

2-x

A.m=-2B.-2C.m=2D.m=/=2

【答案】B

【思路分析】解分式方程得：機+%=6-3%即4尤=根-6,由題意可知了。2,即可得到6-根w8.

【解析】解：箸-3=0

2-x

方程兩邊同時乘以2—％得：m+x-6+3x=0,

4x=m—6,

??,分式方程有解，

??2—%w0,

:?xw2,

6—w8,

m手，1,

故選B.

【點撥】本題主要考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，理解分式方程有意義的條件是解題的

關(guān)鍵.

17

例題8：（2021?廣西百色?中考真題）方程上=」的解是（）.

x3x-3

A.尤=-2B.x=-1C.尤=1D.x=3

【答案】D

【思路分析】根據(jù)解分式方程的方法求解，即可得到答案.

3x—3=2x

，x=3

經(jīng)檢驗，當(dāng)尤=3時，x與3尤-3均不等于0

19

，方程上=鼻的解是：x=3

x3x-3

故選：D.

【點撥】本題考查了解分式方程的知識點；解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程的解法，從而完成求解.

考向05分式方程的應(yīng)用

例題9：（2021?四川內(nèi)江?中考真題）為迎接“五一”小長假購物高潮，某品牌專賣店準(zhǔn)備購進甲、乙兩種襯衫,

其中甲、乙兩種襯衫的進價和售價如下表：

襯衫價格甲乙

進價（元/件）mm—10

售價（元/件）260180

若用3000元購進甲種襯衫的數(shù)量與用2700元購進乙種襯衫的數(shù)量相同.

（1）求甲、乙兩種襯衫每件的進價；

（2）要使購進的甲、乙兩種襯衫共300件的總利潤不少于34000元，且不超過34700元，問該專賣店有幾

種進貨方案；

（3）在（2）的條件下，專賣店準(zhǔn)備對甲種襯衫進行優(yōu)惠促銷活動，決定對甲種襯衫每件優(yōu)惠〃元（60＜。＜80）

出售，乙種襯衫售價不變，那么該專賣店要獲得最大利潤應(yīng)如何進貨？

【答案】(1)甲種襯衫每件進價100元，乙種襯衫每件進價90元；(2)共有11種進貨方案；(3)當(dāng)60<〃<70

時，應(yīng)購進甲種襯衫110件，乙種襯衫190件；當(dāng)a=70時，所有方案獲利都一樣；當(dāng)70<。<80時，購進

甲種襯衫100件，乙種襯衫200件.

【思路分析】(1)依據(jù)用3000元購進甲種襯衫的數(shù)量與用2700元購進乙種襯衫的數(shù)量相同列方程解答；

(2)根據(jù)題意列不等式組解答；

(3)設(shè)總利潤為w,表示出w與x的函數(shù)解析式，再分三種情況：①當(dāng)60<。<70時，②當(dāng)。=70時，③

當(dāng)70<a<80時，分別求出利潤的最大值即可得到答案.

【解析】解：(1)依題意得：羽史=苦，

mm—10

整理，得：3000(m-10)=2700m,

解得：m=100,

經(jīng)檢驗，加=100是原方程的根，

答：甲種襯衫每件進價100元，乙種襯衫每件進價90元；

(2)設(shè)購進甲種襯衫x件,乙種襯衫(300-神件,

(260-100)尤+(180-90)(300-x)..34000

根據(jù)題意得:

(260-100)x+(180-90)(300-x)?34700

解得：10(度*110,

x為整數(shù)，110-100+1=11,

答：共有11種進貨方案；

(3)設(shè)總利潤為卬，則

w=(260-100-a)x+(180-90)(300-x)=(70-d)x+27000(100^!k110),

①當(dāng)60<a<70時，70-a>0,w隨x的增大而增大，

，當(dāng)x=110時，放最大，

此時應(yīng)購進甲種襯衫110件，乙種襯衫190件；

②當(dāng)。=70時，70-。=0,w=27000,

(2)中所有方案獲利都一樣；

③當(dāng)70<a<80時，70-fl<0,w隨x的增大而減小，

，當(dāng)x=100時，1V最大，

此時應(yīng)購進甲種襯衫100件，乙種襯衫200件.

綜上：當(dāng)60<a<70時，應(yīng)購進甲種襯衫110件，乙種襯衫190件；當(dāng)。=70時，（2）中所有方案獲利都一

樣；當(dāng)70<a<80時，購進甲種襯衫100件，乙種襯衫200件.

【點撥】此題考查分式方程的實際應(yīng)用，不等式組的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解題意熟練應(yīng)用

各知識點解決問題是解題的關(guān)鍵.

例題10：（2021?山東濟南?中考真題）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.某超市節(jié)前購進了甲、乙兩種

暢銷口味的粽子.已知購進甲種粽子的金額是1200元，購進乙種粽子的金額是800元，購進甲種粽子的數(shù)

量比乙種粽子的數(shù)量少50個，甲種粽子的單價是乙種粽子單價的2倍.

（1）求甲、乙兩種粽子的單價分別是多少元？

（2）為滿足消費者需求，該超市準(zhǔn)備再次購進甲、乙兩種粽子共200個，若總金額不超過1150元，問最

多購進多少個甲種粽子？

【答案】（1）乙種粽子的單價為4元，則甲種粽子的單價為8元；（2）最多購進87個甲種粽子

【思路分析】（1）設(shè)乙種粽子的單價為x元，則甲種粽子的單價為2x元，然后根據(jù)“購進甲種粽子的金額是

1200元，購進乙種粽子的金額是800元，購進甲種粽子的數(shù)量比乙種粽子的數(shù)量少50個”可列方程求解；

（2）設(shè)購進m個甲種粽子，則購進乙種粽子為（200-m）個，然后根據(jù)（1）及題意可列不等式進行求解.

【解析】解：（1）設(shè)乙種粽子的單價為x元，則甲種粽子的單價為2x元，由題意得：

1200s800

------+50=——,

lxx

解得：尤=4,

經(jīng)檢驗x=4是原方程的解，

答：乙種粽子的單價為4元，則甲種粽子的單價為8元.

（2）設(shè)購進小個甲種粽子，則購進乙種粽子為（200-?。﹤€，由（1）及題意得：

+4（200-/?）<1150,

解得：加V87.5,

:冽為正整數(shù)，

..?加的最大值為87；

答：最多購進87個甲種粽子.

【點撥】本題主要考查分式及一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法

是解題的關(guān)鍵.

微練習(xí)

一、單選題

X

1.（2021?重慶八中二模）函數(shù)—中自變量X的取值范圍是（）

3-x

A.中-3B.x=/=3C.x<3D.x<-3

【答案】B

【分析】解：由題意，得3-/0,解得存3.故選：B.

2.（2021?江蘇?南京市金陵匯文學(xué)校一模）PM2.5是指大氣中直徑小于或等0.0000025m的顆粒物，將數(shù)據(jù)

0.0000025科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.25x10-7B.0.25xlO-6C.2.5x10^D.2.5x10^

【答案】C

【分析】解:0.0000025=2.5x10-6,故選：C.

hb

3.（2021?安徽?合肥市五十中學(xué)東校三模）化簡（-馬士―^的結(jié)果是（）

aa—a

A.—a—1B.a—1C.—a~\~1D.—ab~\-b

【答案】B

【分析】===故選B.

VaJa（l-a）\ajb

4

4.（2021?四川省成都市七中育才學(xué)校一模）下列說法：①解分式方程一定會產(chǎn)生增根；②方程1-二三二0

的根為2；③方程4=丁二的最簡公分母為2M2X-4）；④x+」=l+J■是分式方程.其中正確的個數(shù)是

2x2.x-4x-1x

（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】解：分式方程不一定會產(chǎn)生增根，故①錯誤；

4

方程1—^=0的根為x=2,故②正確；

x+2

方程J的最簡公分母為2x（x-2）,故③錯誤；

2x2%—4

龍+工=1+1是分式方程，故④正確；故選：B.

X-LX

5.（2021?重慶八中二模）若數(shù)〃使關(guān)于x的不等式組,"有且僅有4個整數(shù)解，且使關(guān)于y

\5x-a<3

的分式方程一1+—=1有正整數(shù)解，則滿足條件的〃的個數(shù)是（）

y-22-y

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】B

3x-12<4(%-2)

【分析】解：解不等式組

5x-a<3

x>-4

解得：〃+3,

x<------

5

3x-12<4(x-2)

???不等式組有且僅有4個整數(shù)解,

5x-a<3

-K￡|2<0>

-8-3.

3ya+12,<2+10

解分式方程=1,得ZP尸方一

y-22-y

,^=o+10^2為整數(shù)，

:?蚌-6,

所有滿足條件的只有-4,故選：B.

2丫一h

6.（2021嘿龍江牡丹江?模擬預(yù)測）若關(guān)于x的分式方程三J=3的解是非負(fù)數(shù)，則匕的取值范圍是（）

x—2

A.Z?w4B.后6且厚4C.Z?V6且厚4D.Z?<6

【答案】B

【分析】解：去分母得，2x—b=3x—6,.\x=6—b,Vx>0,.'.6—Z?>0,解得，b<6,又?.”一2#0,'.x=/=2,

即6—厚2,厚4,則。的取值范圍是后6且厚4,故選：B.

7.（2021?甘肅慶陽?二模）關(guān)于x的分式方程」=—的解為X=2,則常數(shù)。的值為（）

x—ax

A.-1B.1C.2D.5

【答案】A

32

【分析】解：----二—方程兩邊都乘以x（%-。），得：3x=2（x-4z）,將x=2代入，得：6=2（2-〃），解得〃=-1,

x—ax

故選：A.

8.（2021?湖南師大附中博才實驗中學(xué)一模）若解關(guān)于x的方程=+4=1時產(chǎn)生增根，那么常數(shù)機的

x—22—x

值為（）

A.4B.3C.-4D.-3

【答案】D

【分析】解：方程兩邊都乘以x-2,得：尤-5-〃z=x-2,1方程有增根，；.x=2,將x=2代入x-5-根

=x-2,得：機=-3,故選D.

9.（2021?福建?廈門雙十中學(xué)思明分校二模）“五一”節(jié)期間，幾名同學(xué)包租一輛面包車前去旅游，面包車的

租價為180元，出發(fā)時又增加了兩名同學(xué)，結(jié)果每個同學(xué)比原來少攤了3元錢車費，設(shè)實際參加游覽的同

學(xué)共尤人，則所列方程為（）

180180。n180180。

A.--------------=3B.=3

xx+2x+2x

―180180。n180180c

C.—3D.=3

xx-2x-2x

【答案】D

1QA1QA

【分析】解：設(shè)實際參加游覽的同學(xué)共X人,根據(jù)題意得：-^---=3,故選：D.

x-2x

10.（2021?江蘇?連云港市新海實驗中學(xué)二模）甲隊3小時完成了工程進度的一半，為了加快進度，乙隊也

加入進來，兩隊合作1.2小時完成工程的另一半.設(shè)乙隊單獨完成此項工程需要x小時，據(jù)題意可列出方程

為（）

1.21.2.1.21.2?-1.21.211.21.21

A.——+—=1B.——+——=1C.-----1-----=—D.-----1-----=—

6x3x6x23x2

【答案】C

【分析】解：???甲隊3小時完成了工程進度的一半，.?.甲隊的工作效率為,，設(shè)乙隊單獨完成此項工程需

O

要x小時，，甲隊的工作效率為上1，由題意可得，￥12+1三2=1:，故選：C.

11.（2021?福建?廈門雙十中學(xué)思明分校二模）數(shù)學(xué)家裴波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問題，一組人平分

10元錢，每人分得若干，若再加上6人，平分40元錢，則第二次每人所得與第一次相同，求第二次分錢的

人數(shù).設(shè)第二次分錢的人數(shù)為x人，則可列方程為（）

?1040c1040

A.------=—B.—=------

x-6xxx+6

C.10x=40(x+6)D.10(x-6)=4Qx

【答案】A

【分析】解:設(shè)第二次分錢的人數(shù)為X人，則第一次分錢的人數(shù)為（X-6）人，依據(jù)題意:￡=竺，故選A.

x-oX

12.（2021?內(nèi)蒙古東勝?二模）隨著市場對新冠疫苗需求越來越大，為滿足市場需求，某大型疫苗生產(chǎn)企業(yè)

更新技術(shù)后，加快了生產(chǎn)速度，現(xiàn)在平均每天比更新技術(shù)前多生產(chǎn)10萬份疫苗，現(xiàn)在生產(chǎn)500萬份疫苗所

需的時間與更新技術(shù)前生產(chǎn)400萬份疫苗所需時間少用5天,設(shè)現(xiàn)在每天生產(chǎn)尤萬份，據(jù)題意可列方程（）

400500「400500「

A.一=------5B.-------=——+5

xx+10%—10x

400500「400500匚

C.—=-------+5D.-------=--------3

x%—10%—10x

【答案】B

【分析】解：設(shè)更新技術(shù)后每天生產(chǎn)x萬份疫苗，則更新技術(shù)前每天生產(chǎn)（尤-10）萬份疫苗，依題意得,

二、填空題

13.（2021?湖南師大附中博才實驗中學(xué)一模）若分式-二!有意義，則無的取值范圍是.

【答案】xw-6

【分析】解：???分式-二有意義，，x+6?0,解得：xw-6,故答案為：*6

14.（2021?北京401中學(xué)三模）三^分式的值等于0,則》=.

尤-2

【答案】-2

【分析】解：根據(jù)題意，得N-4=（X+2）（x-2）=0且x-2力0.所以x+2=0.所以x=-2.故答案是:

-2.

15.（2021?廣東實驗中學(xué)三模）代數(shù)式H■有意義時，x應(yīng)滿足的條件為.

x-i

【答案】#1

【分析】解：根據(jù)題意得：%-1#0,解得：#1.故答案為：

16.（2021?福建?模擬預(yù)測）化簡⑺+1）（1-有匕）的結(jié)果是.

【答案】加

1m4-11m

【分析】（機+1）（1-嵩）=（，〃+1）（一一一+故答案為：m.

m+im+1m+\m+1

17.（2021?湖北青山?一模）計算J、：+旦的結(jié)果是_____.

%-8x+164-x

【答案】1

2

X-168_(x+4)(x-4)_8_X+48x-4

【分析】解:

2

x-8x+164-x(x-4)x-4x-4x-4x-4

2

18.(2021?黑龍江?哈爾濱市第六十九中學(xué)校一模)分式方程三二一1二的解是_____.

x+5x-2

【答案】％=9

21

【分析】解：一7二-方程兩邊同乘。+5)(%-2),得2(、-2)=%+5,去括號，得2x—4=x+5,移項

x+5x-2

得：x=9,經(jīng)檢驗，1=9是原方程的解，故答案為：x=9.

19.(2021?山東?日照市田家炳實驗中學(xué)一模)已知關(guān)于x的方程一；+一=2加無解，則相的值是—.

x-22-x

【答案】3或1

【分析】解：①當(dāng)方程有增根時，方程兩邊都乘x-2,得x-2加=2〃?*-2),最簡公分母x-2=0,解得

x=2,當(dāng)x=2時，m=l,故根的值是1,

②當(dāng)方程沒有增根時，方程兩邊都乘x-2,得％-2根=2根(％-2),解得％=―當(dāng)分母為0時，此時方

2m-1

程也無解，，此時2根-1=0,解得加=1,...綜上所述，當(dāng)機=1或1時，方程無解.故答案為：J或L

222

Y5

20.(2021?廣東?江門市第二中學(xué)二模)方程一\=上7的解是_____.

X+lX-L

［答案】3±V14

【分析】解：---7=----7,兩邊同乘a+l)(x-l)得:x(x-1)=5(x+l),解整式方程得，X=3±A/14;經(jīng)檢驗,X=3±A/14

x+lx-1

是原分式方程的解.故答案為：X=3±V14.

三、解答題

2x4

21.(2021?安徽?三模)解方程：----1=----

x-1x—1

【答案】x=3

【分析】解：方程的兩邊同乘廠1,得：2x-(%-1)=4,解這個方程，得：x=3,檢驗，把x=3代入獷1

=3-1=2#0,，原方程的解是x=3.

22.(2021?陜西?交大附中分校模擬預(yù)測)解分式方程：匚=上-2.

x—22—x

【答案】無解

【分析】解：去分母得：l-x=-l-2x+4,解得：x=2,經(jīng)檢驗x=2是增根，分式方程無解.

23.(2021?廣東實驗中學(xué)三模)某藥店在今年3月份，購進了一批口罩，這批口罩包括有一次性醫(yī)用外科口

罩和N95口罩，且兩種口罩的