高考數(shù)學(xué)一輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)知識清單-解三角形及其應(yīng)用（含解析）

解三角形及其應(yīng)用

（思維構(gòu)建+知識盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）

維構(gòu)建?M里蓿身永紿

^^理）~（急,熹■表一

「（正、余弦定理與變形）-

Yc,-J+b。-2zi>co3C)

■〔內(nèi)角和定理）-QD型01三角形

睡02余芟定第三角形

Y皿/一玲=sinC)避03判后匍維的形狀

港04三匐階辨的個(gè)數(shù)

|~<。知識點(diǎn)一正、余弦定理及應(yīng)用）型05三角形的面積及應(yīng)用

轆06三匍阱涉行問題

例07解三角形中的是鰥圉問題

-<解三角形中的常用結(jié)論）一

轆08三角形的中線"、角平分線

壁09多三角形或睢花的解三角形

a=bcmC-ccnB

&=ocosC-tecsJ

t=ftcosJ-oc<?3

隹角形<Hfe形人至---^J>3c?o>6c?sin.4>Mna）

■（三角形常用面積公式）

在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視

線方的叫做仰角，目標(biāo)視或在水平視線方的叫做俯角

凝01測鏤語問題

。知識點(diǎn)二解三角形的實(shí)際應(yīng)用云扇從某點(diǎn)的指方向線3g時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間轆02測量角度問題

的夾角叫做方位角，方便角型范圍是0‘更至0,翅03測量角囪司題

AS西域定畝古蕨受蒜■向麗成的角，品辭出瀛）蕨后）

口識盤點(diǎn)?置幅訃觸

知識點(diǎn)1正、余弦定理及應(yīng)用

1、正、余弦定理與變形

定理正弦定理余弦定理

az=b2+c2-26ccosA；

內(nèi)容a=b=c=2Rb2=c2+a2-2cacosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC

b2+c2~a2

cosA=------------；

⑴〃=2Rsin4,b=2RsinB,c=27?sinC；2bc

(2)a:b:c=sinA:sin5：sinC；c2+a2~b2

變形cosB=------------；

a±lac

⑶一^—=q=2R

222

sin4+sin5+sinCsin4萬a+b~c

cosC=------------

lab

【注意】若已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時(shí)，可用正弦定理.在根據(jù)另一邊所對角的正弦值確定

角的值時(shí)，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意結(jié)合“大邊對大角，大角對大邊”及三角形內(nèi)角

和定理去考慮問題.

2、解三角形中的常用結(jié)論

(1)三角形內(nèi)角和定理：在△/BC中，/+2+。=兀；變形：.

222

(2)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

①sin(/+3)=sinC；②cos(/+B)=—cosC；③sincos，④cossing.

(3)三角形中的射影定理：在△48C中，a=bcosC+ccosB；6=acosC+ccos/；c=6cosN+acos8.

(4)三角形中的大角對大邊：在△4BC中，/>3oa>6Qsin/>sinR

3、三角形常用面積公式

(1)S=$九(隊(duì)表示邊。上的高)；

(2)S=1a6sinC=】acsin5=16csinN；

222

(3)S=$(a+6+c)&為內(nèi)切圓半徑).

知識點(diǎn)2解三角形的實(shí)際應(yīng)用

名稱意義圖形表示

/目標(biāo)

在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)/視線

鉛5角水平

仰角與俯角視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視垂

線y角視線

\目標(biāo)

線在水平視線下方的叫做俯角

視線

從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到北］

.35。卷

方位角目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角，方位

rr

角。的范圍是0°W0<360。

例：⑴北偏東a：(2)南偏西a：

正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的

方向角北t北f

銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)

【注意】(1)方位角和方向角本質(zhì)上是一樣的，方向角是方位角的一種表達(dá)形式，是同一問題中對角的不

同描述.

(2)將三角形的解還原為實(shí)際問題時(shí)，要注意實(shí)際問題中的單位、近似值要求，同時(shí)還要注意所求的結(jié)果

是否符合實(shí)際情況.

■點(diǎn)突破?看分?必檢

重難點(diǎn)01解三角形中的最值范圍問題

1、三角形中的最值、范圍問題的解題策略

(1)定基本量：根據(jù)題意或幾何圖形厘清三角形中邊、角的關(guān)系，利用正、余弦定理求出相關(guān)的邊、角

或邊角關(guān)系，并選擇相關(guān)的邊、角作為基本量，確定基本量的范圍.

（2）構(gòu)建函數(shù)：根據(jù)正、余弦定理或三角恒等變換將待求范圍的變量用關(guān)于基本量的函數(shù)解析式表示.

（3）求最值：利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求最值.

2、求解三角形中的最值、范圍問題的注意點(diǎn)

（1）涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進(jìn)行求解，已知邊的范圍求角的

范圍時(shí)可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

（2）注意題目中的隱含條件，如/+3+。=兀，0<A<TI,b-c<a<b+c,三角形中大邊對大角等.

類型1角或三角函數(shù)值的最值范圍

【典例11（23-24高三下?山西?模擬預(yù)測）鈍角“3C中，角C的對邊分別為",b,c,若acosB=csin/,

則sinA+后sinB的最大值是.

【答案】f

4

【解析】因?yàn)椤╟os5=csin/,由正弦定理得sin4cos3=sinCsinZ,

JTjr

又因?yàn)?￡（0,兀），可得sin/wO,所以sinC=cosB,則。=不一5或C=—+3.

22

當(dāng)C='-B時(shí)，可得/=（與是鈍角三角形矛盾，所以C4+B,

?.71

0<A<—

2

TTTTTT

由〈一,則4=——2B>0,可得0<B<一,

224

A+B+C=TI

所以sin/+V2sinB=sin（5+C）+>/2sinB=cos2B+>/2sinB

（萬J?

——2sin2B+sinB-\-1=-2sinB-+一,

I4J4

5

所以當(dāng)sinB=——時(shí)，sin4+e~sin5的最大值為了.

44

【典例2】⑵-24高三下?福建廈門三模）記銳角AA8C的內(nèi)角/,8,C的對邊分別為a,b,c.若2cosc=3-，,

ab

則8的取值范圍是.

7171

【答案】

652

【解析】因?yàn)?cosc=迎-多，所以2a6cosc=362一下,

ab

由余弦定理可得：2abeosC=〃2+b2-c2，

可得〃=/-；c2,在銳角“Be中，由余弦定理可得:

a2+c2-b2c，

cosB=

2aca

22122

222a+a——c>c

a+b>c22

因?yàn)椋?BP2a>

b1+C1>a2所以:<5

a2--c2+c2>a2

2

-3c32_V3

所以cosB=—，所以Be

4a4732

類型2邊或周長的最值范圍

【典例1］（23-24高三下?江蘇?月考）在“3C中，內(nèi)角4瓦。的對邊分別為。，小。，已知/-/=四.

（1）若B=60。求C的大小；

（2）若“3C為銳角三角形，求2的取值范圍.

a

【答案】（1）90°；（2）（收詞

【解析】（1）由題意，在“8。中，b2-a2=ac.>

由余弦定理得，a2+c2-2ac-cosB=b2

??Q?+。之一2〃c?cosB-Q?=ac，??c—2QCOS5=a，

???/+5+C=180。，

sin（/+B）-2sirt4cos5=sin4=cos/sinS-siiL4cos3=sirU,

/.sin（5-^）=sin4：.B-A=A^LB-A+A=TI（舍），:.B=2A

V5=60°,.?.力=30。，:.C=1SO-A-B=9O°.

（2）由題意及（1）得，在“5C中，B=2A,

sinBsin2Z

由正弦定理得，-=2cos4,

asiMsirU

?.?A/8C為銳角三角形,

：.-0<2A<^解得：?</<￡,

264

IT

0<兀一/—24<—

2

/.V2<2cos/<V3，

.b_

a

A

【典例2］（23-24高三下?安徽淮北?二模）記AABC的內(nèi)角4瓦C的對邊分別為。也c,已知c-6=2csin2-

（1）試判斷“3C的形狀;

（2）若c=l,求"Be周長的最大值.

【答案】（1）“3C是直角三角形；（2）V2+1

__,,.,.—.2A一/口.2/c-bb,、，1-cos/c-b

【解析】（1）ic-Z>=2csm--,可得5111-^=1；—,所以---=--

222c22c

嗚-等K，所以cosN=g

又由余弦定理得匕/4'可得力+〃?

所以

所以力5C是直角三角形

（2）由（1）知，是直角三角形，且c=l,可得。=sin/,6=cos4,

所以“SC周長為l+sin4+cos4=1+V^sin[/+：）,

._,、r.（c兀、__-i,兀I7T3兀

因?yàn)?^［。，萬卜可付Zl=/+1'匕'彳

所以，當(dāng)/=?時(shí)，即“8c為等腰直角三角形，周長有最大值為夜+1.

類型3三角形面積的最值范圍

【典例1］（23-24高三下?廣東茂名?一模）在AJBC中，內(nèi)角4民。的對邊分別是且

6sin（8+C）=asin~~~~

⑴求B的大小;

（2）若。是/C邊的中點(diǎn)，且班＞=2,求23C面積的最大值.

【答案】（1）Y；⑵述

33

【解析】（1）?.?/+8+。=兀，.,.siiL4=sin（5+C）,/.bsv^A=（2sin71=acos^-,

D

/.由正弦定理可得sin5siii4=siiL4cos—,

2

???sin^=2sin-cos-,2sin-cos-siiL4=siiL4cos-,

22222

???43e(0,兀),siM/O,cos-^O,.'.sin---,即巨=烏，即3=2；

222263

,/?

依題意，，

(2)S△AtKsLC=—2acsinB=——4ac

\BA+Bc\=^BD\,p+sc|=4,(BA+BC^=16,

即a2+c2+2acxcos—=16,

3

即02+/+*=1623",當(dāng)且僅當(dāng)a=c=逋時(shí)，等號成立，

3

即acV?,.?.A/BC面積的最大值為工=

32323

【典例2](23-24高三下?湖北武漢?二模)在“8C中，角4民C的對邊分別為a,6,c,已知

(2a-c)cosB-bcosC=0.

(1)求3；

(2)已知6=追，求;”+2c的最大值.

【答案】(1)5=p(2)

【解析】(1)V(2a-c^cosB-bcosC=0,

由正弦定理得(2sinZ—sinC)cos8—sinBcosC=0,

2cos5sin/-cos5sinC-sin5cosc=0,即2cos5sin4=sin5cosC+cos5sinC,

所以2cosBsin4=sin(8+C)=sin4,

V^e(0,7i),「.sin力wO,???cos5=；,

7T

VO<5<71,???5=§；

a_c_b_y/i_

(2)由正弦定理,得sinZsinCsinB由,

~T

1..A?\271.I

—〃+2c=sin/+4sme=sin4+4sm------A

2I3J

=sin/+2^3cos/+2sin/=3sin/+26cosA=V2Tsin(/+0),

又<與，。為銳角，JHsin(/+o)的最大值為"'，

A+2c的最大值為V21.

重難點(diǎn)02解三角形角平分線的應(yīng)用

如圖，在△48C中，4D平分NB4C,角4、B,C所對的邊分別問a,b,c

(1)利用角度的倍數(shù)關(guān)系：^BAC=2NB4D=7./.CAD

(2)內(nèi)角平分線定理：AD為ZL4BC的內(nèi)角NBAC的平分線，則繁=含

說明：三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu)，就

可以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問題，運(yùn)用向量知識解決起來都較為簡捷。

(3)等面積法：因?yàn)镾AABD+SAACD=SAABC，所以.力Ds譏5+.力Ds譏S=16csiTVl,

所以(b+c)AD=2bccosg,整理的：AD=(角平分線長公式)

2b+c

【典例1](23-24高三下?江西?模擬預(yù)測)在“3C中，內(nèi)角4瓦。所對的邊分別為。,6,c,其外接圓的半

徑為26，且6cosc=a+——csiitS.

3

(1)求角B；

(2)若的角平分線交/C于點(diǎn)。,3。=若，點(diǎn)￡在線段/C上，EC=2EA,求△BDE的面積.

【答案】⑴人爭⑵東

【解析】(1)因?yàn)?cosc=〃+——csinS,

3

由正弦定理可得sin5cosc=sinJ!+sinCsirtS,

3

又Z=7i—(g+C),所以sin5cosc=sm(5+C)+-^-sinCsin5

所以sin5cosc=sinBcosC+cosBsinC-----sinCsinfi,

3

A

即sinCcos5+——sinCsin5=0,

3

VCG(O,TI),故sinCwO,

c-DE

cosB+——sinB=0,即tanB=-VJ，

3

又5￡（0,兀），則8=彳.

27r

（2）由（1）可知，B=—,又外接圓的半徑為2百;

由正弦定理可知芻=46,所以b=4百sin§=6,

sinB3

1兀

因?yàn)?。是NABC的平分線，故ZCBD=NABD=-ZABC=-

23

又BD=，由S"BC=S^BCD+S&ABD,

—acsin-=—a-V3sin—+—c-V3sin—,即4。=百(4+。).①

232323v7

2兀

由余弦定理可知，b2=a1+c2-26zccos—,即(q+cp-=36.②

由①②可知a=c=2jj.所以3OJ./C,

又；EC=2AE,則DE=1,

所以^^BDE=—X1X

ADUIL22

【典例2】（23?24高三下?河北滄州?模擬預(yù)測）在中，角4,5,。的對邊分別為a,b,c,已知〃之=c[c+b）.

（1）求證：3+3。=兀；

（2）若的角平分線交4C于點(diǎn)。，且。=12,6=7,求AD的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）4指.

【解析】（1）在。中，由余弦定理/=c?+6?-2c6cos4及=。（。+，），

得b?一2cbcosA=bc,即6-2ccosA=c,

由正弦定理，Wsin5-2sinCcosA=sinC,

BPsinC=sin(C+力)-2sinCcos4=sin/cosC-cos4sinC=sin(Z-C),

由0＜C＜兀，得sin(Z—C)=sinC〉O,則0＜/—。＜/＜兀，

因此。=4—C,即N=2C,則2。+3+。=兀，

所以B+3C=兀.

(2)由/=c(c+b),得122=C(C+7),由C〉0,得C=9.

,口ABsinZADBsinZBDC_BC

在N4BD,△BCD中,由正弦定理,得——二--------

ADsin/ABDsinZCBD~~CD

QI?

貝匕萬=廠而’解得3=3,從而OC=4'

A

D

8

又cosZADB+cosZCDB=0,

由余弦定理，得先*ZL。,

解得AD=4幾,

2x38。2x45。

所以3。的長為4而.

重難點(diǎn)03解三角形中線的應(yīng)用

1、中線長定理：在AABC中，4D是邊BC上的中線，則力B2+4。2=2（B￡）2+人。2）

【點(diǎn)睛】靈活運(yùn)用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中

2、向量法：AD2—（b2+c2+2bccosA）

【點(diǎn)睛】適用于已知中線求面積（已知各的值也適用）.

【典例1]（23-24高三下?山西?三模）在中，內(nèi)角4民。所對的邊分別為“ec.已知

27r

/==24,A/3C的外接圓半徑尺=2百,。是邊/C的中點(diǎn)，則8。長為（）

A.V2+1B.2A/3C.672D.國

【答案】D

【解析】由/==A48C的外接圓半徑尺=26，得a=2Rsin/=2x28X3=6，

32

由/=〃+/-2〃bcosZ和/+，=24得。6=12,

又[：+：=24,解得—c=2百,所以八C=/_?]=,

[be=122<3J6

因?yàn)椤?C中，。是邊NC的中點(diǎn)，所以前=，函+前），

1I-------------2-1I----2---------------------2B

于是函=5J（強(qiáng)+珂2=-曬2+2網(wǎng)l^cosNABC+BC

—5J。2+yf^ca+a2=1712+73x273x6+36=A/21.故選：D.

【典例2]⑵-24高三下?黑龍江哈爾濱?三模）已知“3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。也。，且。=6,BC

邊上中線長為1,則6c最大值為（）

77I-

A.—B.-C.百D.2G

【答案】A

【解析】由題意得乙4。8+//。。=兀，所以cosN4DB+cosN4DC=0,

/?

又〃=百，且。是5C的中點(diǎn)，所以DB=DC=*

2

7_2

在中，"DB="、B》一；

2AD-BDV3

乙2

在八包C中，cos/?"士Ci='

2AD-CD下）

—7b入2—7c2

所以cosNNDC+cos/4D8==0'

V3V3

227，當(dāng)且僅當(dāng)6=c=直取等號，故選：A

gpb+c=-,得2方。＜/+。2=

2242

法技巧?）$裹學(xué)露

一、利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題，實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：

1、選定理.

（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；

（2）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊所對的角，利用正弦定理；

（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；

（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；

（5）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊，利用余弦定理；

2、巧轉(zhuǎn)化：化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化；若將條件轉(zhuǎn)化為邊之間

的關(guān)系，則式子一般比較復(fù)雜，要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡.

3、得結(jié)論：利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)（如大邊對大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等），并

注意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。

【典例1］（23-24高三下?浙江金華三模）在。中，角4瓦。的對邊分別為。，b,c若a=5,6=2,

4=60。，則c為（）

A.1B.2C.3D.1或3

【答案】C

【解析】由余弦定理得cos/=少上C二且，

2bc

即2?+c2T⑺_1,即02一2°一3=0,解得C=3或C=-1（舍）.故選：C.

2x2c2

【典例2］（23-24高三下?江蘇?二模）設(shè)鈍角”3C三個(gè)內(nèi)角/,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,若a=2,

6sin/=石，c=3,則b=.

【答案】M

【解析】由余弦定理得，十=鴛

而由6sin4=G,得sin5=

b

因?yàn)锳ASC是鈍角三角形，且c>a,故4為銳角，所以cos/=

所以印二展

解得/=7或6?=19,

當(dāng)/=7時(shí)，即6=近，c>b>a,由大邊對大角得：最大角為C,

〃+227+4—9

cosC=°°=上3>（）,故c為銳角，不符合題意；

當(dāng)〃=19時(shí)，即。=曬，b>c>a,由大邊對大角得：最大角為8,

cos8，+/―J9+479<0,故g是鈍角，符合題意.

lea6x2

【典例3](23-24高三下?廣東江門?二模)P是AABC內(nèi)一點(diǎn)，ZABP=45°,ZPBC=ZPCB=ZACP=30°,

則tan/34P=()

【答案】D

【解析】因?yàn)镹/8P=45°,ZP5C=ZPCB=ZACP=30°,

所以ABAC=180°-(45°+30°+30°+30°)=45°,

設(shè)/創(chuàng)尸=a,因?yàn)镹PBC=NPCB,所以5P=CP.

APsin45°AP_sin30°

在AZBPQZCP中，

由正弦定理可得而=5CP-sin(45o-?)

sin45°_sin30°

即sin45°sin（45°-cr）=sin300sina,

sinasin（45°-a）

V2x/21-口sina1_

a即n73（cosaTina）=