高考數(shù)學專項復習：活用隱圓的五種定義妙解壓軸題（五大題型）解析版

活用隱圓的五種定義妙解壓軸題

目錄

01方法技巧與總結(jié)..............................................................2

02題型歸納與總結(jié)..............................................................2

題型一：隱圓的第一定義：到定點的距離等于定長...................................2

題型二:隱圓的第二定義：到兩定點距離的平方和為定值.............................5

題型三：隱圓的第三定義：到兩定點的夾角為90。....................................8

題型四：隱圓的第四定義：邊與對角為定值'對角互補、數(shù)量積定值..................10

題型五：隱圓的第五定義：到兩定點距離之比為定值................................12

03過關測試....................................................................17

方法技巧與總經(jīng)

活用隱圓的五種定義來妙解壓軸題，關鍵在于理解和運用圓的五種基本性質(zhì)。這五種定義包括：到定

點的距離等于定長（定義圓）、到兩定點距離的平方和為定值、到兩定點的夾角為90。、邊與對角為定值且

對角互補、到兩定點距離之比為定值。

解題時，首先要識別題目中的關鍵條件，看是否符合隱圓的某一定義。一旦確定，就可以利用圓的性

質(zhì)來簡化問題，如利用直徑所對的圓周角是直角、同弦所對的圓周角相等或互補等性質(zhì)。通過逆用這些性

質(zhì)，可以找到隱形圓，進而利用圓的幾何特征求解。這種方法能有效轉(zhuǎn)化復雜問題，使解題過程更加清晰

明了。

題型一：隱圓的第一定義：到定點的距離等于定長

【典例1-1】已知是單位向量，a-b=O,若向量滿足任一￡+司=1,則E-司的取值范圍是（）

A.[V2-1,V2+1]B.[1,V2+1]C.[0,2]D.[V5-1,V5+1]

【答案】D

【解析】單位向量滿足限在=0,即作厲=2,礪=5,以射線CM,08分別作為x、y軸非負

半軸建立平面直角坐標系，如圖，

a=(1,0),S=(0,1),設e=(x,y),貝［jc—a+B=(x_l,y+l),由|c—a+B|=］得：(x-1)2+(y+1)2=1,

|x=l+cos0_

令［尸-/出戶"。)，ipC=(l+cos^-l+sin0),

「-1|=J(1+cos6)2+(—2+sin嚇=J6-2(2sin9-cos6)=?-2遙sinQ-0)，其中銳角。滿足

r.1

SHI0二

<

2

COS0二

因此，當sin(e-°)=-l時，丘_51=?+2刈=4+1，當sin(6>-0)=1時，￡_B京=/6-29=逐-1

所以的取值范圍是[石-1,石+1].

故選：D

【典例1-2】已知單位向量值與向量B=(o,2)垂直，若向量不滿足M+B+W=i,則同的取值范圍為()

A.[1,^-1]B.[?，2[C,[^-1,^+1]D.[卓,3

【答案】C

【解析】由題意不妨設1(1,0),設e=(x,y),貝IJ萬+5+O=(l,O)+(O,2)+(x/)=(l+x,2+y).

?.?|a+^+c|=l,.-.(1+X)2+(2+J；)2=1,即表示圓心為(T-2),半徑為1的圓，設圓心為P,二

|OP|=7(-l)2+(-2)2=V5.

?.卡卜表示圓P上的點到坐標原點的距離，V5-l<|c|=7x2+y2<V5+l,???同的取值范圍為

故選：C.

【變式1-1】如果圓(》-。)2+"-。)2=8上總存在兩個點到原點的距離為正，則實數(shù)。的取值范圍是(

A.(—3,3)B.(-1/)

C.(-3,1)D.(-3,-1)U(1,3)

【答案】D

【解析】問題可轉(zhuǎn)化為圓。：。-。)2+"-。)2=8和圓。|：/+/=2相交，

兩圓圓心距d=-0)2+(?-0)2=V2\a\,

由火_「<|00/<尺+「得2后_也<0舊|<2夜+四,

解得1<|。]<3,gp?G(-3,-1)u(1,3).

故選：D

【變式1-2】設機eR,過定點/的動直線》+2+切(了-7)=0和過定點2的動直線加x-y-加+3=0交于點

P(x,y),則陽|+『科的取值范圍是()

A.[75,275]B.[VW,4V5]C.〔2百4石]D.〔5,5點]

【答案】D

【解析】由題意可知，動直線尤+2+加(中7)=0經(jīng)過定點/(-2,7),

動直線》x-y-加+3=0即m(無一l)-y+3=0,經(jīng)過定點8(1,3),

?.?冽*0時，動直線x+2+加(y-7)=0和動直線機x-y一加+3=0的斜率之積為一1,始終垂直,

加=0時，也垂直，所以兩直線始終垂直，

又尸是兩條直線的交點，，尸4，尸8,，|尸4『+回|2=|/02=25.

設/ABP=9,K!j|^|=5sin0,\PB\=5cos,

由歸/上0且1PHz0,可得0,1,

二.戶/|+\PB\=5(sin0+cos=5^2sin[6+?),

八九713萬

?.50,1,0H---G一,—

444

故選:D.

【變式1-3】設加ER,過定點A的動直線x+叼=0和過定點5的動直線加工-〉-加+3=0交于點尸(x,y),

則|尸葉|尸耳的最大值是()

A.4B.10C.5D.y/10

【答案】C

【解析】由題意可知，動直線工+加以=0經(jīng)過定點月(0,0),

動直線〃式一>一機+3=0即加(x-l)-y+3=0,經(jīng)過定點8(1,3),

因為lx加-加xl=0,所以動直線x+加y=0和動直線機x-y-機+3=0始終垂直，

P又是兩條直線的交點，

則有尸/_L尸8,PA^+\PB|2=|AB|2=10,

2pg2

i^\PA\-\PB\<l^l+l|=5(當且僅當|尸/|=|必|=6時取"=”),

故選：C.

【變式1-4】設meR,過定點A的動直線x+即=0和過定點8的動直線加x->-機+3=0交于點尸(x,y),

貝『尸/『+|尸切2的值為()

Vio

A.5B.10rD.V17

2

【答案】B

【解析】由題意，動直線x+叼=0經(jīng)過定點(。,0),則40,0),

動直線蛆-了一根+3=0變形得〃7@-1)+(3-了)=0,則8(1,3),

x+my=0m2-3m3-m

由得尸

mx—y—m+3=0m2+19m2+1

2222

m2—3m3-mm2-3m]2.3

：.\PA^+\PB^=1+I+l

m2+1m2+1m2+1+m+1

(加2一3陰)+(3-加)2+(3冽+1)2+(3加2+刃)

(加2+1)2

43222432

_m-6m+m+9-6m+m+9m+6m+1+m+6m+m

[m1+1)

10/+20加2+io

=----------------7------=10

(m2+l)，

故選：B.

題型二：隱圓的第二定義：到兩定點距離的平方和為定值

【典例2-1】在平面直角坐標系為勿中，尸(2,2),。(-4,0)為兩個定點，動點"在直線x=T上，動點N滿

足NO2+N02=16,貝/同7+麗|的最小值為

【答案】5

【解析】設點N(x,y),由NQ2+NQ2=16得：x2+/+(x+4)2+/=16,

BPx2+j^2+4x=0,即(x+2)2+y2=4,

在以。。為直徑的圓上，不妨設N(2cos"2,2sin9),,

貝U兩=(-3,加一2),WV=(2cos6?-4,2sin6?-2),

兩+麗=(2cos"7,2sine+"-4),

PM+PN|2=(2cos8-7)2+(2sin9+-4)2=m2-+69+4[(m-4)sin9-7cos0\

=("?-4)2+53+47(w-4)2+49sin(6?-<p),其中。為輔助角,

令J("z-釬+49=t,sin(0~(p)=a,貝I]f27,-1<a<1.

,-.\PM+PN^=t2+4+4at,

令/(/)=/+4+43=。+24+4-4/,t>l,-1<(Z<1,

???/?)在［7,+8)上單調(diào)遞增，

故當/=7時，/⑺取得最小值53+28a,

再令g(a)=53+28a,—1<<1,

顯然g(a)在［-1,1］上單調(diào)遞增，

故。=-1時，g(。)取得最小值53-28=25,

綜上，當f=7,。=-1時，|兩+而「取得最小值25.

故|西7+麗］的最小值為5,

故答案為：5.

【典例2-2】(2024?江蘇鹽城?三模)已知4瓦。,。四點共面，BC=2,AB2+AC2=20,CD=3CA，則

|瓦|的最大值為.

【答案】10

【解析】設/C=w,由題意可得：DC=3m,AB=」2Q-m2,

/比+叱―/爐m2-8

則:cosC=

2ACxBC2m

m+2〉,20-加2

AB。構(gòu)成三角形，則：〈歷丁解得:2<m<4,

由余弦定理:

BD=7BC2+CD2-2BCxCDxcosC=,4+9m2-2x2x3mxULll=752+3m2,

V2m

當加=4時，|而|取得最大值為10.

【變式2-1】已知圓C:(x+l)2+(y-2)2=l,點/㈠,0),5(1,0),設P是圓C上的動點，令d=|/M「+|尸川,

則d的最小值為.

【答案】14-40

【解析】設尸(%,%),附「=(%+1丫+%2,閥「=伉一1『+了，

2x2222

I尸+1PBi2=(%-1)2+%?+(毛+1)+方=o-2/+1+%?+x0+2x0+1+y0=2xg+2y0+2

=2(x02+4)+2,

當|。尸|取得最小值時，歸/「+|尸砰取得最小值，

由圓C:(x+l)2+(y-2)2=l,則圓心C(-l,2),半徑r=l,

易知104nm=|OC|-r=Vu4-l=V5-l,則d皿=2(石一1『+2=14-4G.

故答案為：14-4遙.

【變式2-2】已知圓C:(x+l)2+(y-2『=4,點4-2,0),/2,0).設尸是圓C上的動點，令

d=陷「+|PB|2,則d的最小值為.

【答案】26-875

【解析】

由已知C(f,2),r=2,

2

設P(Xo,yo)，E={(,+2)2+.,\PB\=yl(x0-2)+y^,

所以d=|弱氣|尸砰=(/+2)2+"+(2-2)2+訴=2(?+4)+8,

因為|O尸卜,所以當|0P|取得最小值時，d取得最小值，

由|0P|的最小值為|0C|-廠=^(-1)2+22-2=75-2,

故答案為：26-875.

【變式2-3】正方形/5CD與點尸在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長為1,且歸/「+|尸砰=|PC「，則

歸回的取值范圍為.

【答案】［2一在2+回

【解析】如圖，以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，

則4(0,0),3(1,0),

設點P(x,y),則由1PH2+M2=|PC『'

得X?+y2+(x_］)2+,2=(x_］)2+(y_1)2,

整理得/+(y+l『=2,

即點P的軌跡是以點M(0,T)為圓心，也為半徑的圓，

圓心跖到點。的距離為快M=2,所以=2-上,|尸。1mx=2+后，

所以|尸必的取值范圍是［2-0,2+收］

故答案為：［2-V2,2+V2］.

題型三：隱圓的第三定義：到兩定點的夾角為90。

【典例3-1】已知向量2,b,工滿足同=4,同=2后，z與否的夾角為:，p-a).(s-a)=o,則R的最

大值為.

【答案】V10+V2

【解析】設0=>OB=b,沃二,

以04所在的直線為x軸，。為坐標原點建立平面直角坐標系，

因為同=4,網(wǎng)=2a,.與刃的夾角為5，

所以/(4,0),8(2,2),設C(x,y),

即方=2=(4,0),麗=3=(2,2),OC=c=(x,y),

所以d-工二(4一羽一歹)，b-c=(2-x,2-y),

因為(1_1)?(B—l)=0,所以/—6x+8+y2_2y=0,BP(x-3)2+(j/-l)2=2,

圓心坐標為。(3,1),半徑「收，同表示點。到坐標原點的距離即為圓上的點到坐標原點的距離，

因為圓心。(3,1)到原點的距離為d=FF=廂，所以同max=d+r=A+6.

【典例3-2】已知向量落B為單位向量，且萬4=0,若3滿足(”沙(1己)=0,則同的最大值是.

【答案】V2

【解析】向量為單位向量，且鼠彼=0，

不妨設3=(1,0),)=(0,1),令"(XJ),

則)一/=(1_x,-y),b-c=[-x,\-y),

，伍-研B-e)=-x(l-x)-y(l-y)=0即f+V-x-”。，它表示以為圓心，等為半徑的圓，

22

可知同=M+F=^(x-0)+(j；-0)表小圓上的點到原點距離，故其最大值是2r=也.

故答案為：V2.

【變式3-1】已知點Z(-加,0),5(m,0)，若圓。：爐+^2一6%—8y+24=0上存在點尸，使得

PA-LPBf則實數(shù)加的最大值是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】圓C：x2+y2—6x—8y+24=0即為：(X—3)2+(y—4)2=1，

其圓心為(3,4),半徑為1,

設的中點為M,

因為點/(—加,0)，

所以M(0,0),

以N8為直徑的圓的方程為：x2+y2=m2>

|CA1|=V32+42=5-

若圓C:J+/一6x-8y+24=0上存在點P，使得PA上PB，

則圓C與圓M有公共點，即網(wǎng)一11454M+1，

解得4W|m|<6，

所以實數(shù)加的最大值是6.

故選：C

【變式3-2】已知圓C：(x-iy+(y+3)2=10和點/(5,。，若圓C上存在兩點A,8使得例J.俯，則實

數(shù)/的取值范圍是.

【答案】-5<?<-1

【解析】圓c：(X-1)2+(J+3)2=10,則半徑為c(i,-3),

如上圖，對于直線x=5上任意一點

當40,5%均為圓的切線時//MS最大，

由題意，例_L俯即N4WB=90°時，此時M為滿足題設條件的臨界點,

-ACV2

此時有——=sinZAMC>—.

CM2

Vio

當M在臨界點之間移動時，_有U昂cl2手V2，即

\CM\考

即有：（/+3『44,解得：

故答案為：-5型4-1

題型四：隱圓的第四定義：邊與對角為定值、對角互補、數(shù)量積定值

【典例4-1】已知大京G是平面向量，同=1,若非零向量方與G的夾角為巳，向量B滿足

廬-4鼠0+3=0，則MT的最小值是.

【答案】V3-1/-1+V3

【解析】設1=5力力=（1,0）3=（加,〃），則由@曰=三得dZ=B|B|cos：x=g正可得y=±6x,

由B2_4gZ+3=0得加2+〃2—4加+3=0,（加―2）2+〃2=],

因此，NT=J（%_=）2+（y_〃『表示圓（加-2了+〃2=1上的點（加,〃）到直線歹=上的點（羽歹）的距離;

故其最小值為圓心（2,0）到直線y=士瓜的距離d=乎=G減去半徑1，即6-1.

故答案為：V3-1

【典例4-2】設向量滿足。=療=2,a-b=-2,（a-c,b-c）=6Q°,則，的最大值等于（）

A.4B.2c.V2D.1

【答案】A

因為口=忖=2,a.b=-2,所以cos'3=郵同=一],落3=120。.

如圖所以，設方=2,赤=反反=",則0=["，赤=3-3,408=120。.

所以44c8=60。，所以44O2+N/C8=180。，所以4。,5。四點共圓.

不妨設為圓M,因為刀=否-￡,所以次2=齊_2展B+7=12-

所以向|=2g,由正弦定理可得"OB的外接圓即圓M的直徑為2R=陷=4.

sin4408

所以當為圓M的直徑時，『|取得最大值4.

故選：A.

【變式4-1](2024?天津?一模)如圖，梯形/5CD中，/切|CD,4B=2,CD=4,BC=4D=百,E和尸分別

為4D與8c的中點，對于常數(shù)2,在梯形/BCD的四條邊上恰好有8個不同的點P,使得麗.而=彳成立,

則實數(shù)幾的取值范圍是

AB

【答案】D

【解析】以cz＞的中點為坐標原點，CD所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，則

^(-l,2),5(l,2),C(2,0),Z>(-2,0),E,F

當p在邊CD上時，設尸(x,O),|x|e(O,2)，則2=麗?麗=Y

當尸在邊C8上時，設尸(x,4—2x),xe(l,2)，則4=麗?而=J—2+(3—2x)?=5/—12x+至e

卜

當P在邊28上時，設尸(x,2),|x|e(O,l)，則幾=苑?而=必一;

當尸在邊40上時,設尸(x,2x+4),xe(—2,—1)，則

2=PE-PF=%2--+(3-2%)2=5x2-12x+—e-

41'4I204J

綜上所述，實數(shù)力的取值范圍是-二:1故選D.

(44)(204)(204)

【變式4-2](2024?廣東廣州?一模)在平面四邊形48CZ)中，連接對角線2D,已知0=9,BD=16,

4

/BDC=9Q°,sin/=《，則對角線NC的最大值為.

【答案】27

4

【解析】畫出圖像如下圖所示，由于sin/=I、5。=16為定值，故A在以8。為弦的圓上運動，由正弦定

[6

理得2火=工=20,，=10,故圓心的坐標為(8-6),4C的最大值即為C/的值，也即是C0+R的值，由兩

點間的距離公式有C0+R=A/82+152+10=27.

題型五：隱圓的第五定義：到兩定點距離之比為定值

PB

【典例5-1】古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個定點48及動點尸，若—\\=彳（A>0

且4*1）,則點尸的軌跡是圓.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓（簡稱“阿氏

圓”）.在平面直角坐標系中，已知。（0,0）00,也），直線/：船-y+左+3=0,直線4：x+⑶+3左+1=0,

Q1

若尸為32的交點，則京「。|+總尸。|的最小值為（）

A.巫B.6-3后C.9-3收D.而

2

【答案】A

【解析】當先=0時，ll：y=3,l2:x=-1,此時4,4,交點為P（T，3）.

當左w0時，由4：Ax—y+左+3=0,斜率為左，

由4:x+ky+3k+1=0,斜■率為/,

~"k"

綜上，/14.

又4%—+3=0,二直線4恒過頤-1,3）,

4：x+1+左（了+3）=0,：.直線/2恒過尸（-1,-3）,

若尸為4,4的交點，則PEL尸尸，設點尸（x,y）,

所以點尸的軌跡是以所為直徑的圓，除去尸點，

則圓心為族的中點C（-l,0）,圓的半徑為r=網(wǎng)=3,

2

故？的軌跡方程為0+1）2+歹2=93工-3）,

即x2+y2+2x=8（yW—3）,貝lj有y2=—x2—2x+8.

又0（0,0）,可0,亞）,易知。、0在該圓內(nèi),

又由題意可知圓C上一點4（2,0）滿足山。|=2,取。（8,0）,

則山斗6,滿足燈=3.

下面證明任意一點P（x。）都滿足±方=3,即\PD\=3\PO\,

又\PD\=&-8丫+y2=y/(x-8)2-x2-2x+8=J-18x+72=j9(-2x+8),

:.3\PO\=\PD\.

所以3戶。|+|尸0|=|尸必+|PQ閆

X\DQ\=^（8-o）2+（0-V2）2=而,

所以g|尸0|+J

如圖，當且僅當2尸,。三點共線，且尸位于A。之間時，等號成立

即||尸。|+gpol最小值為年.

故選：A.

【典例5-2】（2024?江西贛州?模擬預測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為

亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的

是：己知動點〃與兩定點/,2的距離之比為"4>0,彳21）,那么點〃的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱

阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，圓。：八/=1、點?_別和點（0,‘，”為圓0上的動點，則

2|也川-|河圻的最大值為（）

A.2R后

D.----------c.-D.總

2222

【答案】B

,、,,,1

【解析】設M（x,y）,令21M=,則\M廉A=5,

由題知圓x2+j?=i是關于點/、。的阿波羅尼斯圓，且人;,

設點。（加,〃），則闞卜十萬］：

\MC\^（x-m）2+（j-n）22

整理得：/+/+即七x+=

比較兩方程可得：2/=0,y=o,.+；T=1,即機=一2,〃=0,點C（-2,0）,

當點〃位于圖中M的位置時，2］九優(yōu)］-|兒園=也門7八煙的值最大，最大為忸q=乎.

故選：B.

【變式5-1］(2024?湖南?模擬預測)希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平

面內(nèi)到兩個定點48的距離之比為定值幾(2*1)的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名,

稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系X0中，/(-4,1),3(-4,4),若點尸是滿足4=g的

阿氏圓上的任意一點，點。為拋物線C：/=16x上的動點，。在直線》=-4上的射影為R,則

|P8|+2|尸0|+2|。|的最小值為()

A.475B.8#>C.—D.2765

2

【答案】D

【解析】設P(x,y),

則尸/-?"+盯+(。-11一匕

PBJ(x+4)2+(y-472

化簡整理得(x+4)2+y2=4,

所以點尸的軌跡為以(-4,0)為圓心2為半徑的圓，

拋物線C：/=i6x的焦點尸(4,0),準線方程為x=-4,

則|/叫+2|尸。|+2|。尺|=2|上4|+2|尸。|+2|紗|

=2(|尸川+|尸0|+|0尸|)22|/同=2病,

當且僅當4尸,。，尸(尸，。兩點在4尸兩點中間)四點共線時取等號，

所以|尸8|+2|尸0|+2|0?|的最小值為2病.

【變式5-2】阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，

他對圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓

是他的研究成果之一，指的是：已知動點"與兩定點A,8的距離之比為那么點M的軌

跡就是阿波羅尼斯圓.如動點M與兩定點/8(5,0)的距離之比為|時的阿波羅尼斯圓為

x2+y2=9.下面，我們來研究與此相關的一個問題：已知圓。:/+/=4上的動點〃和定點

8(1,1),則2口劃+跟卻的最小值為()

A.2+V10B.V21C.726D.729

【答案】C

因此21MH+同=|MV|+1閆BN|=J(_4_iy+12=反，當且僅當點初是線段2N與圓。的交點時取

等號，

所以2|朋R+的最小值為畫.

故選:c

【變式5-3]（2024?全國?模擬預測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山

大時期數(shù)學三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點48的距離之比為定值>0,且;1*1）的點的

軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓''.在平面直角坐標系無勿中，/（-2,0）,B（4,0）,點尸滿足自J="設點

\PB\2

尸的軌跡為曲線C,則下列說法錯誤的是（）

A.C的方程為（x+4y+y2=16

B.當45P三點不共線時，則44尸。=/8尸。

C.在C上存在點"，使得|MO|=2|M4|

D.若。（2,2）,則|網(wǎng)+21尸必的最小值為4石

【答案】C

【解析】設P（xj），由*=得天化簡得（x+4）。+/=16,故A正確;

\OA\1\PA

當4。尸三點不共線時,局=5-一陷篇，所以尸。是//尸8的角平分線，所以N4PO=/APO,故B正

確；

22

設M（x,y）,則《丁+了=2&x+2）2+了,化簡得（x+g）2+/=：,/（-4+^）+（0-0）=-<4--,

39Y333

所以C上不存在點使得|M0=2|M4],故c錯

誤；

PA]

因為其=5,所以忸周=2|尸4,所以I尸司+2|尸。=2|尸4|+2|尸422|40|=46，當且僅當尸在線段4D

上時，等號成立，故D正確.

故選：C.

1.阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成

果之一，指的是：已知動點M與兩定點0,尸的距離之比扇=X（X>0"wl）,那么點M的軌跡就是阿

波羅尼斯圓.已知動點〃的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為/+產(chǎn)=1,定點。為X軸上一點，

且2=2,若點8(1,1),則21Mpi+|A?|的最小值為()

A.V6B.V7C.VioD.VT1

【答案】c

【解析】設0(凡0)，M(x,y),所以|M0|="二了“7,

又動點A/的軌跡是—+/=晨

包3=0

3

所以2,，解得。=-2,

a"-1

----=1

[3

所以。(一2,0),又=

所以21Mpi+=+因為8(1,1),

所以2的P|+1兒制的最小值為忸0|=《+2)2+(1—0)2=弧.

故選：C.

2.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐

曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果

之一，指的是：己知動點〃與兩個定點/、3的距離之比為幾(A>0,2—1),那么點”的軌跡就是阿波

羅尼斯圓.若已知圓。：/+了2=1和點彳-3,0),點以4,2),M為圓。上的動點，貝I]21M+的最小

值為()

A.2vnB.2廂

C.V35D.737

【答案】B

【解析】令2]|例=|MC|,則盟=；，所以幽=

1,

\MC\2

2m+42nm2+n2_i

整理/+/+-----XH-----y=-----一,得加=一2,〃=0,點M位于圖中、M?的位置時,

333

20劃+口叫=四。卜|〃耳的值最小可得答案.設令20劃=|MC|,則朋=g

由題知圓V+y=l是關于點/、C的阿波羅尼斯圓，且％=g，

設點。（加川，則|四|++.],整理得:

阿+(y2

2m+42nm2+n2-I

x2+y2+-----XH-----y=---------

333

2m+4=。，筌。,m2+n2-1

比較兩方程可得:=],

33

即加=一2,〃=0,點C(-2,0),

當點加位于圖中〃[、/2的位置時,

21九回+\MB\=\MC\+\MB\的值最小，最小為2回.

故選：B.

3.已知g是單位向量，a-b=0,若向量[滿足|工--心卜1,則1的取值范圍為()

A.[V5-1,V5+1]B.[1,V5+1]C.[5,6]D.

【答案】D

【解析】?工3是單位向量，雨咽=L

.,卜-35-40=1

|c-35-4a|=c-2“3刃+4a)+93+24a-Z?+16a=1且Ho.

...2〉（33+砌=7+24,又?.俘+44=犧+哂=5,

???|c|+24=2x5x|c|cos6>（。是工與33+4之的夾角）.

又一1WcosO<1,

.-.24<|C|2+24<10|C|,

.-.|C|3-10|C|+24<0.

根據(jù)一元二次不等式的解法，

解得4W同46.

故選：D.

4.如果圓C:（x-〃7）2+。-加）2=16上總存在兩個點到原點的距離為2,則實數(shù)加的取值范圍是（）.

A.[-3d）B.（-V2,V2）

C.（-3V2,V2）D.（-3V2,-V2）U（V2,3V2）

【答案】D

【解析】如果圓。：（廠機）2+。-加）2=16上總存在兩個點到原點的距離為2

貝!J圓C：+（>-機）~=16和圓。：x?+jJ=4相交，

又圓=16的圓心為C（機，機），半徑為八=4

兩圓圓心距|CO|=+（"?—0）~=血網(wǎng)，

由|4-2|<|。0|<4+2得4一2<也|同<4+2,

解得會<帆<36,即加e（-3V2,-V2）u（V2,3V2）.

故選：D.

5.設meR,過定點A的動直線s-y=O和過定點3的動直線x+叼-4〃?-3=0交于點尸，則1PH+儼8

的取值范圍是（）

A.[75,275]B.[275,5]

C.[5,5V2]D.[5,10]

【答案】C

【解析】由已知可得動直線機x-y=0經(jīng)過定點A（0,0）,

動直線x+機y-4加-3=0經(jīng)過定點3（3,4）,

且兩條直線互相垂直，且相交于點P,

所以P/J.P8,即1PH2+|P8「=|48『=25,

由基本不等式可得|尸/『+1尸靖<(K+1即)2<2(眼「+1尸比卜

即25<(|/M|+\PB[f<50,可得5引尸/|+|P5|<572,

故選：C.

6.設"cR,過定點A的動直線》+叩+用=0和過定點8的動直線/nx-y-%+2=0交于點尸(x,y),則

|P/|+|PB|的取值范圍是()

A.[75,275]B.[V10,2V5]C.[V10,4V5]D.12氏4病

【答案】B

【解析】由題意可知，動直線X+叩+加=0經(jīng)過定點40,-1),

動直線〃7x-y-〃7+2=O,gpm(x-l)-y+2=0,經(jīng)過點定點8(1,2),

動直線x+/?y+加=。和動直線加工—歹一加+2=0的斜率之積為一1,始終垂直，

尸又是兩條直線的交點，

PALPB,PA^+\PB|2=|AB|2=10.

設Z.ABP=9,貝!]|尸/1=V10sin。，IPB|=V10cos0,

由且可得8e[0,1]

PA\+\PB\=ViO(sin6+cos0)=26sin(9+-),

4

1],

cTC7C3?r

:.0+—Er[—,——],

444

?冗、11

sin/(Z61+—)G[2，1」，

2V5sin(6?+1)e[V10,2向，

故選：B.

7.設向量＜?,b1滿足：@=|凹=1,a-b=,(a—c,b—c^=60°,則|3|的最大值為()

A.2B.百C.V2D.1

【答案】A

【解析】由題意可得111=|B|=1,=T.".lxlxcos^a,^^=--,

二.cosgW=_g,又〈扇兀],.?.@3)=120。，

設場二不，礪=B，OC=c^貝！)第=萬一己，CB=b-c,

X(a-c,6-c\=60°,ZACB+AAOB=60°+120°=180°,

：.A,0、B、C四點共圓，

當?最大時，有I可=|無|=2R,R為該圓的半徑,

由詼2=(5-于=筋+7_2鼠5=3,所以，p|=V3

百

在工。8中，由正弦定理可得.心=2,

sin120。

當且僅當。C是，的平分線時，取等號，此時?的最大值為圓的直徑大小為2.

故選：A.

8.(2024?遼寧?模擬預測)古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯(約公元前262年至前190年)與歐幾里得、阿

TM

基米德齊名，著有《圓錐曲線論》八卷.平面內(nèi)兩個定點M,N及動點尸，若而=大(2>0且無wl),則

點7的軌跡是圓.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓.點尸為圓/：(》-以+/=4上

一動點，。為圓8：(x-3)2+(y-4)2=l上一動點，點C(-3,0),則|尸。+|尸°|+|尸目的最小值為.

【答案】9

【解析】由尸為圓4:(尤-1)2+<=4上一動點,得/(1,0)，留=2,

由。為圓B：(x-3)2+(y-4)2=l上一動點,得8(3,4),忸0|=1,

又陷=1,|/C|=4.

AOAP\1

因為不"=二71=3，NACP=/ACP,所以尸?△4PO,

于是|PC|=2|PO|.

當P,Q,B共線且\PQ\<附時\PQ\+/科取得最小值,即\PQ\+\PB\>2\PB\-l.

所以I尸q+|尸0|+|p4221Poi+21尸同-1N2|O5|一1=27(3-0)2+(4-0>-1=9,

當。，尸”共線時等號成立.

y/

故答案為：9.

9.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點/、

B,動點尸滿足尸川=幾|四|(其中2是正常數(shù)，且2片1),則P的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼

斯圓”.現(xiàn)已知兩定點”(-1,0)、N(2,l),尸是圓O:/+/=3上的動點，則右歸M|+|PN|的最小值為

【答案】V26

【解析】如圖，在x軸上取點S(-3,0),

“MOPfPOS,:.\PS\=S5\PM\,

^\PM\+1PM=\PS\+|PN|>\SN\(當且僅當尸為SN與圓。交點時取等號),

故答案為：^26.

10.(2024?高三?吉林通化?期末)古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯(約公元前262-190年)，與歐幾里得、阿基米

德并稱古希臘三大數(shù)學家；他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)

絡殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個定點48的距離之比為定值2(4N1)的點的軌

跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.比如在平面直角坐標

系中，4(0,1)、3(0,4),則點尸滿足彳=；所得尸點軌跡就是阿氏圓；已知點C(-2,4),。為拋物線

V=8x上的動點，點0在直線x=-2上的射影為凡M為曲線(x+2『+/=4上的動點，貝”

；MC|+|QM+|0M的最小值為.則|同。|+|0川+|。朋1的最小值為

【答案】后;4,5-2收

【解析】設次X/),由題意名=〈，即有=；,整理得/+v=4.

PB2J/+—4)22

因為圓卜+2)?+/=4可以看作把圓/+F=4向左平移兩個單位得到的，那么A點平移后變?yōu)椤?-2,1),

所以根據(jù)阿氏圓的定義，〃滿足

結(jié)合拋物線定義1。〃1=1。產(chǎn)1，

!\MC\+\QH\+\QM=\MD\+\QM\+\QF\>|^|(當且僅當D,M,Q,廠四點共線，且0,M在。,

廠之間時取等號)，此時|尸0=a-2-2)2+(1_())2=歷,

\MC\+\QH\+\QM\=\MC\+\QF\+\QM\>\MC\+\MF\(當且僅當跖Q,尸三點共線時等號成立)，

根據(jù)光學的最短光程原理，我們從C點發(fā)出一束光，想讓光再經(jīng)過尸點，光所用的時間一定是最短的，由

于介質(zhì)不變，自然可以把時間最短看作光程最短。

而光的反射性質(zhì)為法線平分入射光線與反射光線的夾角，并且法線垂直于過這一點的切線。于是我們得到,

當過點M的切線與/CW的角平分線垂直，即當過點M的圓的切線與直線FC平行且離直線尸。近時，

|MC|+|MF|取得最小值，此時切線方程為y=r+20-