廣西部分2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)12月聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試題

廣西部分名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

、單選題

1.已知集合P={1,3,5,7,9},集合。={xeN*|0Vx<5},則PCQ=()

A.{1,3}B.{1,3,5}C.{3,5}D.{3}

2

2.=()

i-1

A.25/2B.當(dāng)C.V2D.2

3.已知A（-l,2,3）,則點(diǎn)A關(guān)于尤Oy平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(-1,-2,3)B.(―1,2,-3)C.(1,-2,3)D.(123)

4.雙曲線2/-/=1的右焦點(diǎn)尸到其中一條漸近線的距離為（）

A.|B.④C.1D.上

5.半徑為2的實(shí)心球。與半徑為1的實(shí)心球。2體積之差的絕對(duì)值為（）

A.生26K

B.76KC.75TLD.

3亍

6.若函數(shù)/（%）二,:、；；，為R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

[（^-3）x+l,x>2,

A.[0,3]B.I，3C.2,1D.[2,3]

7.在正四棱柱ABCD-A耳GR中，44,=2,AB^l,E,F,G分別是CC-BD,4月的

中點(diǎn)，則直線CC與EF所成角的余弦值為（）

ARp邪n

A.D.C.U.----

23510

8.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)

A,3的距離之比為定值〃幾￡1）的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命

名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，4-1,。），以2,0）.點(diǎn)尸

滿足島=7,設(shè)點(diǎn)尸所構(gòu)成的曲線為C下列結(jié)論不正確的是（）

\rD2

A.C的方程為（x+2>+y2=4

B.在C上存在點(diǎn)。，使得。到點(diǎn)（1,1）的距離為3

C.在C上不存在點(diǎn)使得|“。=2|肱4|

D.C上的點(diǎn)到直線3x-4y-13=0的最小距離為1

二、多選題

9.在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,下列說法正確的是（）

A.若8>C,貝！］>>c

B.sin（A+C）=sinB

C.若。2+c2>6,則VABC是銳角三角形

D.若從+,2<片，則VABC是鈍角三角形

10.已知拋物線V=y,其焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線交于P,。兩點(diǎn)，

則下列說法正確的是（）

A.焦點(diǎn)/的坐標(biāo)為（g,0）B.準(zhǔn)線/的方程為尤=-;

C.若尸（外,%）,則回|=%+；D.弦PQ的長度

11.已知正方體ABC￡>-A2|G2的棱長為4,MN為正方體ABCD-ABICQ］的內(nèi)切球。的

直徑，尸為正方體AB。-44G2表面上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)尸為BC的中點(diǎn)時(shí)，A片與OP所成角的余弦值為當(dāng)

B.當(dāng)匕^^=3時(shí)，P到平面AC。的距離為坐

C.西.麗的取值范圍為［0,8］

7T

D.AM與AG所成角的范圍為0,-

三、填空題

12.甲、乙、丙三位同學(xué)去電影院看電影，每人可在《志愿軍：存亡之戰(zhàn)》《出人平安》《爆

款好人》《危機(jī)航線》四部電影中任選一部，則不同的選法有種.

13.若直線/：X一>+。=。與圓C:/+/=3相切，則實(shí)數(shù)4=.

試卷第2頁，共4頁

2222

14.已知橢圓￡:=+4=1(4>6>0)與雙曲線C2:二=一3=1(，〃>0,〃>0)的左、右焦點(diǎn)相

abmn

同，分別為不F2,G與G在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)Af,且31M周=|々閶，G與a的離心率

分別為G,紜.則e色的取值范圍是.

四、解答題

15.如圖，在直四棱柱ABC￡>-AB￡2中，AB//CD,AB±AD,AAi=AB=2AD=2.CD=4,

E,F,G分別為棱。AA，2耳的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

2

\B_G_B1

c㈡_X_C、

,1___?

⑴若。尸=耳。3,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑵求直線CG與平面\ADDX所成角的正弦值.

16.已知向量加=(1,3,-2),n=(-1,1,2).

⑴求阮一司的值；

(2)若5-防)，(沅+方)，求實(shí)數(shù)上的值；

(3)求向量2加+河與疣-為夾角的余弦值.

17.已知圓C與無軸相切于B點(diǎn)，與y軸相切于A點(diǎn)，圓心在直線4=0上.

⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)尸是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，M為A尸的中點(diǎn)，若的面積為2,求直線AP的方程.

18.已知橢圓E：/+/=l(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(1,白)，且離心率為弓，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴求E的方程；

⑵過點(diǎn)尸(。，2)且不與y軸重合的動(dòng)直線/與橢圓E相交于A,2兩點(diǎn)，求△OAB面積的最大

值.

19.如圖，在四棱錐尸—ABC。中，尸Z)_L平面ABCZ),ZADC=90°,AB//CD,

AB=^CD=AD=1,M為棱PC的中點(diǎn).

⑴證明：胡〃/平面PAD

(2)已知RD=1.

(i)求平面尸D3與平面瓦加夾角的余弦值.

(ii)在線段Bl上是否存在點(diǎn)Q,使得點(diǎn)。到平面的距離是手？若存在，求出擊

的值；若不存在，說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案ACBCACDDABDCD

題號(hào)11

答案ABC

1.A

【分析】根據(jù)交集的定義即可得出答案.

【詳解】由題可知，。={1,2,3,4},所以尸C0={1,3}.

故選：A

2.C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可求解.

【詳解】—=2(1+1)=|-l-i|=^,

i-1(i-l)(i+l)11

故選：C.

3.B

【分析】由空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】點(diǎn)A關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的特征是x,y不變，z變?yōu)橄喾磾?shù)，

所以點(diǎn)A關(guān)于尤Oy平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(T,2,-3).

故選：B.

4.C

【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得右焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式,

可得答案.

【詳解】由己知得。2=。2+62=：,則右焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)為(半刀)，

雙曲線的漸近線方程為y=土岳，因?yàn)榻裹c(diǎn)到兩條漸近線的距離相等，

國星一0

所以右焦點(diǎn)/到其中一條漸近線的距離d=2

[,=1

IJ(A/2)2+(-1)2

故選：C.

5.A

【分析】由球的體積公式求得兩球的體積，作差可得答案.

答案第1頁，共12頁

【詳解】由題意可知實(shí)心球。|的體積為子X23=半，實(shí)心球。2的體積為年,

32兀4兀287r

所以實(shí)心球。|與實(shí)心球。2體積之差的絕對(duì)值為

3

故選：A.

6.C

【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，及分段函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】y=Y-(a+2)x+5的對(duì)稱軸為x=審，開口向上.

由函數(shù)了(無)在R上為減函數(shù),

Q+2

>2,

2

得〃一3<0,解得

22-(a+2)x2+5>(a-3)x2+l,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是2,1.

故選：C.

7.D

【分析】利用空間向量的數(shù)量積公式,即可求得兩直線所成角的余弦值.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)

G(l,1,2),￡(0,1,1),F(|,1,0),

3

4屈

曲底一10

-------X--------

22

10

答案第2頁，共12頁

故選：D.

8.D

PA1

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式表示萬丁=不，化簡計(jì)算即可判斷A；根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

rDZ

計(jì)算即可判斷B；根據(jù)|MO|=2|M4|和兩點(diǎn)求距離公式求出點(diǎn)M的軌跡方程，結(jié)合圓與圓的

位置關(guān)系計(jì)算即可判斷C；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,設(shè)點(diǎn)尸(無,y),

PA￡I，整理得(X+2)2+y2=4,

PB2

故c的方程為(x+2/+y2=4,故A正確；

對(duì)于B,(x+2)2+y2=4的圓心C(-2,0),半徑r=2,

???點(diǎn)(1,1)到圓心C(-2,0)的距離d=J(1+2)2+(1一0)2=瓦,

二圓上一點(diǎn)到點(diǎn)(1,1)的距離的取值范圍為[“6-2，碗+2],

而3W[J1U-2,JQ+2],故在C上存在點(diǎn)。，使得。到點(diǎn)(1,1)的距離為3,故B正確；

對(duì)于C,設(shè)點(diǎn)M(x,y),?.-|A/O|=2|M4|,貝lj，77=2師鏟療，

4444

整理得(x+-)2+y2=~,：.點(diǎn)M的軌跡方程為(x+])2+/=§,

42

即M是以G(-§,0)為圓心，半徑弓=§的圓，

74

又|CG|=§<H=r-4，.??兩圓內(nèi)含，沒有公共點(diǎn)，

??.在C上不存在點(diǎn)使得|MQ|=2|M4|,故C正確；

|3x(-2)-4x0-13|19

對(duì)于D,圓心C(-2,0)到直線3》-4、-13=。的距離4~「=三，

*?+(—4)25

??.C上的點(diǎn)到直線3x-4y-13=0的最小距離為4-廠=19[-2=9:,故D不正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過推

理、運(yùn)算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性

答案第3頁，共12頁

地證明更新的性質(zhì).

9.ABD

【分析】根據(jù)三角形的幾何性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及余弦定理，可得答案.

【詳解】對(duì)于A,在VABC中，B>C,貝!Jb>c,A正確；

對(duì)于B,sin（A+C）=sin（7i-B）=sinB,B正確；

^22_2

對(duì)于C,由得cosA=0+c-”>o,則A是銳角，顯然B,C是否都是銳角

2bc

無法確定，C錯(cuò)誤；

Z.22_2

對(duì)于D,由/+，</,得cosA=^------—<0,則A是鈍角，VABC是鈍角三角形，D正

2bc

確.

故選：ABD.

10.CD

【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)即可判斷ABC；直線方程聯(lián)立拋物線方程，利

用韋達(dá)定理和拋物線的定義計(jì)算即可判斷D.

【詳解】A：由Y=y可得功=1,所以p=；,故焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,J,故A錯(cuò)誤.

B：準(zhǔn)線/的方程為了=-；,故B錯(cuò)誤.

C：根據(jù)焦半徑公式，若貝|]但尸卜為+；,c正確.

D：設(shè)過點(diǎn)尸（0,；）的直線方程為y=+

聯(lián)立其與拋物線的方程可得/-丘-：=。,

4

設(shè)尸（占,％）,Q（x2,y2）,則A=A2+I>O,X]+x2=k,

則%+%=+x2）+—=k^+—,

故|「。|=X+%+P=工+121，

故當(dāng)上=0時(shí)，此時(shí)弦尸。的最短長度為1,即|尸。|>1,故D正確.

故選：CD.

11.ABC

【分析】對(duì)于A,由題意建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示直線方向向量，利用線

線夾角的向量公式，可得答案；

答案第4頁，共12頁

對(duì)于B,根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，判斷底面三角形的形狀，求得底面面積，利用三棱錐體積

公式，可得答案；

對(duì)于C,根據(jù)正方體與其內(nèi)切圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算律,

可得答案；

對(duì)于D,根據(jù)正方體與其內(nèi)切圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合線線角概念，求得最大值，可得答案.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)題意，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分別為x,?z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示:

易知A(4,0,0),4(4,4,4),0(0,0,0),尸(2,4,0),則藕=(0,4,4),OP=(2,4,0),

.AB,-DP0+16+0A/1()

可得cosAB,DP=|■_■1=//=,

」信lAB,DPV0+16+16-V4+16+05'

即當(dāng)P為2C的中點(diǎn)時(shí)，A4與。P所成角的余弦值為苧，可得A正確.

對(duì)于B,易知△AC2是邊長為4虎的正三角形，

故其面積S=L(40)2.sin6O。=走x(40y=8右，

24

由匕可得點(diǎn)p到平面AC2的距離人=唯』=立，即可得B正確.

3S6

對(duì)于C,依題意可知。為正方體的中心，如下圖所示：

PMPN=(Pd+OM)(Pd+ON)=PO2+POOM+POON

+OMON=PO+PO(OM+ON)-OM2，

答案第5頁，共12頁

又因?yàn)镸N為球。的直徑，所以兩+兩=。，|西|=|西=2,即可得詢.麗=用2

-4.

又易知當(dāng)點(diǎn)尸為正方體與球。的切點(diǎn)時(shí)，|所|最小；當(dāng)點(diǎn)尸為正方體的頂點(diǎn)時(shí)，|用|最大.

故儼ge[2,2g],因此可得兩.兩的取值范圍為[0,8],即C正確.

對(duì)于D,易知AC】的中點(diǎn)即為球心O,如下圖所示:

cq4_石

當(dāng)AM與球相切時(shí),AM與AC,所成的角最大，此時(shí)sinZMAO=sinNC4cl

AC,-473-3

TTIT

顯然結(jié)合兩直線所成角的范圍可知AM與AG所成角的范圍為0,-是錯(cuò)誤的,

即D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

12.64

【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用即可求解.

【詳解】易知每個(gè)人都有4種選法，故不同的選法有第=64種.

故答案為：64.

13.土娓

【分析】由圓的方程可得圓心與半徑，根據(jù)圓切線的性質(zhì)，建立方程，可得答案.

【詳解】由圓C:1+y2=3,則圓心C(0,0),半徑一6，

由題意可得*=若，解得〃=±".

故答案為：土巫.

3

14.(-,3)

【分析】由橢圓與雙曲線定義得|昭卜=。+悶”|=a-加,由3|崢仁寓⑷得出口。即關(guān)

答案第6頁，共12頁

系，從而表示出CcC-1（"一機(jī)）9cr-lam+nv9am,由橢圓與

ee=----==—--------=---------------=—（——I----2）

x2amamam4am4ma

雙曲線的定義求得“，根的不等關(guān)系從而得出色的取值范圍，然后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求得e0范

m

圍.

【詳解】如圖所示.

fMF,+MF）=2a,\MF,=a+m,

根據(jù)橢圓的定義以及雙曲線的定義可得"二"。解得八〃二

IMR-MF2=2m,MF2=a-m.

\MFAi

顯然|腦4=〃-加＞0可得。叫又麗二針且閨囿=2c,

其中/=々2,/二祖2+,

可得2c=3(。一根)，所以ccc19a2-2am+m29,am與、

ee=----=—=—--------=--------------=—(——I----2)

x2amamam4am4ma

令f=則e0=g(f+1-2).因?yàn)閍>〃z,所以r=0>l.

mAtm

又|町|+|摩|>山閶，所以2a>2c=3(a-所以a<3〃z,

y^MF\-\MF^<\FxFA,所以2〃z<2c=3(a-刈)，所以3a>5〃z,所以可得:0￡,3).

m3

設(shè)函數(shù)y=f+1-2,而函數(shù)y=r+1-2在區(qū)間(g,3)上單調(diào)遞增，

tt3

所以不4<、<］4，所以(3<32<3.即e?的取值范圍是93,3).

⑵亙

3

【分析】（1）設(shè)尸（無,y,z）,根據(jù)向量線性運(yùn)算坐標(biāo)表示計(jì)算即可求解;

（2）由空間向量法求線面角.

答案第7頁，共12頁

【詳角軍】(1)因?yàn)閑=42=240=20)=4,

所以0(2,0,0),4(2,4,0),8(0,0,4),則取=(-2,T,4)

—?1-----744

設(shè)尸(x,y,z),因?yàn)镈尸=則(x—2,y,z)=(—耳,—§,§

即尸-：3，解得「=一］4，則嗚4，一4者4).

44

z=一,z==,

(2)因?yàn)锳A=AB=2AZ)=2C￡>=4,所以C(2,0,2),G(0,2,4),CG=(-2,2,2),

由題意可取平面AA。。的一個(gè)法向量為用=(0,0,D,

CG-fr\2__A/3

設(shè)直線CG與平面AAD?所成的角為。,則sin0-cos(CG,ffi)\

CG||m|2733

所以直線CG與平面9町所成角的正弦值為*

16.(1)2遍

⑵左=3

(3)-.

3

【分析】(1)根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算；

(2)由向量垂直的數(shù)量積為。求解；

(3)由向量夾角公式計(jì)算.

【詳解】(1)由題可得用一方=(2,2,-4),貝.比一同=也2+22+(-4)2=2".

(2)m-Im=(1+k,3—k,-2-2k),m+n=(0,4,0),

??,(m-kn)±(m+n),/.(m—kn)-(m+n)=0,

艮口(1+左)x0+(3—左)x4+(—2—2左)x0=0,貝!J(=3.

(3)2ih+n=(1,7,—2),|2m+n|=3\/6,m-n=(2,2,-4),|m-n|=2\/6,

s-、一、(2m+n)-(m-n)242

..cos<2m+n,m—n)=---------------=——尸----尸=—

|2m+nn||m-n|3V6x2V63，

2

向量2流+乃與歷-為夾角的余弦值為孑.

答案第8頁，共12頁

17.(l)(x-2)2+(y-2)2=4

(2)y=2或尤_y+2=0.

【分析】(1)由題意確定圓心的位置，聯(lián)立方程求得圓心，可得答案；

(2)根據(jù)三角形的面積與面積公式，可得動(dòng)點(diǎn)”所在直線的位置，由題意，利用圓的方程

與中點(diǎn)坐標(biāo)，可得其軌跡方程，聯(lián)立方程，可得答案.

[y=x

【詳解】(1)由題意知所求圓的圓心是直線,二%和直線%+y-4=0的交點(diǎn)，則廣〃n,

[x+y-4=0

fx=2

解得c，即圓。的圓心坐標(biāo)C(2,2),易知圓。的半徑為2,

[y=2

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-2)2+(y-2)z=4.

(2)

因?yàn)榈拿娣e為2,而|AB|=2四，所以M到直線A3的距離為a,

又直線A8的方程為無+k2=0,

設(shè)與直線A3平行且距離為&的直線/的方程為x+，+加=0,

1/71+2|I—tv

令^一『~二’2,得根=0或機(jī)=-4.

A/2

設(shè)M(x,y),尸(%,%),由題意知尸是圓C上一動(dòng)點(diǎn),

則==gpXo=2x,y0=2y-2,

所以(2x-2)2+(2y-4=4,解得點(diǎn)M的軌跡方程為(x-1)2+(y-2)2=1,

由方程(X—l)2+(y—2)2=1,可得圓心(1,2),半徑1,

|1+2|_3后

當(dāng)〃z=0時(shí)，圓心(1,2)到直線/的距離碇一

答案第9頁，共12頁

當(dāng)帆=T時(shí)，圓心(1,2)到直線/的距離、二"=變＜1.

所以直線/與點(diǎn)”的軌跡有交點(diǎn)，則=

[x+y—4=0,

聯(lián)立方程組,:、2,7一解得“(2,2)或/(1,3),

由A(0,2)與M(2,2),則直線AP方程為＞=2；

由A(0,2)與M(l,3),則直線轉(zhuǎn)方程為牌=言，整理可得x-y+2=0.

所以直線AP的方程為＞=2或x—y+2=0.

18.(1)^+/=1

⑵與

【分析】(1)將已知點(diǎn)代入雙曲線方程，結(jié)合離心率公式以及。，瓦。，建立方程組，可得答

案；

(2)設(shè)出動(dòng)直線方程，聯(lián)立方程寫出韋達(dá)定理，求得弦長，即為三角形的底，利用點(diǎn)到直

線距離公式，求得三角形的高，根據(jù)基本不等式，可得答案.

a=>/2

【詳解】(1)設(shè)E的半焦距為c(c＞0),由已知得，解得

b=l

故E的方程為；■+尸=1.

由題可設(shè)/：y=Ax+2,由%,％),B(x2,y2).

答案第10頁，共12頁

將>=依+2代入上+y2=l,消去y得(l+2F)Y+8履+6=0.

a_Rk6

當(dāng)A=16F-24>0,即^>萬時(shí)，%+/=]+2左2X.x2---------

?'l+2k2

所以IA4=，l+12|X]-X2\=J(1+[2)[(X[+%)2_4=々]=2，1+j.2e

,2

又點(diǎn)0到直線l的距離d=下^,

V1+v

所以△OAB的面積S加=!小|4劇=2d4k2-6

△C/AD2II

2k2+1

__q=4?=44_V2

設(shè),4公_6=r，貝八0，AOAB~77s4^/2^^

當(dāng)且僅當(dāng)f=2應(yīng)，即