勾股定理的綜合探究題型（解析版）

專題10勾股定理的綜合探究題型（解析版）

題型一探究直角三角形的邊和高之間的關(guān)系

典例1（湖州模擬）如圖，在中，ZACB=90°,于。，設(shè)NC=6,BC=a,AB=c,CD

=肌有下列四種說法：①。"=c"；@a+b<c+h；③以a+b、h、c+/z為邊的三角形，是直角三角形;

111

其中正確的有（）

az+7b7z=7h2z?

A.1個B.2個C.3個D.4個

思路引領(lǐng)：①根據(jù)三角形面積公式即可求解；

②證明Ca+b)2<(c+/z)2；

③直角三角形，證明(。+〃)2+h2=(c+h)2；

11

④只需證明人(―+—)=1,從左邊推導(dǎo)到右邊.

11

解：①,??RtZ\48C的面積為：5仍或外力，

:?ab=ch,故①正確；

222

②Vc<c+h,層+y=c2,

：.a2+b2<c2+h2,

?cib~~chf

a2+b2+2ab<c2+/z2+2c/z,

/.(a+b)2<(c+h)2,

a+b<.c+h,故②正確；

③;(c+h)2=c2+2ch+h2,

/+(a+b)2=h1+a1+lab+b1,

?：a2+b2=c2,(勾股定理)

ab=ch(面積公式推導(dǎo))

/.。2+2。萬+〃2=h^+a^+lab+b1,

/.(c+h)2=%2+(&+b)2,

???根據(jù)勾股定理的逆定理知道

以〃，C+/Z,為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形，③正確;

（4）Vab=ch,

：.（ab）2=（ch）2,即a2b2=c2h2,

222

*.*a+b=cf

a2b2=（a2+b2）h2,

.a2b22

‘二+以=〃，

.a2+Z?21

.a2b2=后，

2b2

,--a-------=——1

?'a2b2Ta2b2一九2'

111

?.?京+記=記，故④正確?

故選：D.

總結(jié)提升：此題主要考查學(xué)生對勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，此題有一定的拔高難度，

屬于難題，在證明過程中，注意面積關(guān)系式浦=跖的應(yīng)用.

題型二“手拉手”全等或旋轉(zhuǎn)構(gòu)造手拉手全等模型

典例2（2022?臥龍區(qū)校級開學(xué)）如圖，ZBAC=ZDAF=90°,AB=AC,AD=AF,點、D,￡為3c邊上

的兩點，且404&=45°,連接斯，BF,下列結(jié)論：①AAED當(dāng)AAEF；②BF=CD；③BE+DO

DE；@BE2+DC2=DE2.其中正確的有（）

思路引領(lǐng)根據(jù)尸=90°,NZM￡=45°，得出/E4E=45°，利用S/S證明判定①

正確；

可證△NB尸出△NCD,于是BF=CD,判定②正確；

先由N8NC=/DAF=90°，得出/CAD=ZBAF,再利用S/S證明△/CD0△4BF,得出CD=BF,又①

知DE=EF,那么在48所中根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可得3￡+2尸＞跖，等量代換后判定③正

確；

先由△4CD注得出/C=N/5尸=45°,進(jìn)而得出NEAP=90°,然后在Rt^B斯中，運用勾股

定理得出8爐+5尸=￡尸，等量代換后判定④正確.

解：@VZDAF=90°,/DAE=45°,

/FAE=ZDAF-ND4E=45°.

在△4ED與尸中，

(AD=AF

\^DAE=Z.FAE=45°,

(4E=AE

:.AAED咨LAEF(SAS),①正確；

(2)VZBAC=ZDAF=90°,

：.ZFAB=ZCAD,

在AABF與A4CD中，

(AF=AD

\z.FAB=/.CAD,

VAB=AC

/\ABF^/\ACD(&4S),

：.BF=CD,②正確；

(3)VZBAC=ZDAF=90°,

：.ABAC-/BAD=ZDAF-ZBAD,即NCAD=NBAF.

在△4CD與△48尸中，

(AC=AB

\z.CAD=/.BAF,

Uw=AF

:.△ACD%4ABF(SAS),

：.CD=BF,

由①知△/皮)等/\AEF,

：.DE=EF.

在△AEF中，\'BE+BF>EF,

J.BE+DODE,③正確；

由③知△NCDgZx/B尸，

：.ZC=ZABF=45°,

:NABE=45°,

NEBF=ZABE+/ABF=90°.

在RtA8￡F中，由勾股定理，得8爐+8產(chǎn)=石尸，

,:BF=DC,EF=DE,

：.BE2+DC2=DE2,④正確.

所以正確的結(jié)論有①②③④.

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角直角三角形的性質(zhì)，三角形三邊

關(guān)系定理，相似三角形的判定，此題涉及的知識面比較廣，熟練運用這些知識點是解題的關(guān)鍵.

典例3（2020?濱州模擬）如圖，點尸是等邊三角形43c內(nèi)一點，且尸N=3,PB=4,PC=5,若將△4P2

繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△CQ2,則的度數(shù).

思路引領(lǐng)：首先證明△8P0為等邊三角形，得/BQP=60°,由△NBPgCBQ可得℃=尸4在△尸℃

中，已知三邊，用勾股定理逆定理證出得出/尸。。=90°,可求N2QC的度數(shù)，由此即可解決問題.

解：連接尸0，由題意可知△NAPg/XCB。

貝|08=尸5=4,PA=QC=3,NABP=NCBQ,

?：AABC是等邊三角形，

ZABC=ZABP+ZPBC=60°,

NPBQ=ZCBQ+ZPBC=60°,

...△AP。為等邊三角形，

：.PQ=PB=BQ=4,

又：尸0=4,PC=5,℃=3,

.?.尸02+0C2=PC2,

AZPQC=90°,

?..△AP0為等邊三角形，

ZBQP=60°,

NBQC=ZBQP+ZPQC^150

ZAPB=ZBQC=l50°

總結(jié)提升：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是

勾股定理逆定理的應(yīng)用，屬于中考?？碱}型.

針對練習(xí)

1.（洪山區(qū)期中）如圖，ZAOB=3Q°,尸點在內(nèi)部，M點在射線ON上，將線段PKr繞P點逆時

針旋轉(zhuǎn)90°,〃點恰好落在02上的N點（OM>ON）,若ON=8,則（W=—.

思路引領(lǐng)：連接作NSTLCM于〃，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NM>N=90°,PN^PM=y/To,可

判斷△尸兒/N為等腰直角三角形，則兒加=仞狎=2柢，在Rt^OHV中，根據(jù)含30度的直角三角形三

1

邊的關(guān)系得NH=5ON=4,0H=6NH=m，然后在■中根據(jù)勾股定理計算出MH=2,由此

得到0M=0H+HM=4打+2.

解：連接作于〃，如圖，

.線段繞P點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,M點恰好落在上的N點，

；.NMPN=90°,PN^PM=VTQ,

為等腰直角三角形，

:.MN=^PM=2限

在RtZk?？е校琕ZNOH=30°,ON=8,

1

：.NH=~ON=4,

OH=^NH=4瓜

在RtZXMW/中，,:NH=4,MN=2心

/.MH=VMN2-NH2=2,

：.0M=OH+HM=4V3+2.

故答案為4V3+2.

總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角

等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)

系.

2.(2020秋?永嘉縣校級期末)如圖，在△/。3與△CQD中，ZAOB=ZCOD=9Q°,AO=BO,CO=

DO,連接CN,BD.

(1)求證：△4OC2BOD；

(2)連接8C,若0c=1,AC=41，BC=3

①判斷△CZ>2的形狀.

②求//CO的度數(shù).

思路引領(lǐng)：(1)由題意可得N/0C=N2。。，且NO=BO,CO=DO,即可證△/OC之△8。。；

(2)①由全等三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理可得/8OC=90°,即可得△CD8是直角三角形;

②由全等三角形的性質(zhì)可求N/CO的度數(shù).

證明：(1)；N4OB=/COD=90°,

：.ZAOC=ZBOD,S.AO=BO,CO=DO,

：./\AOC^/\BOD(SAS)

(2)①如圖，

o

^AOC^^BOD

：.NACO=NBDO,AC=BD=@

?；CO=DO=1,NCOD=90°

：.CD=siCO2+DO2=VLZODC=ZOCD=45°

"：CD2+BD2=9=BC2,

：.ZCDB=90°

...△BC。是直角三角形

（2）,/ZBDO=ZODC+ZCDB

：.NBDO=135°

：.ZACO=ZBDO=135°

總結(jié)提升：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，熟練運

用全等三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

題型三倍長中線構(gòu)造全等三角形

典例4(2022?蘇州模擬)如圖1,在中，/4C8=90°,點〃為48中點，DE,。尸分別交NC于點

E,交8C于點足MDELDF.

(1)如果C/=C8,連接CD

①求證：DE=DF；

②求證：AE2+BF2^EF2；

(2)如圖2,如果C/<CS,探索/￡,8尸和M之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

思路引領(lǐng)：(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可知，ZDCE=ZDBF=45°,ZCDB=90°,CD=

BD.由。E_LDR可證明尸.即可利用"ZS4”證明△DCE絲△。3尸，即得出?！?。尸；②

由全等三角形的性質(zhì)可知8尸=。￡,結(jié)合題意可求出N￡=CF.在RtZ\ECF中，再由勾股定理，得C嚴(yán)+CE2

=EF2,即得出^^+臺尸二石尸；

(2)延長FD至點M,使。朋=。尸，連接NM,EM.易證四△BDF(S4S),得出Z

MAD=NB,從而判斷NM〃5C,即證明/M4E=//C8=90°.再根據(jù)線段垂直平分線的判定和性質(zhì)

可知所=EM.最后在RtZ\4EM中，由勾股定理，得/N+N/UEM2,即得出/爐+夕尸二石尸.

(1)①證明：,:CA=CB,ZACB^90°,

...△N8C是等腰直角三角形.

;點D是4B的中點,

:.NDCE=NDBF=45°,NCDB=9Q°,CD=BD.

又；DELDF,

；./EDF=/CDB=90°,

ZCDE=ZEDF-ZCDF,ZBDF=ZCDB-ZCDF,

：.NCDE=ZBDF.

在ADCE與△。8尸中,

(Z.DCE=乙DBF

]CD=BD,

k^CDE=4BDF

:ADCE<MDBF(ASA),

：.DE=DF；

②證明：由①可知△DCE四△08兄

：.BF=CE,

,:CA=CB,

：.CA-CE=CB-BF,即AE=CF.

在RtZ\ECF中，由勾股定理，得CF2+CE2=EF2,

:.AE2+BF2=EF2；

(2)解：結(jié)論：AE2+BF2^EF2.理由如下：

如圖，延長陽至點使DM=DF,連接/河，EM.

,:點、D為AB中點，

：.AD=BD,

■:/ADM=/BDF,DM=DF,

MADMmABDF(SAS),

：.AM=BF,ZMAD=ZB,

J.AM//BC,

:.NMAE=/ACB=90°.

又，；DE，DF,DM=DF,

：.DE是FM的垂直平分線，

:.EF=EM,

在中，由勾股定理，得/￡2+/“2=后肝,

：.AE2+BF2=EF2.

M

總結(jié)提升：本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的

性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識.掌握三角形全等的判定條件和正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題

關(guān)鍵.

題型四以兩個直角三角形的公共邊或等邊為橋梁運用雙勾股

典例5［閱讀理解］

如圖，在△/8C中，AB=4,AC=6,BC=1,過點N作直線8c的垂線，垂足為。，求線段的長.

解：設(shè)BD=x,則CD=7-x.

'JADLBC,

：.ZADB=ZADC=90°.

在RtAABD中，AD2=AB2-BD1,

在RtAyiCZ)中，AD2=AC2-CD2,

：.AB2-BD2=A?-CD2.

又：/8=4,AC=6,

?*.42-%2=62-(7-x)2.

"MB2_BD2=^L

［知識遷移］

（1）在△43C中，45=13,4c=15,過點/作直線3c的垂線，垂足為D.

/）如圖1,若2C=14,求線段4D的長；

ii）若/。=12,求線段8c的長.

（2）如圖2,在△4BC中，48=普訴，^C=-|V29，過點/作直線2C的垂線，交線段2c于點D,

將沿直線48翻折后得到對應(yīng)的，連接CD',若空，求線段。'的長.

思路引領(lǐng)：（1）力利用勾股定理得出/32-m2=402-CIA進(jìn)而建立方程求8。即可得出結(jié)論；

//）先利用勾股定理求出2c=5,CD=9,再分兩種情況.即可得出結(jié)論；

（2）先利用勾股定理求出8D,CD,再利用面積求出DN,進(jìn)而求出。。，再用勾股定理得出。7/2=。，02

-HD2^D'B2-HB2,進(jìn)而建立方程求出即可得出結(jié)論.

解：（1）z）設(shè)AD=x,則CD=14-x,

'：ADLBC,

；.N4DB=/4DC=90°,

在RtZ\A8。中，AD2=AB2-BD1,

在RtA^CD中,AD2^AC2-CD2,

：.AB2-BD2=AC2-CD2,

"：AB=13,AC=15,

/.132-X2=152-(14-x)2,

??x=5,

:?BD=5,

?'?^D=VAB2-BD2132-52=12;

ii)在RtA4BD中，2。=VAB2-AD2=7132-122=5'

在RtA^CZ)中，CD=VAC2-AD2=V152-122=91

當(dāng)//BC為銳角時，如圖1-1,2c=2O+CD=5+9=14,

當(dāng)NN2C為鈍角時，如圖1-2,BC=BD-CD=9-5=4；

（2）如圖2,連接。。交43于點N,則?！辏尽?瓦

過點O作D'HIBD于H,

在Rt△/皿中，AB2-AD2=J產(chǎn)得）2號;

在RtzX/C。中，CD=｛記2_疝2=蘇產(chǎn)-（與）2=5,

垂直平分。。，

：.DB=DB=至,DD=2DN,

4

總結(jié)提升：此題是三角形綜合題，主要考查了勾股定理，直角三角形的構(gòu)造，利用方程的思想解決問題

是解本題的關(guān)鍵.

針對訓(xùn)練

1.如圖，在中，ZACB=90°，4D平分NC4B,交于點D.若NC=3,AB=5,則CD的長

B

思路引領(lǐng)：如圖，作DH工于H.首先證明NC=/〃，DC=DH,AC=AH=3,設(shè)DC=DH=x,在

RtABDH中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

解：如圖，作DH工4B于H.

HB

平分/C/8,DCLAC,DHLAB,

：.ZCAD=ZHAD,ZC=ZAHD=90°,

'：AD=AD,

：./\ADC^/\ADH(AAS),

；.AC=AH=3,CD=DH,設(shè)CD=DH=x,

"：AB=5,

:?BH=AB=AH=5-3=2,

在RtzXZCB中，VZC=90°,AC=3,AB=5,

.?.8C=V^^=%

在RtZ\〃5。中，則有(4-x)2=X2+22,

?I

2

:.CD=3,

2

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查勾股定理，角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.

2.如圖，在△N8C中，/DJ_8C于點。，B尸平分/ABC交4D于點E,交AC于點F.AC=17,AD=15,

2C=28,則NE的長等于.

思路引領(lǐng)利用勾股定理可得DC和45的長，由角平分線定理可得￡G=￡D,證明RtZXBOE絲RtZXBGE

(HL),可得BG=BD,設(shè)NE=x,則￡D=15-x,根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論.

解：\'AD±BC,

"：AD=15,AC=17,

?'-DC=VAC2-AD2=V172-152=8,

V5C=28,

:.BD=23-8=20,

由勾股定理得：AB—^20^+152=251

過點E作EG±AB于G,

,；BF平分/ABC,ADLBC,

:.EG=ED,

在RtABDE和RtASGE中,

“EG=ED,

-IBE=BE'

:.Rt/XBDE咨RtABGE(HL),

:.BG=BD=2Q,

：.AG=25-20=5,

設(shè)NE=x,則ED=15-x,

：.EG=15-x,

RtZk/GE中，X2=52+(15-x)2,

：,AE=^.

3

故答案為：25

3

總結(jié)提升：本題考查了角平分線性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理

是解題的關(guān)鍵.

題型五勾股定理解決折疊問題

典例6(2022?東莞市校級二模)將正方形N8CD折疊，使頂點/與CD邊上的點M重合，折痕交4D于￡,

交BC于F,邊折疊后與5c邊交于點G.若DC=5,CM=2,則￡下=()

A.3B.4C.V29D.V§4

思路引領(lǐng)：作萬7/_L4D,結(jié)合折疊性質(zhì)：EFLAM,證NPOF=/AOH=/AMD=/FEH,再證

出AFHE得EF=4M,根據(jù)勾股定理即可求出結(jié)果.

解：由折疊的性質(zhì)得￡尸，/河，

過點/作于H,交NAf于O,

:.NHAO+/AOH=9G°、ZHAO+ZAMD^90°,

：.ZPOF=ZAOH=AAMD,

又；EFLAM,

：.ZPOF+ZOFP=90°、ZHFE+ZFEH=90°,

ZPOF=ZFEH,

...NFEH=AAMD,

???四邊形/BCD是正方形，

：.AD=CD=FH=5,

在A4DM和4FHE中,

(Z.ADM=Z.FHE

l^AMD=AFEH,

VAD=FH

:.4ADM/MHE(AAS),

：.EF=AM=-JAD2+DM2=Vs2+32=V34.

故選：D.

總結(jié)提升：本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

針對訓(xùn)練

1.如圖，將一張長方形紙片沿著NE折疊后，點。恰好與3C邊上的點尸重合，已知4B=6cm,2C=10

解：由題意可知zMOE三

所以4F=4D=10cm,EF—DE.

在RtA4FB中，根據(jù)勾股定理得BF=J/產(chǎn)一/爐=8(cm),

所以FC=BC~BF=2(cm).

設(shè)EC=xcm,DE—DC—EC—(6~x)cm,即￡F=(6—x)cm,

在RtAAFC中，根據(jù)勾股定理有EF2=FC1+EC2,

88

即(6—x)2=22+N,解得所以EC=]cm.

題型六勾股定理在平面直角坐標(biāo)系背景下的應(yīng)用

典例7(2017春?武昌區(qū)校級月考)如圖，A(0,m),B(小0),滿足J(、-5)2+◎-10〃+25=0

(1)求點4,點、B的坐標(biāo);

(2)點尸是第二象限內(nèi)一點，過點/作/C，射線AP,連接CO,試探究2C,AC,CO之間的數(shù)量關(guān)

系并證明.

(3)在(2)的條件下，/POC=/APC,PA=4五,求尸3的長.

思路引領(lǐng)：(1)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得機(jī)、"的值，易得點/、3的坐標(biāo)；

(2)如圖1,作。。_LOC交尸8于。，證(4SL4)(提示NO,8c八字形)，得證等腰Rt

△OCD,故BC-AC=CD=yfiCO；

(3)作(W_L。尸交/C延長線于M,作NN_LO尸于N,連接易證(ASA),故PB

=MA,且得證等腰RtZ\OPA/,又NAPO=NAPC+NOPC=NPOC+NOPC=/OCB=45°,所以

ZAPM=450+45°=90°,易求出QP=PN+ON=4+3=7,(RtAANO,等腰RtZi4PN),RtZ\4PM中,

MA=^AP2+MP2=J(4V2)2+(7V2)2=V130.

解：(1)y/(m-5)2+n2-10/7+25=0,

\m-5|+(M-5)2=0

'.m-5=0且"-5=0,

貝Um=5,n=5,

故4(0,5)B(5,