滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)常見題型專練：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)（解析版）

第02講二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

百)【知識(shí)梳理】

—.二次函數(shù)的圖象

(1)二次函數(shù)y=o?(aWO)的圖象的畫法：

①列表：先取原點(diǎn)(0,0),然后以原點(diǎn)為中心對(duì)稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表.

②描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點(diǎn).

③連線：用平滑的曲線按順序連接各點(diǎn).

④在畫拋物線時(shí)，取的點(diǎn)越密集，描出的圖象就越精確，但取點(diǎn)多計(jì)算量就大，故一般在頂

點(diǎn)的兩側(cè)各取三四個(gè)點(diǎn)即可.連線成圖象時(shí)，要按自變量從小到大(或從大到小)的順序用

平滑的曲線連接起來.畫拋物線y=o?(aWO)的圖象時(shí)，還可以根據(jù)它的對(duì)稱性，先用描

點(diǎn)法描出拋物線的一側(cè)，再利用對(duì)稱性畫另一側(cè).

(2)二次函數(shù)yuai？+bx+c(aWO)的圖象

二次函數(shù)(aWO)的圖象看作由二次函數(shù)》=內(nèi)2的圖象向右或向左平移?區(qū)?個(gè)

2a

單位，再向上或向下平移|4ac-b2?個(gè)單位得到的.

4a

二.二次函數(shù)的性質(zhì)

2

二次函數(shù)y^ax^+bx+c(〃W0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(——,4ac-b),對(duì)稱軸直線工=-—,

2a4a2a

二次函數(shù)y二蘇十版+c(。#0)的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)a>0時(shí)，拋物線y=ax1+bx+c(〃W0)的開口向上，x<-上?時(shí)，y隨x的增大而減小；

2a

2

上時(shí)，y隨工的增大而增大；1=-且時(shí)，y取得最小值二Lb,即頂點(diǎn)是拋物線

2a2a4a

的最低點(diǎn).

②當(dāng)a<0時(shí)，y=ax2+bx+c(a#0)的開口向下，x<-工時(shí)，y隨尤的增大而增大；

2a

2

X>-旦時(shí)，y隨X的增大而減??；x=-2時(shí)，y取得最大值4am一,即頂點(diǎn)是拋物線

2a2a4a

的最高點(diǎn).

③拋物線y=o?+6x+c(aWO)的圖象可由拋物線y=o?的圖象向右或向左平移|-也|個(gè)單

位，再向上或向下平移但生二直?個(gè)單位得到的.

4a

三.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：

①一般式：y=ajT+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）；②頂點(diǎn)式：y=a（x-A）2+k.（a,h,k

是常數(shù)，aWO）,其中（h,k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)；③交點(diǎn)式：y=a（x-xi）（尤-尤2）（a,b,c是

常數(shù)，aWO）；

（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.

在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系

式，從而代入數(shù)值求解.一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列

三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；

當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解.

D【考點(diǎn)剖析】

二次函數(shù)的圖象（共9小題）

1.（2022秋?安徽期中）aSy=ax+ly=cu?+bx+\（aWO）的圖象可能是（）

【分析】分別討論”>0與兩種情況時(shí)一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象的草圖，進(jìn)而求

解.

【解答】解：當(dāng)。>0時(shí)，直線>=亦+1從左至右上升，拋物線開口向上,

選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)2,￡>錯(cuò)誤.

當(dāng)a<0時(shí)，直線y=ax+l從左至右下降，拋物線》="2+版+1開口向下，

選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

2.（2022秋?懷遠(yuǎn)縣期中）如圖所示的拋物線是二次函數(shù)＞=Cm-2）x2-,ix+nr+m-6的圖

4象，那么m的值是-3.

【分析】由圖可知，二次函數(shù)圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，然后代入函數(shù)解析式進(jìn)行計(jì)算即可求

出根的值，再根據(jù)拋物線開口向下求出機(jī)的取值范圍，從而得解.

【解答】解：?二次函數(shù)y=（m-2）A2--6經(jīng)過（0,0）,

??nr+m-6—0,

解得見=2,m2—-3,

??,拋物線開口向下，

；?m-2V0,

解得m＜2,

Am--3.

故答案為：-3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象，觀察圖形得到拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，

要注意根據(jù)拋物線的開口方向確定出m的取值范圍，這也是本題容易出錯(cuò)的地方.

3.（2022秋?大觀區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)＞=|7-4|的大致圖象如圖所示，那么：方程|?-4|

=m.（初為實(shí)數(shù)）

①若該方程恰有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根的值是m=4.

②若該方程恰有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根的取值范圍是八=0或m＞4.

【分析】方程|7-4|=加（根為實(shí)數(shù)）有3個(gè)，2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)＞=

k2-4|的圖象與直線y=機(jī)的圖象有3個(gè)，2個(gè)交點(diǎn)，由此即可解決問題.

【解答】解：①方程廿-4|=機(jī)（機(jī)為實(shí)數(shù)）有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y

=|?-4|的圖象與直線y=m的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，

因?yàn)楹瘮?shù)y=|f-4|與y軸交點(diǎn)（0,4）,

觀察圖象可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m=4.

故答案為：根=4.

②方程k2-4|=m（m為實(shí)數(shù)）有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=[x2-4|的圖

象與直線y=m的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，

因?yàn)楹瘮?shù)〉=4-4|與y軸交點(diǎn)（0,4）,

觀察圖象可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，相>4或〃z=0.

故答案為：加>4或7〃=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象、根的判別式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思

想思考問題.

4.（2022秋?潁上縣期中）如圖是二次函數(shù)y=a?+6x+c的圖象，則函數(shù)y=a（x-6）2+c的

圖象可能是（）

【分析】先根據(jù)尸a/+6x+c的圖象得到八6、c的正負(fù)情況，然后即可得到函數(shù)尸a

（x-6）2+c的圖象的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)解頂點(diǎn)坐標(biāo)所在的位置，從而可以判斷哪個(gè)選

項(xiàng)中圖象符合題意.

【解答】解：由;y=ax2+fec+c的圖象可得，

①b>0,c>0,

?.?函數(shù)y=a（x-Z?）2+c,

???該函數(shù)的圖象開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為。，。），且該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第一象限，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出小反C的正負(fù)情

況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

5.（2022秋?蚌山區(qū)月考）對(duì)于二次函數(shù)y=（x-1產(chǎn)+2的圖象，下列說法正確的是（）

A.開口向下

B.對(duì)稱軸是直線尤=-1

C.頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1,2）

D.當(dāng)尤VI時(shí)，y隨x的增大而減小

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是

否正確.

【解答】解：???二次函數(shù)y=（x-1）2+2,

該函數(shù)的圖象開口向上，故選項(xiàng)A的說法錯(cuò)誤，

對(duì)稱軸是直線x=l,故選項(xiàng)3中的說法錯(cuò)誤；

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）,故選項(xiàng)C中的說法錯(cuò)誤；

當(dāng)x<l時(shí)，y隨尤的增大而減小，故選項(xiàng)。中的說法正確；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，增減性，解答本題的關(guān)鍵是明

確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

6.（2022?包河區(qū)三模）已知二次函數(shù)y=a?+（6-1）無+c+l的圖象如圖所示，則在同一坐

標(biāo)系中竺=/+a+1與y2=x-c的圖象可能是（）

【分析】由已知二次函數(shù)y=/+（b-l）x+c+l的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0-1和

1-2之間，就可以確定二次函數(shù)y=o?+bx+l與直線y=x-c的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0-1和

1-2之間.

【解答】解：；二次函數(shù)尸/+（b-1）x+c+1的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0-1和

1-2之間，

.,.二次函數(shù)y=ax2+bx+l與直線y=x-c的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0-1和1-2之間，

.,.在同一坐標(biāo)系中y\=a）?+bx+l與y2=x-c的圖象可能是A,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象和性

質(zhì)，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?利辛縣校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)E、F、G、〃分別是正方形ABC。邊AB、BC、CD、

D4上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=。，.設(shè)A、E兩點(diǎn)間的距離為尤，四邊形EFG”的面積為

y,則y與x的函數(shù)圖象可能為（）

【分析】本題需先設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為他，然后得出y與x、機(jī)是二次函數(shù)關(guān)系，從而得出

函數(shù)的圖象.

【解答】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為相，則機(jī)＞0,

\9AE—x,

:?DH=x,

??A.H~~tri~Xj

t：Effi=AE1+AH1,

（m-x）2,

y=/+/-2mr+m2,

y—2j?-27nx+/,

22

=2[（x--Im）+-lm],

24

=2（X-—/M）2+—

22

與x的函數(shù)圖象是A.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

8.（2021秋?金安區(qū)期末）已知等腰直角△ABC的斜邊AB=4&,正方形DEPG的邊長(zhǎng)為

品,把△ABC和正方形。EPG如圖放置，點(diǎn)8與點(diǎn)E重合，邊與EP在同一條直線

上，將△ABC沿4B方向以每秒、歷個(gè)單位的速度勻速平行移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)E重合時(shí)停

止移動(dòng).在移動(dòng)過程中，△ABC與正方形。E/G重疊部分的面積S與移動(dòng)時(shí)間f（s）的

函數(shù)圖象大致是（）

【解答】解：①當(dāng)0<//1時(shí)，S=JxV2t-V2七=凡函數(shù)為開口方向向上的拋物線;

c

DG

AEBF

②當(dāng)1</W2時(shí)，如圖2,

圖2

設(shè)BC交FG于H,貝ij尸

則GH=[2-BF=2>/2-V2t)

s=s正方形DEFG-SAHMG=(點(diǎn))2-(2V2W2t)2=-P+4r-2,函數(shù)為開口方向

向下的拋物線；

③當(dāng)2C/W3時(shí)，5=2；

④當(dāng)3</W4時(shí)，同理可得5=2總又(后)2=-金+6，-7,函數(shù)為開口方向向

下的拋物線；

故只有選項(xiàng)C符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)題意得出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解答

本題的關(guān)鍵.

9.(2022秋?杜集區(qū)校級(jí)月考)已知二次函數(shù)y=(x-2)2-4.

(1)在給定的直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；

(2)根據(jù)圖象，直接寫出當(dāng)y<0時(shí)x的取值范圍.

【分析】(1)利用列表，描點(diǎn)，連線作出圖形即可；

(2)寫出函數(shù)圖象在x軸下方的部分的x的取值范圍即可.

【解答】解：(1)列表：

X.??01234???

y.??0-3-4-30???

描點(diǎn)、連線如圖;

(2)由圖象可知：當(dāng)y<0時(shí)x的取值范圍是0<x<4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象，注意：二次函數(shù)的解析式的三種形式：

(1)一般式：y=a>?+bx+c(aWO,a、b、c為常數(shù))；

(2)頂點(diǎn)式：y=a(尤-/i)2+k；

(3)交點(diǎn)式(與x軸)：y=a(x-尤1)(x-%2).

—.二次函數(shù)的性質(zhì)(共17小題)

10.(2022秋?田家庵區(qū)校級(jí)月考)拋物線y=2(x+9)2-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(9,3)B.(9,-3)C.(-9,3)D.(-9,-3)

【分析】由拋物線解析式可得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：；y=2(x+9)2-3,

拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-9,-3),

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式.

11.(2022秋?淮南月考)拋物線y=/-6x+9的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(3,0)B.(-3,0)C.(-3,9)D.(3,9)

【分析】先將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：?.?拋物線y=7-6x+9=(x-3)2,

...該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是可以將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式.

12.（2022秋?廬陽區(qū)校級(jí)期中）拋物線y=（x+1）2-1的對(duì)稱軸是（）

A.直線x=0B.直線尤=1C.直線x=-lD.直線y=l

【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式，可以寫出該拋物線的對(duì)稱軸，本題得以解決.

【解答】解：.??拋物線的解析式為y=（x+l）2-1,

該拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-1,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查將二次函數(shù)的性質(zhì)，解析式化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-A）~+k,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

（〃，￡）,對(duì)稱軸是直線x=/i.

13.（2022秋?蕪湖期中）在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=2/,y=-2?,丫弓*2的圖象，

它們的共同點(diǎn)是（）

A.關(guān)于y軸對(duì)稱，拋物線的開口向上

B.關(guān)于y軸對(duì)稱，拋物線的開口向下

C.關(guān)于y軸對(duì)稱，拋物線的頂點(diǎn)都是原點(diǎn)

D.當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小

【分析】根據(jù)解析式中的a值判斷拋物線的開口方向，再由解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱

軸.

【解答】解：；在函數(shù)y=2/,y=-27,yn/x2中，。取值范圍分別為：a>0,a<Q,

a>0f

???拋物線的開口方向分別為：向上，向下，向上，

由函數(shù)y=2f,y=-,y蔣的解析式可知，

頂點(diǎn)坐標(biāo)都為（0,0）,

.??它們的共同點(diǎn)是關(guān)于>軸對(duì)稱，拋物線的頂點(diǎn)都是原點(diǎn).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握y=/的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，頂點(diǎn)為原點(diǎn)

是解題關(guān)鍵.

14.（2022秋?淮南月考）定義符合加”{a,6}的含義為:當(dāng)a>6時(shí)，加w{a,b]=b；當(dāng)

b,min{a,b}—a,如：min{\,-3}=-3,min{-4,-2}=-4.則冽沅-x]

的最大值是（）

A.0B.1C.娓+]D.疾

22

【分析】先求出兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)初的定義解答即可.

2

【解答】解：聯(lián)立，y=-x+i,

y=-x

_1小1-V5

Xi『一、2=2

解得

min[-7+1,-x｝的最大值是1二1

所以,

2

故選:D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，讀懂題目信息，理解定義符號(hào)的意義并考慮

求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

15.（2022秋?蚌埠期中）下列拋物線中，與拋物線y=7-2x+4具有相同對(duì)稱軸的是（）

A.y=4/+2尤+1B.y=W-4xC.y=2x2-x+4D.y=-2^+4x

【分析】根據(jù)題目中的拋物線，可以求得它的對(duì)稱軸，然后再求出各個(gè)選項(xiàng)中的二次函

數(shù)的對(duì)稱軸，即可解答本題.

【解答】解：：拋物線y=7-2x+4=（x-1）2+3,

該拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1,

A、y=4?+2x+l的對(duì)稱軸是直線尤=--2—=-工，故該選項(xiàng)不符合題意；

2X44

B、v=？-4x的對(duì)稱軸是直線x=-二^=2,故該選項(xiàng)不符合題意；

1X2

C、j=2?-x+4的對(duì)稱軸是直線x=--^=1,故該選項(xiàng)不符合題意；

2X24

D、y=-2r+4x的對(duì)稱軸是直線》=--^=1,故該選項(xiàng)符合題意.

■2X-2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)

解答.

16.（2022秋?安徽期中）若拋物線尸-2Cx+m-1）2-3m+6的頂點(diǎn)在第一象限,則根的

取值范圍是（）

A.m<1B.m<2C.l<m<2D.-2<m<-1

【分析】直接利用頂點(diǎn)形式得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合第一象限點(diǎn)的特點(diǎn)列出不等式解答即可.

【解答】解：：拋物線y=-2（x+m-1）2-3m+6,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-/"+1,-3/〃+6）,

?.?頂點(diǎn)在第一象限，

-m+1>0,-3m+6>0,

...根的取值范圍為m<1.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)y=。（尤-/力2+左的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（九%）,

以及各個(gè)象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

17.（2022秋?利辛縣月考）如圖選項(xiàng)中，能描述函數(shù)y=a/+b與y=ax+6,（浦<0）的圖

象可能是（）

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷出各個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)y=ax1+b

與y=ax+b中a、b的正負(fù)情況，然后即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意.

【解答】解：選項(xiàng)A中y=or+b的a<0,6>0,y=o?+6的a>0,b>0,故選項(xiàng)A不符

合題意；

選項(xiàng)B中y=ox+b的a>0,b<Q,y=a/+6的a>0,b<0,故選項(xiàng)B符合題意；

選項(xiàng)C中y=ox+6的a<0,b>0,y=/+b的a<0,b<0,故選項(xiàng)C不符合題意；

選項(xiàng)。中y=ax+6的a>0,b<0,y=a/+6的a<0,b<0,故選項(xiàng)D不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用

數(shù)形結(jié)合的思想解答.

18.（2022秋?包河區(qū)校級(jí)月考）已知二次函數(shù)>=辦2+a+。的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y

=6x+c的圖象和反比例函數(shù)尸巨也婦的圖象在同一坐標(biāo)系中大致是（）

y

-io\i力

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向下和對(duì)稱軸可知b〈0,由拋物線交y的正半軸，

可知。>0,由當(dāng)％=1時(shí)，yVO,可知o+b+cVO,然后利用排除法即可得出正確答案.

【解答】解：???二次函數(shù)的圖象開口向下，

?\a<0,

：一2<0,

2a

：.b<0,

???拋物線與y軸相交于正半軸，

；.c>0,

二?直線y=/zx+c經(jīng)過一、二、四象限，

由圖象可知，當(dāng)％=1時(shí)，yVO,

a+A+cVO,

反比例函數(shù)y苴X的圖象必在二、四象限，

X

故A、B、D錯(cuò)誤,C正確；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，反比例函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)，

熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵.

19.（2022?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）如圖，函數(shù)y=1-x,+2x（x；0）的圖象，若直線丫二%+m與

-x（x<0）

該圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍為或mWO

【分析】利用排除法，先求得直線y=x+〃z與該圖象有兩個(gè)或三個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值，則

可求得結(jié)論.

【解答】解：由題意，直線尸x+m與函數(shù)尸〕-x”+2x(x>0)的圖象恒相交，

-x(x<0)

①當(dāng)m>0時(shí)，直線y—x+m與直線尸-x(x<0)恒相交，與拋物線y=-f+2x(x>

0)至少有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即方程x+加=-/+2x(x>0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

??X-x+TTl0,

.??△=(-1)2-4XlXm^0,

解得：

.?.當(dāng)0<1r時(shí)，直線y=x+m與函數(shù)y=1-X2+2X(X>0)的圖象有兩個(gè)或三個(gè)交

4(-x(x<0)

點(diǎn)，

.?.當(dāng)時(shí)，直線>=尤+/與函數(shù)y=-x"+2x(x->0)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；

4-x(x<0)

②當(dāng)mWO時(shí)，由圖象可知，直線產(chǎn)X+m與函數(shù)尸!-x~2x(x>0)的圖象只有一

「X(x<0)

個(gè)交點(diǎn)，

綜上，若直線y=x+m與該圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍為m》人或mWO.

4

故答案為：m〉」或mWO.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象

上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，圖象的交點(diǎn)與一元二次方程根的

判別式的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合法解答是解題的關(guān)鍵.

20.(2022秋?蜀山區(qū)校級(jí)月考)求下列二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸:

(1)y=3f-6x+4；

(2)y=-：+2%+2

22

【分析】（1）將題目中的函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可寫出該函數(shù)圖象的開口方向、頂點(diǎn)

坐標(biāo)和對(duì)稱軸；

（2）將題目中的函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可寫出該函數(shù)圖象的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和

對(duì)稱軸.

【解答】解：（1）Vy=3?-6x+4=3（尤-1）2+1,

，該函數(shù)圖象的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,對(duì)稱軸為直線x=l；

2

（2）,.>=-AX+2X+A=-A（x-2）2+_i,

2222

該函數(shù)圖象的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）,對(duì)稱軸為直線x=2.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用

二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

21.（2022秋?利辛縣月考）已知關(guān)于x的二次函數(shù)丫=以2-2依+1（a<0）：

（1）該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=^.

（2）當(dāng)天>加時(shí)，y隨x的增大而減小，則一的取值范圍是.

【分析】（1）利用對(duì)稱軸公式即可求得；

（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=-二紅=1,

2a

故答案為：1；

（2）'：a<0,

拋物線開口向下，

:對(duì)稱軸為直線尤=1,

...當(dāng)x>l時(shí)，>隨x的增大而減小，

...當(dāng)x>〃z時(shí)，y隨x的增大而減小，

'-m的取值范圍是機(jī)》1,

故答案為：m^l.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

22.（2022秋?蜀山區(qū)校級(jí)月考）已知拋物線y=d-2x-2.

（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出這條拋物線.

（2）直接寫出這條拋物線的對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo).

(3)直接寫出當(dāng)x取什么值時(shí)，y隨x的增大而減小?

(4)直接寫出當(dāng)x取什么值時(shí)，y>l?

【分析】(1)列表、描點(diǎn)，連線，在坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)圖象即可;

(2)由(1)可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸可直接得出結(jié)論；

(4)直接根據(jù)函數(shù)圖象可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)列表：

X…-10123???

y…1-2-3-21…

描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象如圖

yn

■4什-

公

rl-

■

I1

0

0?

1

■-■

7-:

I-

I-

T■T■

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—

I一r

T■-■

I-:T

I-

-

T■-，■

I-：E

-

—-

.■-?■

-

-

-

-

-

(2)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3)；

（3）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)尤<1時(shí)，y隨x的增大而減小；

（4）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)尤<-1或x>3時(shí)，y>l.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，能根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解

答此題的關(guān)鍵.

23.（2022?包河區(qū)二模）在函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表，描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，并結(jié)合

圖形研究函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用的過程，以下是研究三次函數(shù)^二一+旦%21^。）的性質(zhì)時(shí).列

（2）結(jié)合圖象，直接寫出工工+3忘0?+旦一的解集為：-6WxW-2或x22

24

【分析】（1）把x=7,y=S代入y=/+2x2（aWO）求得a.然后利用函數(shù)解析式分

84

別求出機(jī)、n,利用描點(diǎn)法畫出圖象即可；

（2）利用圖象即可解決問題.

【解答】解：（1）把x=-1,y=$代入丁=0?+±，（a#0）得，-a+±=$,

8448

解得a=l,

8

當(dāng)x=-4時(shí)，x3+—X2=4；

84

當(dāng)x=-2時(shí)，x3+—X2=2；

84

??77t—4,〃=2,

（2）由圖象可知，不等式2x+3W/+旦x2的解集為-6WxW-2或x22.

24

故答案為：-6?忘-2或了，2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)圖象和性質(zhì)，能夠從表格中獲取信息，利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，

并結(jié)合函數(shù)圖象解題是關(guān)鍵.

24.（2022?淮北一模）設(shè)二次函數(shù)”、”的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為Q，6）、（c、d）,若a=

2c、b=2d,且兩圖象開口方向相同，則稱yi是"的“同倍項(xiàng)二次函數(shù)”.

（1）寫出二次函數(shù)y=f+x+l的一個(gè)“同倍項(xiàng)二次函數(shù)”；

（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)yi=/+nx和二次函數(shù)＞2=/+3加+1,若yi+y2是yi的“同

倍項(xiàng)二次函數(shù)”，求〃的值.

【分析】（1）先求出y=/+x+l的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)同倍項(xiàng)二次函數(shù)的定義求出答案；

（2）先求出yi和yi+”的解析式并求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)條件a=2c,b=2d,且開口

方向相同求出”的值.

【解答】解：⑴Vy=?+x+l,

.*.y=(x+—)2+—,

24

二二次函數(shù)y=W+x+l的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-/，總)，

...二次函數(shù)y=/+x+l的一個(gè)“同倍項(xiàng)二次函數(shù)”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,"I),

.??同倍項(xiàng)二次函數(shù)的解析式為尸(x+l)2+-|；

(2)yi=x1+nx=(x+—)2-,

24

2

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，-二一)，

24

丁1+〉2=/+依+/+3〃1+1=2/+4依+1=2(x+〃)？+1-2〃2,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-〃，1-2n2),

??,"+”是yi的“同倍項(xiàng)二次函數(shù)”，

2

???1-2層=2><(-二一)，

4

解得：〃=±返.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握“同倍項(xiàng)二次函數(shù)”的

定義，理解題意，按條件的要求求得答案即可.

—Y+2(1)

25.(2021秋?安慶期末)已知函數(shù)>=

-x+4x(x>1)

(1)用描點(diǎn)法畫出此函數(shù)的圖象；

(2)根據(jù)圖象，直接寫出當(dāng)x為何值時(shí)，y隨著x的增大而減??？

(3)當(dāng)>=左時(shí)，對(duì)應(yīng)的自變量x的值有2個(gè)，直接寫出發(fā)的取值范圍.

【分析】(1)描點(diǎn)法畫出函數(shù)的圖象即可;

(2)觀察圖象即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)圖象即可求解.

【解答】解：(1)如圖所示；

(2)由圖象可知，當(dāng)x<l或x>2時(shí)，y隨著x的增大而減??；

(3)由圖象可知，左的取值范圍是lWk<3或左=4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確畫出函數(shù)的

圖象是解題的關(guān)鍵.

26.(2022秋?迎江區(qū)期中)定義符號(hào)加"{a,b}含義為：當(dāng)時(shí)初%{a,b}=b；當(dāng)a<

6時(shí)加”{a,b]=a.如：min{1,-3}=-3,min[-4,2)=-4.則相位{-/+1,-x]

的最大值是()

A.遍B.遙+1C.1D.0

22

【分析】，〃玩{a,b}的含義就是取二者中的較小值，畫出函數(shù)圖象草圖，利用函數(shù)圖象的

性質(zhì)可得結(jié)論.

【解答】解：在同一坐標(biāo)系xOy中，畫出二次函數(shù)y=-f+1與正比例函數(shù)y=-x的圖

象，如圖所示.設(shè)它們交于點(diǎn)A、B.

令-f+l=-x,-x-1=0,解得：兀=_1~，或J■一遍,

22

...A（bV§,,炳T）,B（1/后,一C）.

2222

觀察圖象可知：

①當(dāng)xW1一遍時(shí),min{-x2+l,-x}=-x2+l,函數(shù)值隨x的增大而增大，其最大值為

2

V5-1.

2，

②當(dāng)上正＜x〈止區(qū)時(shí)，min{-j?+\,-X}=-X,函數(shù)值隨x的增大而減小，其最大

22

值為小于吏-1；

2

③當(dāng)X》止區(qū)時(shí)，min[-^+1,-x}=-x2+l,函數(shù)值隨x的增大而減小，最大值為

2

綜上所述，-x}的最大值是亞二1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，充分理解定義相位{。，6}和掌

握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共11小題）

27.（2022秋?蚌山區(qū)校級(jí)月考）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2,-1）,且與y軸交于點(diǎn)（0,

3）,這個(gè)拋物線的表達(dá)式是（）

A.~4x+3B.y—x2+4x+3C.y=x2+4x-1D.-4x-1

【分析】由于已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為y=a（x-2）2-1QW0）,

再把（0,3）代入可計(jì)算出a的值即可.

【解答】解：???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-1）

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2-1（“wo）,

把（0,3）代入得：4a-1=3,

解得，a=\.

所以，這條拋物線的解析式為：y=（x-2）2-l=f-4x+3.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，

二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給點(diǎn)的特征選擇適當(dāng)?shù)姆椒?

28.（2022秋?杜集區(qū)校級(jí)月考）若某二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線>=3/相同，且頂點(diǎn)坐

標(biāo)為（0,-2）,則它的表達(dá)式為v=3?-2或v=-3、-2.

【分析】利用頂點(diǎn)式求解即可.

【解答】解：圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-2）,

可以設(shè)函數(shù)解析式是y=o?-2,

又???形狀與拋物線y=-3,相同，即二次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值相同，

間=3,

這個(gè)函數(shù)解析式是：y=3/-2或y=-37-2,

故答案為：y=3x2-2或y=-3X2-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，如果已知三點(diǎn)坐標(biāo)可以利用一般式

求解；若已知對(duì)稱軸或頂點(diǎn)坐標(biāo)利用頂點(diǎn)式求解比較簡(jiǎn)單.

29.（2022?蜀山區(qū)校級(jí)三模）如圖，直線y=-x+1與x軸交于點(diǎn)A,直線根是過點(diǎn)A、B

（-3,0）的拋物線的對(duì)稱軸，直線y=-x+1與直線”2交于點(diǎn)C,已知點(diǎn)

D（?,5）在直線y=-x+1上，作線段CD關(guān)于直線m對(duì)稱的線段CE,若拋物線與折線

DCE有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍為（）

y

m

A.B.OCaWl

-」<或

C.a<00<a<lD.a》1或~--

22

【分析】根據(jù)題意求得C、。、E的坐標(biāo)，由對(duì)稱軸為尤=-1,得出b=2a,由拋物線y

=a/+bx+c過點(diǎn)A（1,0）得出c=3a,即可得出拋物線為了="2+2辦-3a,然后分兩種

情況：（力若a>0,拋物線開口向上且經(jīng)過。（-4,5）,求得。=1,由對(duì)稱性可知：當(dāng)

時(shí)，拋物線與折線DCE有兩個(gè)交點(diǎn)；花)若。＜0,拋物線開口向下且經(jīng)過C(-1,

2),求得。=-工；由對(duì)稱性可知：當(dāng)。＜-工時(shí)，拋物線與折線DCE有兩個(gè)交點(diǎn)；據(jù)此

22

即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.?直線y=-尤+1與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)。("，5)在直線y=-x+1上，

AA(1,0),0(-4,5),

拋物線的對(duì)稱軸為尤=-1,

，y=l+l=2,

：.C(-1,2),

VC＞后關(guān)于直線％=-1對(duì)稱，

：.E(2,5),

.---.----b---_-11,

2a

??b=2a,

把A(1,0)代入拋物線＞=〃/+析+。得c=-3Q,

二?拋物線的解析式為：尸〃/+2〃％-3〃

(z)若〃＞0,拋物線開口向上且經(jīng)過。(-4,5),把(-4,5)代入＞=以2+2以-3〃

求出：a—1；

由對(duì)稱性可知：當(dāng)。三1時(shí)，拋物線與折線OCE有兩個(gè)交點(diǎn)；

(法)若〃V0,拋物線開口向下且經(jīng)過C(-1,2),把。(-1,2)代入＞=。/+2以-

3〃求出：a=--；

2

由對(duì)稱性可知：當(dāng)〃＜-工時(shí)，拋物線與折線DCE有兩個(gè)交點(diǎn)；

2

綜上所述：當(dāng)或工時(shí)，拋物線與折線。CE有兩個(gè)交點(diǎn)；

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

30.(2022秋?包河區(qū)期中)請(qǐng)寫出一個(gè)開口向下，并且與y軸交于點(diǎn)(0,3)的拋物線的表

達(dá)式：y=-/+3(答案不唯一).

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線開口向下。＜0,然后寫出即可.

【解答】解：拋物線解析式為y=-7+3（答案不唯一）.

故答案為：y=-7+3（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，開放型題目，主要利用了拋物線的開口方向與二

次項(xiàng)系數(shù)。的關(guān)系.

31.（2022秋?無為市期中）形狀與開口方向都與拋物線y=-2/相同，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0,-

5）的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為v=--5

【分析】設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+Zz）2+k,由條件可以得出。=-2,再將頂點(diǎn)坐標(biāo)

代入解析式就可以求出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為5,且該拋物線的形狀與開口方向都與拋物線

y=-2,相同，

??Q,———2,

.*.j=-2*-5,

故答案為：y=-27-5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)頂點(diǎn)式運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，在解答時(shí)

運(yùn)用拋物線的性質(zhì)求出。值是關(guān)鍵.

32.（2022秋?蜀山區(qū)校級(jí)月考）二次函數(shù)的圖象如圖所示，求該圖象的解析式.

【分析】由于已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（尤-1）2+4,然后把（-1,0）

代入后計(jì)算出a的值即可

【解答】解：由圖象可知，拋物線的頂點(diǎn)為（1,4）,與x軸的交點(diǎn)為（-1,0）,（3,0）,

設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）2+4,

把點(diǎn)（-1,0）代入得4?（-1-1）2+4=0,

解得a=-1.

所以二次函數(shù)解析式為？=-（%-1）2+4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)

關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解.一

般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；

當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與X軸

有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解.

33.(2022秋?包河區(qū)期中)已知二次函數(shù)(aWO)中的尤和y滿足下表:

X???-4-3-2-1012???

y???-50343m-5???

(1)7%的值為0；

(2)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合表中數(shù)據(jù)可看出對(duì)稱軸是直線x=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)

是(1,-4),所以x=3和x=-1是關(guān)于直線尤=1成軸對(duì)稱的關(guān)系，故可得%=0；

(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(尤+1)2+4,同樣也是找一組點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出a的

值.

【解答】解：(1)?由表中x、y的對(duì)應(yīng)值可知，當(dāng)x=0與x=-2時(shí)y的值相等，

對(duì)稱軸是直線x=26=-b

2

:點(diǎn)(-3,0)關(guān)于直線苫=-1的對(duì)稱點(diǎn)為(1,0),

??Z7t=0,

故答案為：0；

(2)由表可知，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4),

...設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x+1)2+4.

將(0,3)代入上式得a+4=3,解得a=-l,

故二次函數(shù)的表達(dá)式為>=-(x+1)2+4=-x2-2x+3.

【點(diǎn)評(píng)】考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法.本題中要求熟練掌握二次函數(shù)

的基本性質(zhì).會(huì)從所給出的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)其對(duì)稱關(guān)系，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線與x軸的交

點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

34.(2022秋?瑤海區(qū)校級(jí)月考)如圖，拋物線y=/+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)8(2,-

3),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為￡>.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△P8C的面積是△BCD面積的4倍，若存在，請(qǐng)直接寫

出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可；

(2)設(shè)拋物線上的點(diǎn)P坐標(biāo)為租2-2m-3),結(jié)合方程思想和三角形面積公式列方

程求解.

【解答】解：(1):拋物線y=/+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)8(2,-3),

.(l_b+c=0

14+2b+c=_3

解得b=