滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二十二章 四邊形（10類題型）（60道壓軸題專練）（原卷版）

第二十二章四邊形(10大題型)(60道壓軸題專練)

壓軸題型一多邊形

1.(23-24七年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?開學(xué)考試)(1)如圖1,這是一個(gè)五角星ABCDE,求ZA+ZB+ZC+ZD+ZE

的度數(shù).

(2)如圖2,如果點(diǎn)8向右移動(dòng)到AC上，直接寫出NA+NDBE+NC+ND+NE的度數(shù).

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)8向右移動(dòng)到AC的另一側(cè)時(shí)，直接寫出4+/。3￡+/。+/。+/目的度數(shù).

(4)如圖4,求ZA+ZB+NC+/O+/E+N尸的度數(shù).

2.(2023八年級(jí)下?浙江?專題練習(xí))

(1)如圖1,設(shè)NA=x,則Nl+N2=；

(2)把三角形紙片A3c頂角A沿DE折疊，點(diǎn)A落到點(diǎn)A處，記NAZ>3為Nl,ZAEC為N2.

①如圖2,N1,N2與—A的數(shù)量關(guān)系是；

②如圖3,請(qǐng)你寫出Nl,N2與2的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖4,把一個(gè)三角形紙片ABC的三個(gè)頂角分別向內(nèi)折疊之后，3個(gè)頂點(diǎn)不重合，那么圖中

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=.

3.(21-22八年級(jí)上?江西贛州?期中)如圖，四邊形ABC。，BE、￡)尸分別平分四邊形的外角/MBC和/A?C,

若NBAD=a,NBCD=p.

(1)如圖1,若。+尸=120。，求/MBC+/NDC的度數(shù)；

(2)如圖1,若BE與。尸相交于點(diǎn)G,NBGD=30。,請(qǐng)求出心￡所滿足的等量關(guān)系式;

(3)如圖2,若3E〃。尸，請(qǐng)求出。、尸所滿足的等量關(guān)系式.

4.(23-24八年級(jí)上.山東威海.期末)在四邊形ABC。中，ZA=100°,/B=120。，點(diǎn)、E、/分別是邊AABC

(1)如圖①，若點(diǎn)尸在線段。上運(yùn)動(dòng)，試探究N1+N2與/a之間的關(guān)系，并說明理由；

再探：

(2)如圖②，若點(diǎn)尸在線段0c的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，試探究4,N2,Na之間的關(guān)系，并說明理由；

⑶若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到四邊形的內(nèi)部，在備用圖中畫出此時(shí)的圖形，并直接寫出此時(shí)4N2,Na之間的關(guān)系

5.(22-23八年級(jí)上?浙江臺(tái)州?期末)如圖，在四邊形ABCD中,ZA=150°,ZD=80°.

圖1圖2圖3圖4

(1)如圖1,若ZB=NC,則NC=度；

(2)如圖2,若/ABC的平分線BE交。C于點(diǎn)E,且試求出NC的度數(shù)；

⑶①如圖3,若和NDCB的平分線交于點(diǎn)P,試求出/3PC的度數(shù)；

②如圖4,尸為五邊形至8匹內(nèi)一點(diǎn)；DP,CP分別平分NEDG4BCD,試探究一尸與NA+/B+NE1的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

6.（23-24八年級(jí)上.河南駐馬店.期末）（1）己知：如圖1,AABC.求證：ZA+ZB+ZC=180°

圖1圖2圖3

分析：方法①延長(zhǎng)3C到過點(diǎn)C作射線CE〃%（圖2）,這樣就相當(dāng)于把NA移到了N1的位置，把-3

移到了N2位置.

方法②過點(diǎn)A作直線PQ〃8C（圖3）,把三個(gè)角“湊”到A處.

從上面選一種你喜歡的方法寫出證明過程.

解決問題:

（2）如圖4,AABC外一點(diǎn)D,連接A。、CD.求證：ABAD+ZB+ZBCD+ZD=360°.

E

圖5圖6

（3）如圖5,AABC外兩點(diǎn)。、E,連接AE、ED、CD.沿著MN折疊得到圖6,點(diǎn)￡落在點(diǎn)孔則

AMAB+AB+Z.BCD+Z.D+ADNM+ZNMA=_（答案直接寫在橫線上）.

壓軸題型二平行四邊形的判定與性質(zhì)

7.（22-23八年級(jí)下?上海浦東新?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線產(chǎn)質(zhì)+b經(jīng)過點(diǎn)A（-4,0）,B（0,3）.

(1)求直線A2的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)C在直線A3上，點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱，如果以O(shè),A,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求

點(diǎn)C的坐標(biāo).

8.(22-23八年級(jí)下?上海寶山?期末)平行四邊形ABCD中，E是邊8C上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EGLAB,垂足

為點(diǎn)G,尸是邊AO的中點(diǎn)，連接￡F、FG.

(1)如圖甲，當(dāng)￡是邊BC的中點(diǎn)時(shí)，如果四邊形A3CD的面積為10,求AEFG的面積;

(2)如圖乙，點(diǎn)E移動(dòng)至點(diǎn)C處，試判斷AEFG形狀，并說明理由；

(3)如圖丙，如果A?=AO=2,ZB=60°,設(shè)3E=x,SAEFG=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域.

3

9.(22-23八年級(jí)下?上海靜安?期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線＞=\尤-6與x軸和y軸分別相

交于點(diǎn)A和點(diǎn)2,NO3A的平分線取交Q4于點(diǎn)C,點(diǎn)C坐標(biāo)(辦0),點(diǎn)P與點(diǎn)8關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱.

(1)求m的值;

⑵求圖像經(jīng)過點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式；

(3)已知點(diǎn)。是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，如果四邊形ADBP是平行四邊形，那么點(diǎn)。的坐標(biāo)是.(請(qǐng)將點(diǎn)。

的坐標(biāo)直接填寫在空格內(nèi))

10.(22-23七年級(jí)上?上海青浦?期末)小明在學(xué)習(xí)了中心對(duì)稱圖形以后，想知道平行四邊形是否為中心對(duì)稱

圖形.于是將一張平行四邊形紙片平放在一張紙板上，在紙板上沿四邊畫出它的初始位置，并畫出平行四

邊形紙片的對(duì)角線，用大頭針釘住對(duì)角線的交點(diǎn).將平行四邊形紙片繞著對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后，平行

四邊形紙片與初始位置的平行四邊形恰好重合.通過上述操作，小明驚喜地發(fā)現(xiàn)平行四邊形是中心對(duì)稱圖

形，對(duì)角線的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.

請(qǐng)你利用小明所發(fā)現(xiàn)的平行四邊形的這一特征完成下列問題:

圖①圖②圖③

(1)如圖①，四邊形A3CD是平行四邊形，過對(duì)角線交點(diǎn)。的直線/與邊AB、CD分別相交于點(diǎn)"、N,則四

邊形ABCD與四邊形AMND的面積之比的比值為；

(2)如圖②，這個(gè)圖形是由平行四邊形A3CD與平行四邊形ECGF組成的，點(diǎn)E在邊C￡＞上，且6、C、G在

同一直線上.

①請(qǐng)畫出一條直線把這個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)部分(不要求寫出畫法，但請(qǐng)標(biāo)注字母并寫出結(jié)論)；

②延長(zhǎng)GP與邊AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K,延長(zhǎng)FE與邊A3交于點(diǎn)7/.聯(lián)結(jié)E&EK、BK,如圖③所示，當(dāng)

四邊形AHED的面積為18,四邊形CEFG的面積為4時(shí)，求三角形的面積.

11.（21-22七年級(jí)上?上海金山?期末）如圖，已知正方形ABC。，點(diǎn)M是線段CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接

（1）將線段AM沿著射線AZ）方向平移，使得點(diǎn)A與點(diǎn)。重合.用代數(shù)式表示線段A"掃過的平面部分的

面積.

（2）將三角形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得A3與AD重合，點(diǎn)M落在點(diǎn)N,連接.用代數(shù)式表示三角形4VW

的面積.

（3）將三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的三角形有一邊與正方形的一邊完全重合（第（2）小題的情況除

外）.請(qǐng)?jiān)谙聢D中畫出符合條件的3種情況，并寫出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.

12.（2022八年級(jí)下?上海?專題練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系尤Oy中，點(diǎn)4（2,0）和點(diǎn)8（-2,0）,直線8C與＞軸

正半軸交于點(diǎn)C（0/）,過點(diǎn)A作垂足為。，聯(lián)結(jié)0”

⑴求0。的長(zhǎng)；

⑵當(dāng)NOD4=30。時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，已知點(diǎn)E在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，如果以A、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)

直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).

壓軸題型三矩形的判定與性質(zhì)

13.(22-23八年級(jí)下?上海徐匯?階段練習(xí))已知矩形ABCD中，AB=8,點(diǎn)”在邊8c上，且3M=6,點(diǎn)尸

在邊AD或。C上，連接AM、AP,MP,設(shè)A￡>=x.

圖2備用圖

(1)如圖1，當(dāng)：S四邊形ADCM=3：7時(shí)，求X的值;

(2)如圖2,當(dāng)x=8時(shí)，如果AAMP為等腰三角形，求AAMP的面積;

(3)直接寫出使得AAMP為等腰三角形的點(diǎn)P最多有幾個(gè)？并指出使得點(diǎn)尸個(gè)數(shù)最多時(shí)x的取值范圍.

14.(22-23八年級(jí)下?上海浦東新?期末)如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,點(diǎn)尸在邊AD上，連接

3尸，點(diǎn)A關(guān)于直線3尸為對(duì)稱點(diǎn)為4,

(備用圖)(備用圖)

⑴點(diǎn)A落在8C邊上，求AP的長(zhǎng)

(2)點(diǎn)A落在線段PC上，求心的長(zhǎng);

(3)點(diǎn)A,到直線CD的距離等于A,B的長(zhǎng)，求轉(zhuǎn)的長(zhǎng).

15.(22-23八年級(jí)下?上海普陀?期中)如圖，現(xiàn)有矩形A3CZ)和一個(gè)含30°內(nèi)角的直角三角形BEF按圖1所

示位置放置(A3和8E重合)，其中AB=25,">=48.將^斫繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)&。(0<?<90),在旋轉(zhuǎn)過程

中，直線EV與邊交于點(diǎn)G,如圖2所示.

(2)連接CE、DE,當(dāng)DE=CE時(shí)，求出此時(shí)a的度數(shù)；

(3)如圖3,以A3為邊的矩形內(nèi)部作正方形直角邊防所在直線交線段于點(diǎn)P,交3C于點(diǎn)。.設(shè)

AG=x,PN=y,寫出>關(guān)于x的函數(shù)解析式.

16.(21-22八年級(jí)下?江蘇鹽城?階段練習(xí))如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZABC^ZADC^9Q°,對(duì)

角線AC、8。交于點(diǎn)O,OE平分/ADC交8C于點(diǎn)E,連接?！?/p>

(1)求證：四邊形A8CD是矩形；

(2)若/8?！?15。，求/EOC的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，若AB=2,求矩形ABCD的面積.

17.(21-22九年級(jí)下?上海?期中)如圖，已知正方形A8CD,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，將AABE沿直線AE折

疊，點(diǎn)B落在P處，連接2尸并延長(zhǎng)，與/D4F的平分線相交于點(diǎn)反，與AE,8分別相交于點(diǎn)G,M,連

接“C.

⑴求證：AG=GH；

(2)若AB=3,BE=1,求點(diǎn)。到直線8H的距離.

18.(21-22八年級(jí)下?上海奉賢?期末)己知：如圖，矩形ABC。中，AB=6,8C=10,尸是邊上一點(diǎn),

把尸沿8尸所在的直線翻折后得到AEBP,直線PE與邊8C相交于點(diǎn)尸，點(diǎn)E在線段PP上.

(1)如果點(diǎn)尸和點(diǎn)C重合，求AP;

⑵設(shè)AP=x,BF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出定義域;

(3)連接。品如果△2￡>/是以尸尸為腰的等腰三角形，求AP的長(zhǎng).

壓軸題型四菱形的判定與性質(zhì)

19.(22-23八年級(jí)下?重慶北暗?期中)如圖，在平行四邊形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作

BF//AC,BF=AE,連接￡>E,CF,EF,線段E尸交8c于點(diǎn)X.

AD

⑴若/班C+ZACD=180。，求證：四邊形EFCD為菱形；

⑵在（1）問的基礎(chǔ)上，若NBFC=120。，BF=CF=4,求四邊形EHCD的面積.

20.（20-21八年級(jí)下?上海楊浦?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，正比例函數(shù)y=近的

圖象與雙曲線＞交于點(diǎn)A,且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-0.

⑴求左的值.

（2）將直線y=近向上平移4個(gè)單位得到直線8C,直線8C分別交x軸、y軸于點(diǎn)8、C.如果點(diǎn)O在直線BC

上，在平面直角坐標(biāo)系中存在點(diǎn)尸，使得以。、8、。、尸為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

21.（22-23八年級(jí)下?上海普陀?期末）己知：如圖，在四邊形A3C。中，AD〃BC,對(duì)角線AC、8。相交

于點(diǎn)。，8。平分NABC,過點(diǎn)。作A尸〃A5分別交AC、BC于點(diǎn)、E、F.

（1）求證：四邊形ABFD是菱形；

⑵如果NBAD=2NADC,求證：AC=DF.

22.（2023八年級(jí)下?上海?專題練習(xí)）如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，正比例函數(shù)、=卮（尤

7

為自變量）的圖像與雙曲線丫=-*交于點(diǎn)4且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-拒.

x

（1）求人的值;

（2）將直線>=依（尤為自變量）向上平移4個(gè)單位得到直線BC,直線BC分別交無軸、y軸于8、C,如點(diǎn)。

在直線BC上，在平面直角坐標(biāo)系中求一點(diǎn)尸，使以。、B、D、尸為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

23.（2022?廣東佛山?三模）如圖，在菱形A3CD中，對(duì)角線AC,2D相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,歹分別在AB,AD

上，連接CE,CF,BE=AF,AB=AC.

AD

E0

BC

（1）求證：CE=CF；

⑵若S菱琢sen=20，求菱形ABCD的周長(zhǎng).

24.（2022八年級(jí)下?上海?專題練習(xí)）已知：如圖1.四邊形ABC。是菱形，AB=6,/MAN=60。.繞

頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)/MAN,邊AM與射線BC相交于點(diǎn)E（點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合），邊河與射線C。相交于點(diǎn)

備用圖

⑵設(shè)尤，AA。尸的面積為y.當(dāng)點(diǎn)￡在線段BC上時(shí)，求y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出函數(shù)的定義域;

（3）連接8。，如果以A、B、F、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求線段BE的長(zhǎng).

壓軸題型五正方形的判定與性質(zhì)

25.（2022八年級(jí)下.上海.專題練習(xí)）如圖1,已知。為正方形ABC。對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E在邊的延長(zhǎng)

線上，連結(jié)EO,。尸，OE交8A延長(zhǎng)線于點(diǎn)R連結(jié)ER

備用圖

(1)求證：EO=FO；

(2)若正方形的邊長(zhǎng)為2,OE=2OA,求BE的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)0E=20A時(shí)，將繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ABOE/,使得/8。目=30。時(shí)，試猜想并證明AAOE/

是什么三角形.

26.(20-21八年級(jí)下.上海閔行?期末)如圖，已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)A為邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不

與點(diǎn)C、。重合)，將正方形紙片翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)4處，點(diǎn)8落在點(diǎn)片處，A與交邊BC于點(diǎn)H,折

痕為MN,聯(lián)結(jié)A4交邊于點(diǎn)O.

(2)當(dāng)4在邊8的運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AO=x,梯形的面積為求＞與》之間的函數(shù)解析式，并寫出定

義域.

27.(20-21七年級(jí)上?上海寶山?期末)如圖，點(diǎn)E為邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD的邊CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE=1,

連接AE,將AABE繞著正方形的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到AADF.

(1)寫出上述旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度數(shù)：

(2)連接所，求的面積：

(3)如圖中，△A￡?G可以看作由A&IE先繞著正方形的頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，再沿著電方向平移3個(gè)單

位的二次基本運(yùn)動(dòng)所成，那么△ADG是否還可以看作由A54E只通過一次旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)而成呢？如果可以，請(qǐng)

寫出(同時(shí)在圖中畫出)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度數(shù)，如果不能，則說明理由.

28.(22-23八年級(jí)下?上海虹口?期末)如圖,正方形O4BC和正方形OD所有公共頂點(diǎn)O,AO=3,OD=亞,

(1)如圖1,線段AD與線段CP有交點(diǎn)求證：AD1CF；

⑵如圖2,點(diǎn)E在CO的延長(zhǎng)線上，求CF的長(zhǎng);

⑶邊E尸與AO交于點(diǎn)G,當(dāng)C,F,E三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出4COG-S△共G的值.

29.(22-23八年級(jí)下?上海寶山?期末)如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,8),點(diǎn)、B、C在x軸上，且Mix軸，AB=BC,

直線AC與y軸交于點(diǎn)。，E是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求直線AC的表達(dá)式；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上，聯(lián)結(jié)0E,如果AODE的面積是AOCD面積的一半，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)/是平面內(nèi)一點(diǎn)，如果以A、E、B、產(chǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，試求出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

30.(22-23八年級(jí)下?上海浦東新?階段練習(xí))在菱形ABCD中，4=45。，AB=8,左右作平行移動(dòng)的正方

形EFG8的兩個(gè)頂點(diǎn)/、G始終在邊BC上.當(dāng)點(diǎn)G到邊3C中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E恰好在邊A3上.

(1)如圖1,求正方形EFGH的邊長(zhǎng)；

(2)假設(shè)點(diǎn)8與點(diǎn)歹的距離為x,在正方形EFG/f作平行移動(dòng)的過程中，正方形EFG8與菱形A3CD重疊部

分的面積為V,求，與x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

(3)連接FH、HC,當(dāng)AC/C是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出M的長(zhǎng).

壓軸題型六(特殊)平行四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題

31.(21-22八年級(jí)下?廣東中山?階段練習(xí))如圖，在四邊形ABC。中，AD〃BC,

ZB=90°,AD=24cm,AB=8cm,3C=32cm,動(dòng)點(diǎn)P從A開始沿AD邊向。以Icm/s的速度運(yùn)動(dòng)；。從

點(diǎn)C開始沿CB邊向8以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)P、。分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另

(1)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r秒時(shí)，用含f的代數(shù)式表示以下線段的長(zhǎng)：AP=_,BQ=_.

(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形？

(3)四邊形A8QP有可能是正方形嗎？若可能，求出此時(shí)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說明理由.

32.(23-24八年級(jí)上?山東濰坊.期末)如圖，在四邊形中，AB//CD,ZADC=90°,AB=18cm,

BC=13cm,CD=23cm,動(dòng)點(diǎn)、P從點(diǎn)、A出發(fā)，以Icm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，以2cm/s

的速度沿折線3-向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為，秒.

(1)用含/的式子表示PB；

(2)當(dāng)，為何值時(shí)，直線尸。把四邊形ABCD分成兩個(gè)部分，且其中的一部分是平行四邊形？

(3)只改變點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度，使運(yùn)動(dòng)過程中某一時(shí)刻四邊形P8CQ為菱形，則點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度應(yīng)為多少？

33.（23-24八年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期中）如圖，在YABCD中，ABulOICudO/C邊上的圖為8.點(diǎn)尸從點(diǎn)A

出發(fā)，沿AD以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)沿B-C-3以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)

動(dòng).尸、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為八秒）（年0）,

連結(jié)PQ.

⑴直接寫出點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)「的值.

（2）當(dāng)點(diǎn)。沿3-C運(yùn)動(dòng)時(shí)，求QC的長(zhǎng)（用含f的代數(shù)式表示）.

（3）當(dāng)尸QLBC時(shí),求/的值.

（4）當(dāng)「。=10時(shí)，直接寫出，的值.

34.（23-24九年級(jí)上?廣東河源?期中）如圖，矩形A3CD中，AB=16cm,BC=6cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)沿AB

向點(diǎn)8移動(dòng)（不與點(diǎn)A、8重合），一直到達(dá)點(diǎn)8為止；同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿8向點(diǎn)。移動(dòng)（不與點(diǎn)

C、。重合）.運(yùn)動(dòng)時(shí)間設(shè)為r秒.

（1）若點(diǎn)P、。均以3cm/s的速度移動(dòng)，貝AP=_cm.QC=_cm.（用含/的代數(shù)式表示）

（2）若點(diǎn)尸為3cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)。以2cm/s的速度移動(dòng)，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間尸。=尸。，使VDP。為等腰三角

形？

（3）若點(diǎn)尸、。均以3cm/s的速度移動(dòng)，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，四邊形為菱形.

35.(22-23八年級(jí)上?湖北荊門?期中)如圖，四邊形A3CD中，AD=BC=W,AB=CD,BD=12,點(diǎn)、E

從。點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿DA向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿C-B-C

勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)8出發(fā)沿向點(diǎn)。勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也

隨之停止運(yùn)動(dòng)，假設(shè)移動(dòng)時(shí)間為r秒

AED

(1)試證明：AD\\BC；

(2)在移動(dòng)過程中，小明發(fā)現(xiàn)有△D￡G與△加G全等的情況出現(xiàn)，請(qǐng)你探究這樣的情況會(huì)出現(xiàn)幾次？并分別

求出此時(shí)的移動(dòng)時(shí)間和G點(diǎn)的移動(dòng)距離；

(3)愛動(dòng)腦筋的小明把BD=12改為班＞=8,其他都不變，發(fā)現(xiàn)仍有△DEG與△所G全等的情況出現(xiàn)，這樣

的情況金出現(xiàn)4次，此時(shí)的移動(dòng)時(shí)間分別為.

36.(22-23八年級(jí)下?廣西南寧?期中)如圖，在RtA4BC中？390?,AC=60cm,ZA=60°,點(diǎn)。從點(diǎn)C

出發(fā)沿C4方向以4cm/s的速度向點(diǎn)A勻透運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿方向以2cm/s的速度向點(diǎn)8勻

速運(yùn)動(dòng).當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是f秒(0＜區(qū)15).過

點(diǎn)。作，8C于點(diǎn)尸，連接DE,EF.

⑴直接寫出AE=,DF=.(用含t的式子表示出來)

(2)四邊形AEED能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的"直，如果不能，說明理由;

(3)當(dāng)『為何值時(shí)，/期為直角三角形？請(qǐng)說明理由.

壓軸題型七四邊形中線段最值問題

37.（21-22八年級(jí)下.湖北武漢?期中）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊3C的上一動(dòng)點(diǎn)，作AF1DE交DE、

DC分別于P、F點(diǎn)、,連尸C.

（1）若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，求證：下點(diǎn)為。。的中點(diǎn)；

（2）若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，PE=6,PC=46,求尸尸的長(zhǎng);

（3）若正方形邊長(zhǎng)為4,直接寫出PC的最小值________.

38.（22-23八年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí)）（1）問題再現(xiàn)：學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，老師給同學(xué)們提出了一個(gè)求代

數(shù)式最小值的問題，如，“求代數(shù)式，？77+?。?2-尤）2+9的最小值小強(qiáng)同學(xué)發(fā)現(xiàn)巧7可看作兩直角

邊分別為x和2的直角三角形斜邊長(zhǎng)，J（12-XT+9可看作兩直角邊分別是12-x和3的直角三角形的斜邊

長(zhǎng).于是構(gòu)造出下圖，將問題轉(zhuǎn)化為求線段A3的長(zhǎng)，進(jìn)而求得&2+4+,（12-x）?+9的最小值是

（2）類比遷移：已知°,6均為正數(shù)，且。-6=4,求，不一所T的最大值.

（3）方法應(yīng)用：已知a,b均為正數(shù)，且,的/+伺,力2+劭2是三角形的三邊長(zhǎng),求這個(gè)三角形

的面積（用含a,6的代數(shù)式表示）.

39.(21-22八年級(jí)下.江蘇鎮(zhèn)江.階段練習(xí))如圖，在。A5CD中，E、尸分別為邊A3、8的中點(diǎn)，BD是對(duì)

角線，過A點(diǎn)作AG〃DB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

備用圖

(1)求證：DE//BF；

(2)當(dāng)△狽)滿足什么條件時(shí),四邊形。破尸是菱形(不需要證明)

(3)請(qǐng)利用備用圖分析,在⑵的條件下，若BE=2,NDEB=120。，點(diǎn)Af為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在2。邊

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求尸尸+尸河的最小值.

40.(20-21八年級(jí)下.廣西河池?期中)如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC,3D相交于點(diǎn)。，將ACOD沿。所

在直線折疊，得到ACED.

(1)求證：四邊形OCED是菱形；

(2)若皮)=3,ZACD=3O。，P是CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，Q是CE邊上的動(dòng)點(diǎn)，那么尸E+PQ的最小值是多少？

41.(20-21八年級(jí)下.河北滄州?期末)如圖，在平行四邊形中，BC=AC,E、尸分別是A3、8的中

點(diǎn)，連接C￡、AF.

(1)求證：四邊形AECB是矩形；

(2)當(dāng)平行四邊形ABC。的邊或角滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形AECF是正方形？請(qǐng)說明理由.

(3)在(2)的條件下，若AE=4,點(diǎn)M為EC中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求PE+PM的最小值.

42.(22-23八年級(jí)下?山東荷澤?期末)如圖1,已知"RC為等腰直角三角形，/BAC=90。，點(diǎn)。是BC的

中點(diǎn)，作正方形。班G,使點(diǎn)A,C分別在邊。G和DE上，連接AE,BG.

(1)探索線段BG與AK的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論；

(2)將正方形。瓦G繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度(旋轉(zhuǎn)角大于0。，小于或等于360。)時(shí)(如圖2),(1)

的結(jié)論是否仍然成立？說明理由；

(3)已知3c=2,DE=3,在(2)的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE1為最大值時(shí)，求AF的值.

壓軸題型八四邊形綜合問題

43.（22-23八年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí)）（1）如圖1,等腰RSPB尸的直角頂點(diǎn)尸在正方形ABCD的邊AD

上，斜邊防交8于點(diǎn)。，連接PQ,貝|PQ,AP,CQ的數(shù)量關(guān)系是；

（2）如圖2,若等腰RtAPBF的直角頂點(diǎn)尸在正方形ABCD的邊ZM的延長(zhǎng)線上，斜邊8尸的延長(zhǎng)線交8的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連接PQ,猜想線段PQ,AP,CQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

（3）（思維拓展）如圖3,44BC中，ADJ.BC,ABAC=45°,若4）=5,BD=3,求CO的長(zhǎng)度.

Q

44.（22-23八年級(jí)下?廣東深圳?期中）（1）【觀察猜想】我們知道，正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都為直

角.如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在邊BC,CD上,連接AE,AF,EF,并延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G,使BG=DF,

連接AG.若ZE4F=45。，則BE,砂，。尸之間的數(shù)量關(guān)系為；

（2）【類比探究】如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，且ZE4F=45。時(shí)，試探究旦瓦切,D尸之間的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由；

（3）【拓展應(yīng)用】如圖3,在Rt^ABC中，AB=AC,D,E在8C上，ZDAE=45°,若AABC的面積為

16,BDCE=4,請(qǐng)直接寫出VADE的面積.

45.（2024湖北黃岡.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形A3CZ）中，NBA。的平分線交于點(diǎn)E,交0c的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，以EC,

圖1

⑴若/ABC=90。如圖⑴，求證：平行四邊形m/G是正方形;

⑵若ZA8C=120。，如圖（2）,連接3G,DG,求證：BG=DG；

（3）若—ABC=90。，如圖⑶，若AB=6,AD=8,M是￡F的中點(diǎn)，求DM的長(zhǎng).

46.（22-23八年級(jí)下?廣西南寧?期末）【綜合與實(shí)踐】

課本64頁(yè)安排這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)：折紙作60。,30。,15。角：如果我們身旁沒有量角器或者三角尺，又需要做

60。,30。,15。等大小的角，可以采用下面的方法：

動(dòng)手操作：如圖1,（1）對(duì)折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合，得到折痕斯，把紙片展開；（2）再一次

折疊紙片，使點(diǎn)A落在所上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)8,得到折疊瀏1,同時(shí)得到線段BN.

觀察猜想：圖中等于60。的角是：_（寫出一個(gè)角即可）；等于30。的角是：一（寫出一個(gè)角即可）.

推理驗(yàn)證：任選以上一個(gè)猜想結(jié)論給予證明.

拓展延伸：將矩形紙片換成正方形紙片，按以上步驟折疊，并延長(zhǎng)"N交8于點(diǎn)。，連接得到圖2,

若正方形邊長(zhǎng)為6,為2=1,直接寫出蜀/的長(zhǎng).

圖1圖2

47.（23-24九年級(jí)上?浙江杭州?階段練習(xí)）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知矩形A8C。的對(duì)角線AC的垂直平

分線與邊AO,BC分別交于點(diǎn)E、F.求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）【類比應(yīng)用】如圖②，直線石尸分別交矩形ABCD的邊AD、BC于點(diǎn)E、F,將矩形A3CD沿跖翻折，

使點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)A重合，點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為DC,若AB=6,BC=8,求四邊形的周長(zhǎng)；

（3）【拓展延伸】如圖③，直線E尸分別交平行四邊形ABCD的邊AD、BC于點(diǎn)E、F,將平行四邊形A8CD

沿所翻折，使點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)A重合，點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為若AB=6插,BC=12,ZC=45°,求EF

的長(zhǎng).

48.（23-24八年級(jí)上.福建泉州?期末）已知：如圖1,在四邊形45CD中，AD//BC,ZABC=ZADC=a.P

是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)上4,將繞點(diǎn)尸順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a,得至UPQ,聯(lián)結(jié)AQ.

圖2

（1）求證：四邊形A3CD是平行四邊形;

（2）/是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)且AB=3C.

①若MC=BP,求證：MC=MQ-

②如圖2,若MP=BP,a=90°,聯(lián)結(jié)DM、DQ,求證：DM=42DQ.

壓軸題型九梯形壓軸題

49.(2023?浙江杭州?二模)已知四邊形ABCD是矩形，連接3D.

圖1圖2

⑴如圖1,2DB的平分線交AB于E,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R.ND3戶的平分線交￡)產(chǎn)于點(diǎn)交ZM的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接尸G.

①求證：BD=BF；

②求證：四邊形GFB。為菱形;

Afi

⑵在⑴的條件下，如圖2,連接AC交叱于點(diǎn)尸’交加于點(diǎn)。，若DP=HP,求而的值.

50.（22-23八年級(jí)下?上海浦東新?期末）在梯形ABCD中，AD//BC,AD<BC,AB=5,BC=5,AC=6.

(1)若梯形ABC。是直角梯形，求CO的長(zhǎng)；

⑵設(shè)AD=x,CD=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；

(3)當(dāng)梯形ABCE)是等腰梯形時(shí)，在直線CO上取一點(diǎn)尸，使得是以8C為腰的等腰三角形，直按寫出

此時(shí)ABCP的底邊長(zhǎng).

51.（22-23八年級(jí)下?上海奉賢?期末）如圖，矩形A3CD中的邊A3=6,AD=8,點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，線

段DE的垂直平分線交邊AD、3C于點(diǎn)V、N,連接ME并延長(zhǎng)交。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

（1）證明：MF=NF；

（2）當(dāng)NAEA/=NADE1時(shí)，求△MFN的面積;

⑶當(dāng)AE=23E1時(shí)，求MN的長(zhǎng).

52.（22-23八年級(jí)下?上海長(zhǎng)寧?階段練習(xí)）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//DC,AD=BC,ZABC=60°,

AC平分ZD4B,E、尸是對(duì)角線AC、3D