河南省鄭州市九校2025屆九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

河南省鄭州市楓楊、朗悅慧等九校2025屆九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)

學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.公元前5世紀(jì),古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯首次提出了關(guān)于一元二次方程的概念.下列

關(guān)于x的方程中，是一元二次方程的為（）

A.x2+—=0B.x2-xy-0

x

C.f+2x=lD.OJC2+t>x—0（a>6為常數(shù)）

2.“斗”是我國(guó)古代稱量糧食的量器，它無蓋淇示意圖如圖所示，下列圖形是“斗”的俯視

4.將標(biāo)有“最”“美”“河”“南”的四個(gè)小球裝在一個(gè)不透明的口袋中（每個(gè)小球上僅標(biāo)一個(gè)

漢字），這些小球除所標(biāo)漢字不同外，其余均相同.從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，放回后再隨機(jī)摸出

一個(gè)球，則摸到的球上的漢字可以組成“河南”的概率是（）

5.若把方程V—4x-l=0化為（x+m）2=〃的形式，則〃的值是（）

A.5B.2C.-2D.-5

6.如圖，已知矩形ABCZ）中,E為邊上一點(diǎn)尸，AE于點(diǎn)且

AB=6,A。=12,AE=10,則的長(zhǎng)為()

A.5B.—C.—D.8

35

7.如圖是某地下停車場(chǎng)的平面示意圖，停車場(chǎng)的長(zhǎng)為40m,寬為22m.停車場(chǎng)內(nèi)車道的寬

都相等，若停車位的占地面積為520m2,求車道的寬度（單位：m）.設(shè)停車場(chǎng)內(nèi)車道的寬度

為xm,根據(jù)題意所列方程為（）

A.(40—2x)(22—x)=520B.(40—x)(22—x)=520

C.(40-<22-2x)=520D.(40—x)(22+x)=520

8.下列給出的條件不能得出的是（）

B.ZABD^ZACB

ABBC

C.AB2AD-ACD.ZADB=ZABC

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)。為位似中心的

位似圖形,且相似比為:，點(diǎn)A,民E在x軸上,若正方形跳戶G的邊長(zhǎng)為6,則D點(diǎn)坐標(biāo)為（）

OABEX

A.[5,2）C.（1,2）D.（了2）

10.如圖⑴,正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)P為OC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為邊上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)0作0M的垂線交于點(diǎn)N,點(diǎn)M從點(diǎn)、B出發(fā)勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

C,^BM=x,PN=y,y^x變化的圖象如圖⑵所示，圖中m的值為（）

A.—B.lC.V2D.2

2

二、填空題

11.若x=l是關(guān)于x的一元二次方程V+3-6=0的一個(gè)根，則機(jī)的值為.

12.工人師傅做鋁合金窗框分下面三個(gè)步驟進(jìn)行：先截出兩對(duì)符合規(guī)格的鋁合金窗料

（如圖①），使AB=CD、EF=GH；然后擺放成如圖②四邊形；將直角尺緊靠窗框的一

個(gè)角（如圖③）調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時(shí)（如圖④）,說明窗

框合格，這時(shí)窗框是形,根據(jù)的數(shù)學(xué)原理是：.

13.如圖,四邊形加。。是菱形,〃45=46。,對(duì)角線4。,5。相交于點(diǎn)O,DHLAB于H,

連接OH，則ZDHO=______度

D

14.如圖,在平行四邊形ABCD中,E是線段A5上一點(diǎn)，連結(jié)AC、OE交于點(diǎn)E若

15.如圖，在矩形紙片ABCD^,AD=2近,AB=2,點(diǎn)P是A3的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是BC邊上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將APBQ沿PQ所在直線翻折，得到△PEQ，連接OE,CE，則當(dāng)ADEC是以

OE為腰的等腰三角形時(shí),3Q的長(zhǎng)是.

三、解答題

16.解方程：

⑴尤2—6x+3=0；

(2)3/-2x-1=0.

17.在一個(gè)不透明的袋子里裝了只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共50個(gè),某學(xué)習(xí)

小組做摸球試驗(yàn),將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù),

下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

摸球的次數(shù)n1002003005008001000

摸到黑球的次數(shù)加65118189310482602

摸到黑球的頻率%a0.590.630.620.6030.602

n

(1)當(dāng)〃很大時(shí)，摸到黑球的頻率將會(huì)趨近(精確到0.1)；

⑵某小組成員從袋中拿出1個(gè)黑球,3個(gè)白球放入一個(gè)新的不透明袋子中，隨機(jī)摸出兩個(gè)

球,請(qǐng)你用列表或樹狀圖的方法求出隨機(jī)摸出的兩個(gè)球顏色不同的概率.

18.一張矩形紙ABC。,將點(diǎn)3翻折到對(duì)角線AC上的點(diǎn)〃處，折痕CE交A3于點(diǎn)E.將

點(diǎn)D翻折到對(duì)角線AC上的點(diǎn)H處，折痕AF交DC于點(diǎn)￡折疊出四邊形AECF.

⑴求證：AF//CE；

(2)當(dāng)=_____度時(shí),四邊形AECR是菱形？說明理由.

19.已知關(guān)于x的一兀二次方程X?-ov+a-1=0.

(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根花、%滿足％-司=3,求。的值；

20.2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)順利閉幕，吉祥物“弗里熱”深受奧運(yùn)迷的喜愛，一商場(chǎng)以20元的

進(jìn)價(jià)進(jìn)一批“弗里熱”紀(jì)念品，以30元每個(gè)的價(jià)格售出,每周可以賣出500個(gè)，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)

查發(fā)現(xiàn)，價(jià)格每漲10元,就少賣100個(gè).若商場(chǎng)計(jì)劃一周的利潤(rùn)達(dá)到8000元，并且更大優(yōu)

惠讓利消費(fèi)者，售價(jià)應(yīng)定為多少錢？

21.求證：相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線之比等于相似比.

要求：①根據(jù)給出的△ABC及線段AB,ZAr(ZAr=NA)，以線段AB'為一邊，在給出的圖

形上用尺規(guī)作出ZX4,使得BCS/XABC,不寫作法，保留作圖痕跡；

②在已有的圖形上畫出一組對(duì)應(yīng)中線，并據(jù)此寫出已知、求證和證明過程.

22.一數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量校園內(nèi)燈柱的高度，設(shè)計(jì)了以下三個(gè)方案：方案一：

在操場(chǎng)上點(diǎn)C處放一面平面鏡，從點(diǎn)C處后退1m到點(diǎn)。處,恰好在平面鏡中看到燈柱的

頂部A點(diǎn)的像；再將平面鏡向后移動(dòng)4m(即/C=4m)放在R處.從點(diǎn)R處向后退1.8m

到點(diǎn)H處,恰好再次在平面鏡中看到燈柱的頂部A點(diǎn)的像，測(cè)得的眼睛距地面的高度

ED,GH為1.5m,已知點(diǎn)在同一水平線上，且

GH，切，團(tuán)，CD,.(平面鏡的大小忽略不計(jì))方案二：利用標(biāo)桿CD測(cè)量燈

柱的高度.已知標(biāo)桿CD高1.5m,測(cè)得DE=2m,CE=2.5m.方案三：利用自制三角板的邊

CE保持水平,并且邊CE與點(diǎn)航在同一直線上.已知兩條邊CE=0.4m,EF=0.2m,測(cè)得

邊CE離地面距離OC=0.3m.三種方案中，方案不可行，請(qǐng)根據(jù)可行的方案求出

燈柱的高度.

23.在△ABC中,川=47,/￡^。=1,點(diǎn)。為線段。4延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn),連接。3,將線

段03繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為c，得到線段OE,連接助,CE.

(2)如圖2,當(dāng)&=90。時(shí)，請(qǐng)寫出叱的值和/DCE的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由;

(3)如圖3,當(dāng)a=120。時(shí)，若AB=8,BD=7，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E到CD的距離.

參考答案

1.答案：C

解析：A.關(guān)于X的方程x2+-=0不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；

X

B.f—孫=0,含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；

C.f+2x=1是一元二次方程，符合題意.

D.ax2+bx=Q（a,人為常數(shù)），當(dāng)a=0時(shí)，不是一元二次方程，不符合題意；

故選：C.

2.答案：C

解析：從上面看，看到的圖形為一個(gè)正方形，在這個(gè)正方形里面還有一個(gè)小正方形，即看

到的圖形如圖所示：

故選C.

3.答案：B

解析：b:a=x:c,

:.ax-bc,

由平行線分線段成比例可得：

選項(xiàng)A：2=3可得：四=陵，故A不符合題意；

CX

選項(xiàng)B：可得：依=加，故B符合題意；

XC

選項(xiàng)C：2=工可得：必=5故C不符合題意；

ca

選項(xiàng)D：@=工可得：ac=bx,故D不符合題意；

bc

故選：B.

4.答案：D

解析：從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，放回后再隨機(jī)摸出一個(gè)球等可能的結(jié)果如下:

最美河南

最最最最美最河最南

美最美美美河美南

河最河美河河河河南

南最南美南河南南南

一共16種結(jié)果，其中摸到的球上的漢字可以組成“河南”的結(jié)果有2種,

71

摸到的球上的漢字可以組成“河南”的概率是—

168

故選D.

5.答案：A

解析：將4x—1=0配方得，

-2）2=5,

則〃=5,

故選A.

6.答案：C

解析：：四邊形ABCD是矩形，

=90°,AD//BC,

ZDAE=ZAEB,

'：DF±AF,

：.ZDFA=ZB=90°,

△ADFS/^EAB,

.DFAD

**AB-AE5

.DF12

??---二—，

610

???D"F_—3—6,

5

故選：c.

7.答案：B

解析：設(shè)停車場(chǎng)內(nèi)車道的寬度為xm,

將兩個(gè)停車位合在一起則長(zhǎng)為（40-x）m,寬為（22-x）m,

因止匕(40—x)(22—幻=520,

故選B.

8.答案：A

解析：A.ZA=Z4,—=—，不是夾對(duì)應(yīng)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，不能得到

ABBC

故符合題意；

B./A=NA,NAfiD=NACB,根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可以得到

,故不符合題意；

4RAC

仁/4=/4,筋2=4。2。即絲=土,根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似

ADAB

可以得到△ABDS^ACB,故不符合題意；

D.NA=,“汨=/4BC,根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可以得到

△ABDs^ACB,故不符合題意；

故選A.

9.答案：C

解析：：正方形ABCD與正方形5EFG是以原點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，且相似比為

I

35

4D1

：.-=-,AD//BG,

BG3

?：BG=6,

：.AB=AD=2,

'：AD//BG,

：.Z\OAD^Z\OBG,

?OA=AD=1OA=OA=1

OBBG3?OA+ABOA+23'

解得：04=1,

.?.D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2).

故選：C.

10.答案：B

解析：當(dāng)點(diǎn)”與點(diǎn)3重合時(shí)，如圖：

?.?四邊形ABCD是正方形

/.AC±BD

此時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合

m=PN=CP

當(dāng)點(diǎn)/與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖:

?.?四邊形ABCD是正方形

AC±BD,OD^OC,

此時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)。重合

結(jié)合圖2可知：PN=PD<

設(shè)。D=OC=a

,??點(diǎn)P為0c的中點(diǎn)

：.OP=CP=-a

2

在RtAPOD中,P02=Op2+002,（幣『=&]+a2

解得：=2,a2=一2（舍去）

JC尸=1,即根=1

故選：B

11.答案：5

解析：把％=1代入方程％2+癖一6=0,

得1+加一6=0,

解得m=5.

故答案為：5.

12.答案：矩有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形

解析：因?yàn)锳B=CD、EF=GH,

所以窗框是平行四邊形，

當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時(shí),即有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

故答案為：矩，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

13.答案：23

解析：四邊形ABC。是菱形，對(duì)角線AC,5。相交于點(diǎn)0,

畋且=

DH±AB,

:.OH=-BD=OD,

2

:.ZODH=ZOHD,

在RtAADH中,ZDAB=46。,則ZADH=90°-46°=44°,

,.在菱形ABC。中,AB=,NZMB=46。，

1800-46°

...ZADB=————=67。,則ZDHO=ZODH=ZADB-ZADH=67°-44°=23°,

2

故答案為：23.

14.答案：-

2

解析：???四邊形ABC。是平行四邊形，

AB=CD,ABHCD,

：.ZAEF=ZCDF,ZEAF=ZDCF,

Z\EAF^Z\DCF,

.DFCDAB

"EF~AE~AE'

..AE2

?商一§，

.AB5

?-=—，

AE2

...SAADF_DFAB_5

S^AEFEFAE2

故答案為：

2

15.答案：0或1/垃或1

解析：①當(dāng)。后=。。時(shí)，如圖1,連接OP,DQ,

圖1

：點(diǎn)尸是的中點(diǎn),AB=2,AO=20,四邊形ABCD是矩形,

ZA^90°,AP=PB=l,

：.DP^y/AD-+AP~=78+1=3,

:將△P3Q沿PQ所在直線翻折，得到APEQ,

：.PE=PB=1,

"：DE=DC=AB=2,

：.PE+DE=l+2=3,

：.DP=3=PE+ED,

:.點(diǎn)P,E,D三點(diǎn)共線,

ZB=ZDCB=9Q。,

：.NDEQ=NDCQ=90°,

設(shè)=則QE=x,CQ=2V^—x,

在RtADEQ和R3DCQ中，

根據(jù)勾股定理得：DQ2=DE2+EQ2=DC2+CQ2,

：.22+X2=22+（2A/2-X）2,

解得：x=垃,

BQ=42-

②當(dāng)DE=EC時(shí)，如圖2,

圖2

,?DE=EC,

點(diǎn)E在線段的垂直平分線上，

...點(diǎn)E在線段的垂直平分線上，

?.?點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，

???EP是A3的垂直平分線，

ZBPE=9Q°,

將△PBQ沿PQ所在直線翻折，得到APEQ,

NB=ZPEQ=90°,PB=PE,

，四邊形3PEQ是正方形，

BQ=PB=1,

綜上所述：3Q的長(zhǎng)為：0或L

故答案為：0或L

16.答案：(l)x,=3->/6=A/6+3

(2)Xj=——,x2—1

解析：(l)d—6x+3=0,

x2-6x+9=6,

：.(x-3)~=6,

即x—3=+V6,

解得：玉=3-A/6,x2=a+3；

(2)3/—2x—1=0,

/.(3^+1)(%-1)=0,

解得：X]=--1,%2=1.

17.答案：(1)0.6

叫

解析：（1）當(dāng)〃很大時(shí)，摸到黑球的頻率將會(huì)趨近0.6,

故答案為：0.6；

（2）列表如下:

黑白白白

黑（白，黑）（白，黑）（白，黑）

白（黑，白）（白，白）（白，白）

白（黑，白）（白，白）（白，白）

白（黑，白）（白，白）（白，白）

由表知，共有12種等可能結(jié)果，其中隨機(jī)摸出的兩個(gè)球顏色不同的有6種結(jié)果,

所以隨機(jī)摸出的兩個(gè)球顏色不同的概率為￡=工

122

18.答案：（1）見解析

（2）30,理由見解析

解析：（1）證明：???四邊形A5CD為矩形，

ADHBC,

：.ZDAC=ZBCA,

由翻折知,/DAF=ZHAF=-ZDAC,ZBCE=/MCE=-ZBCA,

22

ZHAF=ZMCE,

：.AF//CE；

⑵當(dāng)N3AO30。時(shí)四邊形AECR為菱形，理由如下：

?.?四邊形A3CD是矩形，

ZD=ZBAD=90°,AB//CD,

由⑴得：AF//CE,

四邊形AECR是平行四邊形，

NB4c=30。，

ZDAC=60°.

，ZACD=30°,

由折疊的性質(zhì)得4MF=ZHAF=30°,

：.ZHAF^ZACD,

：.AF^CF,

...四邊形AECR是菱形；

故答案為：30.

19.答案：(1)見解析

(2)Q=5或Q=-4

解析：(1)證明：A=(―々J—4(〃—1)=—4々+4=(〃-2)220,

該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根%,超，

由根與系數(shù)關(guān)系可知,再+%2=。，玉=。-1，

|石-司二3

2

-x2|=9

二.(七一/J=(%+/J—4西％2=9，

〃2_4(〃_1)=9

即(〃_2)2=9,

二.〃一2=3a—2=-3,

〃=5或Q=一1.

20.答案：40元

解析：設(shè)售價(jià)應(yīng)定為元元，

由題意可得：(x-20)500一書(x—30)=8000,

整理得：%2-100%+2400=0,

解得：x1=40,x2=60,

?.?更大優(yōu)惠讓利消費(fèi)者，

x=40,

答：售價(jià)應(yīng)定為40元.

21.答案：(1)作圖見解析

⑵證明見解析

解析：（1）如圖所示,即為所求;

必=左,。是A3的中點(diǎn),。'是44的中

AC

點(diǎn),

：.AD=-AB,AD'=-^8',

22

.A'D'_2AB'_A'B'

2

'：△ABC^AA，B，C，,

??韋噂"’”

△A'C'D'S^ACD,

.CD'A!C,

??------=-------=K.

CDAC

22.答案：二，三；燈柱的高度為7.5m

解析：相似三角形的知識(shí)可知方案二中△ABE缺少邊長(zhǎng)的條件，故方案二不可行，方案

三中△AMC缺少邊長(zhǎng)的條件，故方案三不可行，

選方案一，

/ECD=ZACB,NEDC=ZABC,

:△ABCsAEDC,

ABBC

~ED~^D

BCED

AB==1.5BC,

CD

設(shè)BC-xm,

則AB=1.5xm,

同理可得△ABFS^GHF,

ABBF

GH-FH'

AB=1.5xm,BFBC+CF=(4+x)m,GH=1.5m,FH=1.8m,

.1.5%_4+x

解得：x=5,

AB=1.5x=7.5,

答：燈柱的高度為7.5m.

23.答案:(1)1,60

⑵學(xué)=專,ZDCE=45。,理由見解析

CE2

八、5月十

⑶或二

解析：⑴當(dāng)&=60。時(shí)，

,?AB=AC,

：.ZVIBC為等邊三角形，

AB^BC,ZABC=ZACB=6Q°,ZBAD=120°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ZBDE=60°,BD=ED,

：.為等邊三角形，

BD=BE,ZEBD=60°,

ZZ)BE=ZABC=60°,

ZDBA=ZEBC

在AABD和△CBE中

DB=EB

ZDBA=NEBC

AB=BC

：.AABD^ACBE

/.AD=CE,ZBAD=NBCE=120。,

An

—=1,ZDCE=ZBCE-ZACB=60°.

CE

故答案為：1,60；

⑵42=交,/℃￡=45。,理由如下：

CE2

當(dāng)e=90°時(shí)，

,?AB=AC,

/.△ABC為等腰直角三角形，

ABi

——=-^,ZABC=ZACB=^5°,ZBAD=9Q