福建省部分學校2024-2025學年高三上學期第三次聯考數學試題

高三數學高三數學試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024-2025學年度第一學期福建省部分學校高中畢業(yè)班第三次聯考數學試卷（考試時間：120分鐘；滿分：150分）一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。每小題只有一個選項是符合題意的。）1．已知集合A={?2,?1,0,1,2}，B=x|2x≤12A．{?1}B．{?2,?1}C．{1}D．{?1,0,1}2．已知非零向量a,b滿足3a→=b→，向量a在向量b方向上的投影向量是?3A．33B．13C．?333．(2?x)5展開式中x3項的系數是（

A．?40B．40C．?80D．804．如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點AA．36B．32C．335．若一個圓錐底面半徑為1，高為22，則該圓錐表面積為（

A．π B．2π C．4π 6．已知sin(α+β)=7210，sin(α?β)=2A．625 B．1225 C．457．把液體A放在冷空氣中冷卻，如果液體A原來的溫度是θ1℃，空氣的溫度是θ0℃，則tmin后液體A的溫度θ℃可由公式θ=θ0+θ1?θ0e?0.3t求得.現把溫度是60℃的液體A放在13℃的空氣中冷卻，液體A的溫度冷卻到37℃和25℃所用的時間分別為tA．2.3 B．2.7 C．3.7 D．4.78．對于函數y=fx，若存在x0，使fx0=?f?x0，則稱點x0,fx0A．0,4?22B．4?22,+∞C．二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分。每小題有多個選項是符合題意的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的不得分。）9．若復數z=?2+i，則下列說法正確的是（

A．z的虛部是?2B．z的共軛復數是?2?C．z的模是5D．z210．已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個命題中正確的是（

）A．若△ABC為銳角三角形，則sinB．若B=60°，b2=ac，則△ABC是C．若bcosC+ccosD．若△ABC為鈍角三角形，且AB=3，AC=5，cosC=1314，則11．已知橢圓E:x2a2+y2=1（a>1）的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1的直線l與橢圓E交于A，B兩點（A點位于B點上方），且cos∠AF2B=35，延長AF2，BFA．橢圓E的離心率為22 B．△ABFC．PF2=25 D．直線l三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分。）12．某校四個植樹小隊，在植樹節(jié)這天種下柏樹的棵數分別為10,x,10,8，若這組數據的中位數和平均數相等，那么x=.13．已知函數fx=tan2x+φ（0<φ<π2）的圖象關于點?π14．在四面體P?ABC中，BP⊥PC，∠BAC=60°，BC=2，若四面體P?ABC的體積最大時，則四面體P?ABC的外接球的表面積為.四、解答題（本題共5小題，共77分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。）15．（13分）已知數列an為等比數列，數列bn滿足bn(1)求數列an(2)數列cn滿足cn=n2an，記數列c16．（15分）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA=PB=5，點M、N為分別為PD、BC的中點．(1)證明：CM//平面PAN；(2)若PC=3，求平面PAN與平面MAC夾角的余弦值．17．（15分）某中學舉辦“數學知識競賽”，初賽采用“兩輪制”方式進行，要求每個班級派出兩個小組，且每個小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格.高三（6）班派出甲?乙兩個小組參賽，在初賽中，若甲?乙兩組通過第一輪比賽的概率分別是34,3(1)若高三（6）班獲得決賽資格的小組個數為X，求X的分布列；(2)已知甲?乙兩個小組在決賽中相遇，決賽以三道搶答題形式進行，搶到并答對一題得100分，答錯一題扣100分，得分高的獲勝.假設這兩組在決賽中對每個問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率，且甲?乙兩個小組搶到該題的可能性分別是1318．（17分）已知F為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點，O為坐標原點，過焦點F作一條直線l0交C于A，B兩點，點M在C的準線l上，且直線(1)求拋物線C的方程；(2)試問在l上是否存在定點N，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由；(3)過焦點F且與x軸垂直的直線l1與拋物線C交于P，Q兩點，求證：直線AP與BQ19．（17分）已知函數fx及其導函數f′x的定義域都為R，設直線l：y=kx+m是曲線y=kx+m的任意一條切線，切點橫坐標為x0，若fx≥kx+m，當且僅當(1)判斷y=x2是否滿足“性質(2)若f′x是單調增函數，證明：fx(3)若函數gx=ex+高三數學學科參考答案高三數學學科參考答案第頁共5頁2024-2025學年度第一學期福建省部分學校高中畢業(yè)班第三次聯考數學參考答案一、客觀題（1~8題為單選題，每題5分；9~11題為多選題，每題6分，其中第9題選對一個選項得3分，10~11題選對一個選項得2分，如果有選錯或沒選均不得分。）題號1234567891011答案BCAACDACBCABCACD二、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分。）12．12或813．?3π8+三、解答題（本題共5小題，共77分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。）15.（13分）解：（1）因為bn=2又an所以a1因為an為等比數列，所以a即7?5λ2=5?λ因為λ>0，得λ=2.因此an=b所以，a（2）由（1）知，cnT9（15分）（1）證明：取PA的中點E，連接EM,EN，因為點M、E分別為PD、PA的中點，所以ME是△PAD的中位線所以EM//AD且EM=1又因為N為BC的中點，可得CN//AD且CN=1所以EM//CN且EM=CN，所以四邊形EMCN為平行四邊形，所以CM//EN，又因為CM?平面PAN，且EN?平面PAN，所以CM//平面PAN．（2）解：取AB的中點S，連結PS,CS，因為PA=PB=5，可得PS⊥AB，且PS=又因為SC=BC2所以PC2=PS又因為AB∩SC=S，且AB,SC?平面ABCD，所以PS⊥平面ABCD，以S為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系S?xyz，可得A?1,0,0因為M為PD的中點，N為BC的中點，可得M?則AP=設m=x1,y取x=2，可得y=?4,z=?1，所以m=設n=x2,y取x=2，可得y=?2,z=1，所以n=設平面PAN與平面MAC的夾角為θ，則cosθ=即平面PAN與平面MAC的夾角的余弦值為1121（15分）解：（1）設甲?乙通過兩輪制的初賽分別為事件A1則P(A由題意可得，X的取值有0,1,2，PX=0PX=1X012P6136PX=2分布列如右表：（2）依題意甲?乙搶到并答對一題的概率分別為PB1=乙已得100分，甲若想獲勝情況有：甲得200分：其概率為15②甲得100分，乙再得?100分，其概率為C2③甲得0分，乙再得?200分，其概率為23故乙先得100分后甲獲勝的概率為12518.（17分）解：（1）由題意得，MF直線方程為：y=?(x?p令x=?p2，則y=p，故于是S△OFM=1故拋物線方程為y2（2）設l0的方程為x=ty+1，A(x1由題意得，kNA+kNB可得y1?nt聯立x=ty+1和拋物線，得到y2?4ty?4=0，由y1+y整理可得(t2+1)(n2故N(?1,0)，N(?1,?4)滿足題意.（3）由題意，P(1,2),Q(1,?2)，則直線AP:y?2=y1?2x1?1兩直線方程相減得到：?4=y由（2）知，x1=ty即?4=?2即2t=1即2t=y于是2t=4t解得x=?1，即直線AP與BQ的交點在一條定直線x=?1上19.（17分）

解：（1）y=x2滿足“性質因為y′=2x，設曲線的一條切線l切點為則直線l的方程為：y=2x因為x2當且僅當x=x0時“由x0的任意性可知，y=x2（2）設直線l是曲線y=fx的任意一條切線，切點為C則直線l的方程為：y=f設gx=fx因為f′則當x∈?∞,x0時，g當x∈x0,+∞時，g′即對任意x≠x0，都有由x0的任意性可知，函數fx滿足“性質（3）①當a≤1時，因為g′x=因為?x所以?x在R上單調遞增，即g′x由（2）可知，函數fx滿足“性質P②下證當a>1時，函數fx不滿足“性質P方法一：設直線l與曲線y=gx切于點D則直線l的方程為：y=g設Fx=gx?g′x只要證存在Fx因為F′設Gx=F設Hx=G′x所以當x∈?∞,0時，H當x∈0,+∞時，H′因為G′0=2所以存在x2∈0