廣東省東莞市五校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

第1頁/共1頁2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期五校第二次聯(lián)考高一數(shù)學(xué)命題學(xué)校：東莞高級中學(xué)命題人：肖志軍審題人：和凌香說明：本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡上正確書寫班級、姓名、試室號、座位號、學(xué)校準(zhǔn)考證號.用2B鉛筆將學(xué)校準(zhǔn)考證號填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.第I卷（選擇題）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】B【解析】【分析】分析可知的終邊與的終邊相同，結(jié)合象限角的定義可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋芍慕K邊與的終邊相同，而為第二象限角，所以是第二象限角.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等性質(zhì)及命題的充分必要性直接可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，若，則，即“”不是“”充分條件；當(dāng)時(shí)，，即“”是“”必要條件，綜上所述，“”是“”的必要不充分條件，故選：B.3.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)單調(diào)遞增，所以，即因?yàn)楹瘮?shù)是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，所以，即，因此，故選：C4.已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則（）A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，均在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)上單調(diào)遞減，又，，故零點(diǎn)所在區(qū)間為，所以.故選：C.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得，可求得，進(jìn)而可求的值.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，所以，又，所?故選：A.6.已知命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結(jié)合一元二次不等式的解集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槊}“，”為假命題，所以命題“，”為真命題，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，要想對于恒成立，只需，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】二次函數(shù)的對稱軸為，且開口向下，因?yàn)楹瘮?shù)是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，且恒成立，只需滿足，故選：C.8.某市政府為了增加農(nóng)民收入，決定對該市特色農(nóng)副產(chǎn)品的科研創(chuàng)新和廣開銷售渠道加大投入，計(jì)劃逐年加大研發(fā)和宣傳資金投入.若該政府2024年全年投入資金120萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長20%，則該政府全年投入的資金翻兩番（即為2024年的四倍）的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.2029年 B.2030年 C.2031年 D.2032年【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意列出指數(shù)方程，取對數(shù)，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)第年該政府全年投入的資金翻兩番，依題意得：，因此該政府全年投入的資金翻兩番（即為2024年的四倍）的年份是2032年，故選：D二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列說法，正確的是（）A.B.若角與角的終邊在同一條直線上，則C.若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則D.若扇形的弧長為2，圓心角為，則該扇形的面積為【答案】ACD【解析】【分析】利用平方差公式即同角的平方關(guān)系計(jì)算可判斷A；角與角的終邊可能重合可判斷B；由已知可求得，可得，代入求值可判斷C；設(shè)扇形的半徑為，可求得，由扇形的面積可求面積判斷D.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，因?yàn)榻桥c角的終邊在同一條直線上，所以角與角的終邊可能重合，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以且，所以，故C正確；對于D，設(shè)扇形的半徑為，又扇形的弧長為2，圓心角為，所以，解得，所以該扇形的面積為，故D正確.故選：ACD.10.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性的定義與零點(diǎn)的定義逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】對于A，由于導(dǎo)致，故不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，由，解得，所以的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱.又，所以是偶函數(shù).而，所以偶函數(shù)又存在零點(diǎn)，故B正確；對于C，由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?1,1，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以是偶函數(shù).而，所以存在零點(diǎn)x=0.所以是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)，故C正確；對于D，由，解得，所以的定義域?yàn)?所以定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知，，下列說法正確的是（）A.若，則的最小值為5B.若，則最大值為1C.若，則的最小值為8D.若，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】利用特殊值法，結(jié)合基本不等式進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，顯然滿足，而，所以本選項(xiàng)不正確；B：，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即當(dāng)時(shí)取等號，故本選項(xiàng)正確；C：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即當(dāng)時(shí)取等號，故本選項(xiàng)正確；D：由，得，且，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)取等號，故本選項(xiàng)正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是這種變形，然后應(yīng)用基本不等式.第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值是_____.【答案】【解析】【分析】利用冪函數(shù)的定義及性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，解之得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，滿足題意.所以實(shí)數(shù)的值是.故答案為：.13.已知函數(shù)（為常數(shù)），且，則_____.【答案】【解析】【分析】運(yùn)用代入法，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋杂?，于是有故答案為?4.已知函數(shù)（其中，且）.（1）若，則實(shí)數(shù)的值是_________；（2）若的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】①.②.【解析】【分析】第一空，由分段函數(shù)解析式直接求解即可；第二空，通過，，，分別討論即可.【詳解】（1）由解析式可得：，所以，所以，（2）當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，，函?shù)在單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?，顯然不符合函數(shù)的值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?，函?shù)在單調(diào)遞增，值域?yàn)椋海艉瘮?shù)的值域?yàn)?，則需滿足，解得：，故實(shí)數(shù)取值范圍為；當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，，函?shù)在單調(diào)遞減，值域?yàn)椋海@然不符合函數(shù)的值域?yàn)?；綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為；故答案為：；四、解答題：（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.（1）計(jì)算.（2）已知，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)和指數(shù)運(yùn)算求解即可.（2）利用因式分解化簡，再配方可求值.【詳解】（1）；（2）因?yàn)?，所?16.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或（2）實(shí)數(shù)的取值范圍或【解析】【分析】（1）先求得集合，可求得，進(jìn)而可求得；（2）因?yàn)?，由已知可得或，求解即?【小問1詳解】由，得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以或，所以或；【小問2詳解】由（1）可得，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋曰?，解得或，所以?shí)數(shù)的取值范圍或.17.已知二次函數(shù)滿足，且，為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)在上的解析式，在給定的坐標(biāo)系中畫出的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù).【答案】（1），作圖見詳解，的單調(diào)增區(qū)間為（2）答案見詳解【解析】【分析】（1）設(shè)出解析式，根據(jù)題目條件得到方程組，求出，得到解析式；根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到的解析式，從而畫出函數(shù)圖象；由圖象寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，結(jié)合圖象，討論得到方程的根的個(gè)數(shù).【小問1詳解】設(shè)二次函數(shù)，則，因?yàn)?，故，所以，解得，則，所以；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，為上的奇函數(shù)，故，，故，綜上，gx畫出函數(shù)圖象如下：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.【小問2詳解】由圖可知，，，方程，即，當(dāng)，即時(shí)，或當(dāng)，即時(shí)，方程有一個(gè)根；當(dāng)，即或時(shí)，方程有兩個(gè)根；當(dāng)，即時(shí)，方程有三個(gè)根.18.東莞廣播電視臺旗下的電商平臺—“家鄉(xiāng)好物商城”依托廣播、電視與互聯(lián)網(wǎng)平臺優(yōu)勢，主要銷售東莞制造的優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品及東莞對口支援、幫扶地區(qū)的農(nóng)特產(chǎn)品，打通新疆、廣西、云南、貴州等地區(qū)農(nóng)特產(chǎn)品的產(chǎn)銷對接渠道.近一個(gè)月來，“貴州黃牛肉”、“廣西小砂糖橘”、“云南野蘋果”等農(nóng)特產(chǎn)品在東莞熱銷.通過對過去的一個(gè)月（以30天計(jì)）的“廣西小砂糖橘”的銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每千克的銷售價(jià)格（單位：元/千克）關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系近似滿足（，且為常數(shù)），日銷售量（單位：千克）關(guān)于第天的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：9141822295459635952已知第9的日銷售收入為552元.（1）求的值；（2）給出以下四種函數(shù)模型：①；②；③；④.請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型（簡要說明理由）來描述日銷售量關(guān)于第天的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；（3）設(shè)該工藝品的日銷售收入為函數(shù)（單位：元）；求函數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）比較合適，（3）元【解析】【分析】（1）根據(jù)日銷售收入等于日銷售數(shù)量與日銷售單位的乘積進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)所給函數(shù)的單調(diào)性與的單調(diào)性進(jìn)行判斷選擇即可；（3）根據(jù)基本不等式、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合（2）的結(jié)論進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)榈?的日銷售收入為552元，所以有；【小問2詳解】由函數(shù)、、的解析式可知：這三個(gè)函數(shù)的單調(diào)性要么在定義域內(nèi)遞增，要么遞減，要么是常值函數(shù)，不會(huì)出現(xiàn)在定義域內(nèi)，即有單調(diào)遞減又有遞增的情況，而函數(shù)在時(shí)，在時(shí)是單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由列表可知：的單調(diào)性是先增后減，因此合適，把代入，得，顯然也滿足函數(shù)的解析式；【小問3詳解】由題意可知：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即當(dāng)時(shí)，取等號，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，顯然此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)，綜上所述：函數(shù)的最小值元.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)之一是根據(jù)表中數(shù)據(jù)反映出的單調(diào)變化選擇函數(shù)的解析式，之二是根據(jù)絕對值的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解.19.已知函數(shù)為奇函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值，并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）解不等式；（3）已知函數(shù)?x與的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，設(shè)函數(shù)，若對，總，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的定義、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解證明即可；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)對稱性的性質(zhì)，結(jié)合存在性和任意性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)镽且函數(shù)為奇函數(shù)，所以，